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第4讲　小专题:“动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
考点一　“平移圆”模型
“平移圆”模型的特征
模型 界定 将半径为R=的圆进行平移,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“平移圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小、方向一定、入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子,进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示
模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上,且该直线与入射点的连线平行(或共线)
[例1] 【对“平移圆”模型的应用】 (2024·江苏南通期中)如图所示,一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的带负电的同种离子,不考虑离子间的相互作用,则离子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C]　 [D]
【答案】 C
【解析】 离子在磁场中做匀速圆周运动,如图所示。
粒子源最左端发射的粒子落在A点,最右端发射的粒子落在B点,故选C。
考点二　“放缩圆”模型
“放缩圆”模型的特征
模型 界定 以入射点P为定点,圆心位于PP′直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“放缩圆”法
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不等的同种带电粒子,进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
模型 特点 轨迹圆的圆心共线:如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上
[例2] 【“放缩圆”模型】 (2025·河北唐山模拟)(多选)如图所示,等腰直角三角形ABC区域中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子沿AB方向射入磁场,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子射入速率越大,在磁场中运动时间越长
[B] 粒子射入速率越大,在磁场中运动的加速度越大
[C] 粒子在磁场中运动的最长时间为
[D] 若粒子射入速率不同,则射出磁场时速度的方向一定不同
【答案】 BC
【解析】 如图所示,粒子射入磁场时不同的速率对应不同的半径,粒子将从不同的位置离开磁场,当粒子从AC边离开时,速度增大,但运动轨迹对应的圆心角相等,在磁场中运动时间始终不变,根据对称性特征,轨迹均为圆弧,当粒子从BC边离开时,随速度增大,轨迹半径增大,周期不变,轨迹所对圆心角变小,根据t=T,则运动时间越来越短,粒子从AC边离开磁场时在磁场中运动的时间最长,为 =,故A错误,C正确;由牛顿第二定律,有Bqv=ma,则粒子射入速率越大,在磁场中运动的加速度a=越大,故B正确;粒子以不同速率从AC边离开磁场时,根据对称性特征,轨迹均为圆弧,沿平行于BC方向离开磁场,故D错误。
考点三　“旋转圆”模型
“旋转圆”模型的特征
模型 界定 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“旋转圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示
模型 特点 轨迹圆的圆心共圆:如图所示,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上
[例3] 【“旋转圆”模型】 (2024·江苏扬州阶段练习)如图所示,水平虚线MN上方有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。大量带正电的相同粒子,以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,做半径为R的圆周运动。不计粒子重力和粒子间相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由小孔O射入磁场区域,做半径为R的圆周运动,因为粒子带正电,根据左手定则可知粒子将向左偏转,故C错误;因为粒子以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向发射,由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界且ON=R;在竖直方向上有最远点为2R,由O点竖直向上射入的粒子,打在最左端且距离为OM=2R,但是左侧因为没有粒子射入,所以中间会出现一块空白区域,故B正确,A、D错误。
(满分:50分)
对点1.“平移圆”模型
1.(4分)(2025·广西桂林模拟)如图所示,在xOy平面的第一、四象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qv0B=m,解得r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=,要使圆心角α最大,则FE最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时,轨迹对应的圆心角最大,为αm,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm=,解得αm=,且tm=·,解得tm=,故C正确。
2.(6分)(2024·辽宁沈阳阶段练习)(多选)如图所示,等腰直角三角形区域分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,腰长AB=2 m,O为BC的中点,磁感应强度大小B=0.25 T,一群质量m=
1×10-7 kg,电荷量大小q=2×10-3 C的带负电粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s从B、O之间射入磁场区域,带电粒子不计重力,则(　　)
[A] 在AC边界上有粒子射出的长度为(-1)m
[B] C点有粒子射出
[C] 在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
[D] 磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(-1)m处入射
【答案】 ACD
【解析】 粒子在磁场中偏转,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,粒子在磁场中运动的轨道半径为R==1 m,作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。由图可知,能从AC边射出的粒子长度为DE=R-R=(-1)m,粒子不可能到达C点,故A正确,B错误;由图可知,在AB边界上有粒子射出的长度为BF=1 m,故C正确;磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周,轨迹与AB、AC相切,由几何知识可知从底边距B点(-1)m处入射,故D正确。
对点2.“放缩圆”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如图所示,在矩形GHIJ区域内分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,P点是GH边的中点,四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下,以大小不同的速率从P点沿同一方向射入匀强磁场,它们的轨迹在同一平面(纸面)内,下列说法正确的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
