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第一章相交线与平行线期末复习卷浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
3．关于如图中各角的说法不正确的是（　　）
A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角
C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角
4．在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠ABD+∠BDC＝180°；⑥∠D+∠ACD＝180°．一定能判定AB∥CD的条件是（　　）
A．①③⑤ B．②④⑥ C．①③⑥ D．①③⑤⑥
5．下列说法错误的是（　　）
A．在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c
B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
C．相等的两个角一定是对顶角
D．在同一平面内不相交的两条直线是平行线
6．如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　）
A．70° B．80° C．90° D．100°
7．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2＝（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，下列条件中：①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5，其中能判定AB∥CD的条件有 　 　（填写序号）．
10．如图，直线l1、l2相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线l3，那么它们的交点个数共有为 　 　．
11．如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为 　．
12．一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若∠1＝50°，则∠2＝ 　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．【探索发现】
（1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，CP，试说明∠APC＝∠BAP+∠PCD；
【解决问题】
（2）已知直线AB∥CD，连接AD，BC，∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
①如图2，AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，求∠AEC的度数；
②如图3，延长线段AB至点A′，过点A′作A′D′∥AD交CD的延长线于点D′，A′F，CF分别平分∠BA′D′，∠BCD，请直接写出∠A′FC的度数．
14．（1）如图1，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求证：∠BFE＝∠FEC；
（2）如图2，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD，求证：∠AFC＝∠AEC．
15．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）请直接写出直线AC与DG的位置关系；
（2）求证：BE∥CF；
（3）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
16．已知：如图，AR∥CD，点B为CD上一点，∠A＝∠C．
（1）如图1，求证：AB∥CR；
（2）如图2，点E为线段CR上一点，∠DBE的角平分线与∠ARC的角平分线相交于点H，请直接写出∠BHR与∠BER的数量关系，不必写出证明过程；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BR，且BR平分∠ABE，延长BE交AR的延长线于点F，过点F作FG⊥AF交线段BC于点G，FP平分∠BFG交线段HB的延长线于点P，若∠HRC＝5∠HBR，∠BHR﹣2∠HPF＝47°，求∠HRB的度数．
17．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）请填空：　 　秒后ON与OC重合；
（2）如图2，请问经过 　 　秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？
（4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值．
18．在三角形ABE中，AE⊥BE，直线CD∥AB．
（1）如图1，点E在直线CD上，若∠BAE＝60°，求∠BED的度数；
（2）如图2，点E在直线CD的下方，EB交CD于点F，G是AB上一点，连接GE交CD于点H，点K在AB、CD之间且在GH的右侧，连接GK、FK．若GE、FB分别是∠AGK和∠KFD的平分线，试说明∠GKF＝2∠AEG；
（3）在（1）的条件下，点P、Q在直线CD上，点P在点Q左侧，∠PAQ＝80°，AM平分∠PAE交CD于点M，点N是直线AB上方一点，∠NAB＝2∠BAQ．若∠NAM＝150°．请直接写出∠AQC的度数．
参考答案
一、选择题
1—8：AABACBAB
二、填空题
