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第2讲　磁场对运动电荷(带电体)的作用
正电子是电子的反粒子,与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场,从P点发出两个电子和一个正电子,三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。 (1)判断三个粒子的运动轨迹各是什么粒子产生的 (2)电子和正电子所受的洛伦兹力做功吗 (3)运动半径与带电粒子的速度有什么关系 带电粒子运动周期与比荷有什么关系
(2024·陕西西安期中)如图所示,洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡、电子枪等部分组成。励磁线圈是一对彼此平行的共轴的圆形线圈,它能够在两线圈之间产生匀强磁场。玻璃泡内充有稀薄的气体,电子枪在加速电压下发射电子,电子束通过玻璃泡内气体时能够显示出电子运动的径迹。若电子枪垂直磁场方向发射电子,给励磁线圈通电后,能看到电子束的径迹呈圆形。则下列说法正确的是(　　)
[A] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的半径将变大
[B] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的半径将变小
[C] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的周期将变小
[D] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的周期将变小
【答案】 C
考点一　洛伦兹力的特点及应用
设有一段长为L、横截面积为S的导体,通以大小为I的电流后放入匀强磁场中,电流方向与磁场的方向垂直,磁感应强度大小为B,导体单位体积内有n个自由电荷,每个自由电荷的电荷量均为q,定向移动速率为v,如图所示。试证明:电荷所受的洛伦兹力F洛=qvB。
提示:导体所受的安培力为F安=BIL,导体中的电流I=nqSv,安培力与每一个运动电荷所受洛伦兹力的关系为F安=nSL·F洛,联立可得F洛===qvB。
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向,注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者是相同性质的力,都是磁场力。
(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷永不做功。
3.洛伦兹力与静电力的比较
项目 洛伦兹力 静电力
产生 条件 v≠0且v不 与B平行 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方向 左手定则, F⊥B且F⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同,负电荷受力方向与电场方向相反
做功 情况 任何情况下 都不做功 可能做正功,可能做负功,也可能不做功
[例1] 【对洛伦兹力大小与方向的理解】 (2024·山西太原开学考试)(多选)如图所示,在圆心固定一个带正电的电荷,另一个带正电粒子在库仑力和洛伦兹力的共同作用下绕固定电荷做匀速圆周运动,若把两个电荷的电荷量都加倍后,带正电粒子做匀速圆周运动的半径不变、速率不变,不考虑粒子重力作用,则下列说法正确的是(　　)
[A] 带正电粒子顺时针转动
[B] 带正电粒子逆时针转动
[C] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的4倍
[D] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的3倍
【答案】 BD
【解析】 带正电粒子所受库仑力背离圆心,则洛伦兹力指向圆心,由左手定则可知,带正电粒子逆时针转动,故A错误,B正确;粒子初始时做匀速圆周运动,有m=Bqv-k,电荷量都加倍后仍做匀速圆周运动,有m=2Bqv-4k,联立解得Bqv=3k,故C错误,D正确。
[例2] 【洛伦兹力与静电力的区别】(2025·河南商丘模拟)电场和磁场都能使带电粒子发生偏转,如图所示正方形区域abcd中有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个重力不计的带电粒子从a点以速度v0沿ab方向射入正方形区域,粒子恰好从c点射出。若将磁场换成沿ad方向的匀强电场,要粒子仍然从c点射出,则匀强电场的电场强度E应等于(　　)
[A] v0B [B] v0B
[C] v0B [D] 2v0B
【答案】 D
【解析】 设正方形区域边长为L,当区域内为匀强磁场时,带电粒子受洛伦兹力作用,做匀速圆周运动的轨道半径R==L,当区域内为匀强电场时,带电粒子受静电力,做类平抛运动,水平方向有L=v0t,竖直方向有L=·,联立解得E=2v0B,D正确。
考点二　带电粒子在匀强磁场和有界匀强磁场中的运动
(1)带负电粒子垂直于磁场边界从P点进入匀强磁场做匀速圆周运动,并从另一平行边界的M点射出,速度方向如图甲所示。如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定P、M两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图a所示。
(2)已知带正电粒子从P点垂直于磁场边界进入磁场,并从M点射出,运动轨迹如图乙所示,如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:先通过入射点P作入射方向的垂线,再连接入射点P和出射点M,作出两点连线的中垂线,这两条线的交点就是圆弧轨迹的圆心,如图b所示。
(3)如何确定带电粒子做匀速圆周运动的半径和速度偏向角
提示:如图c,为带电粒子在磁场内运动的圆弧轨迹的一部分,作入射点、出射点对应的半径,并作出相应的辅助三角形,利用几何关系求解出半径的大小。粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍,即φ=α=2θ=ωt。
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)解题思路。
(2)时间的计算方法。
方法一:利用圆心角、周期求得t=T。
方法二:利用弧长、线速度求得t=。
2.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(1)带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见模型。
直线边界(粒子进出磁场具有对称性)
