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第4课时　函数的对称性
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点________．
2．函数的轴对称和中心对称
(1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x) f (2a－x)＝f (x)．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点________对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于___对称；
(2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于___对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于____对称．
(4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
(2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称．(　　)
(3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称． (　　)
(4)若函数f (x)满足f (1＋x)＝－f (1－x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝x－
4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________．
考点一　轴对称问题
[典例1]　(1)已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
(2)(2024上海浦东新区期末)若函数f (x)＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值是______．
(3)已知函数f (x)＝e2x＋e-2x+2，证明函数f (x)的图象关于直线x＝对称．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
[跟进训练]
1．(1)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
(2)已知定义在R上的函数y＝f (x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x)＞f (x＋2)的x的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．
D．∪(2，＋∞)
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考点二　中心对称问题
[典例2]　(1)(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
(2)(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
[跟进训练]
2．(1)(2025福建泉州模拟)已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(　　)
A．6 B．5
C．－6 D．－5
(2)函数f (x)＝图象的对称中心为________．
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考点三　两函数图象间的对称问题
[典例3]　(1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3，0)对称
(2)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
　函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
[跟进训练]
3．(1)(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
(2)设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
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抽象函数求值问题是近几年高考的一个热点，常结合函数性质综合考查学生的能力，解决此类问题的方法一般有三种：赋值法、函数性质法和构造函数法．
[典例]　(2022新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
[赏析]　法一(赋值法)：
突破点：对变量x或y适当赋值，发现函数f (x)的特性．
令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)f (1)＝f (x) f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)，
故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6；
令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0) f (0)＝2，
∴f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，
f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，
f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1，
f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1，
f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2，
故＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即＝－3．故选A．
法二(特殊函数法)：
突破点：依据f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，寻找特殊函数f (x)．
取f (x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f (2)＝2cos π＝－1，
f (3)＝2cos π＝－2，
f (4)＝2cos ＝－1，
f (5)＝2cos ＝1，
f (6)＝2cos 2π＝2，
∴＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
一个周期内的f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0．
∴＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3．故选A．
[答案]　A
　1．挖掘背景函数，如常见的抽象函数7大模型：
(1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b．
(2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x)．
(3)幂函数：f (xy)＝f (x)f (y)．
(4)指数函数：f (x＋y)＝f (x)f (y)，f (x－y)＝．
(5)对数函数：f (xy)＝f (x)＋f (y)，f ＝f (x)－f (y)．
(6)正切函数：f (x±y)＝．
(7)余弦函数：f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，f (x)＋f (y)＝2f ．
2．关注题目给定的抽象恒等式，如f (x＋y)＝f (x)＋f (y)．求解中注意两点：①恰当赋值；②正逆应用．
[跟进训练]
(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (x)为偶函数
C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期
D．f (2 025)＝1
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第4课时　函数的对称性
梳理·必备知识
1．(1)原点　y轴　(2)x＝a　(a，0)
2．(2)(a，0)
3．(1)y轴　(2)x轴　(3)原点
激活·基本技能
一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、1.C　[因为f(x)＝x3＋x为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B.]
3．AC　[由y＝知定义域为R，
且f(－x)＝＝f(x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以A正确；
由y＝x＋x≠0}，
且f(－x)＝(－x)＋＝－f(x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以B错误；
由y＝知定义域为R，
且f(－x)＝＝f(x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以C正确；
由y＝x－x≠0}，且f(－x)＝(－x)－＝－f(x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以D错误．故选AC.]
4．(1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，
∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2.
(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，1)．
法二：∵g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，
在R上为奇函数，
所以
∴函数f(x)图象的对称中心为点(0，1)．]
考点一
典例1　(1)B　(2)－1　[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，
所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11.
故选B.
(2)设(x0，y0)是函数f(x)＝的图象上任一点，即y0＝，且(x0，y0)关于直线y＝x对称的点(y0，x0)也在函数f(x)＝的图象上，即x0＝，整理为y0＝，即，即a＝－1.]
(3)证明：因为f(x)＝e2x＋e-2x+2，
所以f(1－x)＝e2-2x＋e2x＝f(x)，
所以函数f(x)的图象关于x＝对称．
跟进训练
1．(1)D　(2)B　[(1)由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8.
(2)函数y＝f(x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)图象的对称轴为y轴，
又函数y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度可得y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，
解得x＜0或x＞2.故选B.]