9．【解答】解：∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，故①不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，故②不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故③符合题意；
∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，故④符合题意；
故答案为：③④．
10．【解答】解：当l3平行于l1或l2时，交点的个数为2个；
当l3与l1和l2都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个．
故答案为：1个或2个或3个．
11．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝80°，
故答案为：80°．
12．【解答】解：如图：
由折叠的性质可得∠3＝∠1＝50°，
∴∠4＝180°﹣2×50°＝80°，
∵长方形的对边平行，
∴∠2＝∠4＝80°．
故答案为：80°．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥CD，∠BAP＝∠QPA，
∴∠PCD＝∠QPC，
∵∠APC＝∠QPA+∠QPC，
∴∠APC＝∠BAP+∠PCD；
（2）解：①如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠DCE＝∠FEC，
∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°，
∵AE，CE分别平分∠BAD，∠BCD，
∴，，
∴∠AEF＝∠BAE＝15°，∠FEC＝∠DCE＝25°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝15°+25°＝40°；
②∠A′FC的度数为130°．
如图，过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD，
∵∠ABC＝50°，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠BCD＝50°，∠ADC＝∠BAD＝30°，
∵A′D′∥AD，
∴∠AA'D'＝180°﹣30°＝150°，
∵A′F，CF分别平分∠BA'D'，∠BCD，
∴∠AA'F＝75°，∠FCD＝25°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠A'FH＝180°﹣75°＝105°，∠HFC＝∠FCD＝25°，
∴∠A'FC＝105°+25°＝130°．
14.【解答】证明：（1）如图1，延长BF、DC相交于G，
∵AB//CD，
∴∠ABF＝∠G．
∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G．
∴BG//CE．
∴∠BFE＝∠FEC；
（2）如图2：连接AC，
设∠EAF＝x，∠ECF＝y，∠EAB＝4x，∠ECD＝4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y＝180°．
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x+4y），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x+3y）．
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[80°﹣（4x+4y）]
＝4x+4y
＝4（x+y）．
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（3x+3y））]
＝3x+3y
＝3（x+y），
∴．
15．【解答】解：（1）AC∥DG，理由如下：
∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠ABF＝∠2，
∴AC∥DG；
（2）由（1）知AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴，∠CFB∠BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF．
（3）∵AC∥DG，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∵BE∥CF，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
16．【解答】（1）证明：∵AR∥CD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＝∠ABD，
∴AB∥CR；
（2）解：2∠BHR+∠BER＝360°，理由如下：
如图：分别过点E，H作AR的平行线PQ，MN，
∵AR∥CD，AR∥PQ，AR∥MN，
∴AR∥MN∥PQ∥CD，
设∠ABD＝x，∠ABH＝y，则∠HBD＝x+y，
∴∠C＝x，∠BHN＝x+y，
∴∠ARC＝180°﹣x，∠PER＝x，
∵BH平分∠DBE，RH平分∠ARC，
∴，
∴，
∴∠BEP＝∠CBE＝180°﹣2x﹣2y，
∴∠BEP＝∠CBE＝180°﹣2x﹣2y
∴，
∵2∠BHR＝180°+x+2y，
∴2∠BHR+∠BER＝180°+x+2y+180°﹣x﹣2y＝360°；
（3）解：设∠HBR＝α，∠ABH＝β，则∠ABR＝α+β，
∵BR平分∠ABE，
∴∠EBR＝∠ABR＝α+β，
∴∠HBE＝∠HBR+∠EBR＝2α+β，
∵BH平分∠DBE，
∴∠DBH＝∠HBE＝2α+β，
∴∠ABD＝∠DBH﹣∠ABH＝2α，
∴∠C＝∠ABD＝2α，
