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专题二十 菱形（综合测试）——中考数学一轮复习备考合集
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,在中,,,将线段向右平移a个单位长度后得到线段(点E、F分别与点A、B对应,且点E、F分别在线段、上),当四边形为菱形时,a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，.若，则的大小是( )
A. B. C. D.
3.如图,在中,点D、E、F分别是边、、的中点,要判定四边形是菱形,下列所添加条件不正确的是( )
A. B. C.平分 D.
4.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点F.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图,在菱形中,,点E为对角线上一点,F为边上一点,连接、、,若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图,矩形ABCD中,,.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( )
A. B. C.5 D.6
7.如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接.若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图,在平面直角坐标系中,菱形的边长为,点B在x轴的正半轴上,且,将菱形绕原点O逆时针方向旋转,得到四边形(点与点C重合),则点的坐标是( )
A. B. C. D.
9.如图,在中,,和关于直线BC对称,连接AD,与BC相交于点O,过点C作,垂足为C,与AD相交于点E.若,,则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为( )
A. B. C. D.
11.图1是第63届国际数学奥林匹克竞赛会标,图2是其主体的中间部分图案,它是一个轴对称图形.已知,,作菱形,使点H,F,G分别在,,上,且点E在上.若,则整个图形的面积为( )
A. B. C.20 D.25
12.如图，在中，，.P为边上一动点（包含端点），分别作点P关于，所在直线的对称点D，E，连接交，于点F，G.
甲说：最大值为：
乙说：；
丙说：当时，四边形为菱形.
下列判断正确的是( )
A.甲乙丙都对 B.甲丙对，乙错 C.甲乙对，丙错 D.乙丙对，甲错
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在菱形中,,,则该菱形的面积是______.
14.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为____________.
15.如图,四边形为菱形,延长到E,在内作射线,过点D作于F,若平分,,则对角线的长为______.
16.如图,在菱形中,,,于点E,对角线交于点F,则的长为______________.
17.如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点A,B在x轴上,,,,将菱形绕点A旋转后,得到菱形,则点的坐标是______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,在四边形ABCD中,,,,点E是CD上一点,连接BE交AC于点F,连接DF
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)试探究BE满足什么条件时,,并说明理由.
19.（8分）如图，已知等边，，E为中点.以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G.过点E作交射线于点F，连接、.
(1)求证：四边形是菱形.
(2)若，求的面积.
20.（8分）AC是菱形ABCD的对角线,,,,将绕点顶A旋转,的两边分别与直线BC,CD交于点E,F,连接EF.
(1)【感知】如图1,若E,F分别是边BC,CD的中点,则______；
(2)【探究】如图2,若E是线段BC上任意一点,求的长；
(3)【应用】如图3,若E是BC延长线上一点,且,求的周长.
21.（10分）如图,点O为平面直角坐标系的原点,边长为4的菱形的一边与x轴的正半轴重合,.
(1)求B点的坐标；
(2)过点C的直线将菱形分成面积比为的两部分,求该直线的解析式.
22.（12分）【问题情境】在数学活动课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动,如图,在矩形纸片中,点M,N分别是、的中点,点E,F分别在、上,且.
【动手操作】将沿折叠,点A的对应点为点P,将沿折叠,点C的对应点为点Q,点P,Q均落在矩形的内部,连接,.
【问题解决】
(1)求证：四边形是平行四边形.
(2)若,四边形为菱形,求的长.
23.（13分）已知在菱形中,,点M在上,点E在线段上,将射线绕点M逆时针旋,得到射线交直线于点F,连接.
问题发现：(1)如图1,当点M与点A重合时,线段和之间的数量关系为__________.
类比探究：(2)如图2,当点M在边上时,题(1)中的结论是否成立？并说明理由.
拓展延伸：(3)如图3,当点M在延长线上时,交线段于点N,射线和交于点Q,且经过点C,若,求的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵在中,将线段向右平移a个单位长度后得到线段,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
∵,,四边形为菱形,
∴,
则,
即a的值为2,
故选：B.
2.答案：C
解析：作图可得，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：C.
3.答案：A
解析：当时,四边形是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,
∴,,
∴四边形DBFE是平行四边形,
∵,,
∴,
∴四边形DBFE是菱形.
故B正确,不符合题意,
当BE平分时,∴
∵,
∴
∴
∴
∴四边形DBFE是菱形,
故C正确,不符合题意,
当,
∵
∴,
∴四边形DBFE是菱形,
故D正确,不符合题意,
故选A.
4.答案：C
解析：在菱形中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
∴，
四边形是菱形，
∴，，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选：C.
5.答案：A
解析：∵四边形ABCD是菱形,,
∴,,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选A.
6.答案：C
解析：连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得,；利用“AAS或ASA”易证,根据全等三角形的性质可得；在中,由勾股定理求得,且；在中,,可得；在中,由勾股定理求得.
故答案选C.
7.答案：D
解析：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
G，H分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故答案为：.
