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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 垂径定理及其应用 ★★★★ 题型结构：基础题型（60%）：垂径定理、圆周角定理、切线的性质等高频考点以选择/填空形式出现，每题3-4分。综合题型（40%）：切线的判定、圆与相似三角形/锐角三角函数的结合题常作为10分左右的解答题，要求逻辑严密。 难度分布：基础题侧重公式直接应用，如弧长计算、外接圆半径等；压轴题多涉及动态圆或与坐标系结合的问题，需综合几何变换思想。 分值占比：该板块总分约10-15分，占总分10%-12%。其中直线与圆位置关系（尤其是切线）占比最高，约6-8分；圆的基本性质（如垂径定理）占3-5分。建议重点关注切线的证明及圆与多边形综合题。
考向2 圆周角定理 ★★★★
考向3 三角形的外接圆与外心 ★★★★
考向4 直线与圆的位置关系 ★★★★
考向5 切线的性质与判定 ★★★★
考向6 正多边形和圆 ★★★
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
辨析：
1.经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2.3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3.任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
例1.如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A．4m B．5m C．8m D．10m
【分析】设半径为r，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
【解答】解：轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，如图，连接OA，
设半径为r m，则OA＝OC＝r m，
∴OD＝（r﹣2）m，AD＝4m，
在Rt△ODA中，由勾股定理得；
OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
则该桨轮船的轮子直径为10m，
故选：D．
变式1.如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
【分析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．
由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF．
由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m．
故选：A．
变式2.．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BCAB＝24cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣12）2+242＝OB2，
解得：OB＝30；
故轮子的半径为30cm．
故选：B．
变式3.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【分析】本题先表示OD＝（r﹣2）m，求解AD＝4m，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，
∴OD＝（r﹣2）m．
∵AB＝8m，OC⊥AB，
∴AD＝4m．
在Rt△ODA中有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+4，
解得r＝5m
则该桨轮船的轮子直径为10m．
变式4如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现AM＝AB，将玻璃棒竖立起来（MN⊥AB）时，测得MN＝37.5cm．
（1）求∠BAM的度数，并求AB的长；
（2）求弧AMB的长；
（3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度．
【分析】（1）如图，设圆心为O，连接OA＝OB，BM．证明△ABM是等边三角形，解直角三角形求出AB；
（2）利用弧长公式求解；
（3）分水面在圆心的上方或下方，两种情形分别求出MN即可．
【解答】解：（1）如图，设圆心为O，连接OA＝OB，BM．
∵点M是的中点，
∴，
∴AM＝BM，
∵AM＝AB，
∴AM＝BM＝AB，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠BAM＝∠AMB＝60°，OA平分∠MAB，
∴∠OAM＝∠OAN＝30°，
∴OA＝OM＝2ON，
∴OA＝OMMN＝25（cm），
∵ON⊥AB，
∴AN＝BN＝OA cos30°＝25（cm），
∴AB＝25（cm）；
（2）∵∠AOB＝2∠AMB＝120°，
∴的长（cm）；
（3）由题意AN＝BN＝24，OA＝25，
∴ON7（cm），
∴MN＝OM+ON＝32（cm），
当AB在点O的下方时，MN＝25﹣7＝18（cm）．
综上所述，水面的宽度为48cm，鱼缸内水的深度为32cm或18cm．
.
