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第5讲　小专题:“磁发散”和“磁聚焦”
1.在圆形边界的匀强磁场中,如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径,则有如下两个重要结论:
磁发散 磁聚焦
如图甲所示,当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时,粒子离开磁场时的速度方向一定平行,而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散” 如图乙所示,当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时,粒子一定会从同一点离开磁场区域,而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”
2.磁聚焦(发散)模型的应用
(1)带电粒子的会聚。
如图甲所示,大量同种带正电的粒子(不计重力),速度大小相等,平行入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
证明:四边形OAO′B为菱形,必是平行四边形,则有OB必平行于AO′,可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
(2)带电粒子的发散。
如图乙所示,有界圆形磁场的磁感应强度为B,圆心为O,从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场,不计粒子受到的重力,如果带正电粒子的轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等,则所有粒子射出磁场的方向平行。
证明:所有粒子运动轨迹的圆心与边界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形,也是平行四边形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁发散模型】 (2025·湖北荆州模拟)(多选)在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直于纸面向外的匀强磁场,a点处有离子源,可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子,且所有离子均垂直bc边射出,下列说法正确的是(　　)
[A] 离子在磁场中做圆周运动的半径为2L
[B] 离子在磁场中运动的最长时间为
[C] 磁场区域的最小面积为L2
[D] 离子入射速度方向与ab边夹角为60°时,将从bc边中点射出
【答案】 CD
【解析】带电离子在圆形磁场中运动时存在着这样的规律,如果离子的轨迹半径与圆形磁场的半径相等,离子从同一点以相同的速率沿不同的方向射入圆形磁场,则离子会平行于某一方向射出磁场。根据几何关系可知,离子在磁场中做圆周运动的半径为L,故A错误;离子的速率一定,轨迹最长的离子运动的时间最长,则最长时间为,则tmax==,故B错误;磁场区域的最小面积为如图中阴影部分的面积,则有Smin=2·(πL2-L2)=L2,故C正确;离子入射速度方向与ab边夹角为60°时,设出射点与b点之间的距离为x,则cos 60°=,解得x=L,即离子入射速度方向与ab边夹角为60°时,将从bc边中点射出,故D正确。
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重庆巴中联盟模拟)磁聚焦法测量电子比荷的装置如图所示。在抽成真空的玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A。在A、K之间加大小为U0的电压,对电子进行加速(初速度视为零),电子由阳极小孔高速射出;在尺寸很小的电容器C的两极板间加一不大的周期性交变电场,使不同时刻通过这里的电子速度方向发生不同程度的微小偏转,在电容器右端和荧光屏之间加一沿轴线方向(图中水平虚线)的匀强磁场,进入磁场的电子会沿不同的螺旋线运动,每绕行一周后都会到达同一位置聚焦,电容器到荧光屏的水平距离为l,调节磁感应强度的大小为B时,可使电子流的第一个焦点落在荧光屏S上。不计电子所受的重力和电子间的相互作用,当θ非常小时满足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子所受洛伦兹力的方向与轴线不垂直
[B] 不同时刻进入电容器的电子运动轨迹一定不同
[C] 利用该设备测出电子的比荷=
[D] 若电子经过电容器后偏离轴线方向的最大角度为θ,该装置中带电粒子螺旋运动段的玻璃管内径(直径)应满足D≥
【答案】 C
【解析】 洛伦兹力方向垂直于磁场方向即轴线方向,故A错误;不同时刻进入电容器中的电子,若进入电容器的时刻相隔整数个电场周期,则离开电容器进入磁场时的速度相同,则电子运动轨迹相同,故B错误;电子的螺旋运动可分解为沿磁场方向的匀速运动和垂直于磁场方向上的匀速圆周运动。电子在A、K之间加速,根据动能定理有eU0=mv2,设进入磁场时电子的速度大小为v′,与水平方向夹角为θ,设其垂直磁场的分速度为v1,平行磁场方向的分速度为v2,由题意可知速度分量v2=v′cos θ=v,电子在垂直磁场方向做圆周运动的周期为T==,故电子在磁场中做螺旋运动的螺距为l=v2T=v,可得=,故C正确;垂直磁场的速度分量为v1=v′sin θ≈vθ,根据洛伦兹力提供向心力,有ev1B=m,可知r==,所以管内直径D≥,故D错误。
(满分:60分)
1.(4分)(2024·河北张家口开学考试)如图所示,圆形区域半径为r,区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向内的匀强磁场,一束不计重力的带正电粒子,质量均为m,电荷量均为q,以垂直于区域圆直径MN的相同速度飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场区域,不计粒子间相互作用力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子将于M点射出磁场
[B] 所有粒子在磁场中的运动时间相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
