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2025中考专题突破训练（一）
类型一：圆中几何计算
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，Q是上一动点，P是弦AQ的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）
A．π B．2π C．π D．3π
答案：B．解：连接OP，OA，∵AP＝PQ，∴OP⊥AQ，∴点P在以OA为直径的圆上运动，∴点P所经过的路径长为＝2π．故选B．
2．如图，⊙O的半径为2，PO＝5，A是⊙O上的一点，连接PA，若PA的垂直平分线与⊙O相切，则PA的长是（ ）
A． B． C． D．5
答案：C．提示：连接OA，OC（C为切点），作OH⊥AP于点H．设AH＝x，则OH2＝OA2－AH2＝4－x2，由题意知∠OHD＝∠OCD＝∠CDH＝90°，∴四边形HOCD为矩形，∴HD＝OC＝2，直线l垂直平分PA，∴PD＝HD＋AH＝2＋x，∴PH＝4＋x，由OP2＝OH2＋PH2，得4－x2＋(4＋x)2＝52，解得x＝，PA＝2PD＝．故选C．
3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB，则∠BAC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D．解：易求⊙O的半径为5，过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OC＝OB，OB＝5，∴BC＝OB＝7.5，∵OD⊥AB，∴OD∥CE，∴＝，∴＝，
∴BE＝6，∴AE＝AB－BE＝8－6＝2，在Rt△BCE中，CE＝＝＝4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC＝＝＝．
类型二：创新型问题
1．函数y＝（a是常数）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
答案：A．提示：当a＝0时，y＝＝是反比例函数，此时图象与D选项对应；
当a＞0时，x可以取全体实数，此时图象与B选项对应；
当a＜0时，如a＝－4，则x≠±2，此时图象与C选项对应；
∵A选项中的x≠0，∴当x＝0时，x2＋a＝0，得a＝0，此时图象与D选项对应．故选A．
2．背景材料：光的反射定律：反射角等于入射角．知识运用；如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中A（4，2），B（4，6），从点C（－1，0）发射光线y＝mx＋n（m≠0，x≥－1），经过镜面反射后，反射光线与y轴交于点E，则点E的纵坐标是整数的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：C．提示：取点C（－1，0）关于直线AB的对称点C′（9，0），
则直线AC′的解析式为y＝－x＋，∴光线经A点反射后与y轴的交点为（0，），
直线BC′的解析式为y＝－x＋，∴光线经B点反射后与y轴的交点为（0，），故≤yE≤，
∴yE的整数值为4，5，6，7，8，9，10共7个．
3．对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN．例如，如图，点M（－2，－3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．已知点E（－1，m），F（2，m＋2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．若dGH＝3，则m的值为（ ）
A．1或7 B．5或－1 C．7或－1 D．1或5
答案：D．提示：∵E(－1，m)，F(2，m＋2)，
∴E，F关于直线y＝2的对称点G(－1，4－m)，H(2，2－m)，
当|4－m|≥|2－m|时，∵dGH＝3，∴|4－m|＝3，∴m＝1或7（舍去）；
当|4－m|<|2－m|时，∵dGH＝3，∴|2－m|＝3，∴m＝5或－1（舍去）．
综上，m＝1或5．故选D．
类型三：几何计算
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别是BD，CD上的动点，BE＝DF，连接AE，AF．当AE＋AF最小时，DF的长为_________．
答案：．提示：作∠CDM＝∠ABD，使DM＝AB，连接MF，
过点M作MN⊥AD，交AD的延长线于点N．∵DF＝BE，∴△DFM≌△BEA，
∴AE＝MF，当点A，F，M共线时，AE＋AF最小．
