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四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级中考一诊数学试题
1．（2025·苍溪模拟）反比例函数的图象经过以下各点中的（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·苍溪模拟）正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·苍溪模拟）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
4．（2025·苍溪模拟）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·苍溪模拟）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·苍溪模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
7．（2025·苍溪模拟）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1 k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
8．（2025·苍溪模拟）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·苍溪模拟）如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（　　）
A． B． C．8 D．4
10．（2025·苍溪模拟）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝ 的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
11．（2025·苍溪模拟）若，则锐角　 　.
12．（2025·苍溪模拟）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 　 　．
13．（2025·苍溪模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 　 　．
14．（2025·苍溪模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于　 　．
15．（2025·苍溪模拟）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的距离是　 　米．
16．（2025·苍溪模拟）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　（填序号）
17．（2025·苍溪模拟）计算：°+°
18．（2025·苍溪模拟）已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
19．（2025·苍溪模拟）如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.
（1）求证：；
（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）
20．（2025·苍溪模拟）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
21．（2025·苍溪模拟）如图，是的中线，是锐角，，，．
（1）求的长．
（2）求的值．
22．（2025·苍溪模拟）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
23．（2025·苍溪模拟）小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．
（1）求反比例图象段的函数关系式，并求自变量的取值范围．
（2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
24．（2025·苍溪模拟）如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点．
（1）若是的中点，连接并延长，交于．求证：；
（2）若，，求的半径．
25．（2025·苍溪模拟）如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明．
26．（2025·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数“k”，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，该几何体的主视图是正中间是个正方形，
故答案为：C．
【分析】从正面向后看到的正投影是主视图；通过观察，我们发现从正面看，几何体的中间部分会形成一个正方形的形状，周围则是由矩形及三角形构成的图案，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式；余弦的概念
【解析】【解答】解：A、∵A（3，4），∴，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项符合题意；
B、∵B（4，3），∴，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意；
C、∵C（4，2），∴，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意；
D、∵D（1，4），∴，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点读出A、B、C、D四点的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式，分别计算出OA、OB、OC、OD，再根据余弦函数的定义“直角三角形中，一个角的余弦值等于这个角的邻边比斜边”，据此逐项求解即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
5．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
又OC⊥AB，
∴（米），
∵，
∴（米）
故答案为：D．
【分析】作于C，根据轴对称图形性质可得OA=OB，利用等腰三角形的三线合一得，然后利用∠OAB的正切函数求出OC即可.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：点，相似比为，
∴点A的对应点A'的坐标是，即A'(-2，1)，或者，即A'(2，-1)，
综上点A'得坐标为(-2，1)或(2，-1).
故答案为：D．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此即可直接得出答案.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：D．
【分析】从图象角度看， 求y1＞y2时，自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的自变量的范围即可．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴，
∴
，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，运用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
，
，
∴BC=2CE，
在中，∠AOC=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于这条弧所对的圆周角的2倍得∠AOC=60°，由垂径定理得BC=2CE，根据含30°角直角三角形的性质得，，进而根据OE=OC-1，建立方程求出OC，从而得到CE的长，进而即可得到BC的长.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】当y1= y2时，得
∴
∴ ，
经检验， ， 为原方程的解
当 时，
当 时，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时， ，
∵k＞0
∴ ，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2
∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时， ，
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时， ，
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故答案为：C.
【分析】当y1=y2时，可求出x的值，再分别求出当x=2和x=-1时的y的值，利用一次函数的性质，可得到当x1＝x2＞2时， ， ；可对A作出判断；当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2，可对B作出判断；当y1＝y2＞k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对C作出判断； 当y1＝y2＜k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对D作出判断.
11．【答案】60°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
12．【答案】
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴，
又∵AE=3，ED=5，
∴．
故答案为：．
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的对应边成比例求解即可.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限，据此结合题意列出不等式，求解即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，
，AB=BC，
∠ADE＝60°，
，
BD：DC＝1：2，AD＝2，
设
则
解得．
故答案为：．
【分析】由等边三角形性质得∠B=∠C=60°，由三角形内角和定理得∠ADB+∠BAD=120°，由平角定义得∠ADB+∠CDE=120°，则可推出∠BAD=∠CDE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△DCE，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点D，
∵测得小山两端B，C的俯角分别是和，
∴，，
∴在中，米
在中，米，
∴米．
故答案为：.