考点二
典例2　(1)C　(2)B　[(1)函数y＝f(x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的图象关于(－1，0)对称，
所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C.
(2)因为f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f(x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以
＝2n.故选B.]
跟进训练
2．(1)D　(2)(1，1)　[(1)由题y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(x)的图象关于(1，－1)对称，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝[f(－1)＋f(3)]＋f(1)＋[f(0)＋f(2)]＝－2－1－2＝－5.
故选D.
(2)因为f(x)＝，
则f(x)＝的图象可以由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y＝为奇函数，函数图象关于原点(0，0)对称，所以函数f(x)图象的对称中心为(1，1)．]
考点三
典例3　(1)A　(2)B　[(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
(2)y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B.]
跟进训练
3．(1)D　(2)1　[(1)由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则y＝f(x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D.
(2)∵函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，
∴f＝log3x－m，
∴f＝1－m＋2－m＝1，
∴m＝1.]
微点突破1
跟进训练
ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确；
对于B，令y＝－x，则f(0)＝＝0，因此f(－x)＝－f(x)，
又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f(x)为奇函数，故B错误；
对于C，令y＝1，则f(x＋1)＝，
所以f(x＋2)＝－1＋因此f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以f(x)为周期函数，且周期为4，故C正确；
对于D，f(2 025)＝f(1)＝1，故D正确．故选ACD.]
7 / 7(共77张PPT)
第二章
函数的概念与性质
第4课时　函数的对称性
[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．
2．会利用对称公式解决问题．
链接教材·夯基固本
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．
(2)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f (x＋a)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象的对称中心为点_________．
原点
y轴
x＝a
(a，0)
2．函数的轴对称和中心对称
(1)若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称，则f (a－x)＝f (a＋x)
f (2a－x)＝f (x)．
(2)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＝－f (a＋x)，则函数y＝f (x)的图象关于点_________对称．
(3)若函数y＝f (x)满足f (a－x)＋f (b＋x)＝c，则函数f (x)的图象的对称中心为．
(a，0)
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于____对称；
(2)函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象关于____对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝－f (－x)的图象关于____对称．
(4)函数y＝f (a－x)与y＝f (x－b)的图象关于直线x＝对称．
y轴
x轴
原点
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f (x－1)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　)
(2)若函数y＝f (x＋1)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称． (　　)
×
√
(3)若函数f (x)满足f (x－1)＝f (x＋1)，则f (x)的图象关于y轴对称． (　　)
(4)若函数f (x)满足f (1＋x)＝－f (1－x)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称． (　　)
×
×
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f (x)＝x3＋x的图象关于
(　　)
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
C　[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，
所以函数的图象关于原点对称．故选C．]
√
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝的图象之间的关系是(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B．]
√
3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　)
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝ D．y＝x－
√
√
AC　[由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以A正确；
由y＝x＋知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)＋＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以B错误；
由y＝知定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，
所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称，
所以C正确；
由y＝x－知定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝(－x)－＝－＝－f (x)，
所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称，
所以D错误．故选AC．]
4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________．
2
(0，1)
(1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，
∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2．
(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．
法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b，
在R上为奇函数，所以
∴函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．]
考点一　轴对称问题
[典例1]　(1)已知函数f (x)＝3|x－a|＋2，且满足f (5＋x)＝f (3－x)，则
f (6)＝(　　)
A．29 B．11
C．3 D．5
典例精研·核心考点
√
(2)(2024上海浦东新区期末)若函数f (x)＝的图象关于直线y＝x对称，则a的值是______．
(3)已知函数f (x)＝e2x＋e-2x+2，证明函数f (x)的图象关于直线x＝对称．
－1
(1)B　(2)－1　[(1)因为f (5＋x)＝f (3－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝4对称，而f (x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称，
所以a＝4，f (6)＝3|6-4|＋2＝11．
故选B．
(2)设(x0，y0)是函数f (x)＝的图象上任一点，即y0＝，且(x0，y0)关于直线y＝x对称的点(y0，x0)也在函数f (x)＝的图象上，即x0＝，整理为y0＝，即＝，即a＝－1．]
(3)[证明]　因为f (x)＝e2x＋e-2x+2，
所以f (1－x)＝e2-2x＋e2x＝f (x)，
所以函数f (x)的图象关于x＝对称．
名师点评　轴对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称 f (x)＝f (2a－x) f (a－x)＝f (a＋x)；
(2)若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＝f (b－x)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝对称．
[跟进训练]
1．(1)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＝f (4－x)，若y＝|x－2|与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．8
√
(2)已知定义在R上的函数y＝f (x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x)＞f (x＋2)的x的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．
D．∪(2，＋∞)
√
(1)D　(2)B　[(1)由f (x)＝f (4－x)可知y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8．
(2)函数y＝f (x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f (x＋1)图象的对称轴为y轴，
又函数y＝f (x＋1)的图象向右平移1个单位长度可得y＝f (x)的图象，
∴函数y＝f (x)的图象的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f (2x)＞f (x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|，