∵MN＝，DN＝，∴AN＝．∵＝＝4×＝，∴DF＝．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE．当点E落在△ABC的边上时，AE的长为____________．
答案：或5－2．提示：连接BE，可证得△ABD∽△CBE，∴＝＝，∴CE＝2，
∴点E在以点C为圆心，2为半径的圆上，当点E在AC上时，AE＝5－2；
当点E在BC上时，作EH⊥AC于点H，则CH＝EH＝2，AH＝AC－CH＝3，
此时AE＝＝．∴AE的长为或5－2．
3．如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH＝3时，△FGI的周长是____________．
答案：6．提示：连接BH，作FM⊥BC于点M，可证得△FME≌△BCH，∴EM＝CH＝3，
设BE＝x，则CE＝9－x，EH＝x，由CH2＋CE2＝EH2，得32＋(9－x)2＝x2，
解得x＝5，∴FG＝AF＝BM＝BE－EM＝2，可证得△FGI∽△ECH，
∴＝＝，∴C△FGI＝C△ECH＝(3＋4＋5)＝6．
类型四：二次函数多结论判断
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）的顶点在第四象限，且a－b＋c＝0．下列四个结论：
①b＜0；
②a－b－c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个大于1的根；
④若＜－3，则当x＜1时，y随x的增大而减小．
其中结论正确的是__________．（填序号）
答案：①③④．解：抛物线的顶点在第四象限，且a－b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＜0，∴①正确；∵a－b－c＝－2c＞0，∴②错误；由对称性得，当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，∴抛物线与x轴的另一交点在点（1，0）的右侧，∴③正确；∵－＜－3，∴抛物线与x轴的另一交点在点（3，0）的右侧，∴抛物线的对称轴在x＝1的右侧，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，∴④正确．综上所述，正确结论的序号是①③④．
2．已知二次函数y＝ax2－2ax＋3，下列四个结论：
①无论a为何值，该函数图象过点（0，3）；
②对任意实数m，都有x1＝1＋m与x2＝1－m对应的函数值相等；
③若抛物线与x轴交于不同的两点A，B，且AB≤2，则a＜0或a＞3；
④若2≤x≤3，对应的y的整数值有4个，则1≤a＜或－＜a≤－1．
其中结论正确的是__________．（填序号）
答案：①②④．解：①当x＝0时，y＝3，函数图象过定点（0，3），①正确；②因为图象的对称轴为x＝1，＝1，所以它们对应的函数值相等，②正确；③函数图象过（0，3），（2，3），由图象可知，只有当函数图象开口向上，即a＞0，才能使AB≤2．因为Δ＝4a2－12a＞0，解得a＞3或a＜0，所以a＞3，③错误；④当a＞0，2≤x≤3时，y随x的增大而增大，得到3≤y≤3a＋3，因为对应的y的整数值有4个，为3，4，5，6，故6≤3a＋3＜7，解得1≤a＜；当a＜0，2≤x≤3时，y随x的增大而减小，得3a＋3≤y≤3，因为对应的y的整数值有4个，为3，2，1，0，故－1＜3a＋3≤0，解得－＜a≤－1，④正确．
综上所述，正确的是①②④．
3．已知二次函数y＝a(x＋1)(x－m)（a≠0，1＜m＜2），当x＜－1时，y随x的增大而增大．下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则－1＜a＜0；
③若（－2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（，y1），（＋n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
其中结论正确的是_____________．（填序号）
答案：①③④．解：①∵二次函数y＝a(x＋1)(x－m)，∴当y＝0时，x1＝－1，x2＝m，x1＜x2，∵当x＜－1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故①正确；②若图象经过点（0，1），则1＝a(0＋1)(0－m)，得1＝－am，∵a＜0，1＜m＜2，∴－1＜a＜－，故②错误；③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，∴0＜＜，∴点（2024，y2）离对称轴近些，又∵开口向下，∴y1＜y2，故③正确；④若图象上两点（，y1），（＋n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，∴0＜≤，解得1＜m≤，故④正确．
