资源简介

第3讲　小专题:带电粒子在有界磁场中运动　多解问题
考点一　带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
1.解答带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法技巧
找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语,挖掘其隐藏的规律,找出临界条件
两种 思路 (1)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解。 (2)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
六种 方法 (1)用临界条件求极值。 (2)用边界条件求极值。 (3)用三角函数求极值。 (4)用二次方程的判别式求极值。 (5)用不等式的性质求极值。 (6)用图像法求极值
三个 结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,由t=知,弧长(或弦长)越长,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长;当周期T一定时,由t=T知,圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)
2.临界问题的一般解题流程
[例1] 【磁感应强度的极值问题】 (2024·贵州贵阳模拟)(多选)如图所示的直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(包括边界,图中未画出),∠ACB=30°,一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直于AC方向射入磁场,经磁场偏转后从AC边离开磁场,已知AB=L,粒子的质量为m、电荷量为q,粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
[A] 磁感应强度的大小可能为
[B] 磁感应强度最小时,粒子的出射点到C点的距离为
[C] 从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间均为
[D] 当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时,增大粒子的入射速度,粒子在磁场中的运动时间缩短
【答案】 BD
【解析】 根据题意,由牛顿第二定律有qv0B=m,解得r=,可知,半径越大,磁感应强度越小,粒子能从AC边离开磁场的临界轨迹如图所示,由几何关系可得OC=2r,AC=2AB=2L,解得CD=r=L,则有r=≤,解得B≥,故A错误,B正确;粒子在磁场中的运动周期为T==,粒子在磁场中运动时间为t=·T=,从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间为t==≤,故C错误;当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时,增大粒子的入射速度,粒子运动半径增大,则粒子从BC边离开磁场,速度越大,运动轨迹对应的圆心角θ越小,粒子在磁场中的运动时间越短,故D正确。
[例2] 【速度的极值问题】 (2024·湖南长沙一模)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场,某研究小组模拟了一个地磁场,如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个不计重力、比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁场,要使粒子不进入小圆,则v的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 作出粒子的临界图像,如图所示,粒子在磁场中做匀速圆周运动,结合余弦定理有(r+R)2=r2+(2R)2-2r·2Rcos(-θ),整理有r=,粒子在磁场中,洛伦兹力提供向心力有qvB=m,由题意知,其比荷为k,解得v=,所以其最大值为。故A正确。
[例3] 【运动时间的极值问题】(2024·湖北卷,7)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能经过O点
[B] 粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
[C] 粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
[D] 若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
【答案】 D
【解析】 根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点,粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向,故A、B错误;粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域,时间最短,则根据对称性可知轨迹如图甲所示,
则最短时间有t=2T=,故C错误;粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,则轨迹如图乙所示,
设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知r=,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得v=,故D正确。
考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
多解问题的几种情况
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电,也可能带负电,电性不同时,粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小,未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时,可能直接穿过去了,也可能从入射界面反向飞出
运动的周期性 带电粒子在空间运动时,往往具有周期性
[例4] 【运动方向不确定形成多解】 (2024·辽宁大连阶段练习)(多选)如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。M为磁场边界上一点,有无数个带电荷量为q(q>0)、质量为m的相同粒子(不计重力及粒子间相互作用)在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为,N为磁场边界上的另一个点,MN=R。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子从M点进入磁场时的速率为v=