解得x＜0或x＞2．故选B．]
考点二　中心对称问题
[典例2]　(1)(2024河北重点中学二模)已知函数y＝f (x－1)为奇函数，则函数y＝f (x)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称
C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称
√
(2)(2024四川泸州三模)已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)＋f (4－x)＝0，若函数f (x)与y＝图象的交点的横坐标分别为x1，x2，…，xn，则
＝(　　)
A．4n B．2n
C．n D．0
√
(1)C　(2)B　[(1)函数y＝f (x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f (x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f (x)的图象，则函数y＝f (x)的图象关于(－1，0)对称，
所以函数y＝f (x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C．
(2)因为f (x)＋f (4－x)＝0，所以f (2＋x)＋f (2－x)＝0，
所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f (x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以 ＝4×＝2n．故选B．]
名师点评　中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称 f (a＋x)＋f (a－x)＝2b 2b－f (x)＝f (2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝
f (x)的图象关于点对称．
(2)双曲线型函数f (x)＝的图象的对称中心为．
[跟进训练]
2．(1)(2025福建泉州模拟)已知y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(　　)
A．6 B．5
C．－6 D．－5
(2)函数f (x)＝图象的对称中心为________．
√
(1，1)
(1)D　(2)(1，1)　[(1)由题y＝f (x＋1)＋1为奇函数，则f (x)的图象关于(1，－1)对称，所以f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－1)＋f (3)]＋f (1)＋[f (0)＋f (2)]＝－2－1－2＝－5．
故选D．
(2)因为f (x)＝＝＝1＋，
则f (x)＝的图象可以由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y＝为奇函数，函数图象关于原点(0，0)对称，所以函数f (x)图象的对称中心为(1，1)．]
考点三　两函数图象间的对称问题
[典例3]　(1)已知函数y＝f (x)是定义域为R的函数，则函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3，0)对称
√
(2)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是
(　　)
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)
√
(1)A　(2)B　[(1)设P(x0，y0)为y＝f (x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f (x0＋2)＝f (4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f (4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f (x＋2)的图象与y＝f (4－x)的图象关于直线x＝1对称．
(2)y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B．]
名师点评　函数y＝f (a＋x)的图象与函数y＝f (b－x)的图象关于直线x＝对称．
[跟进训练]
3．(1)(2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，且函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则函数y＝g(x)图象的对称中心为(　　)
A．(2，1) B．(－2，－1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
(2)设函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f (3)＋f (9)＝1，则实数m的值为________．
√
1
(1)D　(2)1　[(1)由题意得函数y＝f (x－2)＋1是奇函数，则y＝f (x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D．
(2)∵函数y＝f (x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，
∴x＝log3y－m，
∴f ＝log3x－m，
∴f ＋f ＝1－m＋2－m＝1，
∴m＝1．]
抽象函数求值问题是近几年高考的一个热点，常结合函数性质综合考查学生的能力，解决此类问题的方法一般有三种：赋值法、函数性质法和构造函数法．
[典例]　(2022新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋
f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则 ＝(　　)
A．－3 B．－2
C．0 D．1
√
[赏析]　法一(赋值法)：
突破点：对变量x或y适当赋值，发现函数f (x)的特性．
令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)f (1)＝f (x) f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)，
故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)，消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6；
令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0) f (0)＝2，
∴f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，
f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，
f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1，
f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1，
f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2，
故 ＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即
＝－3．故选A．
法二(特殊函数法)：
突破点：依据f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，寻找特殊函数f (x)．
取f (x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f (2)＝2cos π＝－1，
f (3)＝2cos π＝－2，
f (4)＝2cos ＝－1，
f (5)＝2cos ＝1，
f (6)＝2cos 2π＝2，
∴ ＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
一个周期内的f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0．
∴ ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3．故选A．
名师点评　1．挖掘背景函数，如常见的抽象函数7大模型：
(1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b．
(2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x)．
(3)幂函数：f (xy)＝f (x)f (y)．
(4)指数函数：f (x＋y)＝f (x)f (y)，f (x－y)＝．
(5)对数函数：f (xy)＝f (x)＋f (y)，f ＝f (x)－f (y)．
(6)正切函数：f (x±y)＝．
(7)余弦函数：f (x＋y)＋f (x－y)＝2f (x)f (y)，f (x)＋f (y)＝
2f ．
2．关注题目给定的抽象恒等式，如f (x＋y)＝f (x)＋f (y)．求解中注意两点：①恰当赋值；②正逆应用．
[跟进训练]
(多选)已知函数f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，且f (x＋y)＝，f (1)＝1，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (x)为偶函数
C．f (x)为周期函数，且4为f (x)的周期
D．f (2 025)＝1
√
√
√
ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f (0)＝0，故A正确；
对于B，令y＝－x，则f (0)＝＝0，因此f (－x)＝－f (x)，
又f (x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f (x)为奇函数，故B错误；
对于C，令y＝1，则f (x＋1)＝＝＝－1＋，
所以f (x＋2)＝－1＋＝－，因此f (x＋4)＝－＝f (x)，
所以f (x)为周期函数，且周期为4，故C正确；
对于D，f (2 025)＝f (1)＝1，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．已知函数f (x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f (2－x)＝f (2＋x)，则实数a等于(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
13
课后作业(十)　函数的对称性
√
B　[∵f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，∴a＝－4．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2024四川南充二模)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A　[因为函数f (x)＝为奇函数，所以函数f (x)的图象关于原点(0，0)对称，
又y＝f (x－1)＋1的图象是由f (x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