【分析】先作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形性质得到AD=BD=200米，在Rt△ACD中，由∠C的正切函数及特殊锐角三角函数值可算出CD的长，最后根据CB=BD+CD可算出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点A，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BD∥AE，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，然后根据图形面积间的关系，根据等式的性质可推出 ，即可证明①正确；过点作轴于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BG∥AC∥EF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，由两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形对应角相等得，从而根据同位角相等，两直线平行得BD∥AE，即可求证②正确；再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可证明③不正确；根据相似三角形的对应边成比例、三角形面积计算公式及反比例函数k的几何意义可推出，即可证明④正确．
17．【答案】解：原式=
=，
=．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质、绝对值的代数意义及负整数指数幂的性质“”分别进行化简，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．【答案】解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，
∴正比例函数解析式为y=2x．
把A（1，2）代入得b=1×2=2，
∴反比例函数解析式为．
（2）如图，
解得，，
∴点B(-1，-2)，
∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）分别把A点坐标代入正比例函数y=ax和反比例函数，求出a与b的值，从而确定两函数解析式；
（2）先画出y=2x和的图象，联立两函数解析式求解得出点B的坐标，从图象角度看，求正比例函数值大于反比例函数值，就是求正比例函数图象都在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围.
19．【答案】解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∴.
∴.
（2）∵四边形是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF，
步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
或
∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
【知识点】菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形对边平行得，再根据平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证出，进而根据相似三角形对应边成比例得出结论；
（2）根据菱形的四边相等可得DA=DC，由等边对等角得∠DAC=∠DCA，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作一个角等于已知角的方法作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.
20．【答案】（1）解：由题意可得，
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：他不能撬动这块石头．理由如下：
由（1）知，
当时，
，
解得．
∵，
∴他不能撬动这块石头．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据“动力动力臂阻力阻力臂”列等式，整理成用含x的式子表示y的形式可得函数解析式；
（2）由y≤300列出关于x的不等式，求解得出x的最小解，即动力臂的最小值，然后将这个动力臂的最小值与1.8比较大小即可得出结论.
（1）解：由题意可得，
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：他不能撬动这块石头．理由如下：
由（1）知，
当时，
，
解得．
∵，
∴他不能撬动这块石头．
21．【答案】（1）解：过点作于点，
在中，
，
，
，
，
，，
在中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（2）解：为边上的中线，
，
，
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，在Rt△ACE中，由∠A的正切函数得出AE=2CE，然后根据勾股定理建立方程求得CE，AE，在Rt△BCE中，由特殊锐角三角函数值可求出∠B=45°，则为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE，最后根据AB=AE+BE计算可得答案；
（2）由中线的性质可得，再由DE=BD-BE求出DE，则可根据正切的定义求．
22．【答案】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点E，在中，根据含30°角直角三角形的性质求出BE。进而根据勾股定理求出CE，然后根据DE=DC+CE求出DE；在中，根据等腰三角形的性质得，最后根据AB=AE-BE即可得出答案．
23．【答案】（1）解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，
设反比例图象段的函数关系式，
把点代入得：
，
解得：，
，
令时，代入，
解得：，
则点D
反比例图象段的函数关系式：；
（2）解：由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间为：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先算出电水壶开机加热水温从20℃加至100℃的时间， 得出点B坐标为，结合题意得点坐标为，再用待定系数法求出反比例函数的解析式，令所求函数解析式中，求出对应的的值，即可得到的范围，从而得解；
（2）根据题意可得从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，小于30分钟，算出水温第二次加热到所需时间与30分钟进行比较，也是小于30分钟，最后算出水温第二次下降到所需时间，与30分钟进行比较即可得到答案．
（1）解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，
设反比例图像段的函数关系式，
把点代入得：
，
解得：，
，
令时，代入，
解得：，
则点C
反比例图像段的函数关系式：；
（2）解：由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间为：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
24．【答案】（1）证明：∵弦，M是的中点，
∴．
∴．
∵∠AEM=∠BEN，
∴∠BEN=∠A，
∵，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为直径，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∴．
又∵
∴．
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
设，则，
∴．
∴．
解得（舍）．
∴．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得MA=ME，由等边对等角得∠A=∠AEM，结合对顶角相等得∠BEN=∠A，由同弧所对圆周角相等得∠ADE=∠ABC，根据等式性质及直角三角形的两锐角互余可求出∠BEN+∠EBN=90°，由△内角和定理求出∠BEN=90°，从而根据垂直定义可得结论；
（2）连接BD，根据圆的切线垂直经过切点的半径及直径所对的圆周角是直角得出，结合公共角∠A，可用有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得出，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义，可设，则，勾股定理可得，进而代入得出，即可求解．
（1）证明：∵弦，M是的中点，
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为直径，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∴．
又∵
∴．
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
设，则，
∴．
∴．
解得（舍）．
∴．
∴的半径为．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：① 当时 ， ；
②当时，猜想，理由如下：
作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）解：①当时，；
当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
【分析】（1）由等边对等角得，由直角三角两锐角互余及等角的余角的相等，结合对顶角相等，得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CE，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，进而根据等腰三角形的三线合一得到，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
26．【答案】（1）解：抛物线中，
令，则，
∴B(0，4)，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，
令，则，
解得或，
∴，，
∴，
∵E（t，0）
∴P（t，t2+3t+4）
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：由已知得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得或，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（）令抛物线y=-x2+bx+4中的x=0算出对应的函数值可先求出，得，进而利用待定系数法即可求解；
（）令抛物线y=-x2+3x+4中y=0算出对应的x的值，得，，根据点的坐标与图形性质得P（t，t2+3t+4），由两点间的距离公式表示出PE的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（）易得，由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得，由等边对等角得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解.