[D] ①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同
【答案】 A
【解析】 对于完全相同的粒子,其比荷相同,在同一匀强磁场中,运动周期相同,由题图知③粒子在磁场中转过的圆心角最大,所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域经历的时间最长,故C、D错误;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m可得r=,由于④粒子的运动轨迹半径最大,则④粒子的速率最大,故A正确;粒子的向心加速度为an==,可知④粒子的向心加速度最大,故B错误。
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多选)如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子可能从B点射出
[B] 若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为L
[C] 若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为
[D] 若粒子从AB边射出,则粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长
【答案】 CD
【解析】 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,但由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故A错误;若粒子从C点射出,如图甲所示。
根据几何关系可得=(R2-Lsin 60°)2+(2L-Lcos 60°)2,解得R2=L,故B错误;则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin∠O==,则∠O=60°,粒子在磁场中运动的时间为t=T=×=,故C正确;由牛顿第二定律可知qvB0=m,解得r=,若粒子从AB边射出,则粒子的速度越大,轨迹半径越大,如图乙所示。
则粒子从AB边射出时的圆心角θ相等,且为最大,根据t=T,又T=知粒子在磁场中运动的周期相等,则其在磁场中运动的时间相同,且时间最长,故D正确。
5.(4分)(2024·江苏泰州阶段练习)如图所示,空间存在四分之一圆形磁场区域,半径为R,磁感应强度大小为B,磁场方向垂直于纸面向外(图中未画出)。电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场,恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°,要使电子从弧AD之间(不包括A、D两点)射出,电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　)
[A] [B]
[C] 2v [D] 3v
【答案】 B
【解析】根据题意,速度为v时,电子恰好由A点射出,如图中轨迹Ⅰ,由几何关系可得r=,由牛顿第二定律有qvB=m,联立可得R=,要使电子恰好从D点射出,如图中轨迹Ⅱ,根据几何关系可得r′=R,则有R=,解得v′=2v,要使电子从弧AD之间射出,电子从O点射入的初速度应大于v,小于2v。故B正确。
对点3.“旋转圆”模型
6.(4分)(2025·江苏徐州模拟)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
【答案】 A
【解析】 由洛伦兹力提供向心力,有qvB=,解得r=,若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示),不难得出离y轴最远为|x|=2r=,离x轴最远为|y|=2r=,所以A项正确。
7.(6分)(2025·辽宁葫芦岛模拟)(多选)如图所示,在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电,OP=OS=
d,粒子重力及粒子间的相互作用均不计,则(　　)
[A] 粒子的速度大小为
[B] 从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
[C] 从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
[D] 沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
【答案】 AC
【解析】 粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点,可以画出其轨迹1,可知SP为直径,由几何关系得(2R)2=d2+(d)2,得到R=d,由洛伦兹力提供向心力得qvB=,则v=,故A正确;粒子在磁场中的运动周期T=,由几何知识可得,从O点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3,轨迹所对的圆心角为60°,在磁场中的运动时间t=T=,故B错误;从x轴上射出磁场的粒子运动时间最长是运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2),对应的圆心角为270°,得t1=T,运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3),运动时间为 t2=T,所以=,故C正确;沿平行x轴正方向射入的粒子,圆心在原点处,运动轨迹为四分之一圆弧,离开磁场时的位置到O点的距离为d,故D错误。
8.(6分)(多选)如图所示,在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m,电荷量为q,不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在磁场中运动的最长时间为
[B] 若粒子恰好从圆弧边界离开磁场,则粒子的速度大小为
[C] 若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场,则粒子的速度大小为
[D] 选择合适的速度,粒子可能从M点离开磁场
【答案】 AC
【解析】当粒子的速度较小时,粒子从MN边界离开磁场,其轨迹对应的圆心角为300°,此时粒子在磁场中运动的时间最长,最长时间t=×=,故A正确;当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(设切点为Q),粒子恰好从圆弧边界射出,如图所示,根据几何知识可知,粒子的轨道半径r1=,设粒子的速度大小为v1,有qv1B=m,解得v1=,故B错误;设当粒子恰好从P点离开磁场时,粒子的轨道半径为r2,根据几何关系有r2=,设粒子的速度大小为v2,有qv2B=m,解得 v2=,故C正确;当粒子的速度大于时,粒子从Q点右侧离开磁场,当粒子的速度小于时,粒子从MN边界离开磁场,即粒子不可能从M点离开磁场,故D错误。
9.(10分)(2024·浙江温州模拟)如图所示,竖直平面内有一xOy平面直角坐标系,第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源,放射源可以源源不断地向第一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN,M点坐标为(0,a),N点坐标为(0,2a),当辐射的离子速率为v0时,离子打在收集板上的位置最远到N点,最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响,求:
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
【答案】 (1)或　(2)
【解析】 (1)由题意可知,沿x轴正方向射出的离子,经半个圆周运动到N点,由此可得r=a,可知通过M点的离子有两个出射方向,如图甲,一个轨迹转过的圆心角为60°,即t1=T,另一个轨迹转过的圆心角为300°,即t2=T,离子在磁场中做匀速圆周运动,周期T=,即T=,
解得t1=,t2=。
(2)如图乙所示,由动态圆分析结果可知,能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内,因为放射源均匀打出离子,因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为 =。
