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专题二十一 正方形（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A. B. C. D.
2.如图,边长为2的正方形的对角线与相交于点O,E是边上一点,F是上一点,连接,.若与关于直线对称,则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边BC上的一个动点,,交边AB于点F,点G,H分别是点E,F关于直线AC的对称点,点E从点C运动到点B时,图中阴影部分面积的大小变化是( )
A.先增大后减小 B.先减小后增大
C.一直不变 D.不确定
4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作交CD于点N.若，则BD的长为( )
A.2 B. C.4 D.
5.如图,在正方形中,点E是的中点,点F在上,连接,,若,,则一定等于( )
A. B. C. D.
6.如图，O为坐标原点，边长为1的正方形的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形绕顶点O顺时针旋转，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
7.四个正方形如图所示放置，若要求出四边形的面积则需要知道下列选项中哪个面积( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形ABCD中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD的内部），连接DG并延长交BC于点K.若，则正方形ABCD的边长为( )
A. B. C. D.
9.如图,正方形中,E为边上一点,连接,将绕点E逆时针旋转得到,连接、,若,则一定等于( )
A.α B. C. D.
10.如图,在正方形中,,延长至E,使.连接,平分交于点F,则的长为( )
A. B. C.1 D.
11.如图,点E在正方形的对角线上,于点F,连接并延长,交边于点M,交边的延长线于点G.若,,则( )
A. B. C. D.
12.如图,在正方形中,P为上一点(点P不与点B,C重合),于G,并交于点H,过C作交AH延长线于点F,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.已知正方形的边长为8,点E为正方形边上一点,,则线段的长为______.
14.如图,正方形的边长为8,M在上,且,N是上一动点,则的最小值为______.
15.如图,面积为12的正方形中,有一个小正方形,其中E、F、G分别在、、上,若,则小正方形的边长为______.
16.如图,正方形中,点E是的中点,与关于所在直线对称,连接,将线段绕点C顺时针旋转得到线段,连接,射线交于点.若,则线段的长为______.
17.如图,在边长为2的正方形中,E,F分别是边,上的动点,且始终满足,,交于点P.
(1)的度数为______；
(2)连接,线段的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,正方形中,G为边上一点,于E,于F,连接.
(1)求证：；
(2)若,四边形的面积为6,求的长.
19.（8分）如图,在中,,,点D在边AB上,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE.
(1)求证：；
(2)若,求证：四边形ADCE为正方形.
20.（8分）明遇到这样一个问题：如图①,在四边形ABCD中,,,,,,求四边形ABCD的面积.
(1)经过思考小明想到如下方法：
以BC为边作正方形BCMN,将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°,180°,270°,而分别得到四边形FNBA,EMNF,DCME,则四边形ADEF是________.(填一种特殊的平行四边形)
∴________.
(2)解决问题：如图③,在四边形ABCD中,,,,,,则四边形ABCD的面积为多少？
21.（10分）如图,四边形、都是正方形,连接、.
(1)判断线段、的关系并证明.
(2)连接、、、,顺次连接各边中点G、H、Q、N,试判断四边形的形状,并说明理由.
22.（12分）教材中有这样一道题：如图1,四边形是正方形,G是上的任意一点,于点E,,且交于点F.求证：.
小明通过证明解决了问题,在此基础上他进一步提出了以下以下回题,请你解答.
(1)若图1中的点G为延长线上一点,其余条件不变,如图2所示,猜想此时,,之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)将图1中的绕点A逆时针旋转,使得与重合,记此时点F的对应点为点,如图3所示,若正方形的边长为3,求的长度.
23.（13分）问题提出：如图1,点E是菱形的边上的一点,,将线段绕点E顺时针旋转至,连接、,交于点G,探究与的数量关系.
问题探究：
(1)先将问题特殊化,如图2,当时,在上截取,使得.连接,______°.
(2)再探究一般情形,如图1,求与的数量关系.
问题解决：
(3)如图3,某公园计划在一片足够大的空地上修建一个五边形花园,其中菱形区域种植向日葵,区域种植薰衣草,为提高观赏体验现计划给该花园修建三条笔直的通道、、,通道的入口为点A,游客可走通道观赏花海,交于点G,同时计划在点G处修建一个拍照打卡地,通道与长度相等且夹角为,米,,点F在上且,请你通过计算帮助公园设计者确定点G、E之间的距离为多少？
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵四边形ABCD为矩形,
∴要使其为正方形,只需要使矩形ABCD为菱形即可,
∴可添加.
故选：B.
2.答案：C
解析：正方形的边长为2,
∴,,,
∴,
∴,
∵与关于直线对称,
∴,
∴；
故选：C.
3.答案：C
解析：连接BD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和,
,
∴,
同理,,
∴图中阴影部分的面积的面积正方形ABCD的面积.
∴阴影部分面积的大小一直不变.
故选：C.
4.答案：C
解析：四边形ABCD为正方形，
，，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
而，
，
.
故选：C.
5.答案：A
解析：延长、交于点G,如图所示：
四边形是正方形,
,
点E是的中点,
,
在和中,
,
,
,
,,
,
,
,,
,
,
,
,
故选：A.
6.答案：B
解析：如图，作轴于点E，连接，
正方形绕顶点O顺时针旋转，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
点B坐标为，
设抛物线解析式为（）
代入点B坐标，得，
，
故选：B.
7.答案：A
解析：如图所示，连接，
，，
又，
，
，
，
M、F、J三点共线，
，，
，，
又，
，
在，中，
，
，
，
求出四边形的面积则需要知道的面积，
故选：A.