所以函数y＝f (x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A．]
3．已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于点(1，0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
A　[由已知可得，f (2－x)＝22-x＋＝＋4＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；
因为f (2－x)＝2x＋，则f (2－x)≠－f (x)，故B项错误；
f (－x)＝2－x＋＝42x＋，则f (－x)≠f (x)，故C项错误；
因为f (－x)＝42x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D项错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．若函数f (x)＝的图象关于点(1，0)对称，则a＝(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C　[∵f (x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f (0)＋f (2)＝0，即＋＝0，
解得a＝1，∴f (x)＝，
经检验知f (x)的图象关于点(1，0)对称．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．函数y＝f (x)是定义在R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称
13
√
D　[由复合函数的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象关于点，即点(1，0)对称．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025福建福州模拟)定义在R上的函数f 满足f ＝2－
f ．若f 的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　)
A．f ＝1 B．f ＝0
C．f ＝2 D．f ＝－1
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[函数f 的图象关于直线x＝3对称，则必有f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)，
f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)，又因为f 满足f ＝2－f ，取x＝1，所以f (1)＝2－f (1)，f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1，取x＝5，则
f (－3)＝2－f (5)＝1，故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2025黑龙江鸡西模拟)对于定义在R上的函数f (x)，下述结论正确的是(　　)
A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称
C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
BD　[对于A，对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，
令x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数，
则y＝f (x)的图象对称性不确定，即A错误；
对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，
而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到，
∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；
函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到，
而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，
则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，
则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确．
故选BD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　)
A．函数f (x)的周期为2
B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．函数f (x)为偶函数
D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝
－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确；
由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)，
因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024广东大联考)写出一个满足“图象关于点(2，0)对称”的函数f (x)＝____________________．
13
(答案不唯一)　[函数f (x)＝的图象关于点(2，0)对称，满足要求．]
(答案不唯一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心，，若函数f (x)＝－x3＋3x2，则f ＋
f ＋f ＋…＋f ＝________．
13
8 090
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8 090　[∵f (x)＝－x3＋3x2，
则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2，
即函数y＝f (x)的图象的对称中心为(1，2)，
则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋f ＋f ＋ … ＋f ＋
f
＝＋＋…＋＋f ＝4×2 022＋2＝8 090．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(多选)(2025河北承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是
(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知函数f (x)＝．
(1)求证：函数f (x)的图象关于点对称；
(2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)证明：因为f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝，
所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函数f (x)的图象关于点对称．
(2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1，
因为S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋
f (2 023)，
则S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋
f (－2 022)，
所以2S＝4 046，即S＝2 023．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13．(2024湖南长沙期中)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
(1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求该函数图象的对称轴方程；
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题号
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(2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
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题号
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[解]　(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]，
所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)，
所以，函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数，
因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)图象的对称轴方程为x＝1．
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题号
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(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－，
当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以，g(x)＝
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题号
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②当x1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以，函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增，
因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|，
不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为．
13
谢 谢！课后作业(十)　函数的对称性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分
一、单项选择题
1．已知函数f (x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f (2－x)＝f (2＋x)，则实数a等于(　　)
A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－
2．(2024四川南充二模)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象(　　)