[B] 从N点离开磁场的粒子运动时间为
[C] 若将磁感应强度的大小增加到 B,会有粒子沿ON方向从N点射出磁场
[D] 若将磁感应强度的大小增加到2B,劣弧MN的每一点都会有粒子射出
【答案】 BC
【解析】 由题意可知,带电粒子从M点进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,在磁场中运动时间最长的粒子的圆弧所对应的弦应是圆形磁场的直径,如图甲所示,
设粒子进入磁场的速率为v,运动轨迹的半径为r1,由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=,粒子在磁场中运动的周期为T==,因在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为,则粒子在磁场中转动的时间为t1=T,可知粒子在磁场中转动的圆弧所对的圆心角为θ1=,可得粒子在磁场中运动的半径为r1=R,可得粒子从M点进入磁场时的速率为v=,A错误;从N点离开磁场的粒子运动轨迹如图乙所示,
设运动轨迹的半径为r2,可得qvB=m,解得r2==R,由几何关系可知θ2=,则从N点离开磁场的粒子运动时间为t2=T=,B正确;若将磁感应强度的大小增加到 B时,粒子运动轨迹如图丙所示,
由洛伦兹力提供向心力,可得qv·B=m,解得r3==R,由图可知O3N⊥ON,则粒子沿ON方向从N点射出磁场,C正确;若将磁感应强度的大小增加到2B,可知粒子的运动半径为r4==,由C选项的解析可知,当粒子的轨迹半径是时,设粒子打到的最远点为A,则AM为粒子运动轨迹的直径为R,因此劣弧MN上的一部分点会有粒子射出,D错误。
[例5] 【运动的周期性形成多解】 (2024·山东济宁阶段练习)(多选)如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直于纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 粒子可能的轨迹如图所示。
由几何关系得n·2Rsin 30°=3L(n=1,2,3,…),由牛顿第二定律得qv0B=m,联立解得v0=(n=1,2,3,…)。当n=1时,v0=;当n=3时,v0=,粒子可以通过B点,故A、C符合题意,B、D不符合题意。
(满分:50分)
对点1.带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
1.(4分)宇宙射线中含有大量的质子,为防止质子对航天员的危害,某科研团队设计了如图甲所示的防护装置,图乙为其截面图。半径为R的圆柱形区域是航天员的防护区,在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为v0,电荷量为e,质量为m。不计质子间相互作用。若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区,则磁感应强度大小至少为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】为使所有垂直磁场入射的速率为v0的质子都不进入防护区,半径最大的质子轨迹如图,则质子的半径最大为 r==,由洛伦兹力提供向心力可知ev0Bmin=m,解得磁感应强度大小至少为Bmin=,故A正确。
2.(4分)(2025·广东深圳模拟)如图所示,半径为R的圆形区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于圆所在的平面。一速率为v0的带电粒子从圆周上的A点沿半径方向射入磁场,入射点A与出射点B间的圆弧AB为整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A点沿该平面以任意方向射入磁场,已知粒子速率均为v0,忽略粒子间的相互作用,不计粒子重力,则粒子在磁场中最长运动时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,设速率为v0的带电粒子的运动半径为r1,其轨迹如图中弧AB所示。由题意可知∠AOB=120°,由几何关系可得θ=30°,圆周运动的半径为r1==R。由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径为r=,可知粒子运动半径与速率成正比,则速率为v0的粒子在磁场中圆周运动半径为r2=r1=2R,在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹的弦为磁场区域圆的直径,粒子运动轨迹如图中的弧AC,则满足sin β=,可得β=30°,粒子在磁场中运动的周期为T==,粒子在磁场中最长运动时间为t=T=,故C正确。
3.(4分)(2024·安徽马鞍山三模)如图所示,匀强磁场范围足够大且方向垂直于纸面向里,在纸面内有P、M、N三点,P、M间的距离为L,PM连线与MN间的夹角为30°。从P点平行于MN向左发射速率为v0的带正电粒子,恰好经过M、N,粒子质量为m、电荷量为q,不计粒子重力,则(　　)
[A] 磁感应强度的大小为
[B] M、N间距离为
[C] 粒子从P运动到N的时间为
[D] 粒子运动过程中,距MN的最大距离为
【答案】 D
【解析】 根据题意作出运动轨迹,如图所示,根据几何关系,可知∠POM=60°,则轨迹半径R=L,由于洛伦兹力提供向心力,则有qv0B=m,解得B=,故A错误;根据几何关系,M、N间距离为xMN=2Lcos 30°=L,故B错误;粒子从P运动到N对应的圆心角θ=300°,粒子运动周期T=,则经历时间为t=T,解得t=,故C错误;根据轨迹图像可知,当粒子运动至与P点关于圆心对称位置时,距MN的距离最大,xm=2R-Lsin 30°=,故D正确。
4.(4分)(2024·河南周口阶段练习)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其下边界如图中虚线所示,P、M、N、Q四点共线,∠MON为直角,OM=ON=MP。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从P点垂直于PM射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间t的范围是(　　)
[A] ≤t≤ [B] ≤t≤
[C] ≤t≤ [D] ≤t≤
【答案】 B
【解析】 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力充当向心力有qvB=,粒子做完整的圆周运动的周期T=,若粒子打到PM上,运动轨迹为半圆,运动时间为t1==,若粒子打到MO上,粒子速率越大,运动轨迹圆弧的圆心越接近M点,对应圆心角越小,运动时间越短,当落点为O时,轨迹圆弧圆心角为135°,运动时间为t2==,若粒子打到ON上,运动时间随粒子速率的增大而增大,从增大到;若粒子打到NQ上,运动时间为,则粒子在磁场中运动时间t的范围是≤t≤,故B正确。
