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第9讲　小专题:带电粒子在立体空间电、磁场中的运动
考点一　带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况:
(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
[例1] 【带电粒子的“旋进”运动】 (2024·陕西西安模拟)(多选)如图所示,匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v,方向与电场、磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时,可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力,此后一段时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 离子受到的洛伦兹力大小不变
[B] 离子加速度的大小不变
[C] 静电力的瞬时功率不变
[D] 速度与电场方向的夹角θ变大
【答案】 AB
【解析】 根据运动的分解可知离子水平方向的分速度v1变大,垂直于磁场方向的分量v2不变,则洛伦兹力F洛=qv2B不变,静电力F=qE也不变,离子所受合力大小不变,根据牛顿第二定律可知加速度大小不变,故A、B正确;根据功率的计算公式P=qEv1可知,静电力的瞬时功率变大,故C错误;由于v1变大,根据速度的合成可知速度与电场方向的夹角θ变小,故D错误。
[例2] 【带电粒子的螺旋线运动】 (2024·山西晋中期中)如图所示,在Oxyz空间直角坐标系中,在x轴负半轴区域内有沿z轴负方向的匀强电场;在x轴正半轴0≤x≤3.5d范围内,以x轴为中心轴、半径为d的圆柱区域内有沿x轴正方向、磁感应强度大小B1=的匀强磁场Ⅰ,x>3.5d区域内有沿z轴负方向、磁感应强度大小B2=的匀强磁场Ⅱ。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从点A(-2d,0,d)以速度v0沿x轴正方向开始运动,恰好从O点进入圆柱区域,不计粒子的重力,求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)粒子在圆柱区域内的运动时间t;
(3)粒子离开圆柱区域右侧磁场Ⅱ时的位置坐标。
【答案】 (1)　(2)　
(3)(3.5d,2d-,)
【解析】 (1)粒子从A点到O点,在电场中做类平抛运动,设运动时间为t1,沿x轴方向有
2d=v0t1,
沿z轴方向有d=a,
由牛顿第二定律得Eq=ma,
联立解得E=。
(2)粒子进入圆柱区域后在垂直于磁场Ⅰ方向的分速度vz=at1=v0,
由牛顿第二定律得qB1vz=,
解得r1=<,
又粒子沿平行于磁场Ⅰ方向(x轴方向)以速度v0做匀速直线运动,故粒子在圆柱区域内螺旋前进,则有3.5d=v0t,
解得t=。
(3)粒子在圆柱区域内做匀速圆周运动的周期
T==,
所以,有t=T,
故粒子在离开圆柱区域时,到xOy平面的距离为r1,到xOz平面的距离为r1,到yOz平面的距离为3.5d,即粒子离开圆柱区域时的坐标为(3.5d,-,),
粒子离开圆柱区域后,进入磁场Ⅱ,沿z轴负方向看,其轨迹如图所示,
设粒子在磁场Ⅱ中的运动半径为r2,则粒子进入磁场Ⅱ时速度大小为v==v0,
方向与x轴正方向成45°角,由牛顿第二定律得
qB2v=,
联立解得r2=d。
故粒子离开磁场区域Ⅱ时的坐标是(3.5d,2d-,)。
考点二　带电粒子在立体空间中的运动
　分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
[例3] 【空间的圆周运动】
(多选)如图所示,直角坐标系xOy在水平面内,z轴竖直向上,坐标原点O处固定一带正电的点电荷,空间中存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A,绕z轴做匀速圆周运动。小球A的速度大小为v0,小球与坐标原点的距离为r,O点和小球A的连线与z轴的夹角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。则下列说法正确的是(　　)
