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第8讲　小专题:带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
考点一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外,另外两力的合力为零,qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外,其他力的合力既不为零,也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
[例1] 【磁场和电场的叠加】 (2024·江苏连云港期中)如图所示,在长为2L、宽为L的矩形区域内,有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场,电场方向沿x轴正方向,磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入,带电粒子沿直线运动,经时间t0从P点射出,若仅撤去电场,带电粒子依然经t0射出矩形区域,不计粒子受到的重力,则匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由于带电粒子沿直线运动,则qvB=Eq,t0=,若撤去电场,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,带电粒子依然经t0射出矩形区域,则粒子运动轨迹的弧长为L,所以πr=L,联立可得B=。
[例2]
【磁场、电场和重力场的叠加】 (2024·安徽卷,10)(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则(　　)
[A] 油滴a带负电,所带电量的大小为
[B] 油滴a做圆周运动的速度大小为
[C] 小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
[D] 小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
【答案】 ABD
【解析】 油滴a在纸面内做圆周运动,故重力与静电力平衡,可知油滴带负电,有mg=Eq,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,则3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,得mv=·v1+·v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴受到的静电力和重力仍然平衡,分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知,小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确。
考点二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量
选规律 联立不同阶段的方程求解
[例3] 【电场周期性变化,磁场不变】 (2024·黑龙江齐齐哈尔阶段练习)如图甲所示,在平面直角坐标系xOy的第一象限内、半径为d的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ,边界圆刚好与x轴、y轴相切于C、A两点,长为d、间距也为d的平行金属板M、N固定在第二象限内,N板在x轴上,在两板加上如图乙所示的交流电压UMN,图中U0未知、T已知,在两板中线左端有一粒子源P,沿中线向右不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,所有粒子穿过两板间电场的时间均为T,在x轴下方有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ,在磁场Ⅱ中有一足够长平行于x轴的挡板,挡板到x轴距离为d,从t=0射出的粒子刚好从N板右端边缘射出电场,从t=0.25T时刻射出的粒子经磁场Ⅰ偏转后刚好从C点进入磁场Ⅱ,打在板上时的速度与x轴负方向的夹角为37°,所有粒子打到挡板上后均被挡板吸收,不计粒子重力和相互间作用,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)U0大小;
(2)匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小;
(3)粒子打到挡板上的区域的长度。
【答案】 (1)　(2)　　(3)d
【解析】 (1)所有粒子穿过两板间电场的时间均为T,从t=0射出的粒子刚好从N板右端边缘射出电场,根据对称性可知沿电场方向有
d=2y1,y1=a()2,a=,
联立解得U0=。
(2)设粒子源P射出的粒子速度为v0,根据题意有d=v0T,
解得v0=,
t=0.25T时刻射出的粒子,由题图乙可知粒子沿电场方向的分运动在0.25T～0.75T时间内向下先加速后减速,在0.75T～1.25T时间内向上先加速后减速,根据对称性可知粒子刚好从A点进入磁场Ⅰ,进入时速度方向沿x轴正方向,大小为v0,粒子在两个磁场中的运动轨迹如图a所示。
粒子在磁场Ⅰ中由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B1=m,
由几何关系可得r1=d,
联立可得B1=,
粒子在磁场Ⅱ中由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B2=m,
由几何关系可得r2==d,
联立可得B2=。