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)第4讲　小专题:“动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
考点一　“平移圆”模型
“平移圆”模型的特征
模型 界定 将半径为R=的圆进行平移,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“平移圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小、方向一定、入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子,进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示
模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上,且该直线与入射点的连线平行(或共线)
[例1] 【对“平移圆”模型的应用】 (2024·江苏南通期中)如图所示,一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的带负电的同种离子,不考虑离子间的相互作用,则离子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C]　 [D]
考点二　“放缩圆”模型
“放缩圆”模型的特征
模型 界定 以入射点P为定点,圆心位于PP′直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“放缩圆”法
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不等的同种带电粒子,进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
模型 特点 轨迹圆的圆心共线:如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上
[例2] 【“放缩圆”模型】 (2025·河北唐山模拟)(多选)如图所示,等腰直角三角形ABC区域中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子沿AB方向射入磁场,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子射入速率越大,在磁场中运动时间越长
[B] 粒子射入速率越大,在磁场中运动的加速度越大
[C] 粒子在磁场中运动的最长时间为
[D] 若粒子射入速率不同,则射出磁场时速度的方向一定不同
考点三　“旋转圆”模型
“旋转圆”模型的特征
模型 界定 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“旋转圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示
模型 特点 轨迹圆的圆心共圆:如图所示,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上
[例3] 【“旋转圆”模型】 (2024·江苏扬州阶段练习)如图所示,水平虚线MN上方有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。大量带正电的相同粒子,以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,做半径为R的圆周运动。不计粒子重力和粒子间相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(满分:50分)
对点1.“平移圆”模型
1.(4分)(2025·广西桂林模拟)如图所示,在xOy平面的第一、四象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直于平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.(6分)(2024·辽宁沈阳阶段练习)(多选)如图所示,等腰直角三角形区域分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,腰长AB=2 m,O为BC的中点,磁感应强度大小B=0.25 T,一群质量m=
1×10-7 kg,电荷量大小q=2×10-3 C的带负电粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s从B、O之间射入磁场区域,带电粒子不计重力,则(　　)
[A] 在AC边界上有粒子射出的长度为(-1)m
[B] C点有粒子射出
[C] 在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
[D] 磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(-1)m处入射
对点2.“放缩圆”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如图所示,在矩形GHIJ区域内分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,P点是GH边的中点,四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下,以大小不同的速率从P点沿同一方向射入匀强磁场,它们的轨迹在同一平面(纸面)内,下列说法正确的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
[D] ①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多选)如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子可能从B点射出
[B] 若粒子从C点射出,则粒子做匀速圆周运动的半径为L
[C] 若粒子从C点射出,则粒子在磁场中运动的时间为
[D] 若粒子从AB边射出,则粒子在磁场中运动的时间相同,且时间最长
5.(4分)(2024·江苏泰州阶段练习)如图所示,空间存在四分之一圆形磁场区域,半径为R,磁感应强度大小为B,磁场方向垂直于纸面向外(图中未画出)。电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场,恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°,要使电子从弧AD之间(不包括A、D两点)射出,电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　)
[A] [B]
[C] 2v [D] 3v
对点3.“旋转圆”模型
6.(4分)(2025·江苏徐州模拟)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
7.(6分)(2025·辽宁葫芦岛模拟)(多选)如图所示,在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电,OP=OS=
d,粒子重力及粒子间的相互作用均不计,则(　　)
[A] 粒子的速度大小为
[B] 从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
[C] 从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
[D] 沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
8.(6分)(多选)如图所示,在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m,电荷量为q,不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在磁场中运动的最长时间为
[B] 若粒子恰好从圆弧边界离开磁场,则粒子的速度大小为
