资源简介

/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 问题情景类 ★★★★ 题型结构：1. 跨学科融合：结合地理、生物、物理等学科工具（如地图、图表），注重图文转换能力考查；2. 创新设问：新增方案选择、新定义问题等题型，例如一次函数实际应用、多变量方案优化等。 难度与能力要求：难度中等偏上，需综合运用数学知识解决实际情境问题；强化推理判断能力，要求分析隐含逻辑关系或多学科数据关联。 分值占比：预估占比约10%-15%，可能以综合题形式分布在应用题、阅读理解等板块，部分省市样卷已出现专项题型（如五大方案选择类题目）。 命题方向紧扣新课标“学科关联”理念，强调知识迁移与创新思维，备考需注重跨学科实践与复杂问题拆解训练。
考向2 问题探讨类 ★★★
考向3 类比探究类 ★★★★
考向4 课题实验探究类 ★★★★
知识点分布
实际应用建模：涉及代数方程（如行程、工程问题）、函数图象（如利润变化、物理运动）等应用场景；
跨学科融合：结合科学实验数据（如化学反应速率、生物种群增长）设计数学解析模型；
生活场景分析：概率统计（如垃圾分类回收率）、几何测量（如建筑结构优化）等。
解题思路
步骤1：提取题干关键数据，识别数学模型（如分段函数、二次最值）；
步骤2：通过图表/文字转换建立变量关系式；
步骤3：结合实际验证答案合理性。
知识点分布
逻辑推理：数形结合（如坐标系中几何动态问题）、命题真伪判断；
开放性问题：多条件组合下的存在性讨论（如几何图形的多种可能性）；
综合论证：代数与几何的综合证明（如三角形全等与二次函数交点结合）。
解题思路
核心策略：分情况讨论（如参数不同取值对结果的影响）；
工具运用：反证法、极端值试探法；
规范书写：需完整展示推理链条，避免逻辑跳跃。
知识点分布
几何类比：相似三角形性质推广至其他多边形；
代数规律迁移：数列、函数周期性在不同情境下的共性；
图形变换：平移、旋转、对称的复合应用。
解题思路
关键点：寻找题干与原型的关联性（如结构、变量关系相似性）；
1.观察已知条件与结论的生成逻辑；
2.将相同逻辑迁移至新问题；
3.验证迁移后的结论是否成立。
知识点分布
数据统计：抽样调查设计与误差分析；
实验设计：控制变量法的数学表达（如函数变量分离）；
结论验证：通过概率计算或几何作图验证假设。
解题思路：
1.明确实验目的与假设；
2.设计数据收集方案（如随机抽样）；
3.图表化处理数据（频数分布表、折线图）；
4.数学工具分析（方差、回归方程）；
5.结论表述与误差反思。
例1.综合与实践
【问题情景】
某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表：
A B
每月基本服务费（元） 20 40
免费通话时间（min） 0 150
通话每分钟收费（元） 0.2 0.3
备注 B类收费：当通话时长小于等于150min时每月费用固定40元；当通话时长超过150min时，超出部分每分钟加收0.3元．
【问题解决】
（1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象．
（2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为200min，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？
（3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案．
变式1.【综合与实践】
【问题情景】六堡茶属黑茶类，选用苍梧县群体种、广西大中叶种及其分离、选育的品种、品系茶树的鲜叶为原料，按特定的工艺进行加工，具有独特品质特征的黑茶，喝过六堡茶的人都会对它的“中国红”情有独钟，六堡茶业界认为，必须以“中国红”的文化韵味和民族特色为准则，使六堡茶走上复兴之路．
【实践探究】某商店经销某种品牌六堡茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
【问题解决】解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌六堡茶获得的利润W元的最大值
变式2.问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
（1）下面不可能是长方体展开图的是 　 　 ．（填序号）
（2）综合实践小组利用边长为a厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中a＝30．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为 　 　 平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知AB＝3AD，求该长方体纸盒的体积；
（3）小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这
个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
变式3.综合与实践
【问题情景】
农民王大爷，通过农村土地流转承包了520亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案．
【调研发现】
市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天2500元，一台小型收割机的租赁费用是每天1500元，不足一天按一天计算，一天工作10小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩．
【分析问题】
（1）两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？
【解决问题】
（2）由于道路的原因，有220亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并
且租来的收割机都工作满10个小时，现计划租用大型收割机m台，小型收割机n台，请你帮王大爷设计一下有哪几种租赁方案？
（3）为了节省租赁费用，在（2）的条件下，请直接写出最佳方案．
例2.综合与探究
问题情境：在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点B′落在正方形ABCD内．
（1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．猜想线段BF与CE的数量关系并说明理由．
（2）如图2．当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，D′H交B′C于点N．判断四边形B′MD′N的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出B′M的长．
变式1.综合与实践
问题情景：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，直角三角板EDF中，∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠C＝∠1时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，请直接写出线段AN的长为　 　 ．
变式2.【综合与实践】
【问题情景】如图，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使得∠AOC：∠BOC＝3：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
【独立思考】（1）在图1中，∠AOC＝ 　 　 °，∠BOC＝ 　 　 °；
【实践探究】（2）将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得OM在∠BOC的角平分线上，求∠BON的度数；
【拓展探究】（3）将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数．
变式3.归纳是从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的发现数学结论、解决数学问题的策略．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究．
【问题情景】
在正方形内部取一定数量的点，连同正方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证连线不再相交产生新的点，直到正方形内所有区域都变成三角形（不计被分割的三角形）
