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第6关 分式方程
基础练
考点 1 分式方程及其解法
1.[2024广西贺州三模]下列式子中，是分式方程的是 ( )
2.[2024山东济宁]解分式方程 时，去分母变形正确的是 ( )
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
3.[2024 黑龙江龙东地区]已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ( )
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
4.[2024 四川遂宁]分式方程 的解为正数，则m的取值范围为 ( )
A. m>-3 B. m>-3且m≠-2
C. m<3 D. m<3且m≠-2
5.[2024广东广州]解方程:
考点 2 分式方程的实际应用
6.[2024新疆]某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5m in后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程为 ( )
7.[2024 内蒙古呼伦贝尔]A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比 B 型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等. A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料 ( )
A.60,30 B.90,120
C.60,90 D.90,60
8.[2024山东威海]某公司为节能环保，安装了一批A 型节能灯，一年用电16000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9 600千瓦时.一盏A 型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A 型节能灯每年的用电量.
9.[2024内蒙古赤峰]一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90 千米公路所需要的时间相等.
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米
提升练
10.[2024山东烟台二模]对于实数a、b，定义一种新运算“ ”: 等式右边是实数运算.例如： 则方程x (-2)= 的解是 ( )
A. x=4 B. x=5 C. x=6 D. x=7
11.[2024河北邯郸模拟]对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 max{a,b}表示a,b中较大的数,如: max{2,4}=4.按照这个规定,方程的根为 ( )
或 或-1
12.[2024四川广元]我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”.现需要购买A，B两种绿植，已知A种绿植单价是 B种绿植单价的3倍，用6750元购买的 A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设 B种绿植单价是x元，则可列方程是 ( )
13.[2024 江苏宜兴一模]若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 .
14.[2024 湖北武汉]分式方程 的解是
15.[2024 黑龙江牡丹江]若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 .
16.[2024上海杨浦三模]已知方程 如果设 那么原方程转化为关于y的整式方程为 .
17.[2024 重庆 A 卷]若关于x 的不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 .
18.[2024陕西]解方程:
19.[2024江西赣州校级模拟]小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁：
解：去分母，得：x-(x-3)=x-2,
去括号,得x-x+3=x-2,
合并同类项,得3=x-2,
解得x=5,
∴原方程的解是x=5.
小迪： 解:去分母,得x+(x-3)=1, 去括号,得x+x-3=1, 合并同类项,得2x-3=1, 解得x=2、 经检验、x=2是方程的增根，原方程无解、
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确，请在框内打“ ”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程.
20.[2024 浙江杭州二模]小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“ ”看不清楚：
(1)她把数“ ”猜成5，请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是方程的增根是x=2，原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“ ”代表的数是多少.
21.[2024安徽二模]观察下列等式：
(1)由此可推断：
(2)根据上述规律，解方程：
22.[2024湖南常德校级模拟]某地响应“绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变，…….设原计划每天绿化的面积为x万平方米，可列方程为
(1)根据方程题干中省略的部分是 ( )
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果延误8天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了25%，结果延误8天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了25%，结果提前8天完成了这一任务
(2)在(1)的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题：
E.实际每天绿化的面积是多少万平方米
F.原计划完成这项绿化工程需要多少天
我选的问题是 (填字母).
根据选择的问题，写出完整的解题过程.
23.[2024重庆A卷]为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备
24.[2024 江苏无锡二模]在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R 满足 如图②，在并联电路中，总电阻R 满足
(1)如图③,已知 总电阻为12Ω,求R 的值.
(2)如图④，已知R 为定值电阻，现有两个电阻R 和 请问如何摆放 R 和 R 的位置，能够使得总电阻最小 (在图中填写并证明)
(3)如图⑤,现有三个电阻R ,R 和 (4)如图⑥，已知R 为定值电阻，现有四个电阻R ,R ,R 和 请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小 (在图中填写，无需证明)
第6关 分式方程
1. C 解析：A.方程中各式的分母均不含未知数，故不是分式方程；
B.不是方程；
C.方程中各式的分母中含有未知数，故是分式方程；
D.方程中各式的分母均不含未知数，故不是分式方程.
故选 C.
2A 解析：方程两边同乘2-6x得2-6x-1×(-2)=-5,
即2-6x+2=-5.
3. A 解析:
kx-2(x-3)=-3,
kx-2x+6=-3,
(k-2)x=-9,
∵关于x的分式方程 无解，
∴x=3或k=2,
∴3k-6=-9或k=2,
∴k=-1或2.
4. B 解析：去分母得2=x-1-m,
解得x=m+3,
由方程的解为正数得m+3>0，
又m+3≠1,
则m的取值范围为m>-3且m≠-2.
5.解:去分母得x=3(2x-5),
去括号得x=6x-15,
移项得x-6x=-15,
合并同类项得-5x=-15,
解得x=3,
检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,
∴原分式方程的解为x=3.
6. D 解析：由题意得乙车的速度为1.2xkm/h,
则
即
7. D 解析：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料,
根据题意得
解得x=60,
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=60+30=90,
∴A型机器人每小时搬运90 千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.