例1.如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】由圆周角定理，即可计算．
【解答】解：∵∠C∠AOB，∠C＝20°，
∴∠AOB＝40°．
故选：A．
变式1.如图，点A、点B、点C在⊙O上，∠BAC＝130°，那么∠1的度数为（　　）
A．130° B．120° C．100° D．50°
【分析】延长BO交圆于D，连接AD，由圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠CAD∠COD，求出∠CAD＝40°，得到∠COD＝80°，由邻补角得到性质即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：延长BO交圆于D，连接AD，
∵BD是圆的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝130°﹣90°＝40°，
∵∠CAD∠COD，
∴∠COD＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°．
故选：C．
变式2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝47°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝43°，
∴∠ABC＝47°，
∴∠ADC＝∠ABC＝47°，
故选：C．
例2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是的中点，，，则AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．8
【分析】连接OC、OD，根据垂径定理得AB⊥CD，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出∠BOC＝2∠D，易得出∠COE＝60°，然后根据正弦的定义即可得出OC＝4，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【解答】解：连接OC、OD，
∵点A是的中点，，
∴AB⊥CD，
∴，
∵∠CDB和∠BOC所对的弧都是，
∴∠BOC＝2∠D，
∵，且0＜∠BDC＜π，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠COE＝60°，
在Rt△CEO中，∠CEO＝90°，∠COE＝60°，，，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OC＝8，
故选：D．
变式1.如图，AB，AC是半径为2的⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接DE．若∠A＝45°，则DE的长为（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
【分析】连接BC，OC，OB，先利用圆周角定理可得：∠BOC＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得BC＝2，然后利用垂径定理可得AE＝EC，AD＝DB，从而可得DE是△ABC的中位线，最后利用三角形的中位线定理进行计算，即可解答．
【解答】解：连接BC，OC，OB，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∵OB＝OC＝2，
∴BCOB＝2，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AE＝EC，AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
故选：D．
变式2.如图，⊙O的直径AB平分非直径弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接CF交AB于点G，连接BC．
（1）求证：GC＝BC；
（2）若AG＝4，BG＝6，求CF的长．
【分析】（1）根据D是弧BF的中点得∠DCF＝∠DCB，再根据垂径定理得AB⊥CD，由此可依据“ASA”判定△CEG和△CEB全等，然后根据全等三角形的判定即可得出结论
（2）连接OC，依题意得AB＝10，则OA＝OB＝OC＝5，进而得OG＝1，再根据GC＝BC，AB⊥CD得BE＝GEBG＝3，则OE＝2，由勾股定理可求出CE，则CG，然后根据相交弦定理得CF FG＝AG BG，则FG，由此即可得出CF的长．
【解答】（1）证明：∵D是弧BF的中点，
∴弧FD＝弧BD，
∴∠DCF＝∠DCB，
即∠ECG＝∠ECB，
∵⊙O的直径AB平分非直径弦CD于点E，
根据垂径定理得：AB⊥CD，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
在△CEG和△CEB中，
，
∴△CEG≌△CEB（ASA），
∴GC＝BC；
（2）解：连接OC，如图所示：
∵AG＝4，BG＝6，
∴AB＝AG+BG＝10，
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O非直径的弦，
∴OA＝OB＝OCAB＝5，
∴OG＝BG﹣OB＝6﹣5＝1，
∵GC＝BC，AB⊥CD，
∴BE＝GEBG＝3，
∴OE＝GE﹣OG＝3﹣1＝2，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG√，
由相交弦定理得：CG FG＝AG BG，
∴FG，
∴CF＝CG+FG．
例1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠ACB＝65°，则∠BAD的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理求得∠ACD＝90°，得到∠BCD＝25°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，∠ACB＝65°，如图，连接CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD＝25°，
故选：B．
变式1.如图，⊙O是△ACD外接圆，AB是⊙O的直径，连接BC，∠D＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【分析】由圆周角定理得出∠B＝∠D＝36°，∠ACB＝90°，则可得出答案．
【解答】解：∵∠D＝36°，
∴∠B＝∠D＝36°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣36°＝54°，
故选：D．
变式2.如图，已知△ABC内接于半径为5的⊙O，∠BAC是锐角，BC＝8，则tan∠BAC的值为 　　 ．