【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD内部任取一点E，分别连接该点与正方形的四个顶点，则正方形内出现 　 个三角形；
【问题探究】
（2）在（1）的基础上，增加正方形内点的个数．当正方形内有2个点时，在图②中作出相关图形，并回答此时所构成的三角形个数；
【总结归纳】
（3）当正方形内部的点数为n时，请用含n的代数式表示分割成的三角形个数，并给出合理的解释．
例1.学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°．
（1）【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得∠1＝30°，∠P＝76°后，直接就得出∠2＝　 　 °；小组成员在探讨交流后，发现∠P，∠1，∠2之间满足数量关系　 　 ；（此关系在下面可直接使用，不需证明）
（2）【问题探究】小组成员小芳在直线a，b之间、折线APB的左侧取一点Q，并画出∠Q，使∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．
变式1.【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°．
∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC；
（2）如图③，AB∥CD，点P在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是 　 　 （只写结论）
变式2.中考前，复习完《四边形》后，刘老师给出一个问题情境让同学们探讨：
问题情境：如图1，矩形ABCD中，，BC＝2，点O为对角线AC和BD的交点，点M为BC上一个动点，连接MO并延长交AD于点N．
小明：我可以得出BM＝ND．
理由：∵AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODN．
又∵BO＝DO，∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON，∴BM＝DN．
请仔细阅读问题情境及小明的研讨，完成下述任务．
任务：
（1）小明得出△BOM≌△DON的依据是 　 　 （填序号）．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
小明得出∠BOM＝∠DON的依据是 　 　 （填理由）．
（2）如图2，将四边形ABMN沿BC方向平移得到四边形A′B′M′N′，当点B′与点M重合时，由（1）可得点N′与点D重合，求证：四边形B′M′DN是平行四边形．
（3）①如图3，将四边形ABMN沿MN折叠，当点B与点D重合时，求BM的长．
②如图4，当点M在直线BC上运动时，若MN交CD于点P，连接BP，将三角形BCP沿BP折叠，点C的对应点为点Q，连接DQ，当△PQD为直角三角形时，直接写出线段DP的长．
例1.综合与探究
[问题情景]
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右作等边三角形APE，点E的位置随着点P位置的变化而变化．
[问题解决]
（1）如图1，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　 　 ，BC与CE的位置关系是 　 　 ；
[类比探究]
（2）如图2，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展延伸]
（3）当点P在线段BD的延长线上时，其他条件不变，连接BE．若，，请直接写出AP的长．
变式1.【问题发现】
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点P是矩形ABCD内一点，过点P作EF⊥AD，分别交AD，BC于点E，F，PE＝4，AE＝3．则：
①PC＝ 　 　 ；
②PA2+PC2与PB2+PD2的关系是 　 　 ；
【类比探究】
（2）如图2，点P是矩形ABCD外一点，过点P作EF⊥AD，分别交AD，BC于点E，F，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P是Rt△ABC外一点，PA＝2，PB＝5，PC＝3，求BC的最小值．
变式2.【问题背景】
如图1，点P是菱形ABCD内一点，∠ABC＝60°，PA＝1，PB＝2，PC，求∠APB的度数．
小明通过分析，思考，形成如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，从而求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△CP'B，连接PP'，从而求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝4，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．
变式3.【基础回顾】（1）如图1，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE'，若连接EE'，则△AEE'的形状为 　 　 ；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设EE'与AB相交于点P，在AD上取点Q，使DQ＝BP，连接QE，猜想QE与E'P的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在BC上，求AP，BP，CP之间存在的数量关系．
例1.《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究．
项目课题 从函数角度探究浮箭漏
项目研究过程 方案及图示
相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数y（cm）和供水时间x（h）近似满足一次函数的关系，当x＝2时，y＝18；当x＝4时，y＝30．
研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出0≤x≤8的函数图象． （2）求读数y与供水时间x之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了 　 　 cm．
变式1.【课题学习】
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．
2．根据电路图连结实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当l＝ 　 　 时，场地的面积S最大；
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
变式2.【课题学行线的“等角转化”
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝ 　 　 ，∠C＝ 　 　 ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　 　 ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数．
（3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由．
变式3.综合实践课上，实验中学的数学兴趣小组在用所学的数学知识来“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
实践探究活动记录
课题 测量教学楼高度
测量工具 测角仪，皮尺
设计方案
说明：办公楼的高为CD，从，点C处测得教学楼楼顶A的仰角为α，教学楼底部B的俯角为β，
测得数据 CD＝6.9m，∠α＝22°，∠β＝13°
参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23
请你依据此方案，求教学楼的高度．
变式4.某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案一 方案二
测量方案示意图
（已知PC⊥AC）
（已知PB⊥AC）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置.
测量数据 AB＝4米，∠PBC＝40°，∠PAB＝15° AC＝5.9米，∠PCB＝40°，∠PAB＝22°.