平行边界(粒子运动存在临界条件)
圆形边界(粒子沿径向射入,必沿径向射出)
(2)带电粒子在有界磁场中的常用几何关系。
①四个点:分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
②三个角:速度偏向角、圆心角、弦切角,其中速度偏向角等于圆心角,也等于弦切角的
2倍。
(3)常用结论。
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速率v一定时, 弧长l(或弦长)越长,由t=知带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v变化时,圆心角θ越大,由t=T知带电粒子运动时间越长。
[例3] 【两个基本公式的应用】 (2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为(　　)
[A] [B]
[C] (1+) [D] (1+)
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,出磁场后做匀速直线运动,运动轨迹如图所示。在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)。
[例4] 【单直线边界磁场】 (2024·湖北荆州三模)(多选)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在x轴上方存在垂直于纸面的匀强磁场,一带正电粒子在该平面内从O点射入x轴上方,恰好先后通过A、B两点,已知A、B两点坐标分别为A(0,6L)、B(8L,0),不计粒子重力,则(　　)
[A] 该磁场方向垂直于纸面向内
[B] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为5L
[C] 若带相同电荷量的负粒子从B点射入x轴上方,则粒子有可能通过A点
[D] 若仅改变粒子从O点射入时的速度,粒子依然有可能依次经过A、B两点
【答案】 BC
【解析】 带电粒子在匀强磁场中经过O、A、B三点,故三点均在其轨迹圆上,由几何知识可得,轨迹圆的圆心为AB连线的中点,粒子的轨迹如图甲所示。
由左手定则可知,该磁场方向垂直于纸面向外,故A错误;由几何知识得,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r==5L,由牛顿第二定律和圆周运动规律得Bqv=m,解得r=,由几何关系知粒子从O点与水平方向成53°斜向左射入x轴上方,故若仅改变粒子从O点射入时的速度,将不能使粒子依次经过A、B两点,故B正确,D错误;若粒子从B点射入磁场,且经过A点,则其轨迹圆的圆心在AB连线的中垂线上,如图乙所示。
若带相同电荷量的负粒子从B点射入x轴上方,只要粒子的速度合适,则粒子有可能通过A点,故C正确。
带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性:
(1)对称性:进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性:比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场,则它们运动轨迹的半径相等,而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆,两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
[例5] 【平行直线边界磁场】 (2024·河南周口期末)如图所示,有界磁场的宽度为d,一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场,离开磁场时速度的偏向角为30°,不计粒子受到的重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径为4d
[B] 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
[C] 带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
[D] 匀强磁场的磁感应强度大小为
【答案】 C
【解析】带电粒子在磁场中运动的轨迹如图所示,根据几何关系可知轨迹半径为R==2d,带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω==,故A、B错误;带电粒子在匀强磁场中运动的时间t=×=,故C正确;由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,解得B=,故D错误。
[例6] 【圆形边界磁场】 (2023·全国甲卷,20)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
[B] 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
[C] 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
[D] 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【答案】 BD
【解析】 带电粒子在与筒壁的两次碰撞的过程中,其轨迹圆弧的两端间的切线延长线一定交于磁场圆的圆心O,由几何关系可知,粒子运动的轨迹不可能通过O,选项A错误;设粒子带负电,由题意可知,若粒子最终从P点射出,粒子射入磁场与筒壁发生若干次碰撞以后轨迹的圆心组成的多边形为以筒壁为内切圆的多边形,最少应为三角形,如图所示,
即撞击两次,选项B正确;速度越大,粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,
粒子在圆内运动时间不一定减少,选项C错误;粒子每次与筒壁碰撞前后,速度均沿圆筒半径且方向相反,则碰撞后瞬间,粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,选项D正确。
[例7] 【三角形边界磁场】 (2024·广东东莞二模)如图所示,斜边MN长度为L的等腰直角三角形OMN区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场(三角形边界上也存在磁场)。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从斜边MN上的P点进入磁场,速度方向与PM间的夹角θ=45°,且MP=。经过一段时间,粒子从PN上的D点(未画出)离开磁场,则下列说法正确的是(　　)
[A] 磁场方向垂直于纸面向里
[B] 粒子的最大速度为
[C] D点到P点的最大距离为