（1）解：抛物线中，令，则，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：延长交轴于点，
由已知得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得或，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴点的坐标为或．
1 / 1四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级中考一诊数学试题
1．（2025·苍溪模拟）反比例函数的图象经过以下各点中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】反比例函数图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数“k”，据此逐一判断即可.
2．（2025·苍溪模拟）正在热映的春节档电影电影《满江红》中所使用的印信道具是中国悠久的金石文化的代表之一，它的表面均由正方形和等边三角形组成，可以看成图②所示的几何体，该几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，该几何体的主视图是正中间是个正方形，
故答案为：C．
【分析】从正面向后看到的正投影是主视图；通过观察，我们发现从正面看，几何体的中间部分会形成一个正方形的形状，周围则是由矩形及三角形构成的图案，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·苍溪模拟）在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【答案】A
【知识点】坐标系中的两点距离公式；余弦的概念
【解析】【解答】解：A、∵A（3，4），∴，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项符合题意；
B、∵B（4，3），∴，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意；
C、∵C（4，2），∴，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意；
D、∵D（1，4），∴，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点读出A、B、C、D四点的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式，分别计算出OA、OB、OC、OD，再根据余弦函数的定义“直角三角形中，一个角的余弦值等于这个角的邻边比斜边”，据此逐项求解即可判断得出答案.
4．（2025·苍溪模拟）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
5．（2025·苍溪模拟）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：作于C，
∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴，
又OC⊥AB，
∴（米），
∵，
∴（米）
故答案为：D．
【分析】作于C，根据轴对称图形性质可得OA=OB，利用等腰三角形的三线合一得，然后利用∠OAB的正切函数求出OC即可.
6．（2025·苍溪模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：点，相似比为，
∴点A的对应点A'的坐标是，即A'(-2，1)，或者，即A'(2，-1)，
综上点A'得坐标为(-2，1)或(2，-1).
故答案为：D．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），据此即可直接得出答案.
7．（2025·苍溪模拟）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1 k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：D．
【分析】从图象角度看， 求y1＞y2时，自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的自变量的范围即可．
8．（2025·苍溪模拟）如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴，
∴
，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，运用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
9．（2025·苍溪模拟）如图，点A、B、C、D在上．于点．若，．则的长为（　　）
A． B． C．8 D．4
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
，
，
∴BC=2CE，
在中，∠AOC=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于这条弧所对的圆周角的2倍得∠AOC=60°，由垂径定理得BC=2CE，根据含30°角直角三角形的性质得，，进而根据OE=OC-1，建立方程求出OC，从而得到CE的长，进而即可得到BC的长.
10．（2025·苍溪模拟）已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝ 的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（　　）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2 B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2 D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】当y1= y2时，得
∴
∴ ，
经检验， ， 为原方程的解
当 时，
当 时，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时， ，
∵k＞0
∴ ，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2
∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时， ，
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时， ，
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故答案为：C.
【分析】当y1=y2时，可求出x的值，再分别求出当x=2和x=-1时的y的值，利用一次函数的性质，可得到当x1＝x2＞2时， ， ；可对A作出判断；当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2，可对B作出判断；当y1＝y2＞k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对C作出判断； 当y1＝y2＜k时，可得到 x1和x2的大小关系，可对D作出判断.
11．（2025·苍溪模拟）若，则锐角　 　.