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离．（结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 问题情景类 ★★★★ 题型结构：1. 跨学科融合：结合地理、生物、物理等学科工具（如地图、图表），注重图文转换能力考查；2. 创新设问：新增方案选择、新定义问题等题型，例如一次函数实际应用、多变量方案优化等。 难度与能力要求：难度中等偏上，需综合运用数学知识解决实际情境问题；强化推理判断能力，要求分析隐含逻辑关系或多学科数据关联。 分值占比：预估占比约10%-15%，可能以综合题形式分布在应用题、阅读理解等板块，部分省市样卷已出现专项题型（如五大方案选择类题目）。 命题方向紧扣新课标“学科关联”理念，强调知识迁移与创新思维，备考需注重跨学科实践与复杂问题拆解训练。
考向2 问题探讨类 ★★★
考向3 类比探究类 ★★★★
考向4 课题实验探究类 ★★★★
知识点分布
实际应用建模：涉及代数方程（如行程、工程问题）、函数图象（如利润变化、物理运动）等应用场景；
跨学科融合：结合科学实验数据（如化学反应速率、生物种群增长）设计数学解析模型；
生活场景分析：概率统计（如垃圾分类回收率）、几何测量（如建筑结构优化）等。
解题思路
步骤1：提取题干关键数据，识别数学模型（如分段函数、二次最值）；
步骤2：通过图表/文字转换建立变量关系式；
步骤3：结合实际验证答案合理性。
知识点分布
逻辑推理：数形结合（如坐标系中几何动态问题）、命题真伪判断；
开放性问题：多条件组合下的存在性讨论（如几何图形的多种可能性）；
综合论证：代数与几何的综合证明（如三角形全等与二次函数交点结合）。
解题思路
核心策略：分情况讨论（如参数不同取值对结果的影响）；
工具运用：反证法、极端值试探法；
规范书写：需完整展示推理链条，避免逻辑跳跃。
知识点分布
几何类比：相似三角形性质推广至其他多边形；
代数规律迁移：数列、函数周期性在不同情境下的共性；
图形变换：平移、旋转、对称的复合应用。
解题思路
关键点：寻找题干与原型的关联性（如结构、变量关系相似性）；
1.观察已知条件与结论的生成逻辑；
2.将相同逻辑迁移至新问题；
3.验证迁移后的结论是否成立。
知识点分布
数据统计：抽样调查设计与误差分析；
实验设计：控制变量法的数学表达（如函数变量分离）；
结论验证：通过概率计算或几何作图验证假设。
解题思路：
1.明确实验目的与假设；
2.设计数据收集方案（如随机抽样）；
3.图表化处理数据（频数分布表、折线图）；
4.数学工具分析（方差、回归方程）；
5.结论表述与误差反思。
例1.综合与实践
【问题情景】
某移动通讯公司有A、B两种手机收费方案供用户选择．A类收费方案是不管每月通话时长如何，每部手机每月先缴纳固定的基础费用，再按实际通话时间每分钟收取一定费用；B类收费方案则是按照通话时长分段进行收费，各有不同的单价．收费细则如下表：
A B
每月基本服务费（元） 20 40
免费通话时间（min） 0 150
通话每分钟收费（元） 0.2 0.3
备注 B类收费：当通话时长小于等于150min时每月费用固定40元；当通话时长超过150min时，超出部分每分钟加收0.3元．
【问题解决】
（1）分别写出A类、B类收费方案下每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的函数关系式，并在同一坐标系中画出它们大致的函数图象．
（2）若某手机用户预计自己这个月通话时间为200min，分别计算按照A、B两种收费方案他应缴费多少元？通过比较，你建议他选择哪种收费方案更划算呢？
（3）小明也喜欢该公司的收费方案，请你结合第（1）小问的函数图象，给小明一个实惠的选择方案．
【分析】（1）A类收费方案下每月应缴费用y＝每月基本费用+0.2×通话时间；当0≤x≤150时，B类收费方案下每月应缴费用y＝40，当x＞150时，B类收费方案下每月应缴费用y＝40+0.3×超过150分钟的时间，进而根据取值范围和交点画出相关图形即可；
（2）取x＝200，代入（1）中得到的函数解析式，求得对应的y的值，比较即可；
（3）结合函数图象分别得到两种方式付费相同，A种付费方式合算，B种付费方式合算三种情况下相对应的通话时间即可．
【解答】解：（1）A类收费方案下每月应缴费用：y＝20+0.2x；
B类收费方案下每月应缴费用：
当0≤x≤150时，y＝40；
当x＞150时，
y＝40+0.3（x﹣150）＝0.3x﹣5；
（2）当x＝200时，A类收费方案下每月应缴费用：y＝20+0.2×200＝60；
B类收费方案下每月应缴费用：y＝0.3×200﹣5＝55，
∵60＞55，
∴B类收费方案更划算；
（3）由函数图象可得：当通话时间为100分和250分时，两种方式付费相同；
当通话时间小于100分或超过250分时，A类收费方式合算；
当通话时间超过100分小于250分时，B类收费方式合算．
变式1.【综合与实践】
【问题情景】六堡茶属黑茶类，选用苍梧县群体种、广西大中叶种及其分离、选育的品种、品系茶树的鲜叶为原料，按特定的工艺进行加工，具有独特品质特征的黑茶，喝过六堡茶的人都会对它的“中国红”情有独钟，六堡茶业界认为，必须以“中国红”的文化韵味和民族特色为准则，使六堡茶走上复兴之路．
【实践探究】某商店经销某种品牌六堡茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
【问题解决】解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌六堡茶获得的利润W元的最大值
【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（56，128）和（65，110）分别代入得：
，解得：．
∴y与x的关系式为y＝﹣2x+240；
（2）由题意知：W＝（x﹣50） y＝（x﹣50）（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴W与x的关系式为：W＝﹣2x2+340x﹣12000，
∴W＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＝85时，在50＜x＜90内，W的值最大为2450元．
变式2.问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
（1）下面不可能是长方体展开图的是 　④　 ．（填序号）
（2）综合实践小组利用边长为a厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中a＝30．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为 　484　 平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知AB＝3AD，求该长方体纸盒的体积；
（3）小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这
个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解；
（2）①根据长方形面积公式即可得解；
②如图，设AD＝x，AE＝y，根据题意可得BE＝3x+y＝30，BF＝2x+2y＝30，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解；
（3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为156厘米”列方程，求解即可．
【解答】解：（1）根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，
故答案为：④；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（30﹣4×2）×（30﹣4×2）＝484（平方厘米），
故答案为：484；
②如图，设AD＝x，AE＝y，
∵能折成一个无盖长方体纸盒，且AB＝3AD，
∴AB＝3AD＝3x，
∴BE＝3x+y＝30，BF＝2x+2y＝30，
即，
解得：，
∴（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
（3）设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
①如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴8m+4（30﹣2m）＝156，
该方程无解；
②如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴6m+6（30﹣2m）＝156，
解得：m＝4，