类型五：圆中的证明与计算
1．如图，在△ABC中，CA＝CB，BD⊥AC于点D，⊙O经过点A，B，且与AC相切．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，CD＝3，求⊙O的半径．
解：（1）连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OBC＝∠OAC，∵AC切⊙O于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BD于点M，∵BD⊥AC，OA⊥AC，∴四边形OADM为矩形，∴AD＝OM，OA＝DM，∠OMB＝90°，在Rt△BCD中，∵AD＝2，CD＝3，∴AC＝BC＝5，∴BD＝＝＝4，在Rt△OBM中，设OB＝x，则BM＝4－x，∵OB2＝BM2＋OM2，∴x2＝(4－x)2＋4，∴x＝，∴⊙O的半径为．
2．如图，AD为⊙O的弦，B，C为的三等分点，作⊙O的直径BE交AD于点F，CE交AD于点G，连接AE．
（1）求证：FG＝DG；
（2）若BF＝4，AE＝4，求⊙O的直径．
解：（1）连接DE，AC交BE于点H，∵点B，C为的三等分点，∴＝＝，∴＝，∴AE＝CE，∴BE⊥AC，∵∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝∠CAD，∴∠EGF＝∠AHF＝90°，∴CE⊥DF，∴∠EFG＝∠EDG，∴EF＝DE，∴FG＝DG；
（2）连接AB，OA，∵∠CAB＝∠DAC，BE⊥AC，∴∠ABH＝∠AFH，∴AB＝AF，∴BH＝FH＝2，设OF＝x，则OH＝2＋x，EH＝2x＋6，∵∠AHE＝90°，∴AH2＝OA2－OH2＝AE2－EH2，∴(4＋x)2－(2＋x)2＝80－(2x＋6)2，解得x＝－8（舍去）或x＝1，∴BE＝2x＋8＝10，即⊙O的直径为10．
3．如图，C是⊙O的直径AB的延长线上一点，CE切⊙O于点D，AE交⊙O于点F，∠BDC＝∠DAE．
（1）求证：＝；
（2）若EF＝2，BD＝2，求AF的长．
解：（1）连接OD，OF．∵CE是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，
∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＋∠BDC＝90°，
∵∠BDC＝∠DAE，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠ODC＝90°，∴OD∥AE，∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD，
∴∠BOD＝∠FOD，∴＝；
（2）连接DF，∵＝，∴BD＝DF＝2，∴DE＝＝＝4，
∵∠ADB＝90°，∴∠OAD＋∠ABD＝90°，∵∠ADE＋∠DAE＝90°，∠OAD＝∠EAD，∴∠ADE＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠DFE，∴∠ADE＝∠DFE，∵∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDF，
∴＝，∴AE＝＝8，∴AF＝AE－EF＝6．
类型六：无刻度直尺作图
1．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点都是格点，F是AB边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先作出□ABCM，再画线段MF的中点E；
（2）在图2中，先画点F绕点A逆时针旋转90°的对应点P，再画点P关于AC的对称点Q．
解：（1）（2）如图所示．
2．如图是由小正方形组成的7×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C都是格点，点B在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）如图1，先在线段BC上画点D，使得BD：CD＝2：3，再画点E，使得四边形ABDE为平行四边形；
（2）如图2，作点B关于AC的对称点F，再将BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CG．