(3)所有粒子穿过两板间电场的时间均为T,由题图乙结合对称性可知,所有粒子离开电场时沿电场方向的速度均为零,即所有粒子离开电场时的速度方向均沿x轴正方向,大小均为v0,射出电场时粒子刚好分布于M、N板之间,由于所有粒子进入磁场Ⅰ的运动轨迹半径等于圆形磁场Ⅰ的半径,根据磁汇聚原理可知,所有粒子均从C点进入磁场Ⅱ,如图b所示。
根据几何关系可得挡板上打到粒子的区域的长度为L=2,
联立解得L=d。
[例4] 【磁场周期性变化,电场不变】 (2024·江西景德镇二模)如图甲所示,在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1;第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直于纸面的磁场B1,E1=0.2 N/C,E2=0.25 N/C,磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示,B0=0.5 T,t0= s,设垂直于纸面向外为磁场正方向。一个质量为m=5×10-6 kg、电荷量为q=2×10-4C的带正电液滴从P点以速度v0=2 m/s,沿x轴负方向入射,恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O(此时t=0)后进入x≤0的区域。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小;
(2)求液滴在0～ s时间内的路程;(结果保留2位有效数字)
(3)若在t= s时撤去电场E1、E2和磁场B1,同时在整个空间区域加竖直向上的匀强磁场B2(未画出),B2=0.25 T,求从此时刻起,再经过 s液滴距O点的距离。(结果保留1位有效数字)
【答案】 (1)2.5 m/s　(2)0.98 m　(3)0.7 m
【解析】 (1)根据题意,对带电液滴水平和竖直方向分别由动量定理得
-E1q·t1=0-mv0,mg·t1=mv-0,
解得v=2.5 m/s。
(2)计算可知液滴通过O点后E2q=mg,
则液滴将仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,则有qvB1=m,T=,
解得磁感应强度为B0时T1= s,r1= m,
磁感应强度为2B0时T2= s,r2= m,
0～ s内运动轨迹如图所示。
则s=πr1+2πr2,
解得s= m≈0.98 m。
(3)只有磁场B2存在时,油滴在水平方向做匀速圆周运动,周期T3== s,
半径r3==0.25 m,
油滴在竖直方向做自由落体运动,经过t2= s沿y轴下落高度为y=g,
经过t2= s后距O点的距离为
s=,
解得s≈0.7 m。
[例5] 【电场、磁场均周期性变化】 (2024·湖北武汉联考)如图甲所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图乙和图丙所示,y轴正方向为E的正方向,垂直于纸面向里为B的正方向。t=0时刻,带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出,它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量,图中=,在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为(,)。求:
(1)粒子P的比荷;
(2)t=2t0时刻粒子P的位置;
(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。
【答案】 (1)　(2)(v0t0,0)
(3)v0t0
【解析】 (1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动,当粒子所在位置的纵、横坐标相等时,粒子在磁场中恰好经过圆周,所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R,即R=,又qv0B0=m,
代入= ,解得= 。
(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T,则
T= ,
联立解得T=4t0,
即粒子P做圆周运动后磁场变为电场,粒子以速度v0垂直于电场方向进入电场后做类平抛运动,设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1,则x1=v0t0= ,y1=a,
其中加速度a=,
解得y1==R,
因此t=2t0时刻粒子P的位置坐标为(v0t0,0),如图中的b点所示。
(3)分析知,粒子P在2t0～3t0时间内,静电力产生的加速度方向沿y轴正方向,由对称关系知,在3t0时刻速度方向为x轴正方向,位移x2=x1=v0t0;在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动,往复运动轨迹如(2)中图所示,由图可知,带电粒子在运动中与原点O的最远距离,即O、d间的距离L=2R+2x1,
解得L=v0t0。
解题关键和应注意的问题
(1)带电粒子在交变电、磁场运动的问题一般都具有周期性,注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁场周期的关系。
(2)带电粒子在交变电、磁场中的运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律,所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。
(满分:50分)
对点1.带电粒子在叠加场中的运动
1.