③如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8（30﹣2m）＝156，
解得：m＝7，
④如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8（30﹣2m）＝156，
解得：m＝7，
⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴2m+10（30﹣2m）＝156，
解得：m＝8，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米或7厘米或8厘米．
变式3.综合与实践
【问题情景】
农民王大爷，通过农村土地流转承包了520亩农田种植小麦，今年又是一个丰收年，王大爷看着即将收割的小麦，心里很高兴，可是如何租赁小麦收割机，王大爷犯了难，请你帮助王大爷设计一套租赁方案．
【调研发现】
市场上有大小两种小麦收割机可供租赁，一台大型收割机的租赁费用是每天2500元，一台小型收割机的租赁费用是每天1500元，不足一天按一天计算，一天工作10小时；一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩．
【分析问题】
（1）两种收割机每小时分别可以收割多少亩小麦？
【解决问题】
（2）由于道路的原因，有220亩小麦只能用小型收割机收割，王大爷要求一天把小麦全部收割完，并
且租来的收割机都工作满10个小时，现计划租用大型收割机m台，小型收割机n台，请你帮王大爷设计一下有哪几种租赁方案？
（3）为了节省租赁费用，在（2）的条件下，请直接写出最佳方案．
【分析】（1）设大型收割机每小时可收割小麦x亩，小型收割机每小时可收割小麦y，根据一台大型收割机的工作效率是一台小型收割机工作效率的两倍，2台大型收割机和3台小型收割机2个小时可收割小麦56亩．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租赁大型收割机m台，租赁小型收割机n台，列出二元一次方程，解方程即可；
（3）由（2）得每减少租赁大型收割机台，租赁小型收割机增加2台，其费用增加500元，得出方案①费用最小，再计算即可．
【解答】解：（1）设大型收割机每小时可收割小麦x亩，小型收割机每小时可收割小麦y亩，
由题意得：，
解得：，
答：大型收割机每小时可收割小麦8亩，小型收割机每小时可收割小麦4亩；
（2）由题意得：10（8m+4n）＝520，
整理得：m，
又∵10×4n≥220，
∴n≥5.5，
由题意可知：m、n为自然数，可知 （13﹣n） 是偶数，则n为奇数，
∴或或或，
∴有4种租赁方案：
①租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台；
②租赁大型收割机2台，租赁小型收割机9台；
③租赁大型收割机1台，租赁小型收割机11台；
④租赁大型收割机0台，租赁小型收割机13台；
（3）由4种租赁方案得：每减少租赁大型收割机台，租赁小型收割机增加2台，其费用增加：2×1500﹣2500＝500（元），
∴租赁大型收割机最多时，费用最小，即方案①费用最小，其费用为：3×2500+7×1500＝18000（元），
最佳租赁方案是：租赁大型收割机3台，租赁小型收割机7台，总费用是18000元．
例2.综合与探究
问题情境：在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点B′落在正方形ABCD内．
（1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．猜想线段BF与CE的数量关系并说明理由．
（2）如图2．当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，D′H交B′C于点N．判断四边形B′MD′N的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出B′M的长．
【分析】（1）设BF和CE相交于点O，证明△BCE≌△ABF（ASA），即可得到BF＝CE；
（2）证明∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°，即可证明四边形B′MD′N是矩形；
（3）连接BB′交AD于点G，求出AE＝EB＝2，证明△ABG≌△BCE≌△DAH，得到AH＝BG，AG＝BE＝DH＝2，由等积法求出由sin∠B′AM＝sin∠DAH，tan∠B′AM＝tan∠DAH，于是得到结论．
【解答】解：（1）BF＝CE，
理由：如图，设BF和CE相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABF+∠OBC＝90°，
由折叠可知，CE垂直平分BB′，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠ABF，
在△BCE和△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BF＝CE；
（2）四边形B′MD′N是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠B＝90°，
∴∠EAB′＝∠AHD，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝EB，
由折叠的性质可知：BE＝EB′，∠CB′E＝∠B＝90°，
∴AE＝EB′，
∴∠B′AE＝∠EB′A，
由折叠的性质可知：∠AHD′＝∠AHD，∠AD′H＝∠ADH＝90°，
∴∠EB′A＝∠AHD′，
∴EB′∥D′H，
∴∠B′MD′+∠AD′H＝180°，
∴∠B′MD′＝90°，
∴∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°，
∴四边形B′MD′N是矩形；
（3）解：连接BB′交AD于点G，如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝4，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝EB＝2，
由（2）得，AE＝EB＝B′E＝2，∠B′MD′＝∠AMB′＝90°，
∴∠EAB′＝∠EB′A，∠EBB′＝∠EB′B，
∵∠B′AB+∠AB′B+∠B′BA＝180°，
∴∠AB′B＝90°，
由折叠可知：BB′⊥CE，
∴∠ABG+∠CBG＝∠BCE+∠CBG＝90°，
∴∠ABG＝∠BCE，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
同理可证，△ABG≌△DAH（ASA），
∴△ABG≌△BCE≌△DAH，
∴AH＝BG，AG＝BE＝DH＝2，
∵BG2，
∴AH＝BG＝2，
∵S△ABGAB AGAB′ BG，
∴AB′，
由折叠可知：∠B′AM＝∠DAH，AD′＝AD＝4，
∴sin∠B′AM＝sin∠DAH，tan∠B′AM＝tan∠DAH，
∴，，
∴，，
解得B′M．
变式1.综合与实践
问题情景：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，直角三角板EDF中，∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠C＝∠1时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，请直接写出线段AN的长为　　 ．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD∥AC，可证∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；
（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
（3）延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT，证明△BDM≌△CDT（SAS），再证明∠NCT＝90°得到MN＝NT，然后结合勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）四边形AMDN是矩形；理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，如图2，过点N作NG⊥CD于G，
由勾股定理得：，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）AN；理由如下：
如图3，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT，
在△BDM和△CDT中，
，
∴△BDM≌△CDT（SAS），