对点2.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
5.(6分)(2024·山西晋中三模)(多选)如图所示,有以O为圆心,半径分别为R1、R2的同心圆,R1=2R0,R2=R0,在圆环区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一电荷量为+q、质量为m的粒子从内圆上的A点以速度v0垂直磁场进入该区域,之后从OA的延长线与外圆的交点C射出,方向与OA延长线成30°角,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 环形区域磁场的磁感应强度大小为
[B] 粒子在磁场中运动的时间为
[C] 若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射出,磁感应强度大小需小于
[D] 若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射出,磁感应强度大小需小于
【答案】 AD
【解析】 如图甲,由几何关系可得粒子在磁场中圆周运动的半径R=R0,则由Bqv=m可得B=,A正确;A到C运动的时间t=,T=可得t=,B错误;磁感应强度越大,轨道半径越小,如图乙由临界关系可得r1=R0,则B1=,r2=R0,则B2=,则磁感应强度大小需小于,C错误,D正确。
6.(4分)(2025·湖北黄冈模拟)如图所示,三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,∠C=30°,∠D=45°,AO垂直于CD,OA长度为L。O点有一电子源,在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速度大小均为v0的电子,速度方向用与OC的夹角θ表示,电子质量为m,电荷量为-e,且满足v0=,下列说法正确的是(　　)
[A] 从AC边射出的电子占总电子数的六分之一
[B] 从AD边射出的电子占总电子数的二分之一
[C] 从OD边射出的电子占总电子数的三分之一
[D] 所有从AC边射出的电子中,当θ=30°时,所用的时间最短
【答案】 B
【解析】 由于粒子源发射的电子速率相同,电子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有ev0B=m,解得R==L,即所有电子的运动半径都相等,由左手定则可知,电子进入磁场后顺时针做圆周运动,所以其从AC边射出的一个临界位置为从A点射出,此时θ=60°,如图所示,
由题意及分析可知,当0°≤θ≤60°范围内,电子从AC边上射出,当电子从AC边射出时,由几何关系可知从AC边射出的电子占总电子的=,故A错误。由题意及分析可知,当粒子在60°≤θ≤150°范围内,电子从AD边射出,当电子从AD边射出时,由几何关系可知从AD边射出的电子占总电子的=,故B正确。由题意及分析可知,当粒子在150°≤θ≤180°范围内,电子从OD边射出,由几何关系可知从OD边射出的电子占总电子的=,故C错误。电子运动的圆心角越小,其在磁场中运动的时间就越短;圆心角所对应的弦长越长,其圆心角越大,所以弦长最小时,所用时间最短,此时弦垂直于边AC,θ≠30°,故D错误。
7.(6分)(2025·四川南充模拟)(多选)如图,在以OO′为轴的范围足够大的匀强磁场中,从轴上A点与OO′所成的角度不超过θ(θ<90°)的各个方向同时发射一束带电粒子(同一方向只有一个粒子),粒子的电荷量、质量都分别为±q、m,速度大小均为v,磁感应强度为B,不计粒子重力,所有粒子都可看成点电荷且不计粒子间的相互作用。则(　　)
[A] 这些粒子不会在OO′轴外的不同地方相碰
[B] 同种电荷不会在OO′轴外的不同地方相碰
[C] 在图中纸面内向OO′轴上方发射的带负电粒子将在纸面外运动,且都只在OO′轴以上的空间运动
[D] 如果发射的粒子均带同种电荷,当θ非常小时,所有粒子都将经过OO′轴上距A点约为处
【答案】 BD
【解析】将粒子的速度沿OO′轴方向和垂直于OO′轴方向分解,可知粒子在沿OO′轴方向上以速度vcos θ做匀速直线运动,而在垂直于OO′轴的平面内做匀速圆周运动,其做圆周运动的速度大小为vsin θ,根据洛伦兹力提供向心力有Bqvsin θ=m,可得粒子做匀速圆周运动的轨道半径大小为r=,而粒子做匀速圆周运动的周期为T==,可知不同的粒子做匀速圆周运动的周期相同,其轨道半径大小不同。由于存在大量的两个与OO′轴角度相等的带异种电荷粒子,做匀速圆周运动的轨迹如图所示。由图可知,异种电荷会在OO′轴外的不同地方相碰,同理分析可知,同种电荷不会在OO′轴外的不同地方相碰,故A错误,B正确;由以上分析及图可知,故C错误;如果发射的粒子带同种电荷,所有粒子都将经过OO′轴上距A点的距离为s=vcos θ·T=·vcos θ,当θ非常小时,cos θ趋近于1,则所有粒子都将经过OO′轴上距A点约为处,故D正确。
8.(18分)(2024·河南南阳阶段练习)如图所示,竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B=0.5 T。外环的半径R1=16 cm,内环的半径R2=4 cm,外环和内环的圆心为O,沿OD放置有照相底片。有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出),不断放出初速度大小均为v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁场的相同粒子,粒子在磁场中运动,最后打到照相底片上,经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用,粒子重力忽略不计,假设打到磁场边界的粒子被吸收。
(1)判断粒子的电性;
(2)求粒子的比荷;
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的区域的长度。
【答案】 (1)带正电　(2)3.2×107 C/kg　(3)2 cm
【解析】 (1)粒子在磁场中向右偏转,由左手定则可知,粒子带正电。
(2)如图所示,设粒子的质量为m,带电荷量为q,在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,依题意有
2R=R1+R2,
由牛顿第二定律有qv0B=,
代入数据解得=3.2×107 C/kg。
(3)若照相底片沿OP放置,则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度,如图所示,在△O1OM中,由几何关系有
OM2=R2-(R-R2)2,
解得OM=8 cm,
又MN=R-OM,
