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第9章轴对称、平移与旋转
9.5 图形的全等
学习目标与重难点
学习目标：
1.能准确阐述全等图形的定义，识别生活与数学情境中的全等图形，并用符号 “≌” 规范表示全等关系; 熟练运用全等图形的性质和判定，根据图形变换类型确定对应边、对应角，解决简单的线段长度、角度计算问题.
2.通过 “观察实例—操作验证—归纳性质—应用拓展” 的探究过程，经历从具体到抽象的数学建模活动，提升几何直观能力与逻辑推理能力，掌握 “从特殊到一般” 的数学研究方法。
3.感受全等图形在建筑设计、艺术创作、工业生产中的美学价值与实用价值，体会数学与生活的紧密联系，增强用数学眼光观察世界、用数学思维解决问题的信心。
学习重点：1.深刻理解 “完全重合” 的内涵，掌握对应边相等、对应角相等的性质，并能运用性质进行简单的推理与计算.
2.明确三种图形变换是判定全等的操作方法，熟练建立 “变换—全等” 的双向逻辑关系，灵活应用于图形分析与问题解决。
学习难点：在非规则多边形或经过复合变换的图形中，能综合运用变换特征、图形特征，准确找出对应顶点、对应边、对应角，避免因图形位置变化导致的对应错误.
预习自测
知识链接
1.本章已经学习了哪几种图形的基本变换
2.表示全等的符号是什么
3.用全等符号表示全等时要注意什么
自学自测
1.下列选项中的两个图形属于全等形的是 ( )
　
A　　　　　B C　　　　　 D
2.若△ABC≌△DEF，且∠A=30°，∠B=60°，则∠F的度数是 .
3.如图，四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形，若AD=5，∠B=70°，则EH= ，∠F= .
教学过程
一、创设情境、导入新课
1.图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换有什么共同点呢？
2.下列各组图形的形状与大小有什么特点？
二、合作交流、新知探究
探究一： 全等图形的认识
教材第157页：
问题1:观察思考:每组中的两个图形有什么特点？
问题2:观察思考:每组中的两个图形有什么特点？
问题3:观察思考:每组中的两个图形有什么特点？
全等图形：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
想一想:观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
读一读：
轴对称、 平移与旋转都是从实际生活中抽象得到的一些基本变换， 它们保证了变换过程中， 任意两点之间的距离不变， 从而保证了图形的形状和大小都不发生变化， 反映了图形之间的全等关系. 这种运用动态变换研究图形之间关系的方法， 是一种重要而且有效的方法.
做一做：
图9.5.1中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗 动手试试看.
一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等;
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.
探究二：新知探究
教材第158页：全等图形的性质和判定
思考：观察图9.5.2中的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？
归纳总结：两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
如下图9.5.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”). 点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′、点E与点E′分别是对应顶点.
思考：请指出两个图形的对应角和对应边.
归纳总结:1.全等多边形的性质:全等多边形的对应边相等，对应角相等.
2.全等多边形的判定方法:边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形.
3.全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等.
4.全等三角形的判定方法:如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
如图9.5.4所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E.你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？
探究三：例题讲解
例1 如图9.5.5，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°求∠F的度数.
例2 如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7.
(1)试说明AB＝CD；
(2)求线段AB的长.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题:
1.下列四个图形中，属于全等图形的是( )
A.①和②　 B.②和③ C.①和③　 D.全部
2.如图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到直角△DEF，则下列结论中，错误的是( )
A.BE=EC　 B.BC=EF C.AC=DF　 D.△ABC≌△DEF
3.若△ABC≌△A'B'C'，且∠C=50°，∠BAC-∠A'B'C'=10°，则∠BAC=　 　.
选做题:
4.如图所示，△ABC与△DEC全等，且∠ACB=90°.
(1)说明△ABC经过怎样的变换得到△DEC，并指出对应边和对应角;
(2)请直接写出直线AB，DE的位置关系.
5.在直角三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=( )
A.15°　 B.20°　 C.25°　 D.30°
6.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为　 　.
【综合拓展类作业】
7.如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4.
(1)求∠CBE的度数.
(2)求△CDP与△BEP的周长和.
8.如图①，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=9 cm，AC=12 cm，AB=15 cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3 cm/s，设运动时间为t s.
(1)如图①，当t=　　　　　　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半;
(2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4 cm，DF=5 cm，∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度.
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：
1.全等形的概念.
2.全等多边形的概念:
全等三角形的概念 :
能相互重合的顶点叫对应顶点，能相互重合的边叫做对应边，能相互重合的角叫做对应角.全等的符号“≌”，读作“全等于”.
3.全等多边形性质.
4.全等三角形的性质与判定.
注意事项：
一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等;
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题:
1.下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是(　　)
① ② ③ ④
A.①和② B.②和③ C.②和④ D.③和④
2.如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A.BE＝EC B.BC＝EF C.AC＝DF D.△ABC≌△DEF
3.如图，已知△ABC≌△BAD.若∠DAC＝20°，∠C＝88°，则∠DBA＝　　　°.
选做题:
4.如图，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，则∠DFE＝　　　°，EC＝　　　.
5.如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一条直线上.
(1)若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数；
(2)若BE＝2，EC＝3，求BF的长.
6.如图，已知△ABC≌△EBD.
(1)若BE＝6，BD＝4，求线段AD的长；
(2)若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度数.
【综合拓展类作业】
7.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°.
(1)求线段AE的长；
(2)求∠DBC的度数.
8.如图1，已知△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，C为AD的中点.
(1)求∠BAE的度数和AE的长；
图1
(2)如图2，延长BC，交ED于点F，求∠DFC的度数.
图2
答案：
自学测试：
1.B　2.90°　3.5　70°
课堂巩固：
答案:1.A;2.A;3.70°;
4. 【解析】(1)△ABC与△DEC全等，观察题中图形发现可将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC(答案不唯一).
对应边:AB与DE，AC与DC，BC与EC，
对应角:∠A与∠D，∠ACB与∠DCE，∠ABC与∠E.
(2)直线AB，DE互相垂直.
5.D;6.48;
7. 【解析】(1)因为∠ABE=162°，∠DBC=30°，所以∠ABD+∠CBE=132°，
因为△ABC≌△DBE，所以∠ABC=∠DBE，
所以∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，
即∠CBE的度数为66°;
(2)因为△ABC≌△DBE，
所以DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
所以△CDP与△BEP的周长和为DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE
=2.5+5+4+4=15.5.
8. 【解析】(1)①当点P在BC上时，如图①-1所示，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半;则CP=BC= cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+=(cm)，
移动的时间为:÷3=(s)，
②当点P在BA上时，如图①-2所示，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半;则PB=AB= cm，即点P为BA的中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+=(cm)，
移动的时间为:÷3=(s);
答案:或
(2)△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F;
①当点P在AC上时，如图②-1所示，
此时，AP=4，AQ=5，
所以点Q移动的速度为5÷(4÷3)= cm/s，
②当点P在AB上时，如图②-2所示，此时，AP=4，AQ=5，
即点P移动的距离为9+12+15-4=32(cm)，点Q移动的距离为9+12+15-5=31(cm)，
所以点Q移动的速度为31÷(32÷3)= cm/s，
综上所述，在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s.
作业布置：
1.B　2.A　3.36　4.100　2
5.(1)∠ACB＝65°　(2)BF＝7
6.(1)AD＝2　(2)∠ACE＝78°
7.(1)AE＝6　(2)∠DBC＝10°
8.(1)∠BAE＝60°，AE＝2cm.
(2)∠DFC＝150°
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