[D] 粒子在磁场中运动的时间为
【答案】 C
【解析】 粒子从PN段离开磁场,故在磁场中粒子向上偏转,根据左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向外,A错误;粒子速度越大,在磁场中做圆周运动的半径就越大,当速度达到最大值时,根据几何关系可知,粒子做圆周运动的轨迹同时与三角形的OM、ON边相切,且从D点飞出的速度方向与MN的夹角也为θ=45°,画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
由几何关系有rm=cos θ,由洛伦兹力提供向心力有qvmB=m,联立解得vm=,B错误;由几何关系有xPD==,C正确;粒子做匀速圆周运动的周期T=,粒子在磁场中运动的时间t=T=,D错误。
(满分:40分)
对点1.洛伦兹力的特点及应用
1.(4分)(2025·北京朝阳模拟)一个电子以某速度从a点出发,通过两个方向垂直于纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点,路径如图所示,电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是(　　)
[A] 两个磁场的方向相同
[B] 电子在区域Ⅰ中运动的时间较长
[C] 电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点
[D] 质子以与电子大小相等的动量从b点反向出发可到达a点
【答案】 D
【解析】 根据电子在两区域内的偏转方向,由左手定则知区域Ⅰ磁场方向垂直于纸面向里,区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向外,故A错误;洛伦兹力不做功,所以电子在两磁场区域运动速度大小相等,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得r=,由题图可知,电子在磁场区域Ⅱ的半径较大,则磁场区域Ⅱ磁感应强度较小,又由T=可知,电子在磁场区域Ⅱ运动的周期较大,因为电子在两磁场区域运动轨迹都是半圆,所以运动时间都为t=,可知电子在磁场区域Ⅱ运动的时间较长,故B错误;电子以相同的速度大小从b点反向出发,经过区域Ⅱ时由左手定则知受到的洛伦兹力向下,所以电子向下偏转,电子不能返回a点,故C错误;质子与电子的电荷量相等,若质子以与电子大小相等的动量进入磁场,由qvB=m,得r=,可知它们在磁场中运动的半径相等,所以质子从b点反向出发可到达a点,故D正确。
2.(4分)(2025·河南商丘模拟)某研究学者在做粒子探测实验时,将一个电荷量为q1=+3e的粒子,自匀强磁场a点向左水平射出,当它运动到b点时,与一个电荷量为q2=-5e的静止粒子发生碰撞并结合为一个新粒子,不考虑粒子的重力,试分析接下来新粒子的运动轨迹是(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 设碰撞前带正电粒子的动量为p,则其在磁场中做匀速圆周运动的半径为r1==,碰撞后新粒子的动量仍为p,带电荷量变为-2e,则r2=,所以碰撞后的新粒子做匀速圆周运动的半径比碰撞前粒子的半径大,根据左手定则可判定碰撞后新粒子从b点开始向下偏转,故A正确。
3.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)如图甲,在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy,空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x轴正方向照射,垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y随时间t的变化曲线如图乙所示,则(　　)
[A] 磁感应强度大小为
[B] 投影的速度最大值为
[C] 2t0～3t0时间内,投影做匀速直线运动
[D] 3t0～4t0时间内,投影的位移大小为y0
【答案】 D
【解析】 由题图乙知,T=6t0=,得B=,故A错误;2R=4y0,得R=2y0=,得v=,故B错误;y-t图像的斜率大小表示速度大小,故C错误;3t0～4t0时间内,小球运动个圆周,位移为R=2y0,则投影的位移大小为2y0cos 60°=y0,故D正确。
对点2.带电粒子在匀强磁场和有界匀强磁场中的运动
4.(4分)(2025·北京海淀模拟)如图所示,真空区域内有宽度为d、 磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向里,MN、PQ 是磁场的边界。质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(不计重力),沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中,粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是(　　)
[A] 可求出粒子在磁场中运动的半径
[B] 可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
[C] 若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
[D] 若仅增大磁感应强度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
【答案】 C
【解析】根据题意可以分析出粒子到达PQ边界时速度方向与边界线相切,如图所示。则根据几何关系可知d=r+rcos 30°,可得r=4d-2d,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力有qvB=m,解得v=,则加速度大小为a==,故A、B正确;根据t=×=,
r=知,若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动轨迹的半径减小,可知粒子运动轨迹的圆心角不变,故粒子运动时间不变,若仅增大磁感应强度,则粒子在磁场中运动轨迹的半径减小,运动轨迹的圆心角不变,而粒子在磁场中运动的时间变短,故C错误,D正确。
5.(6分)(2024·河北沧州阶段练习)(多选)如图所示,边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场,P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场,恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 磁场的磁感应强度大小为