【答案】60°
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
12．（2025·苍溪模拟）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△EAB∽△EDC，
∴，
又∵AE=3，ED=5，
∴．
故答案为：．
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的对应边成比例求解即可.
13．（2025·苍溪模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限，据此结合题意列出不等式，求解即可.
14．（2025·苍溪模拟）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，
，AB=BC，
∠ADE＝60°，
，
BD：DC＝1：2，AD＝2，
设
则
解得．
故答案为：．
【分析】由等边三角形性质得∠B=∠C=60°，由三角形内角和定理得∠ADB+∠BAD=120°，由平角定义得∠ADB+∠CDE=120°，则可推出∠BAD=∠CDE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABD∽△DCE，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
15．（2025·苍溪模拟）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是和，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端B，C之间的距离是　 　米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作于点D，
∵测得小山两端B，C的俯角分别是和，
∴，，
∴在中，米
在中，米，
∴米．
故答案为：.
【分析】先作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形性质得到AD=BD=200米，在Rt△ACD中，由∠C的正切函数及特殊锐角三角函数值可算出CD的长，最后根据CB=BD+CD可算出答案.
16．（2025·苍溪模拟）如图，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点，交于点，延长交于点，作轴于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　（填序号）
【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点A，都在上，且轴，轴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
如图，过点作轴于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BD∥AE，故②正确；
∴，故③不正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可得，然后根据图形面积间的关系，根据等式的性质可推出 ，即可证明①正确；过点作轴于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BG∥AC∥EF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，由两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形对应角相等得，从而根据同位角相等，两直线平行得BD∥AE，即可求证②正确；再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可证明③不正确；根据相似三角形的对应边成比例、三角形面积计算公式及反比例函数k的几何意义可推出，即可证明④正确．
17．（2025·苍溪模拟）计算：°+°
【答案】解：原式=
=，
=．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质、绝对值的代数意义及负整数指数幂的性质“”分别进行化简，再计算乘法，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
18．（2025·苍溪模拟）已知正比例函数y=ax与反比例函数的图象有一个公共点A（1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】解：（1）把A（1，2）代入y=ax得a=2，
∴正比例函数解析式为y=2x．
把A（1，2）代入得b=1×2=2，
∴反比例函数解析式为．
（2）如图，
解得，，
∴点B(-1，-2)，
∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）分别把A点坐标代入正比例函数y=ax和反比例函数，求出a与b的值，从而确定两函数解析式；
（2）先画出y=2x和的图象，联立两函数解析式求解得出点B的坐标，从图象角度看，求正比例函数值大于反比例函数值，就是求正比例函数图象都在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围.
19．（2025·苍溪模拟）如图，在菱形中，点在对角线上，延长交于点.
（1）求证：；
（2）已知点在边上，请以为边，用尺规作一个与相似，并使得点在上.（只须作出一个，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：（1）∵四边形是菱形，
∴.
∴.
∴.
（2）∵四边形是菱形
∴DA=DC
∴∠DAC=∠DCA
∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，
尺规作图如图所示：
①作∠CPQ=∠AEF，
步骤为：以点E为圆心，以任意长度为半径，作弧，交EA和EF于点G、H，以P为圆心，以相同长度为半径作弧，交CP于点M，以M为圆心，以GH的长为半径作弧，两弧交于点N，连接PN并延长，交AC于Q，就是所求作的三角形；
②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；
或
∴就是所求作的三角形（两种情况任选其一即可）.
【知识点】菱形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形对边平行得，再根据平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证出，进而根据相似三角形对应边成比例得出结论；
（2）根据菱形的四边相等可得DA=DC，由等边对等角得∠DAC=∠DCA，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出与相似，然后用尺规作一个角等于已知角的方法作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.
20．（2025·苍溪模拟）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：他不能撬动这块石头．理由如下：
由（1）知，
当时，
，
解得．
∵，
∴他不能撬动这块石头．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据“动力动力臂阻力阻力臂”列等式，整理成用含x的式子表示y的形式可得函数解析式；
（2）由y≤300列出关于x的不等式，求解得出x的最小解，即动力臂的最小值，然后将这个动力臂的最小值与1.8比较大小即可得出结论.