代入数据解得MN=2 cm。
(
第
14
页
)第3讲　小专题:带电粒子在有界磁场中运动　多解问题
考点一　带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
1.解答带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法技巧
找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语,挖掘其隐藏的规律,找出临界条件
两种 思路 (1)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解。 (2)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
六种 方法 (1)用临界条件求极值。 (2)用边界条件求极值。 (3)用三角函数求极值。 (4)用二次方程的判别式求极值。 (5)用不等式的性质求极值。 (6)用图像法求极值
三个 结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,由t=知,弧长(或弦长)越长,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长;当周期T一定时,由t=T知,圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)
2.临界问题的一般解题流程
[例1] 【磁感应强度的极值问题】 (2024·贵州贵阳模拟)(多选)如图所示的直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(包括边界,图中未画出),∠ACB=30°,一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直于AC方向射入磁场,经磁场偏转后从AC边离开磁场,已知AB=L,粒子的质量为m、电荷量为q,粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是(　　)
[A] 磁感应强度的大小可能为
[B] 磁感应强度最小时,粒子的出射点到C点的距离为
[C] 从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间均为
[D] 当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时,增大粒子的入射速度,粒子在磁场中的运动时间缩短
[例2] 【速度的极值问题】 (2024·湖南长沙一模)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场,某研究小组模拟了一个地磁场,如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个不计重力、比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁场,要使粒子不进入小圆,则v的最大值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例3] 【运动时间的极值问题】(2024·湖北卷,7)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能经过O点
[B] 粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
[C] 粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
[D] 若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
多解问题的几种情况
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电,也可能带负电,电性不同时,粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小,未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时,可能直接穿过去了,也可能从入射界面反向飞出
运动的周期性 带电粒子在空间运动时,往往具有周期性
[例4] 【运动方向不确定形成多解】 (2024·辽宁大连阶段练习)(多选)如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。M为磁场边界上一点,有无数个带电荷量为q(q>0)、质量为m的相同粒子(不计重力及粒子间相互作用)在纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场,在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为,N为磁场边界上的另一个点,MN=R。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子从M点进入磁场时的速率为v=
[B] 从N点离开磁场的粒子运动时间为
[C] 若将磁感应强度的大小增加到 B,会有粒子沿ON方向从N点射出磁场
[D] 若将磁感应强度的大小增加到2B,劣弧MN的每一点都会有粒子射出
[例5] 【运动的周期性形成多解】 (2024·山东济宁阶段练习)(多选)如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直于纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(满分:50分)
对点1.带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
1.(4分)宇宙射线中含有大量的质子,为防止质子对航天员的危害,某科研团队设计了如图甲所示的防护装置,图乙为其截面图。半径为R的圆柱形区域是航天员的防护区,在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为v0,电荷量为e,质量为m。不计质子间相互作用。若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区,则磁感应强度大小至少为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.(4分)(2025·广东深圳模拟)如图所示,半径为R的圆形区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于圆所在的平面。一速率为v0的带电粒子从圆周上的A点沿半径方向射入磁场,入射点A与出射点B间的圆弧AB为整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A点沿该平面以任意方向射入磁场,已知粒子速率均为v0,忽略粒子间的相互作用,不计粒子重力,则粒子在磁场中最长运动时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(4分)(2024·安徽马鞍山三模)如图所示,匀强磁场范围足够大且方向垂直于纸面向里,在纸面内有P、M、N三点,P、M间的距离为L,PM连线与MN间的夹角为30°。从P点平行于MN向左发射速率为v0的带正电粒子,恰好经过M、N,粒子质量为m、电荷量为q,不计粒子重力,则(　　)