[D] 粒子速度大小为v=
【答案】 D
【解析】 由题意可知,粒子的轨迹圆半径等于磁场圆半径,根据qvB=m,此时粒子速度大小为v=,选项D正确;由左手定则可得,粒子应于N点射出磁场,选项A错误;最上层粒子在磁场中的运动时间最长,最下层粒子在磁场中运动时间最短,选项B错误;由粒子运动轨迹可知,射出粒子的速度方向不相同,选项C错误。
2.(4分)(2025·河北衡水模拟)如图所示,纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流,粒子质量为m,电荷量为-q,速率为v0,不考虑粒子的重力及相互间的作用,要使粒子都汇聚到一点,可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域,则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下图中的(其中B0=,A、C、D选项中的曲线均是半径为L的圆弧,B选项中曲线是半径为的圆)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 带电粒子在磁场中做圆周运动,圆周运动的半径R=,A、B、C对应的半径R=L,D对应的半径为。粒子的初速度都相同,相当于以初速度的方向为切线,以粒子进入磁场的点为切点来画半径已知的圆,圆弧和磁场边界的交点为出射点,由数学知识可以证明A中粒子的出射点恒为两个圆弧右下方的交点,故A正确;B、C、D对应的粒子的出射点都不相同,故B、C、D错误。
3.(4分)(2025·广东梅州模拟)如图所示,扇形区域AOB内存在垂直于平面向里的匀强磁场,OA和OB互相垂直,是扇形的两条半径,一个带电粒子(不计重力)从A点沿AO方向进入磁场,从B点离开,若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场,则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] C点越靠近B点,粒子偏转角度越大
[C] C点越远离B点,粒子运动时间越短
[D] 只要C点在A、B之间,粒子仍然从B点离开磁场
【答案】 D
【解析】由题意,粒子从A点进入磁场,从B点离开,由左手定则可以确定粒子带正电,故A错误;由题意知,粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径,根据磁聚焦的原理,当入射方向平行时,这些粒子将从同一点射出,如图所示,从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场,则这些粒子从同一点B射出,由图可知,C点越靠近B点,偏转角越小,运动时间越短,越远离B点,偏转角越大,运动时间越长,故D正确,B、C错误。
4.(6分)(多选)如图所示为一圆形区域,O为圆心,半径为R,P为边界上的一点,区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v=射入磁场,粒子a正对圆心射入,粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角,已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
【答案】 AC
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,而速度v=,解得运动半径r=R,故A正确;因粒子a正对圆心射入,又r=R,故粒子a在磁场中的运动时间为T,运动圆弧的圆心角为90°,两粒子在磁场中运动的周期相等,为T=,运动时间之比为3∶4,故粒子b在磁场中的运动时间为T,即运动圆弧的圆心角为120°,运动轨迹的圆弧对应的圆心与O、P三点的连线构成等边三角形,故θ=30°,故B错误,C正确;由题意可知,a、b粒子离开磁场时平行,故D错误。
5.(4分)(2024·新疆喀什阶段练习)在电子技术中,科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),PQ、EF是两条相互垂直的直径,圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ对称放置的线状粒子源,可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正电的粒子,粒子源的长度为R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F点射出磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向垂直于纸面向里
[B] 粒子源发射的粒子均从E点射出磁场
[C] 匀强磁场的磁感应强度大小为
[D] 粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】 D
【解析】 带正电的粒子在磁场中向下偏转,根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直于纸面向外,故A错误;如图甲所示,
设粒子的运动半径为r,根据几何关系可得CF=,[R-(r-R)]2+()2=r2,解得r=R,根据洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得B=,故C错误;任意一点射入磁场,粒子的运动半径都等于R,如图乙所示,由几何关系可知四边形OIJF恒为一个菱形,OF∥IJ,所以所有的粒子都从F点射出,故B错误;
所有粒子在磁场中运动半径都相等,运动轨迹的圆弧越短,在磁场中运动的时间越短,如图丙所示,由几何关系可得sin ∠HO2F=,解得∠HO2F=30°,粒子在磁场中运动的周期T=,则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=T=,故D正确。
6.(6分)(多选)如图所示,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的圆形匀强磁场,磁场半径为R,MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入,不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m,电荷量为q,不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动,以下说法正确的是(　　)