【分析】连接BO并延长，交⊙O于D，连接CD，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据勾股定理求出CD，再根据正切的定义、圆周角定理解答即可．
【解答】解：如图，连接BO并延长，交⊙O于D，连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴CD6，
∴tan∠BDC，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴tan∠BAC，
故答案为：．
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为 　　 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，根据勾股定理即可求解；
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，
∵BC＝4，
∴BDBC＝2，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2，
∴AD6，
设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．
在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．
解得r，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
变式1.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，P是⊙O上一点．若AC＝4，∠BPC＝30°，则AB的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BPC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，再根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BPC＝30°，
∴BCAC＝2，
由勾股定理得：AB2，
故选：C．
变式2.如图，平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（3，0），B（﹣5，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，则△ABC的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
【分析】作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰Rt△ABE，E必为圆心，即AE、BE为半径，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰Rt△ABE，
∵∠ACB＝45°，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为90°，
∵EB＝EA，
∴在弦AB的垂直平分线上，
∵∠AEB＝90°，
∴E必为圆心，即AE、BE为半径，
∵A（3，0），B（﹣5，0）．
∴AB＝8，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴AE＝4，
故选：A．
变式3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得出，再依据圆周角定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理和已知条件求出AD，再利用勾股定理求出半径，最后计算出BD即可．
【解答】（1）证明：∵半径 OD⊥AC，
∴弧AD＝弧CD，AE＝CE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
（2）解：如图，连接AD，
∵OD⊥AC，AC＝8，
∴AE，
设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：
（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD4．
变式4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D，E在直径AB上，∠DCE＝45°，AE＝AC．
（1）求证：BD＝BC；
（2）CD的延长线交⊙O于F点，若DF＝3，BC＝7，求⊙O的半径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE，再由AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，从而得出∠ECB＝90°﹣∠ACE＝90°﹣∠AEC，∠DCB＝135°﹣∠AEC，由三角形内角和定理得出∠CDE＝180°＝∠DCE＝∠AEC＝135°＝∠AEC，得出∠CDE＝∠DCB，最后由等腰三角形判定得出BD＝BC；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，连接AF，BF．证明△AHF∽△AFB，列出比例式，再得出AF2＝AH AB＝AH（2AH+DB），代入得32＝AH（2AH+7），得AH＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ACE＝90°﹣∠AEC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCB＝135°﹣∠AEC，
在△DCE中，∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠AEC＝135°﹣∠AEC，
∴∠CDE＝∠DCB，
∴BD＝BC；
（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接AF，BF，
∵∠ADF＝∠CDB，∠FAB＝∠DCB，
又∵∠CDB＝∠DCB，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴AF＝DF＝3，H为AD中点，
又∵AB为直径，
∴∠AFB＝90°，
∴△AHF∽△AFB，
∴，
∴AF2＝AH AB＝AH（2AH+DB），
由（1）知BD＝BC＝7，
∴32＝AH（2AH+7），
得AH＝1或（舍），
∴AB＝9，
∴⊙O半径为．
例1.已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
变式1.已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．3个以上
