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/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 条件开放 ★★★★ 题型结构：条件开放型占比提升，需考生自主组合条件构建逻辑链。跨学科融合题成新热点，例如结合物理电路图求电阻，强化数学工具性特征。结论开放型侧重归纳推理，如中"是否存在触礁危险"类存在性判断题型。 难度与分值分值预计提升至全卷15-20%（显示基础题占比提升，但开放题作为区分度题型将集中在10-15分综合模块）。 难度分层明显：条件选择类属中档（7-8分），跨学科类及存在性探究属难题（10-12分），需兼顾数学建模与多学科知识迁移。 命题更强调思维过程而非固定解法，建议重点关注几何全等/相似证明、函数建模中的开放设问方向
考向2 结论开放 ★★★★
考向3 解题策略、方法开放 ★★★★
考向4 条件、结论综合开放 ★★★★
本类题主要考查几何图形的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
此类题考查了各种代数知识结构的基本性质，及学生自己处理问题的能力．熟练掌握代数知识的性质是解本题的关键．注意开放型题目，答案不唯一，所写结论满足题目要求的性质即可．
本类题主要考查了推理与论证，题型比较活，属于现在比较多的考查形式，要求学生具备一定的数学思维．重点考查推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围，正确记忆相关知识点灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
本类题主要考查分母不为0的结构．注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
本类题考查了真假命题，及各种几何图形结构的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例1.如图，已知AB∥CD，要使△ABF≌△DEF，只要添加一个条件是　 　 （只需要添加一个）．
变式1.如图，∠A＝∠D＝90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件　 　 即可．
变式2.如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　 （添加一个即可）．
例2.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件　 　 （写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．
变式1.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是　 　 ．
变式2.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件　 　 ，使四边形ABCD是菱形．
例3.如图，D，E是△ABC边上的两个点，要使△ABC∽△AED，添加一个条件是 　 　 （只写一个）．
变式1.已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　 　 条件（只添一种即可）．
变式2.如图，D、E两点分别在△ABC的边BC、CA上，DE与AB不平行，当满足条件（写出一个即可） 时，△CDE∽△CAB．
例1.写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　 　 ．
变式1.已知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，5），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：　 　 ．
变式2.请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式　 　 ．
例2.请写出一个比1小的无理数：　 　 ．
变式1.写出一个小于0的无理数　 　 ．
变式2.写一个大于2而小于5的无理数　 　 ．
例3.写出一个一元二次方程使它有一个根为1，则这个方程可以为　 　 ．
变式1.试写出一个解为x＝1的一元一次方程：　 　 ．
变式2.写出一个解集为x≤3的不等式：　 　 ．
例1.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 　 　 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
变式1.甲、乙、丙、丁四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分、平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是 　 　 ．
变式2.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 　 的手上．
例1.请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式．a2﹣1，a2﹣1，a2﹣2a+1，然后请你自选一个合理的数代入求值．
变式1.请你先化简，再从0，﹣2，2，1中选择一个合适的数代入，求出这个代数式的值．
变式2.已知．将他们组合成（A﹣B）÷C或A﹣B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值，其中x＝3．
例2.如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD ②∠ABC＝∠BAD ③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：　 　 ，　 　 ．
求证：　 　 ．
变式1.如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB．
你选的条件是 　 　 ，结论是 　 　 ．请加以证明．
变式2.如图，已知 　 　 ，且AD∥BC，求证：　 　 ．
给出下列两个条件：
①∠B＝∠C；
②∠EAD＝∠CAD．
请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明．
证明：
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 条件开放 ★★★★ 题型结构：条件开放型占比提升，需考生自主组合条件构建逻辑链。跨学科融合题成新热点，例如结合物理电路图求电阻，强化数学工具性特征。结论开放型侧重归纳推理，如中"是否存在触礁危险"类存在性判断题型。 难度与分值分值预计提升至全卷15-20%（显示基础题占比提升，但开放题作为区分度题型将集中在10-15分综合模块）。 难度分层明显：条件选择类属中档（7-8分），跨学科类及存在性探究属难题（10-12分），需兼顾数学建模与多学科知识迁移。 命题更强调思维过程而非固定解法，建议重点关注几何全等/相似证明、函数建模中的开放设问方向
考向2 结论开放 ★★★★
考向3 解题策略、方法开放 ★★★★
考向4 条件、结论综合开放 ★★★★
本类题主要考查几何图形的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
此类题考查了各种代数知识结构的基本性质，及学生自己处理问题的能力．熟练掌握代数知识的性质是解本题的关键．注意开放型题目，答案不唯一，所写结论满足题目要求的性质即可．
本类题主要考查了推理与论证，题型比较活，属于现在比较多的考查形式，要求学生具备一定的数学思维．重点考查推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围，正确记忆相关知识点灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