[A] 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越短
[B] 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越长
[C] 若粒子速度大小均为v=,出射后均可垂直打在MN上
[D] 若粒子速度大小均为v=,则粒子在磁场中的运动时间一定小于
【答案】 ACD
【解析】 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大,弧长越长,轨迹对应的圆心角越小,由t=T=可知,运动时间越短,故A正确,B错误。粒子速度大小均为v=时,根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r==R,根据几何关系可知,入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形,射出磁场时的轨迹半径与PO平行,故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直,出射后均可垂直打在MN上;根据几何关系可知,轨迹对应的圆心角小于180°,粒子在磁场中的运动时间t7.(6分)(2024·安徽滁州阶段练习)(多选)如图所示,在竖直面内半径为R、圆心为O′的圆形区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),圆形区域与y轴相切于原点。在坐标系的第二、三象限有沿x轴正方向的匀强电场,一比荷为的带正电粒子(不计重力),从坐标为(-R,)的P点无初速度释放,经电场加速后从圆形磁场边界上的A点以一定的速度沿x轴正方向水平射入磁场,恰好能从坐标为(R,-R)的N点射出,则下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强电场的电场强度为
[B] 粒子在磁场中运动的时间为
[C] 若粒子从点(-R,0)释放,则粒子从N点射出磁场
[D] 若粒子从点(-R,-)释放,则粒子从N点左侧射出磁场
【答案】 ABC
【解析】 进入磁场中的轨迹如图所示。粒子恰好从N点射出,根据几何关系可知,粒子在磁场中转过的圆心角为∠AO″N=∠AO′N=∠AO′O+∠OO′N=120°,运动时间为t=·=,粒子在磁场中运动的半径为r=AO′=R,根据Bqv=m,在电场中,根据动能定理可得EqR=mv2,解得E=,故A、B正确;若粒子从点(-R,0)释放,根据几何关系可得粒子从N点射出磁场,若粒子从点(-R,-)释放,由于运动半径为R,则根据圆的数学知识结合几何关系可知,粒子从N点射出磁场,故C正确,D错误。
8.(26分)(2024·四川南充三模)如图,真空中半径r=0.5 m的圆形磁场与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于纸面向外,在x=1 m和x=2 m之间的区域内有一沿y轴正方向的匀强电场区域,电场强度E=7.5×102 N/C,在x=3 m处有一垂直于x轴方向的足够长的荧光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg带正电的粒子,从O点以v=1.0×106 m/s在xOy平面内沿着与x轴正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同时射出,不计粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁场中运动的半径大小R;
(2)最先到达荧光屏的粒子所用时间t以及其到达荧光屏前速度与x轴正方向夹角的正
切值;
(3)荧光屏上有粒子击中的范围。
【答案】 (1)0.5 m　(2)3×10-6 s　1.5　(3)2.25 m≤Y≤3 m
【解析】 (1)根据洛伦兹力提供向心力,有
qvB=,
代入数据解得R=0.5 m。
(2)沿x轴正方向射出的粒子最先到达荧光屏,沿x轴正方向一直做匀速直线运动,则
t=,
代入数据解得t=3×10-6 s,
粒子在电场中做类平抛运动,有
qE=may,t2=,vy=ayt2,tan θ=,
联立以上各式,代入数据解得tan θ=1.5。
(3)根据磁发散原理知,所有粒子离开磁场边界时速度都平行于x轴正方向,如图所示,
与x轴正方向夹角为120°射出的粒子出磁场时与x轴的距离为y1,则y1=R+Rsin 30°,
代入数据解得y1=0.75 m,
设粒子在电场中沿y轴方向的位移大小为y2,
y2=ay,
代入数据解得y2=0.75 m,
在无场区根据三角形相似得=,x3=1 m,
解得y3=1.5 m,
沿x轴正方向射出的粒子击中荧光屏时到x轴的距离为Y1=y2+y3=2.25 m,
与x轴正方向夹角为120°射出的粒子击中荧光屏时到x轴的距离为Y2=y1+y2+y3=3 m,
综上可得,光屏上有粒子击中的范围为2.25 m≤Y≤3 m。
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1.在圆形边界的匀强磁场中,如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径,则有如下两个重要结论:
磁发散 磁聚焦
如图甲所示,当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时,粒子离开磁场时的速度方向一定平行,而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散” 如图乙所示,当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时,粒子一定会从同一点离开磁场区域,而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”
2.磁聚焦(发散)模型的应用
(1)带电粒子的会聚。