8.解：设一盏 B 型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时，根据题意，
凭
解得x=96.
经检验，x=96 是原方程的解，且符合题意.
2x-32=160.
答：一盏A 型灯每年的用电量为160千瓦时.
9.解：(1)由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路(x+3)千米,
则
解得：x=6.
经检验，x=6是原方程的解.
∴x+3=9.
答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米.
(2)设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为(15-m)天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得,w=6m+9(15-m)=-3m+135.又m≥2(15-m),
∴m≥10.
∵-3<0,
∴w随m的增大而减小.
∴当m=10时，w取最大值，最大值为-3×10+135=105.
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米.
10. B 解析:根据题意,得 去分母得1=2-(x-4),解得.x=5,经检验，x=5是分式方程的解.
11. D 解析:当x<-x,即x<0时,所求方程为
整理得 即
解得
经检验，x=-1是分式方程的解；
当x>-x,即x>0时,所求方程为x
整理得
解得 舍去).
经检验， 是分式方程的解.
综上，所求方程的根为 或-1.
12. C 解析:∵A 种绿植单价是 B 种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴ A 种绿植单价是3x元.
根据题意得
13.-1
解析：
x+x-1=-m,
∵关于x的分式方程 有增根，
∴m=-1.
14. x=-3
解析:等号两边同时乘(x-3)(x-1),
得(x-1)x=(x-3)(x+1),
去括号，得
移项、合并同类项，得x=-3，
经检验，x=-3是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为x=-3.
15.-1
解析：
去分母得x=3(x-1)+ mx,
解得
由方程的解是正整数，得x为正整数，即2+m=1或2+m=3,
解得m=-1或m=1(会使原方程无意义，舍去).
解析：由题意得原方程化为 去分母，得 即
17.16
解析：解不等式组 得 关于x的不等式组至少有2个整数解. 解得a≤8.解分式方程 得
∵分式方程的解为非负整数，. 0,∴a≥2,
符合条件的a的值为2,6,8,∴2+6+8=16.
解题思路.
先通过解不等式组确定a≤8，再解分式方程求出 抓住 为非负整数.日 就可确定a的值.
18.解:方程两边都乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,∴原分式方程的解是x=-3.
19.小丁和小迪的解法都错误，两框内均打“×”，解答过程见解析
解析:去分母,得x+(x-3)=x-2,
整理,得2x-3=x-2,
解得x=1,
经检验，x=1是分式方程的解.
20.(1)x=0 (2)-1
解析:(1)方程两边同时乘(x-2),
得5+3(x-2)=-1,
解得x=0,
经检验，x=0是原分式方程的解.
(2)设“ ”代表的数为m,方程两边同时乘(x-2),得m+3(x-2)=-1,
由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-1,所以m=-1.
所以原分式方程中“ ”代表的数是-1.
解析:(1)略.
x+2=2x,
x=2,
经检验，x=2是原方程的解，
∴原方程的解为x=2.
22.(1)A(2)见解析
解析：(1)∵所列方程为 =8，且x表示原计划每天绿化的面积.∴(1+25%)x表示实际每天绿化的面积，
∴实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成了这一任务.
故选A.
(2)选择E，由题意知 =8,
解得x=1.5,
经检验，x=1.5是所列方程的解，且符合题意，
∴(1+25%)x=(1+25%)×1.5=1.875.
答：实际每天绿化的面积是1.875万平方米.
选择F，设原计划完成这项绿化工程需要y天，则实际完成这项绿化工程用了(y-8)天,
根据题意得
解得y=40,
经检验，y=40是所列方程的解，且符合题意.
答：原计划完成这项绿化工程需要40天.
23.解：(1)设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线有(30-x)条.根据题意，得3x+2(30-x)=70,
解方程,得x=10,
30-x=30-10=20.
答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条.
(2)设更新1条甲类生产线的设备需投入m万元，则更新1条乙类生产线的设备需投入(m-5)万元.
根据题意，得
解方程,得m=50.
经检验，m=50是原方程的解，且符合题意.
∴m-5=45,
50×10+45×20-70=1330(万元).
答：该企业还需投入1 330万元资金更新生产线的设备.
(2)当R 在串联电路上，R 在并联电路上时，能够使得总电阻最小；证明、图见解析
(3)R ,R 并联,再与R 串联,能够使得总电阻最小；图见解析
(4)见解析
解析：(1)由题意得 解得
经检验， 是原方程的解，
(2)证明:①当R 在上方,R 在下方时，总电阻
②当R 在上方，R 在下方时，总电阻
∴R'∴当R 在串联电路上，R 在并联电路上时，能够使得总电阻最小，如图.
(3)设R =x,R =y,R =z,则.x①当 R 与 R 并联时,总电阻 R =
②当 R 与 R 并联时,总电阻.
③当 R 与 R 并联时,总电阻 R"=
由x∴R"∴R ，R 并联，再与R 串联，能够使得总电阻最小，如图1或图2.
(4)同(2)(3)可得下图中的摆放方式(按照由总体到局部的顺序).

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