[B] 粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边
[C] 粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边
[D] 粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为
【答案】 AD
【解析】粒子的运动轨迹如图所示。由几何关系可得R=aP=,由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m,联立解得B=,故A正确;由几何关系知,粒子第二次通过ab边时恰好过P点,故B、C错误;设粒子做匀速圆周运动的周期为T,则T=,粒子从a点到第二次通过ab边所用的时间为t=T+=,故D正确。
6.(6分)(2025·青海西宁模拟)(多选)如图所示,在一个等边三角形MNP区域内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场,三角形的边长为a,现从NP边的中点O处垂直于NP边射入大量比荷相同的带正电的粒子(不计重力),粒子的速度不同,已知粒子在磁场中运动的最长时间为t,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子能从P点射出磁场
[B] 由MP边射出的粒子,在磁场中运动的最长时间为t
[C] 由MP边射出的粒子,在磁场中运动的最小半径为a
[D] 由MP边射出的粒子的最小速度为
【答案】 BD
【解析】粒子在磁场中做圆周运动,由图可知,粒子不可能从P点射出磁场,故A错误;由题意可知,所有粒子在磁场中运动的周期T=,其中从NP边射出的粒子,在磁场中运动的时间最长,为半个周期,即t=T=,如图当粒子轨迹与MP边相切时,由MP边射出的粒子运动的时间最长,对应的圆心角为150°,最长时间为×T=t,故B正确;由几何关系知MP边射出的粒子的最小半径满足R+=,解得R=a,而R=,t=,联立解得由MP边射出的粒子的最小速度为v=,故C错误,D正确。
7.(12分)(2024·广西柳州三模)如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=0.4l,OO′连线与ad边平行,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ=53°角方向以不同的初速度v射入磁场,已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,取sin 53°=0.8,不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小;
(2)要使粒子从ad边离开磁场,求初速度v的取值范围。
【答案】 (1)　(2)【解析】 (1)从O′点射出磁场的粒子的运动轨迹如图甲所示。
根据几何关系可知粒子的运动半径为r=,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,
联立解得v=。
(2)当粒子运动轨迹与ad边相切时,如图乙所示。
设此时初速度为v1,轨道半径为r1,由几何关系可得r1+r1sin 53°=0.4l,
又由洛伦兹力提供向心力有qv1B=,
联立解得v1=,
假设粒子运动轨迹能与cd边相切,如图丙所示。
设轨道半径为r2,由几何关系可得
r2+r2cos 53°=l,
解得r2=l,
又因为O2a==0.3l≠l-r2,可知粒子运动轨迹无法与cd边相切;
设从d点射出时速度大小为v2,如图丁所示。
根据几何关系可知
r2′cos θ+r2′cos α=l,
r2′sin θ-r2′sin α=0.4l,
解得r2′=l,
根据洛伦兹力提供向心力有
qv2B=m,
解得v2=,
综上可得(
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)第2讲　磁场对运动电荷(带电体)的作用
正电子是电子的反粒子,与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场,从P点发出两个电子和一个正电子,三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。 (1)判断三个粒子的运动轨迹各是什么粒子产生的 (2)电子和正电子所受的洛伦兹力做功吗 (3)运动半径与带电粒子的速度有什么关系 带电粒子运动周期与比荷有什么关系
[footnoteRef:1] [1:
]
(2024·陕西西安期中)如图所示,洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡、电子枪等部分组成。励磁线圈是一对彼此平行的共轴的圆形线圈,它能够在两线圈之间产生匀强磁场。玻璃泡内充有稀薄的气体,电子枪在加速电压下发射电子,电子束通过玻璃泡内气体时能够显示出电子运动的径迹。若电子枪垂直磁场方向发射电子,给励磁线圈通电后,能看到电子束的径迹呈圆形。则下列说法正确的是(　　)
[A] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的半径将变大
[B] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的半径将变小
[C] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的周期将变小
[D] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的周期将变小
考点一　洛伦兹力的特点及应用
设有一段长为L、横截面积为S的导体,通以大小为I的电流后放入匀强磁场中,电流方向与磁场的方向垂直,磁感应强度大小为B,导体单位体积内有n个自由电荷,每个自由电荷的电荷量均为q,定向移动速率为v,如图所示。试证明:电荷所受的洛伦兹力F洛=qvB。
提示:导体所受的安培力为F安=BIL,导体中的电流I=nqSv,安培力与每一个运动电荷所受洛伦兹力的关系为F安=nSL·F洛,联立可得F洛===qvB。
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向,注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者是相同性质的力,都是磁场力。
(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷永不做功。
3.洛伦兹力与静电力的比较
项目 洛伦兹力 静电力
产生 条件 v≠0且v不 与B平行 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方向 左手定则, F⊥B且F⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同,负电荷受力方向与电场方向相反