(6分)(2024·河北保定阶段练习)(多选)在地面上方空间存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场,一电荷量为+q、质量m=的带电小球以水平初速度v0水平向右抛出,运动轨迹如图。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球从轨迹的最高点运动到最低点的过程,机械能守恒
[B] 小球运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
[C] 小球水平抛出时的加速度大小为2g
[D] 小球在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差h=
【答案】 ABD
【解析】 将小球的速度v0分解为一个水平向左、大小v1=的分速度和一个水平向右、大小v2=v0的分速度,由于F1=qv0B=mg(与重力平衡),可知小球的运动可以看成是以速率v1向左的匀速直线运动和以速率v2的匀速圆周运动的合运动,故小球在运动轨迹的最低点时的速度大小为v=v1+v2=2v0,故B正确;由qv0B=2mg,可得小球水平抛出瞬间的加速度大小为a==3g,故C错误;由于洛伦兹力不做功,小球从运动轨迹的最高点运动到最低点的过程,仅有重力做功,满足机械能守恒,则有m+mgh=mv2,解得h=,故A、D正确。
2.(6分)(2024·四川内江开学考试)(多选)如图所示,绝缘粗糙的竖直墙壁右侧同时存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B,电场方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为+q的小滑块(可视为质点)从A点由静止开始沿墙壁下滑至C点时离开,到达D点时速度最大,CD段做曲线运动。已知滑块与墙壁间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则(　　)
[A] A到C过程中滑块做匀加速直线运动
[B] 滑块到达D点时加速度为零
[C] D点不是滑块运动轨迹的最低点
[D] 若已知A、C间的高度差,则可求出A到C过程中摩擦力对滑块做的功
【答案】 CD
【解析】 A到C过程中滑块受重力、弹力、摩擦力、静电力、洛伦兹力5个力的作用,下落过程中弹力逐渐减小,则摩擦力逐渐减小,根据mg-Ff=ma可知加速度逐渐增大,故A错误;CD段做曲线运动,则滑块到达D点时加速度不为零,故B错误;D点之后,滑块所受静电力和重力的合力沿左下方,对滑块做负功,洛伦兹力不做功,所以滑块还会继续向下运动,故C正确;若已知A、C间的高度差,滑块在C点时离开墙壁,满足qE=qvB,根据动能定理有mgh+Wf=mv2-0,可求出A到C过程中摩擦力对滑块做的功,故D正确。
3.(4分)(2024·辽宁大连一模)如图甲,S为粒子源,不断沿水平方向发射速度相同的同种带负电粒子,MN为竖直放置的接收屏。当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场时,粒子恰好沿直线打到MN上O点;当只存在一种场时,粒子打在MN上的P点或Q点,P、O、Q三点的位置关系如图乙所示,O、P间距离为O、Q间距离的。已知电场强度大小为E,磁感应强度大小为B,S到屏MN的距离为d、不计粒子重力及粒子间的相互作用,则下列判断正确的是(　　)
[A] 只加磁场时,粒子打在MN上的P点
[B] 粒子源发射出粒子的速度大小为
[C] 粒子的比荷为
[D] O、P间距离为
【答案】 B
【解析】 根据左手定则,带负电粒子在磁场中向下偏转,故只加磁场时,粒子打在MN上的Q点,故A错误;当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场时,粒子恰好沿直线打到MN上O点,则qE=qvB,解得粒子源发射出粒子的速度大小为v=,故B正确;只加电场时,粒子做类平抛运动,则d=vt,OP=at2,a=,只加磁场时,根据洛伦兹力提供向心力,则qvB=m,解得r==,根据几何关系有(r-OQ)2+d2=r2,根据题意有=,联立解得=,OP=d,OQ=,故C、D错误。
对点2.带电粒子在交变电、磁场中的运动
4.(4分)(2025·山东日照模拟)如图甲所示,竖直面内矩形ABCD区域内存在磁感应强度按如图乙所示的规律变化的磁场(规定垂直于纸面向外为正方向),区域边长AB=AD,一带正电的粒子从A点沿AB方向以速度v0射入磁场,在T1时刻恰好能从C点平行DC方向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场(规定竖直向下为正方向),相同的粒子仍以速度v0从A点沿AB方向射入电场,在T2时刻恰好能从C点平行DC方向射出电场。不计粒子的重力,则磁场的变化周期T1和电场的变化周期T2之比为(　　)
[A] 1∶1 [B] 2π∶3
[C] 2π∶9 [D] π∶9
【答案】 C
【解析】 设粒子的质量为m,带电荷量为q,在磁场中的偏转半径为r,经粒子转过的圆心角为α,则有2rsin α=AB,2(r-rcos α)=AD,又AB=AD,联立解得α=60°,所以有=TB,TB=,解得T1=;如果把磁场换为电场,则有AB=v0T2,解得T2=,所以=,故C正确,A、B、D错误。
5.(4分)(2024·湖南永州期中)如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场,取垂直于纸面向外为磁场正方向,磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示,取垂直于极板向上为电场正方向,电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时,一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间,最终平行于极板中线射出,已知粒子在t=1.5t0时速度为零,且整个运动过程中始终未与两极板接触,则下列说法错误的是(　　)