8.答案：D
解析：方法一：设正方形ABCD的边长为m.如图，连接AG，BG，由作图可知EF垂直平分线段，.又，是等边三角形，，，.易知GH是的中位线，，，解得，即正方形ABCD的边长为.
方法二：如图，连接AG，设EF交AB于点H，正方形ABCD的边长为2x，由作图知，垂直平分，，，.易知，，.，，，，.
9.答案：A
解析：过点F作,交的延长线于点G,
由旋转得,,,
∴.
∵四边形为正方形,
∴,,
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴,,
∴
即,
∴,
∴.
∵,,
∴,
∴.
故选：A.
10.答案：A
解析：过点F作于点M,作于点N,如图所示。
四边形为正方形,,
,
,
,,,
四边形为矩形。
平分,,,,
.
四边形为正方形.
,
设,则,
,
,
,
,
,
,即,
解得:,
,
在中,由勾股定理得
,
故选:A.
11.答案：B
解析：∵四边形是正方形,,,
∴,,,,
∵,
∴,
∴,,
∴,
则,
∴,
∵,
∴,
∴
∴,
在中,,
故选：B.
12.答案：C
解析：如图,过点D作交于点M,过点A作交延长线于点E,
正方形,
,,
,
,
,
,即,
,
,
,
又,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
是等腰直角三角形,；
,
,
,,
,,
,,
是等腰直角三角形,,
在和中,
,
,
,
,
.
故选：C.
13.答案：6或
解析：当点E在边上时,如图：
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
当点E在边上时,如图：
∵,,
∴.
故答案为：6或.
14.答案：10
解析：连结,,,
正方形是轴对称图形,点B与点D是以直线为对称轴的对称点,
直线即为的垂直平分线,
,
,
当点N在与的交点P处,取得最小值,最小值为的长,
正方形的边长为8,且,
,,,
,
的最小值为10.
故答案为：10.
15.答案：/
解析：∵四边形是正方形,四边形是正方形,
∴,,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴
∴
∵正方形的面积为12,
∴正方形的边长为
∴
∴
∴
∴
∴,
故答案为：.
16.答案：/
解析：如图,连接,
∵,点E是的中点,
∴,
∴,
∵与关于所在直线对称,
∴,,,
∴,
∵线段绕点C顺时针旋转90°得到线段,
∴,,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
17.答案：/
解析：四边形是正方形,
,,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
由于点P在运动中保持,
∴点P的路径是一段以为直径的弧,
取的中点Q,连接,此时的长度最小,
则,
在中,根据勾股定理得,,
所以,.
故答案为：；.
18.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)∵四边形ABCD是正方形,∴,∵,,∴,,∴,在和中,∵,,,∴.
(2)设,则,由题意,解得或(舍弃),∴.
19.答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)∵,,
∴
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,
∴,,
∵,
∴,
即
∵在和中,,
∴
∴
∴
∴.
(2)∵,,
∴
∴
∵,
∴
∴
∵,,
∴四边形ADCE为矩形
∵,
∴四边形ADCE为正方形.
20.答案：(1)正方形,3
(2)
解析：(1)如图,设正方形BCMN的中心为点O,连接OA、OD、OF,
∵以BC为边作正方形BCMN,将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°,180°,270°,而分别得到四边形FNBA,EMNF,DCME,
∴,,,
∴四边形ADEF是菱形,,
∴,
∴菱形ADEF是正方形,
∴；
故答案是：正方形；3；
(2)如图,以BC为边作等边三角形BCM,将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°,240°,而分别得到四边形MEAB,EMCD,
则,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,∴易得和的高分别为和.
∴,
∴
.
21.答案：(1),,理由见解析
(2)四边形的形状是正方形,理由见解析
解析：(1),,
理由如下：设与交于点O,与交于点H,如图所示：
四边形、都是正方形,
,,,
,
在和中,
,
,
,,
,,
,即；
(2)四边形是正方形,
理由如下：顺次连接、、、的中点G、H、Q、N,如图所示,
∴,,,
∴四边形为平行四边形,
,
∴,,
∴,即,
∴四边形为矩形,
∵,
∴,
四边形是正方形.
22.答案：(1)
(2)
解析：(1)证明：∵正方形,
∴,.
∵,
∴.
∴.
∴.
又∵,
∴.
在和中,
∵,,.
∴.
∴.
∵,
∴.
(2)如图,
由题设得,
∴,
由旋转的性质知：,,
∴,
∴.
∴四边形为平行四边形.
又∵,
∴四边形是矩形.
∴.
23.答案：(1)
(2)
(3)米
解析：(1)过点F作交延长线于H,如图所示：
∴,
∴,,
∴,
在和中
,
∴,
∴,,
∵四边形是菱形,,
∴四边形是正方形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为：45；
(2)在上截取,使,连接.
,
,
,
,
.
.
∵四边形是菱形,
∴,,
,,
,
.
,
即；
(3)过点A作的垂线交的延长线于点P,在上截取,使,连接,作于点O,如图所示：
∵四边形为菱形,米,
米,
,
米,米,
同理(2)得：,
,
,,
,
,
∴,
∵,
∴,
∴米,
根据勾股定理得：即,
解得：米(负值舍去),
米,
米,
,
∴,
,
∴
米,
∴米,
,
∴由(2)知,.
,
,
,
,
设米,则米,米,
,
解得：,
米.

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