解：（1）（2）如图所示．
3．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先将AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，再在AD上画点E，使得∠AEC＝∠ABC；
（2）在图2中，先画BF平分∠ABC交AC于点F，再画线段FG，使得FG∥BC，且FG＝BC．
点拨：（1）画tan∠ACE＝即可；（2）将AC，BF都向左平移2格，其交点即为点G．
类型七：几何综合
1．【提出问题】（1）如图1，△ABC与△BDE均是等边三角形，且点D在AC边上．求证：△ABE≌△CBD；
【尝试探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝60°，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且△DEF是等边三角形．若＝，＝，求的值；
【拓展迁移】（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC边上一点，且BD＝2CD．将线段AD绕点D顺时针旋转得到线段DM，且∠ADM＝∠BAC，连接CM，直接写出CM的长．
解：（1）∵△ABC与△BDE均是等边三角形，∴BC＝AB，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD；
（2）在AC上取点G，使CG＝CD，连接FG，DG．∵∠C＝60°，CG＝CD，∴△CDG为等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，由(1)得△CDE≌△GDF，∴∠DGF＝∠C＝∠CDG＝60°，
CE＝FG，∴FG∥BC，∴△AFG∽△ABC，∴＝＝＝．∵＝，
∴可设BD＝a，则CD＝CG＝3a，BC＝4a，∴FG＝CE＝a，AG＝CG＝2a，
∴AE＝AG＋CG－CE＝2a＋3a－a＝a，∴＝；
（3）在AC上取点N，连接DN，使DN＝CD．∵AB＝AC，CD＝DN，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DNC，
∴∠CDN＝∠BAC＝∠ADM，∴∠ADN＝∠CDM，∴△ADN≌△MDC，∴CM＝AN．
∵△CDN∽△CAB，BD＝2CD，BC＝6，∴＝＝，∴CN＝，CM＝AN＝．
2．在□ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且∠ABC＝∠CFE＝60°，连接EC．
（1）如图1，在CD上截取DG＝DF，连接FG．若AB＝AD，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若BC＝3BE，∠AFE＝∠ECB，求的值；
（3）如图3，若∠FEC＋∠ECB＝180°，AE＝1，BE＝7，直接写出AF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AF＝CG，△DFG为等边三角形，∴FG＝DF，
∵∠EFC＝60°，∴∠AFE＋∠DFC＝∠DFC＋∠DCF＝180°－60°＝120°，∴∠AFE＝∠DCF，
又∵∠FGC＝∠A＝120°，CG＝AF，∴△AEF≌△GFC，∴AE＝FG＝DF；
（2）由（1）得∠AFE＝∠DCF，∵∠AFE＝∠ECB，∴∠DCF＝∠ECB，
∵∠B＝∠D＝60°，∴△CDF∽△CBE，∴＝＝，
在CD上截取DG＝DF，连接FG，设DF＝DG＝x，则CG＝2x，
由（1）知△DFG是等边三角形，∴GF＝x，∠FGC＝∠A＝120°，∴△GFC∽△AEF，∴＝＝，
设AE＝y，则AF＝2y，BE＝AB－AE＝CD－AE＝3x－y，BC＝3BE＝9x－3y＝AD＝x＋2y，
∴x＝y，∴＝＝；
（3）AF＝．提示：在BC上取点M，使EM＝CE，过点F作FN⊥CD于点N，则∠EMC＝∠ECM，
∵∠FEC＋∠ECB＝180°，∴∠EMB＝∠FEC，∵∠B＝∠EFC＝60°，EM＝CE，
∴△BEM≌△FCE，∴BE＝CF，∵AE＝1，则BE＝CF＝7，AB＝CD＝8，设DN＝x，则CN＝8－x，FN＝x，DF＝2x，在Rt△CFN中，FN2＋CN2＝CF2，即(x)2＋(8－x)2＝72，解得x＝或，∴DF＝3或5，由（2）得＝，即＝或＝，∴AF＝或．
3．问题提出：如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，＝＝k，点A在DE上，连接BE交CD于F点，探究的值；