∴BM＝CT，∠B＝∠DCG，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCT+∠ACB＝90°，
即∠NCT＝90°，
∵MD＝DG，∠MDN＝90°，
∴MN＝NT，
设AM＝AN＝a，则BM＝CT＝6﹣a，NC＝8﹣a，
∵∠A＝90°，
∴，
在Rt△NCT中，CT2+NC2＝NT2，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
变式2.【综合与实践】
【问题情景】如图，点O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，使得∠AOC：∠BOC＝3：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
【独立思考】（1）在图1中，∠AOC＝ 　135　 °，∠BOC＝ 　45　 °；
【实践探究】（2）将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得OM在∠BOC的角平分线上，求∠BON的度数；
【拓展探究】（3）将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝3：1得∠AOC＝3∠BOC，再根据∠AOC+∠BOC＝180°即可得出∠AOC和∠BOC的度数；
（2）根据∠BOC＝45°，OM在∠BOC的角平分线上，得∠BOM∠BOC＝22.5°，再根据∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM即可得出答案；
（3）设∠COM＝α，根据∠BOC＝45°得∠BOM＝45°﹣α，再根据∠MON＝90°得∠BON＝45°+α，由此可得∠BON﹣∠COM的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝3：1，
∴∠AOC＝3∠BOC，
∵点O为直线AB上的一点，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴3∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝3∠BOC135°，
故答案为：135；45；
（2）由（1）可知：∠BOC＝45°，
∵OM在∠BOC的角平分线上，
∴∠BOM∠BOC＝22.5°，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣22.5°＝67.5°；
（3）设∠COM＝α，
由（1）可知：∠BOC＝45°，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝45°﹣α，
∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α，
∴∠BON﹣∠COM＝45°+α﹣α＝45°．
变式3.归纳是从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的发现数学结论、解决数学问题的策略．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究．
【问题情景】
在正方形内部取一定数量的点，连同正方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证连线不再相交产生新的点，直到正方形内所有区域都变成三角形（不计被分割的三角形）
【问题提出】
（1）如图①，在正方形ABCD内部任取一点E，分别连接该点与正方形的四个顶点，则正方形内出现 　4　 个三角形；
【问题探究】
（2）在（1）的基础上，增加正方形内点的个数．当正方形内有2个点时，在图②中作出相关图形，并回答此时所构成的三角形个数；
【总结归纳】
（3）当正方形内部的点数为n时，请用含n的代数式表示分割成的三角形个数，并给出合理的解释．
【分析】（1）利用图判断即可；
（2）画出图形，判断即可；
（3）求出正方形内部有1个点，2个点，3个点，4个点时三角形的个数，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：（1）如图①中，正方形内出现4个三角形．
故答案为：4；
（2）当正方形内有2个点时，图形如图所示，此时正方形内三角形的个数为6个；
（3）列表如下；
正方形ABCD内点的个数 1 2 3 4 …
分割成的三角形的个数 4 6 8 10 …
4＝2（1+1），6＝2（2+1），8＝2（3+1），10＝2（4+1），…，
当正方形ABCD内点的个数为n时，三角形的个数为：2（n+1）．
例1.学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线a∥b，点A，B分别是a，b上的点，APB是a，b之间的一条折线，且∠APB＜90°．
（1）【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得∠1＝30°，∠P＝76°后，直接就得出∠2＝　46　 °；小组成员在探讨交流后，发现∠P，∠1，∠2之间满足数量关系　∠APB＝∠1+∠2　 ；（此关系在下面可直接使用，不需证明）
（2）【问题探究】小组成员小芳在直线a，b之间、折线APB的左侧取一点Q，并画出∠Q，使∠Q的一边与PA平行，另一边与PB平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若∠Q的一边与PA垂直，另一边与PB平行，请直接写出∠Q，∠1，∠2之间满足的数量关系．
【分析】（1）根据题意，过点P作PQ∥a，利用平行线的性质，可得到∠APB＝∠1+∠2，从而求得∠2的度数；
（2）分情况讨论，根据题意，结合图形，可得到结果；
（3）根据题意，画出图形，结合平行线的性质和垂直的定义，可得到结果．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PQ∥a，
∴∠1＝∠APQ，
∵a∥b，
∴PQ∥b，
∴∠2＝∠BPQ，
∴∠1+∠2＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，
即∠APB＝∠1+∠2，
∵∠1＝30°，∠APB＝76°，
∴∠2＝∠APB﹣∠1＝46°，
故答案为：46，∠P＝∠1+∠2；
（2）分两种情况：
如图②，∠Q＝∠1+∠2，理由如下：
∵QM∥PB，QN∥PA，
∴∠Q+∠QNP＝180°，∠P+∠QNP＝180°，
∴∠P＝∠Q，
∵由（1）知，∠P＝∠1+∠2，
∴∠Q＝∠1+∠2；
如图③，∠Q＝180°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
延长EQ交AP于点M，
由上可知，∠MQN＝∠1+∠2，
∵∠EQN＝180°﹣∠MQN，
∴∠EQN＝180°﹣∠1﹣∠2，
综上所述，∠Q＝∠1+∠2或∠EQN＝180°﹣∠1﹣∠2；
（3）分两种情况，
如图4，∠Q＝90°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
∵QM⊥PA，QN∥PB，
∴∠QNM＝∠P，
∵∠P＝∠1+∠2，
∴∠QNM＝∠1+∠2，
∵在Rt△QNM中，∠Q＝90°﹣∠QNM，
∴∠Q＝90°﹣∠1﹣∠2；
如图5，∠Q＝90°+∠1+∠2，理由如下：
∵QM⊥PA，QC∥PB，
延长CQ交PA于点N，
∴∠MQN＝90°﹣∠1﹣∠2，
∴∠MQC＝180°﹣∠MQN＝90°+∠1+∠2，
综上所述，∠Q＝90°﹣∠1﹣∠2或∠MQC＝90°+∠1+∠2．
变式1.【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°．
∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC；
（2）如图③，AB∥CD，点P在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是 　∠APC+3∠AEC＝360°　 （只写结论）
【分析】（1）过点P作PQ∥AB．由平行线的性质可得∠BAP＝∠APQ，∠PCD＝∠CPQ，进而可得∠BAP+∠PCD＝∠APQ+∠CPQ＝∠APC；
（2）由题意可设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y，则∠BAP＝2x，∠PCD＝2y，由（1）可知：∠BAP+∠PCD＝∠APC，同理可得∠EAB+∠ECD＝∠AEC，可得∠AEC＝x+y，∠APC＝2x+2y，证得∠APC＝2∠AEC；
（3）由（2）可知∠EAB+∠ECD＝∠AEC，由，，可得∠BAP+∠DCP＝3∠AEC，由题意可知∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°，进而可得∠APC+3∠AEC＝360°．