[C] 若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场,则粒子的速度大小为
[D] 选择合适的速度,粒子可能从M点离开磁场
9.(10分)(2024·浙江温州模拟)如图所示,竖直平面内有一xOy平面直角坐标系,第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源,放射源可以源源不断地向第一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN,M点坐标为(0,a),N点坐标为(0,2a),当辐射的离子速率为v0时,离子打在收集板上的位置最远到N点,最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响,求:
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
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高中总复习·物理
第4讲　
小专题:“动态圆”法解决带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
“平移圆”模型的特征
[例1] 【对“平移圆”模型的应用】 (2024·江苏南通期中)如图所示,一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的带负电的同种离子,不考虑离子间的相互作用,则离子经过磁场的区域(阴影部分)可能的是(　　)
C
【解析】 离子在磁场中做匀速圆周运动,如图所示。
粒子源最左端发射的粒子落在A点,最右端发射的粒子落在B点,故选C。
“放缩圆”模型的特征
模型 界定 以入射点P为定点,圆心位于PP′直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出粒子运动的临界条件,即为“放缩圆”法
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不等的同种带电粒子,进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
模型 特点 轨迹圆的圆心共线:如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP′上
BC
[例2] 【“放缩圆”模型】 (2025·河北唐山模拟)(多选)如图所示,等腰直角三角形ABC区域中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子沿AB方向射入磁场,下列说法正确的是(　 　)
“旋转圆”模型的特征
[例3] 【“旋转圆”模型】 (2024·江苏扬州阶段练习)如图所示,水平虚线MN上方有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。大量带正电的相同粒子,以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,做半径为R的圆周运动。不计粒子重力和粒子间相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中正确的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 由小孔O射入磁场区域,做半径为R的圆周运动,因为粒子带正电,根据左手定则可知粒子将向左偏转,故C错误;因为粒子以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向发射,由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界且ON=R;在竖直方向上有最远点为2R,由O点竖直向上射入的粒子,打在最左端且距离为OM=2R,但是左侧因为没有粒子射入,所以中间会出现一块空白区域,故B正确,A、D错误。
对点1.“平移圆”模型
基础对点练
C
ACD
2.(6分)(2024·辽宁沈阳阶段练习)(多选)如图所示,等腰直角三角形区域分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,腰长AB=2 m,O为BC的中点,磁感应强度大小B=0.25 T,一群质量m=1×10-7 kg,电荷量大小q=2×10-3 C的带负电粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s从B、O之间射入磁场区域,带电粒子不计重力,则(　 　)
对点2.“放缩圆”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如图所示,在矩形GHIJ区域内分布着垂直于纸面向里的匀强磁场,P点是GH边的中点,四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下,以大小不同的速率从P点沿同一方向射入匀强磁场,它们的轨迹在同一平面(纸面)内,下列说法正确的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
[D] ①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同
A
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多选)如图所示,边长为2L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场,D是AB边的中点,一质量为m、电荷量为-q的带电粒子从D点以不同的速率平行于BC边方向射入磁场,不计粒子重力,下列说法正确的是(　　 )
CD
【解析】 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场,由左手定则可知,粒子向下偏转,但由于BC边的限制,粒子不能到达B点,故A错误;若粒子从C点射出,如图甲所示。
5.(4分)(2024·江苏泰州阶段练习)如图所示,空间存在四分之一圆形磁场区域,半径为R,磁感应强度大小为B,磁场方向垂直于纸面向外(图中未画出)。电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场,恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°,要使电子从弧AD之间(不包括A、D两点)射出,电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　)
B
对点3.“旋转圆”模型
6.(4分)(2025·江苏徐州模拟)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子,速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A
AC
8.(6分)(多选)如图所示,在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m,电荷量为q,不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　 　)
综合提升练
AC
9.(10分)(2024·浙江温州模拟)如图所示,竖直平面内有一xOy平面直角坐标系,第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源,放射源可以源源不断地向第一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN,M点坐标为(0,a),N点坐标为(0,2a),当辐射的离子速率为v0时,离子打在收集板上的位置最远到N点,最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响,求:
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间;
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。

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