问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当k＝1时，直接写出的值；
（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；
拓展创新：（3）如图3，BE交AC于点G，若BE＝2BC，直接用含k的式子表示的值．
解：（1）＝1；
（2）作BH⊥CD于点H，∵∠ACB＝∠CDE＝∠BHC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，∴△BHC∽△CDA，∴＝，∵＝，∴＝，∴BH＝DE，
∵BH⊥DC，∠ADC＝90°，∴DE∥BH，∴∠E＝∠4，∵∠BHF＝∠D＝90°，∴△BFH≌△EFD，
∴EF＝BF，∴＝1；
（3）作BH⊥CD于点H，DM∥AC交BE于点M，由（2）知BF＝FE，
∵BE＝2BC，∴FE＝BF＝BC，∴CH＝HF＝DF，由△BCH∽△CAD，得＝＝k，
设AD＝1，则CH＝HF＝DF＝k，∴DE＝kCD＝3k2，
∴AE＝DE－AD＝3k2－1，由△CFG∽△DFM，得＝＝2，
∴＝＝2·＝．
类型八：二次函数综合
1．抛物线y＝－x2＋4与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点P．
（1）直接写出点A，B，P的坐标；
（2）如图1，C是第二象限内的抛物线上一点，连接BC交y轴于点F．若∠CPF＝∠OBF，求点C的坐标；
（3）如图2，直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于点R，S，M是线段OP上一点，过点M作DE⊥y轴，分别交直线PR，PS于点D，E，连接OD，OE．是否存在点M，使OD⊥OE？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点A，B，P的坐标分别为（－2，0），（2，0），（0，4）；
（2）法一：延长PC交x轴于点G．∵∠CPF＝∠OBF，∠GOP＝∠BOF＝90°，
∴△OPG∽△OBF，∴＝，由（1）得OP＝4，OB＝2，∴＝＝2.设点C（c，－c2＋4），
直线BC的解析式为y＝kx＋b，∵点B为(2，0)，∴0＝2k＋b，－c2＋4＝kc＋b，
∴k＝－c－2，b＝2c＋4，∴y＝－(c＋2)x＋2c＋4，∴F（0，2c＋4），∴OF＝2c＋4，
同理得直线PC的解析式为y＝－cx＋4，∴G（，0），
∴OG＝－，∴－＝2(2c＋4)，∴c＝－1，∴C（－1，3）；
法二：由∠PCB＝90°，取PB的中点；
法三：由∠PCB＝90°，构一线三垂直；
（3）存在，M（0，）．理由如下：
设点M的坐标为（0，m），点R，S的坐标分别（a，－a2＋4），（b，－b2＋4），
∵P（0，4），∴直线PR的解析式为y＝－ax＋4，
直线PS的解析式为y＝－bx＋4，联立得x＝，
∴D（，m），同理得E（，m），∵OD⊥OE，DE⊥y轴，∴△ODM∽△EOM，
∴OM2＝MD·ME，∴m2＝－·．联立得x2＋kx－4＝0，
∴ab＝－4，∴4m2＝(4－m)2，∴m＝（舍负值），∴点M的坐标为（0，）．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（－1，0），B（4，0），C（1，－6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，M是第四象限抛物线上的一个动点，连接AC，CM，AM，且S△ACM：S△ABM＝1：2．求点M的坐标；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于M，N两点，P（0，m）是y轴上一点，直线MP的解析式为y＝k1x＋m，直线NP的解析式为y＝k2x＋m．当k1＋k2的值是一个定值时，求m的值．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将A(－1，0)，B(4，0)，C(1，－6)代入，得a＝1，b＝－3，c＝－4，
即抛物线的解析式为y＝x2－3x－4；
（2）过点M作EM∥AC，交x轴于点E，连接CE，∴S△ACM＝S△ACE，
由A(－1，0)，C(1，－6)可知直线AC的解析式为y＝－3x－3，
设点M(t，t2－3t－4)，可得直线EM的解析式为y＝－3x＋t2－4.∴E（，0），
∵S△ACM∶S△ABM＝1∶2，∴＝×，即3t2－5t－8＝0，解得t1＝，t2＝－1（舍），
∴M（，－）； 来源微信公众号：奶爸说数学
（3）设直线MN的解析式为y＝ax，M(x1，y1)，则y1＝x12－3x1－4.