[A] 磁感应强度的大小为
[B] M、N间距离为
[C] 粒子从P运动到N的时间为
[D] 粒子运动过程中,距MN的最大距离为
4.(4分)(2024·河南周口阶段练习)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其下边界如图中虚线所示,P、M、N、Q四点共线,∠MON为直角,OM=ON=MP。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从P点垂直于PM射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间t的范围是(　　)
[A] ≤t≤ [B] ≤t≤
[C] ≤t≤ [D] ≤t≤
对点2.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
5.(6分)(2024·山西晋中三模)(多选)如图所示,有以O为圆心,半径分别为R1、R2的同心圆,R1=2R0,R2=R0,在圆环区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一电荷量为+q、质量为m的粒子从内圆上的A点以速度v0垂直磁场进入该区域,之后从OA的延长线与外圆的交点C射出,方向与OA延长线成30°角,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 环形区域磁场的磁感应强度大小为
[B] 粒子在磁场中运动的时间为
[C] 若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射出,磁感应强度大小需小于
[D] 若粒子从A点垂直磁场进入时的速度大小为v,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射出,磁感应强度大小需小于
6.(4分)(2025·湖北黄冈模拟)如图所示,三角形ACD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,∠C=30°,∠D=45°,AO垂直于CD,OA长度为L。O点有一电子源,在ACD平面向磁场内各个方向均匀发射速度大小均为v0的电子,速度方向用与OC的夹角θ表示,电子质量为m,电荷量为-e,且满足v0=,下列说法正确的是(　　)
[A] 从AC边射出的电子占总电子数的六分之一
[B] 从AD边射出的电子占总电子数的二分之一
[C] 从OD边射出的电子占总电子数的三分之一
[D] 所有从AC边射出的电子中,当θ=30°时,所用的时间最短
7.(6分)(2025·四川南充模拟)(多选)如图,在以OO′为轴的范围足够大的匀强磁场中,从轴上A点与OO′所成的角度不超过θ(θ<90°)的各个方向同时发射一束带电粒子(同一方向只有一个粒子),粒子的电荷量、质量都分别为±q、m,速度大小均为v,磁感应强度为B,不计粒子重力,所有粒子都可看成点电荷且不计粒子间的相互作用。则(　　)
[A] 这些粒子不会在OO′轴外的不同地方相碰
[B] 同种电荷不会在OO′轴外的不同地方相碰
[C] 在图中纸面内向OO′轴上方发射的带负电粒子将在纸面外运动,且都只在OO′轴以上的空间运动
[D] 如果发射的粒子均带同种电荷,当θ非常小时,所有粒子都将经过OO′轴上距A点约为处
8.(18分)(2024·河南南阳阶段练习)如图所示,竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B=0.5 T。外环的半径R1=16 cm,内环的半径R2=4 cm,外环和内环的圆心为O,沿OD放置有照相底片。有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出),不断放出初速度大小均为v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁场的相同粒子,粒子在磁场中运动,最后打到照相底片上,经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用,粒子重力忽略不计,假设打到磁场边界的粒子被吸收。
(1)判断粒子的电性;
(2)求粒子的比荷;
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的区域的长度。
(
第
14
页
)(共43张PPT)
高中总复习·物理
第3讲　
小专题:带电粒子在有界磁场中运动　多解问题
1.解答带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法技巧
找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语,挖掘其隐藏的规律,找出临界条件
两种 思路 (1)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解。
(2)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值
六种 方法 (1)用临界条件求极值。
(2)用边界条件求极值。
(3)用三角函数求极值。
(4)用二次方程的判别式求极值。
(5)用不等式的性质求极值。
(6)用图像法求极值
2.临界问题的一般解题流程
[例1] 【磁感应强度的极值问题】 (2024·贵州贵阳模拟)(多选)如图所示的直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(包括边界,图中未画出),∠ACB=30°,一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直于AC方向射入磁场,经磁场偏转后从AC边离开磁场,已知AB=L,粒子的质量为m、电荷量为q,粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是( 　　)
BD
[例2] 【速度的极值问题】 (2024·湖南长沙一模)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场,某研究小组模拟了一个地磁场,如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个不计重力、比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁场,要使粒子不进入小圆,则v的最大值为(　　)