（1）解：由题意可得，
则，
即y关于x的函数表达式为．
（2）解：他不能撬动这块石头．理由如下：
由（1）知，
当时，
，
解得．
∵，
∴他不能撬动这块石头．
21．（2025·苍溪模拟）如图，是的中线，是锐角，，，．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：过点作于点，
在中，
，
，
，
，
，，
在中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（2）解：为边上的中线，
，
，
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，在Rt△ACE中，由∠A的正切函数得出AE=2CE，然后根据勾股定理建立方程求得CE，AE，在Rt△BCE中，由特殊锐角三角函数值可求出∠B=45°，则为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE，最后根据AB=AE+BE计算可得答案；
（2）由中线的性质可得，再由DE=BD-BE求出DE，则可根据正切的定义求．
22．（2025·苍溪模拟）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：．
【答案】解：过点B作于点E，
在中，，米，
∴米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米．
答：杨树的高度约米．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B作于点E，在中，根据含30°角直角三角形的性质求出BE。进而根据勾股定理求出CE，然后根据DE=DC+CE求出DE；在中，根据等腰三角形的性质得，最后根据AB=AE-BE即可得出答案．
23．（2025·苍溪模拟）小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．
（1）求反比例图象段的函数关系式，并求自变量的取值范围．
（2）小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
【答案】（1）解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，
设反比例图象段的函数关系式，
把点代入得：
，
解得：，
，
令时，代入，
解得：，
则点D
反比例图象段的函数关系式：；
（2）解：由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间为：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）首先算出电水壶开机加热水温从20℃加至100℃的时间， 得出点B坐标为，结合题意得点坐标为，再用待定系数法求出反比例函数的解析式，令所求函数解析式中，求出对应的的值，即可得到的范围，从而得解；
（2）根据题意可得从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，小于30分钟，算出水温第二次加热到所需时间与30分钟进行比较，也是小于30分钟，最后算出水温第二次下降到所需时间，与30分钟进行比较即可得到答案．
（1）解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，
设反比例图像段的函数关系式，
把点代入得：
，
解得：，
，
令时，代入，
解得：，
则点C
反比例图像段的函数关系式：；
（2）解：由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间为：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
24．（2025·苍溪模拟）如图，为的直径，且弦于点，过点的切线与的延长线交于点．
（1）若是的中点，连接并延长，交于．求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵弦，M是的中点，
∴．
∴．
∵∠AEM=∠BEN，
∴∠BEN=∠A，
∵，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为直径，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∴．
又∵
∴．
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
设，则，
∴．
∴．
解得（舍）．
∴．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得MA=ME，由等边对等角得∠A=∠AEM，结合对顶角相等得∠BEN=∠A，由同弧所对圆周角相等得∠ADE=∠ABC，根据等式性质及直角三角形的两锐角互余可求出∠BEN+∠EBN=90°，由△内角和定理求出∠BEN=90°，从而根据垂直定义可得结论；
（2）连接BD，根据圆的切线垂直经过切点的半径及直径所对的圆周角是直角得出，结合公共角∠A，可用有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得出，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义，可设，则，勾股定理可得，进而代入得出，即可求解．
（1）证明：∵弦，M是的中点，
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为直径，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∴．
又∵
∴．
∴，即．
∵，
∴．
在中，，
设，则，
∴．
∴．
解得（舍）．
∴．
∴的半径为．
25．（2025·苍溪模拟）如图，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
（1）求证：；
（2）某兴趣小组探究与的关系，该小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：① 当时 ， ；
②当时，猜想，理由如下：
作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）解：①当时，；
当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
【分析】（1）由等边对等角得，由直角三角两锐角互余及等角的余角的相等，结合对顶角相等，得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥CE，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得到，进而根据等腰三角形的三线合一得到，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
（2）解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
26．（2025·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点，交轴负半轴于点，交轴于点，且．
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点为抛物线第一象限上一点，连接交轴于点，作轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图，在（）的条件下，作轴，点在直线下方的第一象限内，连接，延长交轴于点，若四边形的面积为，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线中，
令，则，
∴B(0，4)，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，
令，则，
解得或，
∴，，
∴，
∵E（t，0）
∴P（t，t2+3t+4）
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：由已知得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得或，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（）令抛物线y=-x2+bx+4中的x=0算出对应的函数值可先求出，得，进而利用待定系数法即可求解；
（）令抛物线y=-x2+3x+4中y=0算出对应的x的值，得，，根据点的坐标与图形性质得P（t，t2+3t+4），由两点间的距离公式表示出PE的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（）易得，由线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得，由等边对等角得，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，利用相似三角形的对应边成比例得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解.
（1）解：抛物线中，令，则，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：延长交轴于点，
由已知得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得或，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴点的坐标为或．
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