∴直线MN的解析式为y＝(x1－3－)x，联立后，得xN＝－，
当x＝－时，yN＝－4＋＋，代入y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2得k1＝＝x1－3－，k2＝＝－3－＋x1，∴k1＋k2＝－＋x1－6是个定值，
∴8＋m＝0，∴m＝－8．
3．如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线y＝x＋b经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB＝45°＋∠BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为T，直线y＝kx－k－3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求的值．
解：（1）∵OC＝3，∴C（0，－3），把C（0，－3）代入y＝x＋b，得b＝－3，即y＝x－3．
当y＝0时，x＝3，∴B（3，0），把B（3，0），C（0，－3）代入y＝ax2－2ax＋c，得，
∴，∴y＝x2－2x－3；
（2）令y＝x2－2x－3＝0，则x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0），∴tan∠CAO＝＝3.
①当点D在BC下方时，∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°，∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝45°＋∠BCD，
∴∠OCD＝∠CAO，∴tan∠OCD＝3，延长CD交x轴于点Q，则OQ＝OC·tan∠OCD＝9，
∴Q(9，0)，∴CQ：y＝x－3，联立得，，∴D（，－）；
②当点D在BC上方时，连接CD交x轴于点N，则∠ONC＝∠NBC＋∠BCD＝45°＋∠BCD，
又∵∠CAB＝45°＋∠BCD，∴∠CAB＝∠ONC，又∵CO⊥AN，∴ON＝OA＝1，∴N（1，0），
∴CN：y＝3x－3，联立得，，∴D（5，12）．
综上所述，D（，－）或（5，12）；
（3）设E（x1，kx1－k－3），F（x2，kx2－k－3），则EF＝＝·|x1－x2|，
联立得x2－(2＋k)x＋k＝0，∴x1＋x2＝k＋2，x2·x2＝k，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k＋2)2－4k＝k2＋4．又∵G为EF中点，∴G（，），
即G（，），∴TG＝＝＝，
∴＝＝＝．2025中考专题突破训练1-8
类型一：圆中几何计算
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，Q是上一动点，P是弦AQ的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（ ）
A．π B．2π C．π D．3π
2．如图，⊙O的半径为2，PO＝5，A是⊙O上的一点，连接PA，若PA的垂直平分线与⊙O相切，则PA的长是（ ）
A． B． C． D．5
3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB，则∠BAC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
类型二：创新型问题
1．函数y＝（a是常数）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．背景材料：光的反射定律：反射角等于入射角．知识运用；如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中A（4，2），B（4，6），从点C（－1，0）发射光线y＝mx＋n（m≠0，x≥－1），经过镜面反射后，反射光线与y轴交于点E，则点E的纵坐标是整数的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN．例如，如图，点M（－2，－3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．已知点E（－1，m），F（2，m＋2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．若dGH＝3，则m的值为（ ）
A．1或7 B．5或－1 C．7或－1 D．1或5
类型三：几何计算
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别是BD，CD上的动点，BE＝DF，连接AE，AF．当AE＋AF最小时，DF的长为_________．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，D为平面内一动点，AD＝2，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到ED，连接AE．当点E落在△ABC的边上时，AE的长为____________．
3．如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH＝3时，△FGI的周长是____________．
类型四：二次函数多结论判断
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）的顶点在第四象限，且a－b＋c＝0．下列四个结论：
①b＜0；
②a－b－c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个大于1的根；
④若＜－3，则当x＜1时，y随x的增大而减小．
其中结论正确的是__________．（填序号）
2．已知二次函数y＝ax2－2ax＋3，下列四个结论：
①无论a为何值，该函数图象过点（0，3）；
②对任意实数m，都有x1＝1＋m与x2＝1－m对应的函数值相等；
③若抛物线与x轴交于不同的两点A，B，且AB≤2，则a＜0或a＞3；
④若2≤x≤3，对应的y的整数值有4个，则1≤a＜或－＜a≤－1．
其中结论正确的是__________．（填序号）