做功 情况 任何情况下 都不做功 可能做正功,可能做负功,也可能不做功
[例1] 【对洛伦兹力大小与方向的理解】 (2024·山西太原开学考试)(多选)如图所示,在圆心固定一个带正电的电荷,另一个带正电粒子在库仑力和洛伦兹力的共同作用下绕固定电荷做匀速圆周运动,若把两个电荷的电荷量都加倍后,带正电粒子做匀速圆周运动的半径不变、速率不变,不考虑粒子重力作用,则下列说法正确的是(　　)
[A] 带正电粒子顺时针转动
[B] 带正电粒子逆时针转动
[C] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的4倍
[D] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的3倍
[例2] 【洛伦兹力与静电力的区别】(2025·河南商丘模拟)电场和磁场都能使带电粒子发生偏转,如图所示正方形区域abcd中有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个重力不计的带电粒子从a点以速度v0沿ab方向射入正方形区域,粒子恰好从c点射出。若将磁场换成沿ad方向的匀强电场,要粒子仍然从c点射出,则匀强电场的电场强度E应等于(　　)
[A] v0B [B] v0B
[C] v0B [D] 2v0B
考点二　带电粒子在匀强磁场和有界匀强磁场中的运动
(1)带负电粒子垂直于磁场边界从P点进入匀强磁场做匀速圆周运动,并从另一平行边界的M点射出,速度方向如图甲所示。如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定P、M两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图a所示。
(2)已知带正电粒子从P点垂直于磁场边界进入磁场,并从M点射出,运动轨迹如图乙所示,如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:先通过入射点P作入射方向的垂线,再连接入射点P和出射点M,作出两点连线的中垂线,这两条线的交点就是圆弧轨迹的圆心,如图b所示。
(3)如何确定带电粒子做匀速圆周运动的半径和速度偏向角
提示:如图c,为带电粒子在磁场内运动的圆弧轨迹的一部分,作入射点、出射点对应的半径,并作出相应的辅助三角形,利用几何关系求解出半径的大小。粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍,即φ=α=2θ=ωt。
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)解题思路。
(2)时间的计算方法。
方法一:利用圆心角、周期求得t=T。
方法二:利用弧长、线速度求得t=。
2.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(1)带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见模型。
直线边界(粒子进出磁场具有对称性)
平行边界(粒子运动存在临界条件)
圆形边界(粒子沿径向射入,必沿径向射出)
(2)带电粒子在有界磁场中的常用几何关系。
①四个点:分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
②三个角:速度偏向角、圆心角、弦切角,其中速度偏向角等于圆心角,也等于弦切角的
2倍。
(3)常用结论。
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速率v一定时, 弧长l(或弦长)越长,由t=知带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v变化时,圆心角θ越大,由t=T知带电粒子运动时间越长。
[例3] 【两个基本公式的应用】 (2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为(　　)
[A] [B]
[C] (1+) [D] (1+)
[例4] 【单直线边界磁场】 (2024·湖北荆州三模)(多选)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在x轴上方存在垂直于纸面的匀强磁场,一带正电粒子在该平面内从O点射入x轴上方,恰好先后通过A、B两点,已知A、B两点坐标分别为A(0,6L)、B(8L,0),不计粒子重力,则(　　)
[A] 该磁场方向垂直于纸面向内
[B] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为5L
[C] 若带相同电荷量的负粒子从B点射入x轴上方,则粒子有可能通过A点
[D] 若仅改变粒子从O点射入时的速度,粒子依然有可能依次经过A、B两点
带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性:
(1)对称性:进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性:比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场,则它们运动轨迹的半径相等,而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆,两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
[例5] 【平行直线边界磁场】 (2024·河南周口期末)如图所示,有界磁场的宽度为d,一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场,离开磁场时速度的偏向角为30°,不计粒子受到的重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹半径为4d
[B] 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为
[C] 带电粒子在匀强磁场中运动的时间为
[D] 匀强磁场的磁感应强度大小为
[例6] 【圆形边界磁场】 (2023·全国甲卷,20)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
[B] 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
[C] 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
[D] 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