[A] 粒子可能在2.5t0时刻射出极板
[B] 极板间距不小于+
[C] 极板长度为(n=1,2,3,…)
[D] =
【答案】 C
【解析】
根据题意可知,在0.5t0～t0内,粒子在磁场中做匀速圆周运动,且转了周,在t0～1.5t0内,粒子在电场中向下做减速运动到速度为零,在1.5t0～2t0内,粒子在电场中向上做加速运动到速度为v,在2t0～2.5t0内,粒子在磁场中做匀速圆周运动,转了周,粒子回到极板中线,速度平行于极板中线向右,接下来粒子周期性地重复以上运动,粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示。粒子一个运动周期为T=2.5t0-0.5t0=2t0,故粒子射出极板的时刻可能为t=0.5t0+
nT=(0.5+2n)t0(n=1,2,3,…),当n=1时,t=0.5t0+T=2.5t0,故A正确;粒子在磁场中时,设粒子的轨迹半径为r,则有T磁==2t0,解得r=,粒子在电场中向下减速的位移大小为y=·0.5t0=,故极板间距应满足d≥2(r+y)=+,故B正确;极板长度可能为L=n·2r=(n=1,2,3,…),故C错误;粒子在磁场中时,有T磁==2t0,解得B0=,粒子在电场中时,有v=a·0.5t0=·
0.5t0,解得E0=,可得=,故D正确。
6.(6分)(2024·广西桂林一模)(多选)如图甲所示,ABCD是一长方形有界匀强磁场边界,磁感应强度按图乙规律变化,取垂直于纸面向外为磁场的正方向,图中AB=AD=L,一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子以速度v0在t=0时从A点沿AB方向垂直于磁场射入,粒子重力不计。则下列说法正确的是(　　)
[A] 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则磁场的磁感应强度大小B0=
[B] 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的半径大小R=
[C] 若要使粒子恰能沿DC方向通过C点,则磁场的磁感应强度的大小B0=(n=1,2,3,…)
[D] 若要使粒子恰能沿DC方向通过C点,磁场变化的周期T0=(n=1,2,3,…)
【答案】 AD
【解析】 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子在磁场中经过个圆周,做匀速圆周运动的半径为L,根据牛顿第二定律有qv0B0=m,解得B0=,故A正确;若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,如图a所示,可知粒子运动了三段四分之一圆弧,根据几何关系,运动的半径大小为R=,故B错误;
若要使粒子恰能沿DC方向通过C点,如图b所示,
则粒子运动的总时间一定为磁感应强度变化周期的整数倍,设粒子运动的半径为r,由几何关系知,则2L=2nr(n=1,2,3,…),根据牛顿第二定律有qv0B0=m,解得B0=(n=1,2,3,…),根据几何关系可知粒子在一个磁场变化的周期T0内转过的圆心角为120°,则T0==
(n=1,2,3,…),故C错误,D正确。
7.(20分)(2025·陕晋青宁高考适应性考试)如图,cd边界与x轴垂直,在其右方竖直平面内,第一、二象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场,第三、四象限存在垂直于纸面向内的匀强磁场,磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内,某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入,小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动,此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g,已知磁感应强度大小均为。求:
(1)电场强度的大小和P点与y轴的距离;
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小;
(3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
【答案】 (1)　　(2)(1+)v0　(3)
【解析】 (1)
依题意,小球从P点运动到坐标原点O,速率没有改变,即动能变化量为零,由动能定理可知合力做功为零,电场力与重力等大反向,可得qE=mg,解得E=,可知小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,轨迹如图甲所示,根据qv0B=m,解得r=,由几何关系可得xP=r+rcos 30°,联立解得xP=。
(2)
把小球在坐标原点的速度v0分解为沿x轴正方向的v0和与x轴负方向成45°角的v0,如图乙所示,其中沿x轴正方向的v0对应的洛伦兹力恰好与小球重力平衡,即F洛=qv0B=mg,
小球沿x轴正方向做匀速直线运动;
与x轴负方向成45°的 v0 对应的洛伦兹力提供小球做逆时针匀速圆周运动的向心力,可知小球第一次到达最低点时速度的大小为v=v0+v0=(1+)v0。
(3)
由以上分析可知小球在撤去电场后做匀速圆周运动的分运动轨迹如图丙所示,根据qv0B=m,又T=,由几何关系可得小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时圆弧轨迹对应的圆心角为135°,则所用时间为t=T,联立解得t=。
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)第8讲　小专题:带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