3．已知二次函数y＝a(x＋1)(x－m)（a≠0，1＜m＜2），当x＜－1时，y随x的增大而增大．下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则－1＜a＜0；
③若（－2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（，y1），（＋n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
其中结论正确的是_____________．（填序号）
类型五：圆中的证明与计算
1．如图，在△ABC中，CA＝CB，BD⊥AC于点D，⊙O经过点A，B，且与AC相切．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，CD＝3，求⊙O的半径．
2．如图，AD为⊙O的弦，B，C为的三等分点，作⊙O的直径BE交AD于点F，CE交AD于点G，连接AE．
（1）求证：FG＝DG；
（2）若BF＝4，AE＝4，求⊙O的直径．
3．如图，C是⊙O的直径AB的延长线上一点，CE切⊙O于点D，AE交⊙O于点F，∠BDC＝∠DAE．
（1）求证：＝；
（2）若EF＝2，BD＝2，求AF的长．
类型六：无刻度直尺作图
1．如图是由小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点都是格点，F是AB边上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先作出□ABCM，再画线段MF的中点E；
（2）在图2中，先画点F绕点A逆时针旋转90°的对应点P，再画点P关于AC的对称点Q．
2．如图是由小正方形组成的7×5的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C都是格点，点B在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）如图1，先在线段BC上画点D，使得BD：CD＝2：3，再画点E，使得四边形ABDE为平行四边形；
（2）如图2，作点B关于AC的对称点F，再将BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CG．
3．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先将AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，再在AD上画点E，使得∠AEC＝∠ABC；
（2）在图2中，先画BF平分∠ABC交AC于点F，再画线段FG，使得FG∥BC，且FG＝BC．
类型七：几何综合
1．【提出问题】（1）如图1，△ABC与△BDE均是等边三角形，且点D在AC边上．求证：△ABE≌△CBD；
【尝试探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝60°，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且△DEF是等边三角形．若＝，＝，求的值；
【拓展迁移】（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC边上一点，且BD＝2CD．将线段AD绕点D顺时针旋转得到线段DM，且∠ADM＝∠BAC，连接CM，直接写出CM的长．
2．在□ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且∠ABC＝∠CFE＝60°，连接EC．
（1）如图1，在CD上截取DG＝DF，连接FG．若AB＝AD，求证：AE＝DF；
（2）如图2，若BC＝3BE，∠AFE＝∠ECB，求的值；
（3）如图3，若∠FEC＋∠ECB＝180°，AE＝1，BE＝7，直接写出AF的长．
3．问题提出：如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，＝＝k，点A在DE上，连接BE交CD于F点，探究的值；
问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当k＝1时，直接写出的值；
（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；
拓展创新：（3）如图3，BE交AC于点G，若BE＝2BC，直接用含k的式子表示的值．
类型八：二次函数综合
1．抛物线y＝－x2＋4与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点P．
（1）直接写出点A，B，P的坐标；
（2）如图1，C是第二象限内的抛物线上一点，连接BC交y轴于点F．若∠CPF＝∠OBF，求点C的坐标；
（3）如图2，直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于点R，S，M是线段OP上一点，过点M作DE⊥y轴，分别交直线PR，PS于点D，E，连接OD，OE．是否存在点M，使OD⊥OE？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（－1，0），B（4，0），C（1，－6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，M是第四象限抛物线上的一个动点，连接AC，CM，AM，且S△ACM：S△ABM＝1：2．求点M的坐标；
（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于M，N两点，P（0，m）是y轴上一点，直线MP的解析式为y＝k1x＋m，直线NP的解析式为y＝k2x＋m．当k1＋k2的值是一个定值时，求m的值．
3．如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3，直线y＝x＋b经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB＝45°＋∠BCD，求点D的坐标；
（3）如图2，设抛物线的顶点为T，直线y＝kx－k－3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求的值．

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