[A] 从上往下看,小球A沿逆时针方向转动
[B] O处的点电荷在A运动的圆周上各处产生的电势和电场强度都相同
[C] 小球A与点电荷之间的库仑力大小为mg
[D] v0=时,所需磁场的磁感应强度B最小
【答案】 ACD
【解析】
空间中存在竖直向下的匀强磁场B,小球的向心力由库仑力在运动轨迹半径方向的分力和洛伦兹力提供,根据左手定则可知,从上往下看小球只能沿逆时针方向做匀速圆周运动,故A正确;O处的点电荷在A运动的圆周上各处产生的电势都相同,电场强度大小相等,方向不同,故B错误;对小球A受力分析如图所示,洛伦兹力F2沿水平方向,库仑力F1沿着O→A方向,在竖直方向,根据平衡条件得F1cos 37°=mg,解得F1=mg,所以小球A与点电荷之间的库仑力大小为mg,故C正确;水平方向根据牛顿第二定律得qv0B-F1sin 37°=m,其中 F1sin 37°=mg,解得B=+,当 =,即v0=时,B取最小值,故D正确。
[例4] 【带电粒子在空间的偏转】 (2024·天津和平期中)在芯片制造过程中,离子注入是其中一道重要的工序。为了准确地注入离子,需要在一个有限空间中用电、磁场对离子的运动轨迹进行调控。在空间内存在边长L=0.64 m的立方体OACD-O′A′C′D′,以O为坐标原点,沿OA、OO′和OD方向分别建立x、y、z轴。在OACD面的中心M处存在一粒子发射源,可在底面内平行于底面沿任意方向发射初速度v0=8.0×104 m/s,比荷=1.0×108 C/kg的带正电粒子。在区域内施加一定的匀强电场或者匀强磁场,使粒子可以达到相应的空间位置。不计粒子重力,则:
(1)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强电场,使粒子只能从O′A′C′D′面飞出,求施加电场的电场强度E的最小值;
(2)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强磁场,若磁感应强度大小为B=4.0×10-3 T,求粒子在磁场中运动时间的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,结果可保留π和分式)
【答案】 (1)8.0×102 N/C　(2)π×10-6 s
【解析】 (1)施加沿y轴正方向的匀强电场,粒子做类平抛运动,沿y轴方向做匀加速直线运动,若粒子只能从O′A′C′D′面飞出,根据运动学公式可得L=at2,
根据牛顿第二定律可得qE=ma,
粒子沿初速度方向做匀速直线运动s=v0t,
s≤,
联立解得E≥,
代入数据得Emin=8.0×102 N/C。
(2)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强磁场,当磁感应强度大小为B=4.0×10-3 T时,根据牛顿第二定律可得qv0B=m,
解得r=,
根据周期的公式可得T=,
代入数据得r=0.2 m,T=5π×10-6 s,
粒子在xOz平面内运动时间最短的轨迹如图,
则由几何关系得sin =,
解得θ1=106°,
故有tmin=·T,
解得tmin=π×10-6 s。
(满分:50分)
对点1.带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
1.
(4分)(2024·广东深圳阶段练习)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则(　　)
[A] 静电力的瞬时功率为qE
[B] 该离子受到的洛伦兹力大小不变
[C] v2与v1的比值不断变大
[D] 该离子做匀变速直线运动
【答案】 B
【解析】 根据功率的计算公式P=Fvcos θ可知静电力的瞬时功率为P=qEv1,故A错误。由于v1与磁场B平行,v2与磁场B垂直,则根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B,根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动,沿水平方向做加速运动,则v1增大,v2不变,所以离子受到的洛伦兹力大小不变,的值不断变大;该离子受到的静电力不变,洛伦兹力大小不变,方向总是与电场方向垂直,所以该离子做曲线运动,故B正确,C、D错误。
2.