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可．
【解答】解：∵直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，
∴直线l与圆O有两个公共点，这两个公共点到O点的距离等于圆O的半径．
故选：B．
变式2.如图，已知△ABC，∠C＝90°，sinB，BC＝12，M、N是BC边上的点，CM＝BN，如果以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，且以MN为直径的圆与边AB有公共点，那么CM的值可以是（　　）
A．1 B．B C．2 D．3
【分析】根据CM＝BN确定以MN为直径圆的圆心是BC的中点，根据直角三角形的边角关系求出AC，进而求出AB，再根据CM＝BN确定BC的中点是以MN为直径的圆的圆心，由⊙O与直线AB有公共点，⊙O以AC为直径的圆相离，确定⊙O半径的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，，
∴，即AB＝3AC，
∵AC2+BC2＝AB2，BC＝12，
∴AC2+122＝（3AC）2，
∴（负值已经舍去），
∴，
如图，取MN的中点O，即MO＝NO，
∵CM＝BN，
∴CM+MO＝BN+NO，即，
过点O作OH⊥AB，连接OA，
∴，
，
∴以MN为直径的圆与边AB有公共点时，，
∴，即，
∴，
取AC的中点K，即，
∴，
又∵以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，即，
∴，
∴，即：，
∴，
综上所述：，
∵，
∴C选项在取值范围内，故符合题意，
故选：C．
变式3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 　AO　 ．
【分析】根据题意，需要分⊙O分别与边AB、BE相切两种情况下，计算出AO长度即可解答．
【解答】解：设⊙O与AB相切于点F，连接OF，OF＝1，
∵BEBC6＝3，∠B＝90°，
∴AE5，
△ABE中，∵AB＞BE，
∴∠BAE＜∠BE
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＜∠DAE，
∵∠AFO＝∠ABE＝90°，∠FAO＝∠BAE，
∴△AFO∽△ABE，
∴，即AO，
∵∠DAE＞∠BAE，
∴若⊙O与AD相切时，和AB一定相交；
若⊙O与AB相切时，和AD一定相离．
同理当⊙O与BC相切于点M时，连接OM，OM＝1，计算得EO，
∴此时AO＝5﹣EO＝5，
∴当AO时，⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，
故答案为：AO．
变式4.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝6，∠B＝90°，点D为AB上一点，且BD＝2，将DB绕点D旋转，得到DE，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，则CF的最小值为　33　 ，最大值为　33　 ．
【分析】根据旋转的性质得到点E的位置，再根据圆的切线分两种情况分别画出相应的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质进行计算即可．
【解答】解：由题意得，点E在以点D为圆心，2为半径的⊙D上，过点A作⊙D的两条切线，当切线AE在△ABC的内部时，CF最短，如图1，当切线AE在△ABC的外部时，CF最长，如图2，
在图1中，
∵AE是⊙D的切线，
∴DE⊥AE，即∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，DE＝DB＝2，AD＝AB﹣BD＝6﹣2＝4，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠BAM＝30°，
∴AM4，BMAB＝2，
∴MC＝BC﹣BM＝6﹣2，
在Rt△CFM中，MC＝6﹣2，∠CMF＝90°﹣30°＝60°，
∴CFMC＝33，
即CF的最小值为33；
在图2中，
∵AE是⊙D的切线，
∴DE⊥AE，即∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，DE＝DB＝2，AD＝AB﹣BD＝6﹣2＝4，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△BCM中，BC＝6，∠BMC＝90°﹣30°＝60°，
∴CM4，BMCM＝2，
∴AM＝6﹣2，
∴FMAM＝3，
∴CF＝CM+FM＝4333，
即CF的最大值为33．
故答案为：33，33．
例1.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD∥BC，连接BD交AC于点E，交⊙O点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）当点F为弧AC的中点，AE＝25，CE＝30时，求⊙O的半径．
【分析】（1）作射线AO交BC于点H，由AB＝AC，得，由垂径定理得AO垂直平分BC，因为AD∥BC，所以∠OAD＝∠AHB＝90°，即可证明AD与⊙O相切；
（2）连接OB，由AE＝25，CE＝30，求得AB＝AC＝55，由，得∠ABF＝∠CBF，因为AD∥BC，所以∠D＝∠CBF，△AED∽△CEB，则∠ABF＝∠D，，所以AD＝AB＝55，求得BCAD＝66，则BH＝CH＝33，所以AH44，当点H在线段AO的延长线上，则OH＝44﹣OA＝44﹣OB，由勾股定理得（44﹣OB）2+332＝OB2，求得OB；当点H在线段AO上，则∠BAC＞90°，所以BH＞AH，与BH＝33，AH＝44相矛盾，可知点H不能在线段AO上，所以⊙O的半径为．
【解答】（1）证明：作射线AO交BC于点H，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO垂直平分BC，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠AHB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴AD与⊙O相切．
（2）解：连接OB，则OB＝OA，
∵AE＝25，CE＝30，
∴AB＝AC＝AE+CE＝55，
∵点F为的中点，
∴，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠CBF，△AED∽△CEB，
∴∠ABF＝∠D，，
∴AD＝AB＝55，
∴BCAD55＝66，
∴BH＝CHBC＝33，
∴AH44，
如图1，点H在线段AO的延长线上，则OH＝44﹣OA＝44﹣OB，
∵OH2+BH2＝OB2，
∴（44﹣OB）2+332＝OB2，
解得OB，
如图2，点H在线段AO上，则∠BAC＞90°，