A
[例3] 【运动时间的极值问题】(2024·湖北卷,7)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是(　　)
D
【解析】 根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点,粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向,故A、B错误;粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域,时间最短,则根据对称性可知轨迹如图甲所示,
多解问题的几种情况
多解分类 多解原因 示意图
带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电,也可能带负电,电性不同时,粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小,未具体指出磁感应强度的方向,必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时,可能直接穿过去了,也可能从入射界面反向飞出
运动的周期性 带电粒子在空间运动时,往往具有周期性
BC
【解析】 由题意可知,带电粒子从M点进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,在磁场中运动时间最长的粒子的圆弧所对应的弦应是圆形磁场的直径,如图甲所示,
[例5] 【运动的周期性形成多解】 (2024·山东济宁阶段练习)(多选)如图所示,边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场,三角形内磁场方向垂直于纸面向外,两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子,粒子质量均为m、电荷量均为+q,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点( 　　)
AC
对点1.带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题
1.(4分)宇宙射线中含有大量的质子,为防止质子对航天员的危害,某科研团队设计了如图甲所示的防护装置,图乙为其截面图。半径为R的圆柱形区域是航天员的防护区,在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为v0,电荷量为e,质量为m。不计质子间相互作用。若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区,则磁感应强度大小至少为(　　)
基础对点练
A
C
3.(4分)(2024·安徽马鞍山三模)如图所示,匀强磁场范围足够大且方向垂直于纸面向里,在纸面内有P、M、N三点,P、M间的距离为L,PM连线与MN间的夹角为30°。从P点平行于MN向左发射速率为v0的带正电粒子,恰好经过M、N,粒子质量为m、电荷量为q,不计粒子重力,则( 　　)
D
4.(4分)(2024·河南周口阶段练习)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,其下边界如图中虚线所示,P、M、N、Q四点共线,∠MON为直角,OM=ON=MP。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从P点垂直于PM射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间t的范围是(　　)
B
对点2.带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
5.(6分)(2024·山西晋中三模)(多选)如图所示,有以O为圆心,半径分别为R1、R2的同心圆,R1=2R0,R2=R0,在圆环区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一电荷量为+q、质量为m的粒子从内圆上的A点以速度v0垂直磁场进入该区域,之后从OA的延长线与外圆的交点C射出,方向与OA延长线成30°角,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　 )
AD
B
[A] 从AC边射出的电子占总电子数的六分之一
[B] 从AD边射出的电子占总电子数的二分之一
[C] 从OD边射出的电子占总电子数的三分之一
[D] 所有从AC边射出的电子中,当θ=30°时,所用的时间最短
综合提升练
7.(6分)(2025·四川南充模拟)(多选)如图,在以OO′为轴的范围足够大的匀强磁场中,从轴上A点与OO′所成的角度不超过θ(θ<90°)的各个方向同时发射一束带电粒子(同一方向只有一个粒子),粒子的电荷量、质量都分别为±q、m,速度大小均为v,磁感应强度为B,不计粒子重力,所有粒子都可看成点电荷且不计粒子间的相互作用。则( 　　)
[A] 这些粒子不会在OO′轴外的不同地方相碰
[B] 同种电荷不会在OO′轴外的不同地方相碰
[C] 在图中纸面内向OO′轴上方发射的带负电粒子将在纸面外运动,且都只在OO′轴以上的空间运动
BD
8.(18分)(2024·河南南阳阶段练习)如图所示,竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B=0.5 T。外环的半径R1=16 cm,内环的半径R2=4 cm,外环和内环的圆心为O,沿OD放置有照相底片。有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出),不断放出初速度大小均为v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁场的相同粒子,粒子在磁场中运动,最后打到照相底片上,经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用,粒子重力忽略不计,假设打到磁场边界的粒子被吸收。
(1)判断粒子的电性;
【答案】 (1)带正电
【解析】 (1)粒子在磁场中向右偏转,由左手定则可知,粒子带正电。
【答案】 (2)3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的区域的长度。
【答案】 (3)2 cm
【解析】 (3)若照相底片沿OP放置,则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度,如图所示,在△O1OM中,由几何关系有
OM2=R2-(R-R2)2,
解得OM=8 cm,
又MN=R-OM,
代入数据解得MN=2 cm。

展开更多......

收起↑