(4分)(2025·广东清远模拟)我国最北的城市漠河地处高纬度地区,在晴朗的夜空偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响,与空气分子作用的发光现象,若宇宙粒子带正电,因入射速度与地磁场方向不垂直,故其轨迹偶成螺旋状如图(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx)。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用,在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
[B] 若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径越大
[C] 漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进
[D] 当不计空气阻力时,若入射粒子的速率不变,仅减小与地磁场的夹角,则旋转半径减小,而螺距Δx增大
【答案】 D
【解析】 带电粒子进入大气层后,由于与空气相互作用,粒子的运动速度会变小,在洛伦兹力作用下的偏转半径r=会变小,A错误;若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,地磁场变强,以相同速度入射的粒子的旋转半径变小,B错误;漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的,宇宙粒子入射后,由左手定则可知,从下往上看将以顺时针的方向向前旋进,C错误;当不计空气阻力时,将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解,沿磁场方向将做匀速直线运动,垂直于磁场方向做匀速圆周运动,若带电粒子运动速率不变,与磁场的夹角变小,则垂直于磁场的速度分量变小,故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减小,即直径D减小,而沿磁场方向的速度分量变大,故沿磁场方向的匀速直线运动将变快,则螺距Δx将增大,D正确。
3.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪(图甲)探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时,发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论:在空间存在平行于y轴的匀强磁场,由坐标原点在xOy平面内以初速度v0以沿与x轴正方向成θ角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线,其轴线平行于y轴,螺旋半径为R,螺距为Δy,螺旋周期为T,则下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向为沿y轴负方向
[B] 若仅增大励磁线圈中的电流,则螺旋半径R减小
[C] 若仅增大电子的加速电压,则螺距Δy将增大
[D] 若仅增大θ角(θ<90°),则螺旋周期T将减小
【答案】 ABC
【解析】
将电子的速度沿x轴和y轴分解,如图所示,vy=v0sin θ,vx=v0cos θ,电子沿y轴正方向做匀速直线运动,在xOz平面内做匀速圆周运动,根据题图乙可知电子从O点开始向上偏转,电子在O点受到的洛伦兹力沿z轴正方向,且电子带负电,利用左手定则可知匀强磁场的方向为沿y轴负方向,故A正确;由洛伦兹力提供向心力,有q(v0cos θ)B=,得R=,若仅增大励磁线圈中的电流,则磁感应强度增大,可知电子做圆周运动的半径变小,故B正确;电子在电场中加速,根据动能定理有qU=m,解得v0=,根据运动学公式,螺距为Δy=v0sin θ·T,电子做匀速圆周运动的周期为 T=,可知周期与θ角无关,若仅增大θ角(θ<90°),T不变,若仅增大电子的加速电压,可知螺距会增大,故C正确,D错误。
对点2.带电粒子在立体空间中的运动
4.
(4分)(2024·山西太原模拟)如图所示,长方体空间被平面MNPO分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从长方体左侧垂直Oyz平面进入并穿过两磁场区域,关于电子运动轨迹在下列坐标平面内的投影,可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由左手定则可以判断出电子在两磁场中的洛伦兹力方向,沿z轴负方向看,电子在洛伦兹力的作用下,在平面MNPO的左侧区域,电子沿逆时针做圆周运动,在平面MNPO的右侧区域,电子沿顺时针做圆周运动,所以电子运动轨迹在xOy坐标平面内的投影如选项A所示,在xOz平面内的投影应该是一条平行于x轴的直线。故选A。
5.
(4分)(2024·海南海口阶段练习)如图所示,以竖直向上为z轴正方向建立O-xyz坐标系,空间中存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿z轴正方向,大小为E,匀强磁场的磁感应强度为B,方向未知。现有一个质量为m、电荷量为 q=的带正电的小球恰好从O点沿y轴正方向以速度v做匀速直线运动,g为重力加速度,下列说法不正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向一定沿y轴正方向
[B] 若E的方向改为沿x轴正方向,则改变磁场方向,可使小球仍做匀速直线运动,磁感应强度大小可能为
[C] 若撤去电场,小球运动的最低点z坐标可能为z=-
[D] 若撤去电场,小球第一次返回到xOy平面的可能坐标为(,)
【答案】 A