[例7] 【三角形边界磁场】 (2024·广东东莞二模)如图所示,斜边MN长度为L的等腰直角三角形OMN区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场(三角形边界上也存在磁场)。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)从斜边MN上的P点进入磁场,速度方向与PM间的夹角θ=45°,且MP=。经过一段时间,粒子从PN上的D点(未画出)离开磁场,则下列说法正确的是(　　)
[A] 磁场方向垂直于纸面向里
[B] 粒子的最大速度为
[C] D点到P点的最大距离为
[D] 粒子在磁场中运动的时间为
(满分:40分)
对点1.洛伦兹力的特点及应用
1.(4分)(2025·北京朝阳模拟)一个电子以某速度从a点出发,通过两个方向垂直于纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点,路径如图所示,电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是(　　)
[A] 两个磁场的方向相同
[B] 电子在区域Ⅰ中运动的时间较长
[C] 电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点
[D] 质子以与电子大小相等的动量从b点反向出发可到达a点
2.(4分)(2025·河南商丘模拟)某研究学者在做粒子探测实验时,将一个电荷量为q1=+3e的粒子,自匀强磁场a点向左水平射出,当它运动到b点时,与一个电荷量为q2=-5e的静止粒子发生碰撞并结合为一个新粒子,不考虑粒子的重力,试分析接下来新粒子的运动轨迹是(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)如图甲,在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy,空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x轴正方向照射,垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y随时间t的变化曲线如图乙所示,则(　　)
[A] 磁感应强度大小为
[B] 投影的速度最大值为
[C] 2t0～3t0时间内,投影做匀速直线运动
[D] 3t0～4t0时间内,投影的位移大小为y0
对点2.带电粒子在匀强磁场和有界匀强磁场中的运动
4.(4分)(2025·北京海淀模拟)如图所示,真空区域内有宽度为d、 磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向里,MN、PQ 是磁场的边界。质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(不计重力),沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中,粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是(　　)
[A] 可求出粒子在磁场中运动的半径
[B] 可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
[C] 若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
[D] 若仅增大磁感应强度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
5.(6分)(2024·河北沧州阶段练习)(多选)如图所示,边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场,P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场,恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 磁场的磁感应强度大小为
[B] 粒子从bQ之间(不包括b、Q点)第二次通过ab边
[C] 粒子从PQ之间(不包括P、Q点)第二次通过ab边
[D] 粒子从a点开始到第二次通过ab边所用的时间为
6.(6分)(2025·青海西宁模拟)(多选)如图所示,在一个等边三角形MNP区域内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场,三角形的边长为a,现从NP边的中点O处垂直于NP边射入大量比荷相同的带正电的粒子(不计重力),粒子的速度不同,已知粒子在磁场中运动的最长时间为t,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子能从P点射出磁场
[B] 由MP边射出的粒子,在磁场中运动的最长时间为t
[C] 由MP边射出的粒子,在磁场中运动的最小半径为a
[D] 由MP边射出的粒子的最小速度为
7.(12分)(2024·广西柳州三模)如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=0.4l,OO′连线与ad边平行,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ=53°角方向以不同的初速度v射入磁场,已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,取sin 53°=0.8,不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小;
(2)要使粒子从ad边离开磁场,求初速度v的取值范围。
(
第
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)(共56张PPT)
高中总复习·物理
第2讲　
磁场对运动电荷(带电体)的作用
情境导思
正电子是电子的反粒子,与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场,从P点发出两个电子和一个正电子,三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。
(1)判断三个粒子的运动轨迹各是什么粒子产生的
(2)电子和正电子所受的洛伦兹力做功吗
(3)运动半径与带电粒子的速度有什么关系 带电粒子运动周期与比荷有什么关系
知识构建
小题试做
(2024·陕西西安期中)如图所示,洛伦兹力演示仪由励磁线圈、玻璃泡、电子枪等部分组成。励磁线圈是一对彼此平行的共轴的圆形线圈,它能够在两线圈之间产生匀强磁场。玻璃泡内充有稀薄的气体,电子枪在加速电压下发射电子,电子束通过玻璃泡内气体时能够显示出电子运动的径迹。若电子枪垂直磁场方向发射电子,给励磁线圈通电后,能看到电子束的径迹呈圆形。则下列说法正确的是(　　)