本类题主要考查分母不为0的结构．注意：取喜爱的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
本类题考查了真假命题，及各种几何图形结构的判定和性质、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例1.如图，已知AB∥CD，要使△ABF≌△DEF，只要添加一个条件是　AF＝DF（答案不唯一）　 （只需要添加一个）．
【分析】由AB∥CD可得∠FAB＝∠FDE，∠FBA＝∠FED，已知两组角，再加一组边，由AAS或ASA可得两三角形全等，所以可添加条件为AF＝DF或BF＝EF或AB＝DE．
【解答】解：可添加一个条件AF＝DF．
∵AB∥CD，
∴∠FAB＝∠FDE，∠FBA＝∠FED，
在△ABF与△DEF中，
∵，
∴△ABF≌△DEF（AAS）．
故答案为：AF＝DF（答案不唯一）．
变式1.如图，∠A＝∠D＝90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件　∠ABC＝∠DCB，本题答案不唯一　 即可．
【分析】添加的条件是∠ABC＝∠DCB，根据全等三角形的判定定理AAS即可求出答案．
【解答】解：添加的条件是∠ABC＝∠DCB，
理由是：在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（AAS），
故答案为：∠ABC＝∠DCB．本题答案不唯一．
变式2.如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　∠B＝∠C　 （添加一个即可）．
【分析】添加条件∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：添加条件：∠B＝∠C，
理由：由题意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
若添加条件：∠B＝∠C，则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：∠B＝∠C．
例2.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件　AD＝BC（答案不唯一）　 （写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．
【分析】可再添加一个条件AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC．
故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
变式1.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB，若不增加任何字母和辅助线，要使得四边形ABCD是矩形，则还需要增加一个条件是　AC＝BD或∠BAD＝90°（答案不唯一）　 ．
【分析】根据矩形的判定定理可解，常用的方法有三种：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此分析判断．
【解答】解：因为四边形ABCD中，AB∥CD，
所以∠BAC＝∠ACD，
因为∠BAD＝∠DCB，
所以∠DAC＝∠BCA，
所以AD∥BC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
要判断平行四边形ABCD是矩形，
根据矩形的判定定理，在不增加任何字母与辅助线的情况下，需添加的条件是四边形的一个角是直角或对角线相等．
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．
变式2.在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件　AB＝AD（答案不唯一）　 ，使四边形ABCD是菱形．
【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB＝AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【解答】解：添加AB＝AD（答案不唯一），
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
例3.如图，D，E是△ABC边上的两个点，要使△ABC∽△AED，添加一个条件是 　∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或　 （只写一个）．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC＝∠AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
【解答】解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或．
变式1.已知：如图，若使△ABC∽△ADE成立，则需　∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或　 条件（只添一种即可）．
【分析】已知两对边对应成比例，要想使两三角形相似，可以添加该对边的夹角相等，也可再添加其中一对边与另一对边对应成比例．
【解答】解：∠DAB＝∠CAE或∠DAE＝∠BAC或．
变式2.如图，D、E两点分别在△ABC的边BC、CA上，DE与AB不平行，当满足条件（写出一个即可）　∠CDE＝∠A　 时，△CDE∽△CAB．
【分析】要使两个三角形相似，使两个角对应相等，即可得出其相似．
【解答】解：满足条件∠CDE＝∠A即可
∵∠CDE＝∠A，∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB．
故答案为：∠CDE＝∠A（答案不唯一）．
例1.写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式　y＝x2+2，答案不唯一．　 ．
【分析】对称轴是y轴，即直线x0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，答案不唯一．
变式1.已知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，5），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：　y＝﹣x+5（答案不唯一）　 ．
【分析】先根据y随x的增大而减小得出k＜0，再根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，5）得出b的值，写出符合条件的函数关系式即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）中y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵函数图象经过点（0，5），
∴b＝5，
∴符合条件的函数关系可以是y＝﹣x+5．
故答案为：y＝﹣x+5（答案不唯一）．
变式2.请写出一个开口向上且经过（0，1）的抛物线的解析式　y＝x2+x+1（答案不唯一）　 ．
【分析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，1），说明常数项c＝1．
【解答】解：依题意，满足题意的抛物线解析式为
y＝x2+x+1等，答案不唯一．
故本题答案为：y＝x2+x+1等．
例2.请写出一个比1小的无理数：　　 ．
【分析】根据实数的大小比较法则计算即可．
【解答】解：此题答案不唯一，
∵，
∴1，
故答案为：（答案不唯一）．
变式1.写出一个小于0的无理数　﹣π　 ．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，所以根据题意和无理数的定义可得答案，答案不唯一．
【解答】解：答案不唯一，符合小于0且是无理数即可；
如﹣π，，等．