【解析】 小球受向下的重力mg和沿z轴向上的静电力,且Eq=mg,因小球恰好从O点沿y轴正方向以速度v做匀速直线运动,则匀强磁场的方向与y轴平行,可能沿y轴正方向,也可能沿y轴负方向,选项A错误,符合题意;若E的方向改为沿x轴正方向,则改变磁场方向,可使小球仍做匀速直线运动,则小球受静电力、重力mg和洛伦兹力qvB三力平衡,由平衡条件可知(mg)2+(qE)2=(qvB)2,且Eq=mg,解得磁感应强度大小可能为B=,选项B正确,不符合题意;若磁场方向沿y轴正方向,撤去电场,把小球的速度分解成沿x轴正方向的v1和负方向的v1还有沿y轴正方向的v,沿x轴正方向的v1产生的洛伦兹力与mg平衡,即qv1B=mg,粒子在负方向的v1产生的洛伦兹力作用下做圆周运动,并沿y轴做匀速运动,经过半个周期到达最低点,则z=-2r=-=-,回到xOy平面时,则x=v1T=×=,
y=vT==,选项C、D正确,不符合题意。
6.(6分)(2024·广东惠州一模)(多选)如图所示,长方体OMPQ-O1M1P1Q1所在空间存在与MO1方向平行的匀强磁场,一粒子源无初速度释放一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子,经电压U加速后,从O点沿OQ方向射入磁场区域,并从P1点离开长方体区域。已知长方体OM、OO1边的长度均为d,OQ的长度为d,不计粒子的重力及其相互作用,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子进入磁场区域的初速度大小为
[B] 磁感应强度的大小为
[C] 若减小加速电压U,粒子可能从M1射出
[D] 若增大加速电压U,粒子可能从M1P1中点射出
【答案】 ABC
【解析】 粒子在电场中加速,则Uq=mv2,解得进入磁场区域的初速度大小为v=,选项A正确;进入磁场后粒子在平面OM1P1Q内做匀速圆周运动,则r2=(d)2+(r-d)2,qBv=m,解得磁感应强度的大小为B=,选项B正确;若减小加速电压U,则粒子射入磁场时的速度减小,运动半径减小,则粒子可能从M1射出,选项C正确;若增大加速电压U,则粒子射入磁场时的速度变大,运动半径变大,则粒子从QP1连线上某点射出,不可能从M1P1中点射出,选项D错误。
7.
(6分)(2025·安徽合肥模拟)(多选)局部空间的地磁场对宇宙射线的作用原理可以用如下的简化模型来研究。如图所示,正圆柱体形状的空间内存在沿轴线方向、大小为B的匀强磁场。一个带电荷量为e、质量为m的电子以初速度v0从圆柱体的上底面圆心O点射入磁场,速度方向与轴线成30°夹角,一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心O′点。已知粒子在此过程中不会与圆柱体壁发生碰撞,不考虑洛伦兹力以外的其他力,下列说法正确的是(　　)
[A] 圆柱体空间的底面半径可能等于
[B] 电子在圆柱体空间内运动的时间可能为
[C] 圆柱体空间的高可能为
[D] 电子在圆柱体空间内运动的某段时间里动量变化量的大小可能为mv0
【答案】 BD
【解析】 将速度分解为沿磁场方向和垂直于磁场方向,则电子在沿磁场方向做匀速直线运动,在垂直于磁场方向做匀速圆周运动,其圆周运动的半径 r=,其在圆柱体中心一侧运动范围为直径,故圆柱体半径R≥2r=,故A错误;一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心O′点,则运动时间与圆周运动周期关系为t=nT,T=,则t=nT=,当n=1时,电子在圆柱体空间内运动的时间为t=,故B正确;电子沿磁场方向位移大小h=t=
nT=,当n=1时 h=,故C错误;电子运动时间为半个周期时动量变化量大小为mv0,故D正确。
8.(16分)(2025·广东珠海模拟)如图所示,以长方体 abcd-a′b′c′d′ 的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a′a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立Oxyz坐标系,已知Oa=ab=aa′=L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,恰好从a点射出磁场。
(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场,让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,为使粒子能从a′点射出磁场,求电场强度E1的大小;
(3)若在长方体中加上电场强度大小为E2=、方向沿z轴负方向的匀强电场,该粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,求粒子射出磁场时与O点的距离s。
【答案】 (1)　(2)　(3)(1-π)L
【解析】 (1)粒子在aOzb平面内做匀速圆周运动,如图中轨迹1所示,
由洛伦兹力提供向心力可得
qvB=m,
由几何关系可得r1=L,
解得B=。
(2)粒子在长方体中运动的时间为t=,
在y轴方向上做初速度为零的匀加速直线运动,则有L=at2,
又qE1=ma,
解得E1=。
(3)将初速度v分解为v1、v2,使v1对应的洛伦兹力恰好与静电力平衡,即qv1B=qE2,
其中E2=,
解得v1=v,v2==2v,
易知v2与z轴正方向的夹角为θ=60°,
若仅在v2对应的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,即qv2B=m,
则轨道半径r2=,
解得r2=L,
该分运动的情况如图中轨迹2所示。粒子在磁场中运动的时间为t2=,
由于粒子也参与速度大小为v1、方向沿x轴正方向的匀速运动,粒子射出磁场时与O点的距离为s=L-v1t2,
联立解得s=(1-π)L。
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)第9讲　小专题:带电粒子在立体空间电、磁场中的运动
考点一　带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况:
(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