A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称
C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称
3．已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于点(1，0)对称
C．关于直线x＝0对称
D．关于原点对称
4．若函数f (x)＝的图象关于点(1，0)对称，则a＝(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
5．函数y＝f (x)是定义在R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称
6．(2025福建福州模拟)定义在R上的函数f 满足f ＝2－f ．若f 的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　)
A．f ＝1 B．f ＝0
C．f ＝2 D．f ＝－1
二、多项选择题
7．(2025黑龙江鸡西模拟)对于定义在R上的函数f (x)，下述结论正确的是(　　)
A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称
B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称
C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称
D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数
8．(2025湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　)
A．函数f (x)的周期为2
B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称
C．函数f (x)为偶函数
D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称
三、填空题
9．(2024广东大联考)写出一个满足“图象关于点(2，0)对称”的函数f (x)＝________．
10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心，，若函数f (x)＝－x3＋3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________．
11．(多选)(2025河北承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　)
A．f (x)的图象关于直线x＝2对称
B．f (x)的图象关于点(2，0)对称
C．f (x)的周期为4
D．y＝f (x＋4)为偶函数
12．已知函数f (x)＝．
(1)求证：函数f (x)的图象关于点对称；
(2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值．
13．(2024湖南长沙期中)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
(1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求该函数图象的对称轴方程；
(2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－．
①求g(x)的解析式；
②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集．
课后作业(十)
[A组　在基础中考查学科功底]
1．B　[∵f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，∴a＝－4．故选B．]
2．A　[因为函数f (x)＝为奇函数，所以函数f (x)的图象关于原点(0，0)对称，
又y＝f (x－1)＋1的图象是由f (x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
所以函数y＝f (x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A．]
3．A　[由已知可得，f (2－x)＝22-x＋＝＋4＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确；
因为f (2－x)＝2x＋，则f (2－x)≠－f (x)，故B项错误；
f (－x)＝2－x＋＝42x＋，则f (－x)≠f (x)，故C项错误；
因为f (－x)＝42x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D项错误．]
4．C　[∵f (x)的图象关于点(1，0)对称，
∴f (0)＋f (2)＝0，即＋＝0，
解得a＝1，∴f (x)＝，
经检验知f (x)的图象关于点(1，0)对称．故选C．]
5．D　[由复合函数的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象关于点，即点(1，0)对称．故选D．]
6．A　[函数f 的图象关于直线x＝3对称，则必有f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)，
f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)，又因为f 满足f ＝2－f ，取x＝1，所以f (1)＝2－f (1)，f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1，取x＝5，则f (－3)＝2－f (5)＝1，故选A．]
7．BD　[对于A，对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)，
令x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数，
则y＝f (x)的图象对称性不确定，即A错误；
对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称，
而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到，
∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确；
对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到；
函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到，
而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误；
对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，
则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度，
则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确．
故选BD．]
8．BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误；
因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，
且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确；
由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确；
由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)，
因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．]
9．(答案不唯一)　[函数f (x)＝的图象关于点(2，0)对称，满足要求．]
10．8 090　[∵f (x)＝－x3＋3x2，
则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2，
即函数y＝f (x)的图象的对称中心为(1，2)，
则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f
＝＋＋…＋＋f ＝4×2 022＋2＝8 090．]
[B组　在综合中考查关键能力]
11．ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确；
∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．]
12．[解]　(1)证明：因为f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝，
所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函数f (x)的图象关于点对称．
(2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1，
因为S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)，
则S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 022)，
所以2S＝4 046，即S＝2 023．
13．[解]　(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]，
所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)，
令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R，
h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)，
所以，函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数，
因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)图象的对称轴方程为x＝1．
(2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－，
当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋，
所以，g(x)＝
②当x1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增，
所以，函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增，
因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|，
不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为．
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