【解答】（1）证明：过点P作PQ∥AB．
∵PQ∥AB，
∴∠BAP＝∠APQ；
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD＝∠CPQ，
∴∠BAP+∠PCD＝∠APQ+∠CPQ＝∠APC；
（2）结论：∠APC＝2∠AEC．
理由：如图中，∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴，．
设∠EAB＝∠EAP＝x，∠ECD＝∠ECP＝y，
则∠BAP＝2x，∠PCD＝2y，
由（1）可知：∠BAP+∠PCD＝∠APC，
同理可得：∠EAB+∠ECD＝∠AEC，
∠AEC＝x+y，∠APC＝2x+2y，
∴∠APC＝2∠AEC；
（3）∠APC+3∠AEC＝360°．
理由如下：由（2）可知∠EAB+∠ECD＝∠AEC，
∵，，
∴，
即：∠BAP+∠DCP＝3∠AEC，
由题意可知：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°，
∴∠APC+3∠AEC＝360°；
故答案为：∠APC+3∠AEC＝360°．
变式2.中考前，复习完《四边形》后，刘老师给出一个问题情境让同学们探讨：
问题情境：如图1，矩形ABCD中，，BC＝2，点O为对角线AC和BD的交点，点M为BC上一个动点，连接MO并延长交AD于点N．
小明：我可以得出BM＝ND．
理由：∵AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODN．
又∵BO＝DO，∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON，∴BM＝DN．
请仔细阅读问题情境及小明的研讨，完成下述任务．
任务：
（1）小明得出△BOM≌△DON的依据是 　④　 （填序号）．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
小明得出∠BOM＝∠DON的依据是 　对顶角相等　 （填理由）．
（2）如图2，将四边形ABMN沿BC方向平移得到四边形A′B′M′N′，当点B′与点M重合时，由（1）可得点N′与点D重合，求证：四边形B′M′DN是平行四边形．
（3）①如图3，将四边形ABMN沿MN折叠，当点B与点D重合时，求BM的长．
②如图4，当点M在直线BC上运动时，若MN交CD于点P，连接BP，将三角形BCP沿BP折叠，点C的对应点为点Q，连接DQ，当△PQD为直角三角形时，直接写出线段DP的长．
【分析】（1）由证明过程可知，小明得出△BOM≌△DON的依据是ASA，其中小明得出∠BOM＝∠DON的依据是对顶角相等；
（2）由平移的性质可得B′M′＝DN，B′M′∥DN，得出四边形B′M′DN是平行四边形；
（3）①由勾股定理得DM2＝CM2+CD2，解得：x，；②分当点M在BC延长线上时、当点M在CB延长线上时和点M在BC上，三种情况分类讨论即可．
【解答】（1）解：由证明过程可知，小明得出△BOM≌△DON的依据是ASA，其中小明得出∠BOM＝∠DON的依据是对顶角相等，
故答案为：④；对顶角相等；
（2）证明：由平移的性质可得B′M′＝DN，
又∵B′M′∥DN，
∴四边形B′M′DN是平行四边形；
（3）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴，∠C＝90°，
由折叠的性质可得BM＝DM，
设BM＝DM＝x，则CM＝2﹣x，
在Rt△CDM中，由勾股定理得DM2＝CM2+CD2，
∴，
解得：x，
∴；
②如图所示，当点M在BC延长线上时，
由折叠的性质可得，∠QPB＝∠CPB，∠BQP＝∠BCP＝90°，BQ＝BC＝2，
∴点Q不可能落在AD上，即∠PQD≠90°，
∵BC＞CP，
∴∠QPB＝∠CPB＞∠CBP＞45°，
∴∠QPD＜90°，
∴当△PQD为直角三角形时，只存在∠PQD＝90°这种情况，
∴∠PQD+∠PQB＝180°，
∴B、Q、D三点共线，
在Rt△DBC中，由勾股定理得，
∴，
在Rt△DBC中，，
∴在Rt△PDQ中，，
∴；
如图所示，当点M在CB延长线上时，
由折叠的性质可得，
∴∠QDP＞∠DQP，
∴∠DQP＜90°，同理可得∠DPQ＜90°，
∴当△PQD为直角三角形时，只存在∠QDP＝90°这种情况，
∴此时点Q落在AD上，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得，
∴DQ＝1，
设DP＝m，则，
在Rt△PDQ中，由勾股定理得QP2＝DQ2+DP2，
∴，
解得，
∴；
如图所示，点M在BC上时，当∠DPQ＝90°时，点P在射线CD上，
∴∠CPQ＝∠DPQ＝90°，
∴QP⊥CD，
∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴QP∥BC，
∵将矩形ABCD沿BP折叠，点C的对应点为Q，
∴△BPC与△BPQ关于BP对称，
∴△BPC≌△BPQ，
∴∠BCP＝∠BQP，PC＝PQ，
在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
∴∠BCP＝∠BCD＝90°，
∴∠BQP＝90°，
∴四边形BCPQ为矩形，
∵△BPC≌△BPQ，
∴PC＝PQ，
∴四边形BCPQ为正方形，
∴PC＝BC，
∵BC＝2，
∴PC＝2，
∵在矩形ABCD中，AB＝DC，，
∴，
∴DP＝PC﹣DC；
综上所述，或或．
例1.综合与探究
[问题情景]
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右作等边三角形APE，点E的位置随着点P位置的变化而变化．
[问题解决]
（1）如图1，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 　BP＝CE　 ，BC与CE的位置关系是 　BC⊥CE　 ；
[类比探究]
（2）如图2，当点P在线段BD上，点E在菱形ABCD的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
[拓展延伸]
（3）当点P在线段BD的延长线上时，其他条件不变，连接BE．若，，请直接写出AP的长．
【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即得出结论；
（3）（3）连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，由（2）可得∠BCE＝90°，根据勾股定理CE＝8，求得BP＝8，根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，
∵BC∥AD，
∴CH⊥BC，
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如图2，连接AC，AC与BD交于点O，
∴△ABC，△ACD为等边三角形，
在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，
又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，
∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
设CE与AD交于点H，
在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝30°+60°＝90°．
∴∠AHC＝90°，
即CE⊥AD，
∵BC∥AD，
∴CE⊥BC；
（3）如图，连接AC，CE，设AD与CE交于点M，AC与BD交于点O，
由（2）可得BP＝CE，CE⊥AD，∠ACE＝∠ABP＝30°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴CE8，
∴BP＝8，
∵△ADC为等边三角形，
∴CM3，
∴EM＝CE﹣CM＝5，
∴AE2，
∵△AEP为等边三角形，
∴AP＝AE＝2．
变式1.【问题发现】
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，点P是矩形ABCD内一点，过点P作EF⊥AD，分别交AD，BC于点E，F，PE＝4，AE＝3．则：
①PC＝ 　　 ；
②PA2+PC2与PB2+PD2的关系是 　PA2+PC2＝PB2+PD2　 ；
【类比探究】
（2）如图2，点P是矩形ABCD外一点，过点P作EF⊥AD，分别交AD，BC于点E，F，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P是Rt△ABC外一点，PA＝2，PB＝5，PC＝3，求BC的最小值．