[例1] 【带电粒子的“旋进”运动】 (2024·陕西西安模拟)(多选)如图所示,匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v,方向与电场、磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时,可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力,此后一段时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 离子受到的洛伦兹力大小不变
[B] 离子加速度的大小不变
[C] 静电力的瞬时功率不变
[D] 速度与电场方向的夹角θ变大
[例2] 【带电粒子的螺旋线运动】 (2024·山西晋中期中)如图所示,在Oxyz空间直角坐标系中,在x轴负半轴区域内有沿z轴负方向的匀强电场;在x轴正半轴0≤x≤3.5d范围内,以x轴为中心轴、半径为d的圆柱区域内有沿x轴正方向、磁感应强度大小B1=的匀强磁场Ⅰ,x>3.5d区域内有沿z轴负方向、磁感应强度大小B2=的匀强磁场Ⅱ。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从点A(-2d,0,d)以速度v0沿x轴正方向开始运动,恰好从O点进入圆柱区域,不计粒子的重力,求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)粒子在圆柱区域内的运动时间t;
(3)粒子离开圆柱区域右侧磁场Ⅱ时的位置坐标。
考点二　带电粒子在立体空间中的运动
　分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
[例3] 【空间的圆周运动】
(多选)如图所示,直角坐标系xOy在水平面内,z轴竖直向上,坐标原点O处固定一带正电的点电荷,空间中存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A,绕z轴做匀速圆周运动。小球A的速度大小为v0,小球与坐标原点的距离为r,O点和小球A的连线与z轴的夹角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。则下列说法正确的是(　　)
[A] 从上往下看,小球A沿逆时针方向转动
[B] O处的点电荷在A运动的圆周上各处产生的电势和电场强度都相同
[C] 小球A与点电荷之间的库仑力大小为mg
[D] v0=时,所需磁场的磁感应强度B最小
[例4] 【带电粒子在空间的偏转】 (2024·天津和平期中)在芯片制造过程中,离子注入是其中一道重要的工序。为了准确地注入离子,需要在一个有限空间中用电、磁场对离子的运动轨迹进行调控。在空间内存在边长L=0.64 m的立方体OACD-O′A′C′D′,以O为坐标原点,沿OA、OO′和OD方向分别建立x、y、z轴。在OACD面的中心M处存在一粒子发射源,可在底面内平行于底面沿任意方向发射初速度v0=8.0×104 m/s,比荷=1.0×108 C/kg的带正电粒子。在区域内施加一定的匀强电场或者匀强磁场,使粒子可以达到相应的空间位置。不计粒子重力,则:
(1)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强电场,使粒子只能从O′A′C′D′面飞出,求施加电场的电场强度E的最小值;
(2)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强磁场,若磁感应强度大小为B=4.0×10-3 T,求粒子在磁场中运动时间的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,结果可保留π和分式)
(满分:50分)
对点1.带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
1.
(4分)(2024·广东深圳阶段练习)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则(　　)
[A] 静电力的瞬时功率为qE
[B] 该离子受到的洛伦兹力大小不变
[C] v2与v1的比值不断变大
[D] 该离子做匀变速直线运动
2.
(4分)(2025·广东清远模拟)我国最北的城市漠河地处高纬度地区,在晴朗的夜空偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响,与空气分子作用的发光现象,若宇宙粒子带正电,因入射速度与地磁场方向不垂直,故其轨迹偶成螺旋状如图(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx)。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用,在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
[B] 若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径越大
[C] 漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进
[D] 当不计空气阻力时,若入射粒子的速率不变,仅减小与地磁场的夹角,则旋转半径减小,而螺距Δx增大
3.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪(图甲)探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时,发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论:在空间存在平行于y轴的匀强磁场,由坐标原点在xOy平面内以初速度v0以沿与x轴正方向成θ角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线,其轴线平行于y轴,螺旋半径为R,螺距为Δy,螺旋周期为T,则下列说法正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向为沿y轴负方向
[B] 若仅增大励磁线圈中的电流,则螺旋半径R减小
[C] 若仅增大电子的加速电压,则螺距Δy将增大
[D] 若仅增大θ角(θ<90°),则螺旋周期T将减小
对点2.带电粒子在立体空间中的运动
4.