∵∠HRC＝5∠HBR，
∴∠HRC＝5α，
∵RH平分∠ARC，
∴∠ARH＝∠HRC＝5α，
∴∠CRF＝180°﹣10α，
∵AR∥CD，
∴∠C＝∠CRF，即2α＝180°﹣10α，
∴α＝15°，
∴∠C＝∠CRF＝30°，∠ARH＝∠HRC＝5α＝75°，∠CBE＝180°﹣2∠DBH＝180°﹣4α﹣2β＝120°﹣2β，
∴∠C＝∠CRF＝30°，
如图，过点P作PK∥CD，过点H作ST∥CD，
∴∠DBH＝∠THB＝2α+β＝30°+β，∠THR＝∠ARH＝75°，
∴∠BHR＝∠DBH+∠ARH＝7α+β＝105°+β，
∵∠CBH＝180°﹣∠DBH＝180°﹣2α﹣β＝150°﹣β，
∴∠KPB＝∠CBH＝150°﹣β，
∵FG⊥AF，
∴∠AFG＝90°，
∵AR∥CD，
∴∠CBE＝∠AFB＝120°﹣2β，
∴∠BFG＝∠AFG﹣∠AFB＝90°﹣（120°﹣2β）＝2β﹣30°，
∵FP平分∠BFG，
∴，
∵AR∥CD，PK∥CD，
∴AR∥PK，
∴∠KPF＝∠AFP＝∠AFB+∠PFB＝105°﹣β，
∴∠HPF＝∠KPB﹣∠KPF＝45°，
∵∠BHR﹣2∠HPF＝47°，
∴105°+β﹣2×45°＝47°，
∴β＝32°，
∴∠DBR＝∠DBH+∠HBR＝2α+β+α＝77°，
∴∠ARB＝180°﹣∠DBR＝180°﹣77°＝103°，
∵∠ARH＝75°，
∴∠HRB＝∠ARB﹣∠ARH＝103°﹣75°＝28°，
所以∠HRB的度数为28°．
17．【解答】解：（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合．
故答案为：10．
（2）分两种情况：
MN在AB上方时，如图2.1，
∵MN∥AB，
∴∠BOM＝∠M＝30°，
∵∠AON+∠BOM＝90°，
∴∠AON＝60°，
∴t＝60÷3＝20（秒），
∴经过t秒后，MN∥AB，t＝20秒；
MN在AB下方时，如图2.2，
∵MN∥AB，∠M＝30°，
∴∠BON＝60°，
∴∠AON＝60°+180°＝240°，
∴t＝240÷3＝80，
∴经过20秒或80秒后，MN∥AB．
故答案为：20秒或80秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t，
∵OC与OM重合，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
可得：（30°+6t）+（90°﹣3t）＝180°，
解得：t＝20（秒）；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）分三种情况：
①OM平分∠BOC时，此时OC、OM在AB上方，如图4所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝180°﹣30°﹣6t＝150°﹣6t，
∴150°﹣6t＝2（90﹣3t），无解；
②OC平分∠MOB，此时OC、OM在AB上方，如图5所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝150°﹣6t，
∴90﹣3t＝2（150﹣6t），
解得：t（秒）；
③当OB平分∠COM时，如图，
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝6t﹣150°，
∴90﹣3t＝6t﹣150，
解得：t（秒）；
④当OM平分∠BOC时，如图，
∴∠BOM＝3t﹣90°，∠BOC＝6t﹣150°，
∴6t﹣150°＝2（3t﹣90°），无解；
故t的值为秒或秒．
18．【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CEA＝∠A＝60°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°﹣60°＝30°；
（2）如图，
作EM∥CD，作KN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥KN，
设∠AGK＝2x，∠KFD＝2y，
又∵GE、FB分别平分∠AGK，∠KFD，
∴∠AGE＝∠KGE∠AGK＝x，∠KFB＝∠DFB∠KFD＝y，
∵AB∥EM，
∴∠GEM＝∠AGE＝x，
∵CD∥EM，
∴∠FEM＝∠DFB＝y，
∴∠GEF＝∠GEM﹣∠FEM＝x﹣y，
又∵AE⊥BE，
∴∠AEG＝90°﹣∠GEF＝90°﹣（x﹣y）＝90°﹣x+y，
∴2∠AEG＝2（90°﹣x+y）＝180°﹣2x+2y，
∵KN∥AB，
∴∠GKN+∠AGK＝180°，
∴∠GKN＝180°﹣∠AGK＝180°﹣2x，
∵KN∥CD，
∴∠NKF＝∠KFD＝2y，
∴∠GKF＝∠GKN+∠NKF＝180°﹣2x+2y，
∴∠GKF＝2∠AEG；
（3）如图2，
当∠BAQ≤60°时，
设∠BAQ＝α，则∠EAQ＝60°﹣α，∠NAB＝2α，
∴∠PAE＝∠PAQ﹣∠EAQ＝80°﹣（60°﹣α）＝α+20°，
∵AM平分∠PAE，
∴∠EAM，
∵∠BAN+∠BAQ+∠EAM＝∠MAN，
∴2α+α°＝150°，
∴α＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠AQC＝∠BAQ＝40°，
如图3，
当∠BAQ＞60°时，
设∠BAQ＝β，则∠BAN＝2β，∠QAE＝β﹣60°，
∴∠PAE＝80°+（β﹣60°）＝β+20°，∠FAN＝180°﹣2β，
∴∠MAE10°，
∵360°﹣∠MAE﹣∠BAE﹣∠BAN＝∠MAN，
∴360°﹣（）﹣60°﹣2β＝150°，
∴β＝56°＜60°，故舍去，
综上所述：∠AQC＝40°．
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