如图甲所示,大量同种带正电的粒子(不计重力),速度大小相等,平行入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
证明:四边形OAO′B为菱形,必是平行四边形,则有OB必平行于AO′,可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
(2)带电粒子的发散。
如图乙所示,有界圆形磁场的磁感应强度为B,圆心为O,从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场,不计粒子受到的重力,如果带正电粒子的轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等,则所有粒子射出磁场的方向平行。
证明:所有粒子运动轨迹的圆心与边界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形,也是平行四边形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁发散模型】 (2025·湖北荆州模拟)(多选)在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直于纸面向外的匀强磁场,a点处有离子源,可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子,且所有离子均垂直bc边射出,下列说法正确的是(　　)
[A] 离子在磁场中做圆周运动的半径为2L
[B] 离子在磁场中运动的最长时间为
[C] 磁场区域的最小面积为L2
[D] 离子入射速度方向与ab边夹角为60°时,将从bc边中点射出
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重庆巴中联盟模拟)磁聚焦法测量电子比荷的装置如图所示。在抽成真空的玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A。在A、K之间加大小为U0的电压,对电子进行加速(初速度视为零),电子由阳极小孔高速射出;在尺寸很小的电容器C的两极板间加一不大的周期性交变电场,使不同时刻通过这里的电子速度方向发生不同程度的微小偏转,在电容器右端和荧光屏之间加一沿轴线方向(图中水平虚线)的匀强磁场,进入磁场的电子会沿不同的螺旋线运动,每绕行一周后都会到达同一位置聚焦,电容器到荧光屏的水平距离为l,调节磁感应强度的大小为B时,可使电子流的第一个焦点落在荧光屏S上。不计电子所受的重力和电子间的相互作用,当θ非常小时满足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子所受洛伦兹力的方向与轴线不垂直
[B] 不同时刻进入电容器的电子运动轨迹一定不同
[C] 利用该设备测出电子的比荷=
[D] 若电子经过电容器后偏离轴线方向的最大角度为θ,该装置中带电粒子螺旋运动段的玻璃管内径(直径)应满足D≥
(满分:60分)
1.(4分)(2024·河北张家口开学考试)如图所示,圆形区域半径为r,区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向内的匀强磁场,一束不计重力的带正电粒子,质量均为m,电荷量均为q,以垂直于区域圆直径MN的相同速度飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场区域,不计粒子间相互作用力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子将于M点射出磁场
[B] 所有粒子在磁场中的运动时间相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
[D] 粒子速度大小为v=
2.(4分)(2025·河北衡水模拟)如图所示,纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流,粒子质量为m,电荷量为-q,速率为v0,不考虑粒子的重力及相互间的作用,要使粒子都汇聚到一点,可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域,则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下图中的(其中B0=,A、C、D选项中的曲线均是半径为L的圆弧,B选项中曲线是半径为的圆)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(4分)(2025·广东梅州模拟)如图所示,扇形区域AOB内存在垂直于平面向里的匀强磁场,OA和OB互相垂直,是扇形的两条半径,一个带电粒子(不计重力)从A点沿AO方向进入磁场,从B点离开,若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场,则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] C点越靠近B点,粒子偏转角度越大
[C] C点越远离B点,粒子运动时间越短
[D] 只要C点在A、B之间,粒子仍然从B点离开磁场
4.(6分)(多选)如图所示为一圆形区域,O为圆心,半径为R,P为边界上的一点,区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v=射入磁场,粒子a正对圆心射入,粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角,已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
5.(4分)(2024·新疆喀什阶段练习)在电子技术中,科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),PQ、EF是两条相互垂直的直径,圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ对称放置的线状粒子源,可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正电的粒子,粒子源的长度为R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F点射出磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向垂直于纸面向里