(4分)(2024·山西太原模拟)如图所示,长方体空间被平面MNPO分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从长方体左侧垂直Oyz平面进入并穿过两磁场区域,关于电子运动轨迹在下列坐标平面内的投影,可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.
(4分)(2024·海南海口阶段练习)如图所示,以竖直向上为z轴正方向建立O-xyz坐标系,空间中存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿z轴正方向,大小为E,匀强磁场的磁感应强度为B,方向未知。现有一个质量为m、电荷量为 q=的带正电的小球恰好从O点沿y轴正方向以速度v做匀速直线运动,g为重力加速度,下列说法不正确的是(　　)
[A] 匀强磁场的方向一定沿y轴正方向
[B] 若E的方向改为沿x轴正方向,则改变磁场方向,可使小球仍做匀速直线运动,磁感应强度大小可能为
[C] 若撤去电场,小球运动的最低点z坐标可能为z=-
[D] 若撤去电场,小球第一次返回到xOy平面的可能坐标为(,)
6.(6分)(2024·广东惠州一模)(多选)如图所示,长方体OMPQ-O1M1P1Q1所在空间存在与MO1方向平行的匀强磁场,一粒子源无初速度释放一质量为m、带电荷量为+q的带电粒子,经电压U加速后,从O点沿OQ方向射入磁场区域,并从P1点离开长方体区域。已知长方体OM、OO1边的长度均为d,OQ的长度为d,不计粒子的重力及其相互作用,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子进入磁场区域的初速度大小为
[B] 磁感应强度的大小为
[C] 若减小加速电压U,粒子可能从M1射出
[D] 若增大加速电压U,粒子可能从M1P1中点射出
7.
(6分)(2025·安徽合肥模拟)(多选)局部空间的地磁场对宇宙射线的作用原理可以用如下的简化模型来研究。如图所示,正圆柱体形状的空间内存在沿轴线方向、大小为B的匀强磁场。一个带电荷量为e、质量为m的电子以初速度v0从圆柱体的上底面圆心O点射入磁场,速度方向与轴线成30°夹角,一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心O′点。已知粒子在此过程中不会与圆柱体壁发生碰撞,不考虑洛伦兹力以外的其他力,下列说法正确的是(　　)
[A] 圆柱体空间的底面半径可能等于
[B] 电子在圆柱体空间内运动的时间可能为
[C] 圆柱体空间的高可能为
[D] 电子在圆柱体空间内运动的某段时间里动量变化量的大小可能为mv0
8.(16分)(2025·广东珠海模拟)如图所示,以长方体 abcd-a′b′c′d′ 的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a′a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立Oxyz坐标系,已知Oa=ab=aa′=L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,恰好从a点射出磁场。
(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场,让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,为使粒子能从a′点射出磁场,求电场强度E1的大小;
(3)若在长方体中加上电场强度大小为E2=、方向沿z轴负方向的匀强电场,该粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,求粒子射出磁场时与O点的距离s。
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高中总复习·物理
第9讲　
小专题:带电粒子在立体空间电、磁场中的运动
空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况:
(1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。
[例1] 【带电粒子的“旋进”运动】 (2024·陕西西安模拟)(多选)如图所示,匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v,方向与电场、磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时,可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力,此后一段时间内,下列说法正确的是(　　 )
[A] 离子受到的洛伦兹力大小不变
[B] 离子加速度的大小不变
[C] 静电力的瞬时功率不变
[D] 速度与电场方向的夹角θ变大
AB
【解析】 根据运动的分解可知离子水平方向的分速度v1变大,垂直于磁场方向的分量v2不变,则洛伦兹力F洛=qv2B不变,静电力F=qE也不变,离子所受合力大小不变,根据牛顿第二定律可知加速度大小不变,故A、B正确;根据功率的计算公式P=qEv1可知,静电力的瞬时功率变大,故C错误;由于v1变大,根据速度的合成可知速度与电场方向的夹角θ变小,故D错误。
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)粒子在圆柱区域内的运动时间t;
(3)粒子离开圆柱区域右侧磁场Ⅱ时的位置坐标。
分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。