[A] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的半径将变大
[B] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的半径将变小
[C] 若只增大励磁线圈中的电流,电子做圆周运动的周期将变小
[D] 若只提高电子枪的加速电压,电子做圆周运动的周期将变小
C
设有一段长为L、横截面积为S的导体,通以大小为I的电流后放入匀强磁场中,电流方向与磁场的方向垂直,磁感应强度大小为B,导体单位体积内有n个自由电荷,每个自由电荷的电荷量均为q,定向移动速率为v,如图所示。试证明:电荷所受的洛伦兹力F洛=qvB。
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向,注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力一定不做功。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,二者是相同性质的力,都是磁场力。
(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷永不做功。
3.洛伦兹力与静电力的比较
项目 洛伦兹力 静电力
产生 条件 v≠0且v不 与B平行 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方向 左手定则, F⊥B且F⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同,负电荷受力方向与电场方向相反
做功 情况 任何情况下 都不做功 可能做正功,可能做负功,也可能不做功
[例1] 【对洛伦兹力大小与方向的理解】 (2024·山西太原开学考试)(多选)如图所示,在圆心固定一个带正电的电荷,另一个带正电粒子在库仑力和洛伦兹力的共同作用下绕固定电荷做匀速圆周运动,若把两个电荷的电荷量都加倍后,带正电粒子做匀速圆周运动的半径不变、速率不变,不考虑粒子重力作用,则下列说法正确的是(　 　)
[A] 带正电粒子顺时针转动
[B] 带正电粒子逆时针转动
[C] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的4倍
[D] 开始时粒子受到洛伦兹力是库仑力的3倍
BD
[例2] 【洛伦兹力与静电力的区别】(2025·河南商丘模拟)电场和磁场都能使带电粒子发生偏转,如图所示正方形区域abcd中有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个重力不计的带电粒子从a点以速度v0沿ab方向射入正方形区域,粒子恰好从c点射出。若将磁场换成沿ad方向的匀强电场,要粒子仍然从c点射出,则匀强电场的电场强度E应等于(　　)
D
(1)带负电粒子垂直于磁场边界从P点进入匀强磁场做匀速圆周运动,并从另一平行边界的M点射出,速度方向如图甲所示。如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:可根据洛伦兹力F⊥v,分别确定P、M两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图a所示。
(2)已知带正电粒子从P点垂直于磁场边界进入磁场,并从M点射出,运动轨迹如图乙所示,如何确定带电粒子在磁场内做匀速圆周运动的圆心
提示:先通过入射点P作入射方向的垂线,再连接入射点P和出射点M,作出两点连线的中垂线,这两条线的交点就是圆弧轨迹的圆心,如图b所示。
(3)如何确定带电粒子做匀速圆周运动的半径和速度偏向角
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)解题思路。
(2)时间的计算方法。
2.带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(1)带电粒子在有界匀强磁场中运动的常见模型。
直线边界(粒子进出磁场具有对称性)
平行边界(粒子运动存在临界条件)
圆形边界(粒子沿径向射入,必沿径向射出)
(2)带电粒子在有界磁场中的常用几何关系。
①四个点:分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
②三个角:速度偏向角、圆心角、弦切角,其中速度偏向角等于圆心角,也等于弦切角的2倍。
(3)常用结论。
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
[例3] 【两个基本公式的应用】 (2024·广西卷,5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为(　　)
C
[例4] 【单直线边界磁场】 (2024·湖北荆州三模)(多选)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在x轴上方存在垂直于纸面的匀强磁场,一带正电粒子在该平面内从O点射入x轴上方,恰好先后通过A、B两点,已知A、B两点坐标分别为A(0,6L)、B(8L,0),不计粒子重力,则( 　　)
[A] 该磁场方向垂直于纸面向内
[B] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为5L
[C] 若带相同电荷量的负粒子从B点射入x轴上方,则粒子有可能通过A点
[D] 若仅改变粒子从O点射入时的速度,粒子依然有可能依次经过A、B两点
BC
【解析】 带电粒子在匀强磁场中经过O、A、B三点,故三点均在其轨迹圆上,由几何知识可得,轨迹圆的圆心为AB连线的中点,粒子的轨迹如图甲所示。
由左手定则可知,该磁场方向垂直于纸面向外,故A错误;
若带相同电荷量的负粒子从B点射入x轴上方,只要粒子的速度合适,则粒子有可能通过A点,故C正确。
方法总结
带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性:
(1)对称性:进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性:比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场,则它们运动轨迹的半径相等,而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆,两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