8.答案：B
解析：如图所示,延长交x轴于点D,
∵四边形是菱形,点B在x轴的正半轴上,平分,,
∴,
∵将菱形绕原点O逆时针方向旋转,
∴,则,
∴
∴,
在中,
∴,
∴,
∴,
故选：B.
9.答案：D
解析：∵,和关于直线BC对称,
∴,
∴四边形ABDC是菱形,
∴,,,
∵,,
∴,,
在中,,,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
故选：D.
10.答案：C
解析：图象右端点F的坐标为，M是的中点，
，，
，，
如图，连接，连接，交于点，连接，
当点N在点时，取得最小值为，
四边形为菱形，，
为等边三角形，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
点E的坐标为.
故选：C.
11.答案：A
解析：如图所示,连接,,
∵四边形是菱形,
∴,,
∵整个图形是一个轴对称图形,
∴点E为的中点,且,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴；
∵,,,
∴,,,,
由菱形的性质可得,,
∴,
又∵,
∴是等边三角形,
∴,,
∴、都是等边三角形,
如图所示,过点D作,
∴,
∴,
∴,
∴整个图形的面积为,
故选：A.
12.答案：C
解析：连接、、，
点P关于，所在直线的对称点D，E，
，，，，
，
，
，
当P与C重合时，的值最大，则值最大，
，
，故甲说法正确；
，，
，
，，，
，
，，
同理，，
，
，
，故乙说法正确；
当时，由对称知，，
，
四边形是菱形，但不能证明四边形为菱形，故丙说法错误.
故选：C.
13.答案：24
解析：连接,交于点O,如图：
∵四边形为菱形
∴,
∴
∴
故菱形的对角线,,
∴菱形的面积,
故答案为：24.
14.答案：
解析：纸条的对边平行，即，，
四边形是平行四边形，
两张纸条的宽度都是3，
，，
平行四边形是菱形，即四边形是菱形，
如图，过A作，垂足为E，
，，，
在中，，即，
解得，
.
故答案为：.
15.答案：
解析：过点C作于G,
∵,
∴,
∵平分,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵四边形为菱形,
∴,
∵,
∴,
故答案为：.
16.答案：/
解析：四边形是菱形,
,
,
,
,
,,
.
17.答案：或
解析：当绕点A顺时针旋转后,如图,
∵,
∴,
∵菱形中,,
∴,
延长交x轴于点E,
∴,,
∴,
∴,
∴；
当绕点A逆时针旋转后,如图,延长交x轴于点F,
∵,,
∴,
∵菱形中,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴；
故答案为：或.
18.答案：(1)见解析
(2)当时,,理由见解析
解析：(1)证明：在和中,,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∵,,
∴.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)当时,.理由：
由(1)知四边形ABCD为菱形,
∴.
在和中,,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴
∴.
19.答案：(1)见解析；
(2)
解析：（1）证明：等边，
D是中点，，
E是中点，
，
是等边三角形
，
由尺规作图可知平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）等边，，
，，，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
.
20.答案：(1)2
(2)2
(3)
解析：(1)∵四边形ABCD是菱形,,
又∵E,F分别是边BC,CD的中点,
∴；
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴,,
∴,
∴是等边三角形,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴；
(3)同(2)可得,,
∴,,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,,
∴,
即,
∴,,,
,
∴的周长为.
21.答案：(1)
(2)或
解析：(1)作于点H,则,
∵四边形是菱形,边长为4,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴B点坐标为；
(2)如图,连接,作于点E,于F,
设菱形的面积为S,
∵四边形是边长为的菱形,,
∴和都是等边三角形,点A的坐标为,
∴,E、F分别是、的中点,
∴,,,,
∴点C的坐标为,,,
∴直线和均将菱形分成面积比为的两部分,且直线的解析式为,
∵点B的坐标为,
∴点F的坐标为,
设直线的解析式为,把、代入得,
,
解得,
∴直线的解析式为,
综上,该直线的解析式为或.
22.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：如图1,延长交的延长线于H.
四边形是矩形,
,,
点M,N分别是,的中点,
,
.
又,
,
,,
.
,
,
,
,
四边形是平行四边形.
(2)如图2,连接,交于点O,延长交于H,延长交于G.
四边形是菱形,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
23.答案：问题发现：(1)
类比探究：(2)理由见解析
拓展延伸：(3)
解析：(1)四边形是菱形,,
,为等边三角形,
将射线绕点M逆时针旋,点M与点A重合,
,,
,即,
,
,
,
,
故答案为：；
(2)成立,理由如下：
如图,过点M作的平行线交于点G,
,
,
为等边三角形,
同(1)中原理可得,
；
(3)如图,连接,过点M作的平行线交的延长线于点H,
根据(2)中原理可得,
,,为等边三角形,
,,
,,
,
,
,
,
,即,
,
,,
,
四边形为平行四边形,
,
平行四边形为菱形,
,,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设,,则,
可得,整理得,
可得,(舍去),
.
.

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