[例3] 【空间的圆周运动】 (多选)如图所示,直角坐标系xOy在水平面内,z轴竖直向上,坐标原点O处固定一带正电的点电荷,空间中存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A,绕z轴做匀速圆周运动。小球A的速度大小为v0,小球与坐标原点的距离为r,O点和小球A的连线与z轴的夹角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。则下列说法正确的是( 　　)
[A] 从上往下看,小球A沿逆时针方向转动
[B] O处的点电荷在A运动的圆周上各处产生的电势和电场强度都相同
ACD
(1)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强电场,使粒子只能从O′A′C′D′
面飞出,求施加电场的电场强度E的最小值;
【答案】 (1)8.0×102 N/C
(2)在立方体内施加沿y轴正方向的匀强磁场,若磁感应强度大小为B=4.0×10-3 T,求粒子在磁场中运动时间的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,结果可保留π和分式)
基础对点练
B
对点1.带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动
1.(4分)(2024·广东深圳阶段练习)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则(　　)
2.(4分)(2025·广东清远模拟)我国最北的城市漠河地处高纬度地区,在晴朗的夜空偶尔会出现美丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响,与空气分子作用的发光现象,若宇宙粒子带正电,因入射速度与地磁场方向不垂直,故其轨迹偶成螺旋状如图(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx)。下列说法正确的是(　　)
[A] 带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用,在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
[B] 若越靠近两极地磁场越强,则随着纬度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋转半径越大
[C] 漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向(从下往上看)向前旋进
[D] 当不计空气阻力时,若入射粒子的速率不变,仅减小与地磁场的
夹角,则旋转半径减小,而螺距Δx增大
D
3.(6分)(2024·广东佛山二模)(多选)某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪(图甲)探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时,发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈
“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情境来讨论:在空间存在平行于y轴的匀强磁场,由坐标原点在xOy平面内以初速度v0以沿与x轴正方向成θ角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线,其轴线平行于y轴,螺旋半径为R,螺距为Δy,螺旋周期为T,则下列说法正确的是(　　 )
[A] 匀强磁场的方向为沿y轴负方向
[B] 若仅增大励磁线圈中的电流,则螺旋半径R减小
[C] 若仅增大电子的加速电压,则螺距Δy将增大
[D] 若仅增大θ角(θ<90°),则螺旋周期T将减小
ABC
对点2.带电粒子在立体空间中的运动
4.(4分)(2024·山西太原模拟)如图所示,长方体空间被平面MNPO分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从长方体左侧垂直Oyz平面进入并穿过两磁场区域,关于电子运动轨迹在下列坐标平面内的投影,可能正确的是(　　)
A
[A] [B] [C] [D]
【解析】 由左手定则可以判断出电子在两磁场中的洛伦兹力方向,沿z轴负方向看,电子在洛伦兹力的作用下,在平面MNPO的左侧区域,电子沿逆时针做圆周运动,在平面MNPO的右侧区域,电子沿顺时针做圆周运动,所以电子运动轨迹在xOy坐标平面内的投影如选项A所示,在xOz平面内的投影应该是一条平行于x轴的直线。故选A。
A
ABC
综合提升练
7.(6分)(2025·安徽合肥模拟)(多选)局部空间的地磁场对宇宙射线的作用原理可以用如下的简化模型来研究。如图所示,正圆柱体形状的空间内存在沿轴线方向、大小为B的匀强磁场。一个带电荷量为e、质量为m的电子以初速度v0从圆柱体的上底面圆心O点射入磁场,速度方向与轴线成30°夹角,一段时间后恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心O′点。已知粒子在此过程中不会与圆柱体壁发生碰撞,不考虑洛伦兹力以外的其他力,下列说法正确的是(　　 )
BD
8.(16分)(2025·广东珠海模拟)如图所示,以长方体 abcd-a′b′c′d′ 的ad边中点O为坐标原点、ad方向为x轴正方向、a′a方向为y轴正方向、ab方向为z轴正方向建立Oxyz坐标系,已知Oa=ab=aa′=L。长方体中存在沿y轴负方向的匀强磁场,现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,恰好从a点射出磁场。
(1)求磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若在长方体中加上沿y轴负方向的匀强电场,让粒子仍从O点沿z轴正方向以初速度v射入磁场中,为使粒子能从a′点射出磁场,求电场强度E1的大小;

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