[B] 粒子源发射的粒子均从E点射出磁场
[C] 匀强磁场的磁感应强度大小为
[D] 粒子在磁场中运动的最短时间为
6.(6分)(多选)如图所示,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的圆形匀强磁场,磁场半径为R,MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入,不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m,电荷量为q,不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动,以下说法正确的是(　　)
[A] 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越短
[B] 对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的时间越长
[C] 若粒子速度大小均为v=,出射后均可垂直打在MN上
[D] 若粒子速度大小均为v=,则粒子在磁场中的运动时间一定小于
7.(6分)(2024·安徽滁州阶段练习)(多选)如图所示,在竖直面内半径为R、圆心为O′的圆形区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出),圆形区域与y轴相切于原点。在坐标系的第二、三象限有沿x轴正方向的匀强电场,一比荷为的带正电粒子(不计重力),从坐标为(-R,)的P点无初速度释放,经电场加速后从圆形磁场边界上的A点以一定的速度沿x轴正方向水平射入磁场,恰好能从坐标为(R,-R)的N点射出,则下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强电场的电场强度为
[B] 粒子在磁场中运动的时间为
[C] 若粒子从点(-R,0)释放,则粒子从N点射出磁场
[D] 若粒子从点(-R,-)释放,则粒子从N点左侧射出磁场
8.(26分)(2024·四川南充三模)如图,真空中半径r=0.5 m的圆形磁场与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于纸面向外,在x=1 m和x=2 m之间的区域内有一沿y轴正方向的匀强电场区域,电场强度E=7.5×102 N/C,在x=3 m处有一垂直于x轴方向的足够长的荧光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg带正电的粒子,从O点以v=1.0×106 m/s在xOy平面内沿着与x轴正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同时射出,不计粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁场中运动的半径大小R;
(2)最先到达荧光屏的粒子所用时间t以及其到达荧光屏前速度与x轴正方向夹角的正
切值;
(3)荧光屏上有粒子击中的范围。
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第5讲　
小专题:“磁发散”和“磁聚焦”
1.在圆形边界的匀强磁场中,如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径,则有如下两个重要结论:
磁发散 磁聚焦
如图甲所示,当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时,粒子离开磁场时的速度方向一定平行,而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散” 如图乙所示,当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时,粒子一定会从同一点离开磁场区域,而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”
2.磁聚焦(发散)模型的应用
(1)带电粒子的会聚。
如图甲所示,大量同种带正电的粒子(不计重力),速度大小相等,平行入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。
证明:四边形OAO′B为菱形,必是平行四边形,则有OB必平行于AO′,可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
(2)带电粒子的发散。
如图乙所示,有界圆形磁场的磁感应强度为B,圆心为O,从P点有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场,不计粒子受到的重力,如果带正电粒子的轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等,则所有粒子射出磁场的方向平行。
证明:所有粒子运动轨迹的圆心与边界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形,也是平行四边形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁发散模型】 (2025·湖北荆州模拟)(多选)在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直于纸面向外的匀强磁场,a点处有离子源,可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子,且所有离子均垂直bc边射出,下列说法正确的是(　　 )
CD
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重庆巴中联盟模拟)磁聚焦法测量电子比荷的装置如图所示。在抽成真空的玻璃管中装有热阴极K和有小孔的阳极A。在A、K之间加大小为U0的电压,对电子进行加速(初速度视为零),电子由阳极小孔高速射出;在尺寸很小的电容器C的两极板间加一不大的周期性交变电场,使不同时刻通过这里的电子速度方向发生不同程度的微小偏转,在电容器右端和荧光屏之间加一沿轴线方向(图中水平虚线)的匀强磁场,进入磁场的电子会沿不同的螺旋线运动,每绕行一周后都会到达同一位置聚焦,电容器到荧光屏的水平距离为l,调节磁感应强度的大小为B时,可使电子流的第一个焦点落在荧光屏S上。