考点一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外,另外两力的合力为零,qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外,其他力的合力既不为零,也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
[例1] 【磁场和电场的叠加】 (2024·江苏连云港期中)如图所示,在长为2L、宽为L的矩形区域内,有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场,电场方向沿x轴正方向,磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入,带电粒子沿直线运动,经时间t0从P点射出,若仅撤去电场,带电粒子依然经t0射出矩形区域,不计粒子受到的重力,则匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例2]
【磁场、电场和重力场的叠加】 (2024·安徽卷,10)(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则(　　)
[A] 油滴a带负电,所带电量的大小为
[B] 油滴a做圆周运动的速度大小为
[C] 小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
[D] 小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
考点二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量
选规律 联立不同阶段的方程求解
[例3] 【电场周期性变化,磁场不变】 (2024·黑龙江齐齐哈尔阶段练习)如图甲所示,在平面直角坐标系xOy的第一象限内、半径为d的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ,边界圆刚好与x轴、y轴相切于C、A两点,长为d、间距也为d的平行金属板M、N固定在第二象限内,N板在x轴上,在两板加上如图乙所示的交流电压UMN,图中U0未知、T已知,在两板中线左端有一粒子源P,沿中线向右不断射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,所有粒子穿过两板间电场的时间均为T,在x轴下方有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ,在磁场Ⅱ中有一足够长平行于x轴的挡板,挡板到x轴距离为d,从t=0射出的粒子刚好从N板右端边缘射出电场,从t=0.25T时刻射出的粒子经磁场Ⅰ偏转后刚好从C点进入磁场Ⅱ,打在板上时的速度与x轴负方向的夹角为37°,所有粒子打到挡板上后均被挡板吸收,不计粒子重力和相互间作用,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)U0大小;
(2)匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小;
(3)粒子打到挡板上的区域的长度。
[例4] 【磁场周期性变化,电场不变】 (2024·江西景德镇二模)如图甲所示,在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1;第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直于纸面的磁场B1,E1=0.2 N/C,E2=0.25 N/C,磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示,B0=0.5 T,t0= s,设垂直于纸面向外为磁场正方向。一个质量为m=5×10-6 kg、电荷量为q=2×10-4C的带正电液滴从P点以速度v0=2 m/s,沿x轴负方向入射,恰好以指向y轴负方向的速度v经过原点O(此时t=0)后进入x≤0的区域。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小;
(2)求液滴在0～ s时间内的路程;(结果保留2位有效数字)
(3)若在t= s时撤去电场E1、E2和磁场B1,同时在整个空间区域加竖直向上的匀强磁场B2(未画出),B2=0.25 T,求从此时刻起,再经过 s液滴距O点的距离。(结果保留1位有效数字)
[例5] 【电场、磁场均周期性变化】 (2024·湖北武汉联考)如图甲所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中,电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图乙和图丙所示,y轴正方向为E的正方向,垂直于纸面向里为B的正方向。t=0时刻,带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出,它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量,图中=,在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为(,)。求:
(1)粒子P的比荷;
(2)t=2t0时刻粒子P的位置;
(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。
解题关键和应注意的问题
(1)带电粒子在交变电、磁场运动的问题一般都具有周期性,注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁场周期的关系。
(2)带电粒子在交变电、磁场中的运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律,所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。
(满分:50分)
对点1.带电粒子在叠加场中的运动
1.