故答案为：﹣π．
变式2.写一个大于2而小于5的无理数　　 ．
【分析】由于一个大于2而小于5的无理数，可以先把这两个数都平方得到4和25，那么就可以从4和25之间找一个数开平方，而且是无理数即可．
【解答】解：大于2而小于5的无理数有．
例3.写出一个一元二次方程使它有一个根为1，则这个方程可以为　x2＝1　 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题答案不唯一．
【解答】解：答案不唯一，如x2＝1等．
故答案为：x2＝1．
变式1.试写出一个解为x＝1的一元一次方程：　x﹣1＝0　 ．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程；它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）；根据题意，写一个符合条件的方程即可．
【解答】解：∵x＝1，
∴根据一元一次方程的基本形式ax+b＝0可列方程：x﹣1＝0．（答案不唯一）
变式2.写出一个解集为x≤3的不等式：　3x﹣9≤0　 ．
【分析】只要满足解集为x≤3即可，答案不唯一，如2x≤6，3x﹣9≤0等．
【解答】解：由不等式的性质得，3x﹣9≤0的解集为x≤3．
故答案为3x﹣9≤0．
例1.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 　乙槽　 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【专题】开放型；数据分析观念；推理能力．
【分析】由三次操作三个槽总分是20+10+9＝39分，所以一次操作得总分就是13分，再根据三个球得数不相同可以列举出综合为13得所有情况．，然后再根据各自得分去一一分析比较即可．
【解答】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分．
∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13，
则有以下情况：
，
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
，
∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，4；
第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，4；
∴第二次操作计分最低的是乙槽．
方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z．
则x+y+z＝10，
x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾．
所以x最大为8，此时8+1+1＝10，
1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．
故答案为：乙槽．
变式1.甲、乙、丙、丁四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分、平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是 　甲和丁　 ．
【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁．
故答案为：甲和丁．
变式2.在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 　小培　 的手上．
【分析】分别假设小雅、小培和小粹三个同学，结合题意推论，得出结论．
【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃A在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意，
假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意，
假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意，
所以红桃A在小培手上．
故答案为：小培．
例1.请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式．a2﹣1，a2﹣1，a2﹣2a+1，然后请你自选一个合理的数代入求值．
【分析】根据分式的定义即可构造一个分式，然后取一个使得分式有意义的值代入即可．
【解答】解：，
当a＝2时，原式3．
或，
当a＝2时，原式．
变式1.请你先化简，再从0，﹣2，2，1中选择一个合适的数代入，求出这个代数式的值．
【分析】主要考查了分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的顺序，正确解题．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．
【解答】解：原式，
∵x（x﹣2）2≠0，4﹣x≠0，∴x≠0，x≠2，x≠4，
当x＝1时，原式＝﹣1．
或．
变式2.已知．将他们组合成（A﹣B）÷C或A﹣B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值，其中x＝3．
【分析】首先选出组合，进而代入，根据分式运算顺序进而化简，求出即可．
【解答】解：选（A﹣B）÷C＝（）
＝[]
，
当x＝3时，原式．
例2.如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD ②∠ABC＝∠BAD ③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：　①BC＝AD　 ，　②∠ABC＝∠BAD　 ．
求证：　③AC＝BD　 ．
【分析】先组成一个真命题，利用三角形全等的判定求解．
【解答】解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
变式1.如图，已知∠1+∠ABC＝180°，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
①BE是∠ABC的角平分线；②∠E＝∠2；③DF∥AB．
你选的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 ．请加以证明．
【分析】由角平分线定义得到∠2＝∠CBE，因此∠CBE＝∠E，判定AE∥BC，推出∠A+∠ABC＝180°，由补角的性质推出∠A＝∠1，判定DF∥AB．
【解答】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下：
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠2＝∠CBE，
∵∠E＝∠2，
∴∠CBE＝∠E，
∴AE∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠1+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠1，
∴DF∥AB．
故答案为：①②，③．
变式2.如图，已知 　∠B＝∠C　 ，且AD∥BC，求证：　∠EAD＝∠CAD　 ．
给出下列两个条件：
①∠B＝∠C；
②∠EAD＝∠CAD．
请将①②中的一个作为题设，填在“已知”后的空格中，另一个作为结论填在“求证”后的空格中，构造出一个真命题，并给出相应的证明．
证明：
【分析】根据题意写出已知和求证，根据平行线的性质、等量代换证明．
【解答】如图，已知∠B＝∠C，且AD∥BC，
求证：∠EAD＝∠CAD，
证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠EAD＝∠CAD，
故答案为：∠B＝∠C；∠EAD＝∠CAD．
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