【分析】（1）①由矩形的性质得AD＝BC＝12，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，则EF⊥AD得∠AEF＝∠DEF＝90°，则四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形，所以EF＝AB＝9，BF＝AE＝3，∠AEF＝∠DEF＝90°，则CF＝DE＝AD﹣AE＝9，因为PE＝4，PF＝EF﹣PE＝5，即可根据勾股定理求得，PC，于是得到问题的答案；
②根据勾股定理求得PA＝5，PD，PB，由PA2+PC2＝52+（）2＝131，PB2+PD2＝（）2+（）2＝131，得PA2+PC2＝PB2+PD2，于是得到问题的答案；
（2）仿照（1）进行求解；
（3）作PM⊥CA交CA的延长线于点M，则∠PMC＝90°，所以PC2＝PM2+CM2，PA2＝PM2+AM2，作BN⊥PM交PM的延长线于点N，作CT⊥NB交NB的延长线于点T，连接AT、PT，可证明四边形ABNM和四边形CTNM都是矩形，则TN＝CM，BN＝AM，所以PT2＝PN2+CM2，PB2＝PN2+AM2，则PT2﹣PC2＝PB2﹣PA2＝PN2﹣PM2，求得PT，则TA+2，所以BC2，求得BC的最小值为2，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB＝9，BC＝12，
∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵过点P作EF⊥AD，分别交AD，BC于点E，F，
∴∠AEF＝∠DEF＝90°，
∴四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形，
∴EF＝AB＝9，BF＝AE＝3，∠PFC＝90°，
∴CF＝DE＝AD﹣AE＝12﹣3＝9，
∵PE＝4，
∵PF＝EF﹣PE＝9﹣4＝5，
∴PC，
故答案为：；
②∵四边形ABFE和四边形DCFE都是矩形，
∴∠AEP＝∠DEP＝∠BFP＝90°，
∴PA5，PD，PB，
∴PA2+PC2＝52+（）2＝131，PB2+PD2＝（）2+（）2＝131，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
故答案为：PA2+PC2＝PB2+PD2；
（2）成立．
理由：如图②：设AE＝a，DE＝b，DH＝c，CH＝d，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠CAB＝90°，
∵EF⊥AD．GH⊥AB，
∴四边形AEPG，四边形BFPG，四边形CFPH，四边形DEPH都是矩形，
∴PG＝AE＝a，PH＝DE＝b，PE＝DH＝c，PF＝CH＝d，
由勾股定理得：PA2＝a2+c2，PC2＝b2+d2，PB2＝a2+d2，PD2＝b2+c2，
∴PA2+PC2＝a2+c2+b2+d2，PB2+PD2＝a2+c2+b2+d2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2；
（3）如图3，作PM⊥CA交CA的延长线于点M，则∠PMC＝90°，
∴PC2＝PM2+CM2，PA2＝PM2+AM2，
作BN⊥PM交PM的延长线于点N，作CT⊥NB交NB的延长线于点T，连接AT、PT，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAM＝90°，
∵∠AMN＝∠N＝∠CTN＝90°，
∴四边形ABNM和四边形CTNM都是矩形，
∴TN＝CM，BN＝AM，
∴PT2＝PN2+TN2＝PN2+CM2，PB2＝PN2+BN2＝PN2+AM2，
∴PT2﹣PC2＝PN2﹣PM2，PB2﹣PA2＝PN2﹣PM2，
∴PT2﹣PC2＝PB2﹣PA2，
∵PA＝2，PB＝5，PC＝3，
∴PT，
∵TA+PA≥PT，
∴TA+2，
∴TA2，
∵AB∥MN，
∴∠ABT＝∠N＝90°，
∴四边形ABTC是矩形，
∴TA＝BC，
∴BC2，
∴BC的最小值为2．
变式2.【问题背景】
如图1，点P是菱形ABCD内一点，∠ABC＝60°，PA＝1，PB＝2，PC，求∠APB的度数．
小明通过分析，思考，形成如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，从而求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△CP'B，连接PP'，从而求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝4，PB＝1，PC＝3，求∠APB的度数．
【分析】【问题背景】
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠BPP'＝60°，∠APP'＝90°，则可得出答案；
【类比探究】
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，由旋转的性质及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】【问题背景】
解：思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP'A，连接PP'，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝60°，BP'＝BP＝2，AP'＝CP，
∴△BPP'是等边三角形，
∴∠BPP'＝60°，
∵AP＝1，
∴AP2+PP'2＝1+4＝5，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+60°＝150°．
【类比探究】
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'＝90°，BP'＝BP＝1，AP'＝CP＝3，
在Rt△PBP'中，BP＝BP'＝1，
∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP'BP，
∵AP＝4，
∴AP2+PP'2＝16+2＝18，
∵AP'2＝（3）2＝18，
∴AP2+PP'2＝AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，
∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．
变式3.【基础回顾】（1）如图1，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE'，若连接EE'，则△AEE'的形状为 　等腰直角三角形　 ；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设EE'与AB相交于点P，在AD上取点Q，使DQ＝BP，连接QE，猜想QE与E'P的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在BC上，求AP，BP，CP之间存在的数量关系．
【分析】【基础回顾】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°，由旋转的性质得出∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA，则可得出结论；
【类比探究】（2）证明△DQE≌△BE'P（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
【联想拓展】（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，由旋转的性质得出∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD，证出∠BCD＝90°，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：【基础回顾】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠D＝90°，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′＝∠DAB＝90°，E′A＝EA，
∴△AEE′为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
【类比探究】（2）QE＝E'P．
证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，
∴∠D＝∠ABE'，DE＝BE'，
∵DQ＝BP，
∴△DQE≌△BE'P（SAS），
∴QE＝EP'．