(6分)(2024·河北保定阶段练习)(多选)在地面上方空间存在方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的水平方向匀强磁场,一电荷量为+q、质量m=的带电小球以水平初速度v0水平向右抛出,运动轨迹如图。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A] 小球从轨迹的最高点运动到最低点的过程,机械能守恒
[B] 小球运动到轨迹的最低点时的速度大小为2v0
[C] 小球水平抛出时的加速度大小为2g
[D] 小球在竖直面内运动轨迹的最高点与最低点的高度差h=
2.(6分)(2024·四川内江开学考试)(多选)如图所示,绝缘粗糙的竖直墙壁右侧同时存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B,电场方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为+q的小滑块(可视为质点)从A点由静止开始沿墙壁下滑至C点时离开,到达D点时速度最大,CD段做曲线运动。已知滑块与墙壁间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则(　　)
[A] A到C过程中滑块做匀加速直线运动
[B] 滑块到达D点时加速度为零
[C] D点不是滑块运动轨迹的最低点
[D] 若已知A、C间的高度差,则可求出A到C过程中摩擦力对滑块做的功
3.(4分)(2024·辽宁大连一模)如图甲,S为粒子源,不断沿水平方向发射速度相同的同种带负电粒子,MN为竖直放置的接收屏。当同时存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场时,粒子恰好沿直线打到MN上O点;当只存在一种场时,粒子打在MN上的P点或Q点,P、O、Q三点的位置关系如图乙所示,O、P间距离为O、Q间距离的。已知电场强度大小为E,磁感应强度大小为B,S到屏MN的距离为d、不计粒子重力及粒子间的相互作用,则下列判断正确的是(　　)
[A] 只加磁场时,粒子打在MN上的P点
[B] 粒子源发射出粒子的速度大小为
[C] 粒子的比荷为
[D] O、P间距离为
对点2.带电粒子在交变电、磁场中的运动
4.(4分)(2025·山东日照模拟)如图甲所示,竖直面内矩形ABCD区域内存在磁感应强度按如图乙所示的规律变化的磁场(规定垂直于纸面向外为正方向),区域边长AB=AD,一带正电的粒子从A点沿AB方向以速度v0射入磁场,在T1时刻恰好能从C点平行DC方向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场(规定竖直向下为正方向),相同的粒子仍以速度v0从A点沿AB方向射入电场,在T2时刻恰好能从C点平行DC方向射出电场。不计粒子的重力,则磁场的变化周期T1和电场的变化周期T2之比为(　　)
[A] 1∶1 [B] 2π∶3
[C] 2π∶9 [D] π∶9
5.(4分)(2024·湖南永州期中)如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场,取垂直于纸面向外为磁场正方向,磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示,取垂直于极板向上为电场正方向,电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时,一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间,最终平行于极板中线射出,已知粒子在t=1.5t0时速度为零,且整个运动过程中始终未与两极板接触,则下列说法错误的是(　　)
[A] 粒子可能在2.5t0时刻射出极板
[B] 极板间距不小于+
[C] 极板长度为(n=1,2,3,…)
[D] =
6.(6分)(2024·广西桂林一模)(多选)如图甲所示,ABCD是一长方形有界匀强磁场边界,磁感应强度按图乙规律变化,取垂直于纸面向外为磁场的正方向,图中AB=AD=L,一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子以速度v0在t=0时从A点沿AB方向垂直于磁场射入,粒子重力不计。则下列说法正确的是(　　)
[A] 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则磁场的磁感应强度大小B0=
[B] 若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的半径大小R=
[C] 若要使粒子恰能沿DC方向通过C点,则磁场的磁感应强度的大小B0=(n=1,2,3,…)
[D] 若要使粒子恰能沿DC方向通过C点,磁场变化的周期T0=(n=1,2,3,…)
7.(20分)(2025·陕晋青宁高考适应性考试)如图,cd边界与x轴垂直,在其右方竖直平面内,第一、二象限存在垂直于纸面向外的匀强磁场,第三、四象限存在垂直于纸面向内的匀强磁场,磁场区域覆盖有竖直向上的外加匀强电场。在xOy平面内,某质量为m、电荷量为q带正电的绝缘小球从P点与cd边界成30°角以速度v0射入,小球到坐标原点O时恰好以速度v0竖直向下运动,此时去掉外加的匀强电场。重力加速度大小为g,已知磁感应强度大小均为。求:
(1)电场强度的大小和P点与y轴的距离;
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小;
(3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。
(
第
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高中总复习·物理
第8讲　
小专题:带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外,另外两力的合力为零,qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外,其他力的合力既不为零,也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
C
[例1] 【磁场和电场的叠加】 (2024·江苏连云港期中)如图所示,在长为2L、宽为L的矩形区域内,有相互垂直的匀强电场(图中未画出)和匀强磁场,电场方向沿x轴正方向,磁场方向垂直于xOy平面向里。一质量为m、带电荷量为q的带电粒子从O点沿y轴正方向以一定速度射入,带电粒子沿直线运动,经时间t0从P点射出,若仅撤去电场,带电粒子依然经t0射出矩形区域,不计粒子受到的重力,则匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)
[例2] 【磁场、电场和重力场的叠加】 (2024·安徽卷,10)(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则( 　　)
ABD
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图 看清并且明白场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量
选规律 联立不同阶段的方程求解
(1)U0大小;
(2)匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小;
(3)粒子打到挡板上的区域的长度。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小;
【答案】 (1)2.5 m/s
【解析】 (1)根据题意,对带电液滴水平和竖直方向分别由动量定理得
-E1q·t1=0-mv0,mg·t1=mv-0,
解得v=2.5 m/s。
【答案】 (2)0.98 m
【答案】 (3)0.7 m
(1)粒子P的比荷;
(2)t=2t0时刻粒子P的位置;
(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。
方法总结
解题关键和应注意的问题
(1)带电粒子在交变电、磁场运动的问题一般都具有周期性,注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁场周期的关系。
(2)带电粒子在交变电、磁场中的运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律,所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。
基础对点练
ABD
CD
2.(6分)(2024·四川内江开学考试)(多选)如图所示,绝缘粗糙的竖直墙壁右侧同时存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B,电场方向水平向左,磁场方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为+q的小滑块(可视为质点)从A点由静止开始沿墙壁下滑至C点时离开,到达D点时速度最大,CD段做曲线运动。已知滑块与墙壁间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则
(　　 )
[A] A到C过程中滑块做匀加速直线运动
[B] 滑块到达D点时加速度为零
[C] D点不是滑块运动轨迹的最低点
[D] 若已知A、C间的高度差,则可求出A到C过程中摩擦力对滑块做的功
B
C
5.(4分)(2024·湖南永州期中)如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场,取垂直于纸面向外为磁场正方向,磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示,取垂直于极板向上为电场正方向,电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时,一不计重力、带正电的粒子从极板左端以速度v沿板间中线平行极板射入板间,最终平行于极板中线射出,已知粒子在t=1.5t0时速度为零,且整个运动过程中始终未与两极板接触,则下列说法错误的是(　　 )
C
AD
综合提升练
(1)电场强度的大小和P点与y轴的距离;
(2)小球第一次到达最低点时速度的大小;
(3)小球从过坐标原点时到第一次到达最低点时所用时间。

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