[例5] 【平行直线边界磁场】 (2024·河南周口期末)如图所示,有界磁场的宽度为d,一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场,离开磁场时速度的偏向角为30°,不计粒子受到的重力,下列说法正确的是
(　　 )
C
[例6] 【圆形边界磁场】 (2023·全国甲卷,20)(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( 　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
[B] 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
[C] 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
[D] 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
BD
【解析】 带电粒子在与筒壁的两次碰撞的过程中,其轨迹圆弧的两端间的切线延长线一定交于磁场圆的圆心O,由几何关系可知,粒子运动的轨迹不可能通过O,选项A错误;设粒子带负电,由题意可知,若粒子最终从P点射出,粒子射入磁场与筒壁发生若干次碰撞以后轨迹的圆心组成的多边形为以筒壁为内切圆的多边形,最少应为三角形,如图所示,
即撞击两次,选项B正确;速度越大,粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,粒子在圆内运动时间不一定减少,选项C错误;粒子每次与筒壁碰撞前后,速度均沿圆筒半径且方向相反,则碰撞后瞬间,粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,选项D正确。
C
【解析】 粒子从PN段离开磁场,故在磁场中粒子向上偏转,根据左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向外,A错误;粒子速度越大,在磁场中做圆周运动的半径就越大,当速度达到最大值时,根据几何关系可知,粒子做圆周运动的轨迹同时与三角形的OM、ON边相切,且从D点飞出的速度方向与MN的夹角也为θ=45°,画出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
基础对点练
对点1.洛伦兹力的特点及应用
1.(4分)(2025·北京朝阳模拟)一个电子以某速度从a点出发,通过两个方向垂直于纸面的有界匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ到达b点,路径如图所示,电子在每个区域内的轨迹都是半圆。下列说法正确的是(　　)
[A] 两个磁场的方向相同
[B] 电子在区域Ⅰ中运动的时间较长
[C] 电子以相同的速度大小从b点反向出发可返回a点
[D] 质子以与电子大小相等的动量从b点反向出发可到达a点
D
2.(4分)(2025·河南商丘模拟)某研究学者在做粒子探测实验时,将一个电荷量为q1=+3e的粒子,自匀强磁场a点向左水平射出,当它运动到b点时,与一个电荷量为q2=-5e的静止粒子发生碰撞并结合为一个新粒子,不考虑粒子的重力,试分析接下来新粒子的运动轨迹是(　　)
A
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2025·内蒙古高考适应性考试)如图甲,在光滑绝缘水平桌面内建立直角坐标系Oxy,空间内存在与桌面垂直的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的小球在桌面内做圆周运动。平行光沿x轴正方向照射,垂直光照方向放置的接收器记录小球不同时刻的投影位置。投影坐标y随时间t的变化曲线如图乙所示,则(　　)
D
对点2.带电粒子在匀强磁场和有界匀强磁场中的运动
4.(4分)(2025·北京海淀模拟)如图所示,真空区域内有宽度为d、 磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面向里,MN、PQ 是磁场的边界。质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(不计重力),沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中,粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是(　　)
[A] 可求出粒子在磁场中运动的半径
[B] 可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
[C] 若仅减小射入速度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
[D] 若仅增大磁感应强度,则粒子在磁场中运动的时间一定变短
C
5.(6分)(2024·河北沧州阶段练习)(多选)如图所示,边长为L的等边三角形abc区域外(包含边界)存在着垂直于abc所在平面向外的匀强磁场,P、Q为ab边的三等分点。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子在abc平面内以速度v0从a点垂直于ac边射入匀强磁场,恰好从P点第一次进入三角形abc区域。不计带电粒子重力,下列说法正确的是( 　　)
AD
6.(6分)(2025·青海西宁模拟)(多选)如图所示,在一个等边三角形MNP区域内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场,三角形的边长为a,现从NP边的中点O处垂直于NP边射入大量比荷相同的带正电的粒子(不计重力),粒子的速度不同,已知粒子在磁场中运动的最长时间为t,则下列说法正确的是( 　　)
BD
综合提升练
7.(12分)(2024·广西柳州三模)如图所示,正方形区域abcd内(含边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,ab=l,Oa=0.4l,OO′连线与ad边平行,大量带正电的粒子从O点沿与ab边成θ=53°角方向以不同的初速度v射入磁场,已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,磁场的磁感应强度大小为B,取sin 53°=0.8,不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)求恰好从O′点射出磁场的粒子的速度大小;
(2)要使粒子从ad边离开磁场,求初速度v的取值范围。
【解析】 (2)当粒子运动轨迹与ad边相切时,如图乙所示。

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