【联想拓展】（3）PC2+BP2＝2AP2．
将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，
由旋转的性质可知∠ABP＝∠ACD＝45°，BP＝CD，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴PC2+CD2＝PD2，
∴PC2+CD2＝PD2，
∵AP2+AD2＝PD2＝2AP2，
∴PC2+BP2＝2AP2．
例1.《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并从函数角度进行了如下实验探究．
项目课题 从函数角度探究浮箭漏
项目研究过程 方案及图示
相关数据及说明 记录实验数据，得知箭尺读数y（cm）和供水时间x（h）近似满足一次函数的关系，当x＝2时，y＝18；当x＝4时，y＝30．
研究任务 （1）在上述平面直角坐标系中，画出0≤x≤8的函数图象． （2）求读数y与供水时间x之间的函数关系式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么到下午15：00时，箭尺读数增加了 　36　 cm．
【分析】（1）先描点，再根据一次函数的图象是直线画图即可；
（2）设函数为y＝kx+b，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）先分析得到x＝5，再计算函数值，从而可得答案；
【解答】解：（1）如图，描点（2，18），（4，30），画线段如下：
（2）设函数为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴函数为：y＝6x+6（0≤x≤8）；
（3）上午9：00，到下午15：00时，此时x＝6，
当x＝6时，y＝42；
∴42﹣6＝36；
∴箭尺读数增加了36cm；
变式1.【课题学习】
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．
2．根据电路图连结实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当l＝ 　15　 时，场地的面积S最大；
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为30﹣l，则有S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，结合二次函数的性质即可获得答案；
（2）设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，所以y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；
（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，总电流为I，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，结合二次函数的性质即可获得答案．
【解答】解：（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为60÷2﹣l＝30﹣l，
所以，S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，
所以，当l＝15，场地的面积S最大，最大为225平方米；
故答案为：15；
（2）50×51和51×50的积最大，理由如下：
设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，
则y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），
对称轴为，因为x是正整数，且1≤x≤100，
所以x取50或51时，y最大为2550；
（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，
则，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，
∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5，
∴当x＝3时，W取最大值为25，
此时I取最小值为，两支路电阻分别为2+3＝5Ω和8﹣3＝5Ω，两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
变式2.【课题学行线的“等角转化”
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝ 　∠EAB　 ，∠C＝ 　∠DAC　 ，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°．
∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　180°　 ．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数．
（3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答；
（2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠FEC＝∠C，
∵∠BEC＝80°，
∴∠BEF+∠FEC＝80°，
∴∠B﹣∠C＝100°；
（3）∠BPD＝∠B﹣∠D，
理由：过点P作PE∥CD，
∴∠D＝∠DPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE，
∴∠B＝∠BPE，
∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D．
变式3.综合实践课上，实验中学的数学兴趣小组在用所学的数学知识来“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
实践探究活动记录
课题 测量教学楼高度
测量工具 测角仪，皮尺
设计方案
说明：办公楼的高为CD，从，点C处测得教学楼楼顶A的仰角为α，教学楼底部B的俯角为β，
测得数据 CD＝6.9m，∠α＝22°，∠β＝13°
参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23
请你依据此方案，求教学楼的高度．
【分析】根据题意得四边形BDCG是矩形，则可得CG＝BD，CD＝BG＝6.9m，分别在Rt△BCG与Rt△ACG中，利用三角函数的知识，求得AG的长，进而可得AB．
【解答】解：根据题意，得四边形BDCG是矩形，
∴CG＝BD，CD＝BG＝6.9m．
在Rt△BCG中，∠BCG＝13°，
∴BG＝CG tan13°，
∴6.9≈CG×0.23，
∴CG≈30（m）．
在Rt△ACG中，∠ACG＝22°，
∴AG＝CG tan22°≈30×0.40＝12（m），
∴AB＝AG+BG＝12+6.9＝18.9（m）．
答：教学楼的高度约为18.9m．
变式4.某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课题 探究物理实验装置中的几何测量问题
成员 组长：×××组员：×××，×××，×××
实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等
方案一 方案二
测量方案示意图
（已知PC⊥AC）
（已知PB⊥AC）
说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置.
测量数据 AB＝4米，∠PBC＝40°，∠PAB＝15° AC＝5.9米，∠PCB＝40°，∠PAB＝22°.
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离．（结果精确到0.1米，参考数据tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
【分析】先设BC＝x（米），则AC＝（x+4）米，在Rt△PAC和Rt△PBC中，分别将PC表示出来，即0.27（x+4）＝0.84x，求解计算即可．
【解答】解：选择方案一：设BC＝x（米），则AC＝（x+4）米，
在Rt△PAC中，PC＝AC tan15°≈0.27（x+4），
在Rt△PBC中，PC＝BC tan40°≈0.84x，
∴0.27（x+4）＝0.84x，
解得：x，
∴PC0.84≈1.6（米），
答：摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离约为1.6米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