不计电子所受的重力和电子间的相互作用,当θ非常小时满足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子所受洛伦兹力的方向与轴线不垂直
[B] 不同时刻进入电容器的电子运动轨迹一定不同
C
1.(4分)(2024·河北张家口开学考试)如图所示,圆形区域半径为r,区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向内的匀强磁场,一束不计重力的带正电粒子,质量均为m,电荷量均为q,以垂直于区域圆直径MN的相同速度飞入圆形匀强磁场区域后发生偏转,都恰好能在区域边缘的同一点射出磁场区域,不计粒子间相互作用力,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子将于M点射出磁场
[B] 所有粒子在磁场中的运动时间相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
基础对点练
D
A
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2025·广东梅州模拟)如图所示,扇形区域AOB内存在垂直于平面向里的匀强磁场,OA和OB互相垂直,是扇形的两条半径,一个带电粒子(不计重力)从A点沿AO方向进入磁场,从B点离开,若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场,则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] C点越靠近B点,粒子偏转角度越大
[C] C点越远离B点,粒子运动时间越短
[D] 只要C点在A、B之间,粒子仍然从B点离开磁场
D
【解析】由题意,粒子从A点进入磁场,从B点离开,由左手定则可以确定粒子带正电,故A错误;由题意知,粒子做圆周运动的半径等于磁场圆弧区域的半径,根据磁聚焦的原理,当入射方向平行时,这些粒子将从同一点射出,如图所示,从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场,则这些粒子从同一点B射出,由图可知,C点越靠近B点,偏转角越小,运动时间越短,越远离B点,偏转角越大,运动时间越长,故D正确,B、C错误。
[A] 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
AC
5.(4分)(2024·新疆喀什阶段练习)在电子技术中,科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示,圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),PQ、EF是两条相互垂直的直径,圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ对称放置的线状粒子源,可以沿平行于PQ的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正电的粒子,粒子源的长度为R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F点射出磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　)
D
【解析】 带正电的粒子在磁场中向下偏转,根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直于纸面向外,故A错误;如图甲所示,
6.(6分)(多选)如图所示,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的圆形匀强磁场,磁场半径为R,MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入,不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m,电荷量为q,不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动,以下说法正确的是(　 　)
ACD
ABC
综合提升练
8.(26分)(2024·四川南充三模)如图,真空中半径r=0.5 m的圆形磁场与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于纸面向外,在x=1 m和x=2 m之间的区域内有一沿y轴正方向的匀强电场区域,电场强度E=7.5×102 N/C,在x=3 m处有一垂直于x轴方向的足够长的荧光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg带正电的粒子,从O点以v=1.0×106 m/s在xOy平面内沿着与x轴正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同时射出,不计粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁场中运动的半径大小R;
【答案】 (1)0.5 m
(2)最先到达荧光屏的粒子所用时间t以及其到达荧光屏前速度与x轴正方向夹角的正切值;
【答案】 (2)3×10-6 s　1.5　
(3)荧光屏上有粒子击中的范围。
【解析】(3)根据磁发散原理知,所有粒子离开磁场边界时速度都平行于x轴正方向,如图所示,
与x轴正方向夹角为120°射出的粒子出磁场时与x轴的距离为y1,
则y1=R+Rsin 30°,
代入数据解得y1=0.75 m,
【答案】 (3)2.25 m≤Y≤3 m
沿x轴正方向射出的粒子击中荧光屏时到x轴的距离为Y1=y2+y3=2.25 m,
与x轴正方向夹角为120°射出的粒子击中荧光屏时到x轴的距离为Y2=y1+y2+y3=3 m,
综上可得,光屏上有粒子击中的范围为2.25 m≤Y≤3 m。

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