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第9章 轴对称、平移和旋转
单元小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.熟练掌握轴对称、平移、旋转等图形变换的核心概念与性质，精准区分不同变换的特征，能够运用相关知识准确判断图形变换类型并说明依据.
2.深刻理解图形变换与全等图形的内在联系，熟练运用全等多边形性质解决线段长度、角度计算等简单几何问题，规范使用全等符号表示图形关系.
3.通过思维导图构建知识框架、对比分析典型案例等方式，系统梳理图形变换知识体系，提升归纳总结与逻辑推理能力，掌握从实际问题中抽象出数学模型并运用知识解决问题的方法.
4.在探究图形变换的过程中，感受其在建筑、艺术等领域的美学价值与实用价值，体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣与运用数学知识解决实际问题的信心.
学习重点：1.系统掌握图形变换的概念、性质及它们之间的区别与联系，能准确运用相关知识进行判断和分析；
2.理解图形变换与全等图形的关系，熟练运用全等多边形的性质解决几何问题.
学习难点：综合运用多种图形变换知识和全等图形性质解决复杂几何问题，培养学生的逻辑推理和知识迁移能力.
教学过程
一、构建知识体系
二、合作交流、新知探究
探究一：思考回顾
问题1：轴对称图形和关于直线成轴对称的区别是什么？
问题2：如何判断一个图形是轴对称图形？
问题3：平移的定义是什么？
问题4：平移有哪些性质？
问题5：旋转由哪些要素确定？
问题6：旋转的性质有哪些？
问题7：中心对称图形与中心对称的联系是什么？
问题8：成中心对称的两个图形有什么性质？
问题9：平移、轴对称、旋转与图形全等有什么关系？
问题10：怎样利用这三种变换证明两个图形全等？
要点：
1. 本章从日常生活中常见的一些图形的位置关系， 得出图形的轴对称、 平移与旋转以及旋转对称、 中心对称的概念. 通过动手操作， 探索图形在轴对称、 平移与旋转的过程中有关点、 线段、 角的变化情况.
2. 轴对称、 平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换， 反映了图形与图形之间的变化关系. 在这样的变换下， 图形中任意两点间的距离保持不变， 从而使得线段的长度、 角的大小乃至整个图形的形状和大小不发生变化. 正因为这样， 我们把可以通过轴对称、 平移与旋转这些基本变换以后互相完全重合的两个图形称为全等图形.
3. 我们利用尺规作图作出线段的垂直平分线、 角平分线， 以及过一点作出已知直线的垂线， 连同七年级上册中的作一条线段等于已知线段、 作一个角等于已知角， 完成了五种基本的尺规作图. 今后还将继续利用尺规作图这一有效工具， 解决更多的几何作图问题.
4. 今后我们还将继续运用动态变换的方法， 研究其他的几何图形， 得到各种有用的结论和关系.
探究二：典例精析
考点1：轴对称的概念与性质
1.下列图形中是轴对称图形的是（）
2.如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为.若，则的度数为 .
考点2：平移的概念与性质
3.如图，长方形草坪中，，现需要修两条形状、大小完全相同的便道，若便道的宽为，则这两条便道的面积是( )
A. B. C. D.
4.如图，将沿方向平移至的位置，若，则的长是( )
A.13 B.8 C.3 D.4
考点3：旋转的概念与性质
5.下列美丽的图案中，不是旋转对称图形的是( )
6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点)，连结，若，则的大小是（ ）
A.32° B.64° C.77° D.87°
考点4：中心对称的概念与性质
7.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是( )
8.如图，直线垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，于点B，于点D.若，则阴影部分的面积之和为 .
考点5：图形的全等的概念及其性质
9. 如图，将绕点A顺时针旋转30°后得到，将沿直线翻折得到.
(1)问与有何关系？
(2)若，求的度数.
10. 如图，.
(1)求的长：
(2)怎样运动才能和重合？
考点6：利用图形的变换作图
11.如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点)上
(1)将向右平移5个单位得到，画出△；
(2)将(1)中的，绕点逆时针旋转得到，画出.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，与关于直线对称，则的度数为( )
A.30° B.50° C.90° D.100°
2.如图，在中，，将沿直线向右平移2个单位长度得到，连结，有下列结论：①；②；③四边形的周长是；④.请判断其中正确的结论(用序号表示)，并说明理由.
3.如图，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好在的延长线上，求的度数.
选做题：
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
5.如图，点在上，且.若.
(1)求的长.
(2)求的度数.
【综合拓展类作业】
6.如图，.
(1)求的度数.
(2)怎样运动能与重合
四、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1．下列图形中，对称轴条数最少的图形是（ ）．
A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．角
2．已知：如图，，若，则（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．8
3．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
选做题：
4．如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度．
5．已知四边形，图①将沿折叠，点C落于处，交于G，为正方形，再将纸片展开，图②沿折叠，点落于上，两条折痕所成夹角为 度．
6．画出小旗先绕点O顺时针旋转90°，再向右平移3格后的图．
【综合拓展类作业】
7．如图，三点在同一条直线上，且．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，？并说明理由．
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)线段被直线l______；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短；
(4)的面积＝______．
答案：
课内练习：
【参考答案】
1.D
2 解：正确的结论为①②③④.
理由：将沿直线BC向右平移2个单位长度得到，
，
，①和②都正确.
四边形的周长=，∴③正确.
，④正确.
∴正确的结论为①②③④.
3 解：根据旋转的特征得.
，
.
，
，.
4 B
5 解：(1)，
，
，.
，∴，
.
(2)，∴.
，，
6.解：(1)因为，
所以，
所以，
所以.
(2)绕点顺时针旋转能与重合.
作业布置：
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义，分别找出四个选项中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断．
【详解】解：A、等边三角形有3条对称轴，
B、正方形有4条对称轴，
C、圆有无数条对称轴，
D、角只有1条对称轴，
综上，角的对称轴条数最少，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2．A
【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出的对应边是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：∵，
∴∴，
又，
∴．
故选：A．
3．A
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案．
【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；
②如果面积相同而形状不同也不全等；
③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，
④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．
所以只有1个正确，
故选A．
【点睛】本题考查了全等形的概念，做题时要根据定义进行验证．
4．72
【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，然后根据平角的概念求解即可．
【详解】解：把沿直线翻折后得到，
，
，
．
故答案为：72．
5．45
【分析】本题主要考查了折叠的性质，先过作于，设，
再由折叠的性质得到，根据，列出方程，由此即可得到结论．
【详解】解：如图，过作于点，如图所示：
设，
由折叠的性质可知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
6．见解析
【分析】根据图形旋转与平移的特点作图即可；
【详解】解：作图如下：
【点睛】本题考查了图形的旋转与平移，旋转时要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度；平移时要注意平移的方向和距离；掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)当时，．理由见解析
【分析】（1）由得出，再进行相应等量代换；
（2）当时，．由，得出，若，则，因而，所以，进而，从而得证．
【详解】（1）证明：，
，
．
（2）解：当时，．理由如下：
，
．
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)垂直平分
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．
（3）连接，交直线l于点P，连接，此时的长最短．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分；
（3）解：如图，点P即为所求．
（4）解：的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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