∴∠BAH＝∠CAH∠BAC＞45°，
∴BH＞AH，与BH＝33，AH＝44，即BH＜AH相矛盾，
∴点H不能在线段AO上，
综上所述，⊙O的半径为．
变式1.如图，AB是⊙O的弦，直径DG⊥AB于点F，C为上的一点，连接DC，交线段AB于点E，H为DG的延长线上一点，∠DCH＝∠AED．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，则OC＝OD，所以∠OCD＝∠D，由DG⊥AB于点F，得∠AFD＝90°，而∠DCH＝∠AED，则∠OCH＝∠DCH﹣∠OCD＝∠AED﹣∠D＝∠AFD＝90°，即可证明CH是⊙O的切线；
（2）作CL⊥OH于点L，则∠OLC＝90°，由⊙O的半径为5，得OC＝OD＝5，因为∠OCL＝∠H＝90°﹣∠COH，所以sin∠OCL＝sinH，求得OLOC＝3，则CL4，DL＝OD+OL＝8，所以CD4．
【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OD，
∴∠OCD＝∠D，
∵AB是⊙O的弦，直径DG⊥AB于点F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DCH＝∠AED，
∴∠OCH＝∠DCH﹣∠OCD＝∠AED﹣∠D＝∠AFD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CH⊥OC于点C，
∴CH是⊙O的切线．
（2）解：作CL⊥OH于点L，则∠OLC＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴OC＝OD＝5，
∵∠OCH＝90°，
∴∠OCL＝∠H＝90°﹣∠COH，
∴sin∠OCL＝sinH，
∴OLOC5＝3，
∴CL4，DL＝OD+OL＝5+3＝8，
∴CD4，
∴CD的长为4．
变式2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）得出∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到DF＝3，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，CD．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC．
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠ODF＝90°．
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°．
在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝4，
∴，
∴．
在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
例2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　4或8　 s后⊙P与直线CD相切．
【分析】分⊙P移动到⊙P1位置、⊙P移动到⊙P2位置两种情况，根据等腰直角三角形的性质、切线的性质计算即可．
【解答】解当⊙P移动到⊙P1位置时，⊙P1与直线CD相切于点E，
则P1E⊥CD，
∵∠AOD＝30°，
∴OP1＝2P1E＝2×1＝2（cm），
∴AP1＝6﹣2＝4（cm），
此时t＝4，
当⊙P移动到⊙P2位置时，同理可得，P2＝6+2＝8（cm），
此时t＝8，
∵圆心在射线OA上，
∴t＝8，
综上所述，4秒或8秒钟后⊙P与直线CD相切，
故答案为：4或8．
变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　8﹣2π　 ．
【分析】连接AF，由切线的性质推出AF⊥BG．由sin∠ABF，求出∠ABF＝30°，由平行线的性质推出∠BGC＝∠ABF＝30°，求出CGBC＝2，于是S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝8﹣2π．
【解答】解：连接AF，
∵BF切圆A于F，
∴AF⊥BG．
∵AF＝AD＝2，AB＝4，
∴sin∠ABF，
∴∠ABF＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BGC＝∠ABF＝30°，
∴CGBC＝2，
∴S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝2×42×2π×22＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
变式2.如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，
由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5，
∴CF＝DF＝CD，
∴OF，
∴OO′＝2，
∵弧CE'D与AB相切于点E'，
∴O′E′⊥AB，
∴OO′2＝OE′2+O′E′2，
∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x，
∴（2）2＝（5﹣x）2+52，
∴（x﹣5）2+y2＝75，
当x＝5时，y的值最大，最大值为5，
当x＝10时，y的值最小，最小值为5，
∴5CD≤5．
故选：C．
例1.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，该正多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】设这个正多边形的边数为n，作该正多边形的外接圆，圆心为点O，连接OC、OD，则∠DOC＝2∠DAC＝30°，由一个正多边形所有中心角度数的和等于360°得30n＝360，求得n＝12，于是得到问题的答案．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，作该正多边形的外接圆，圆心为点O，连接OC、OD，
∵∠DAC∠DOC，且2∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝2∠DAC＝30°，
∴30n＝360，
解得n＝12，
故选：D．
变式1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（　　）
A．25° B．36° C．35° D．40°
【分析】如图，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN∠MON＝36°，
故选：B．
变式2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若OA＝1，则的长为（　　）
A． B． C．π D．2π
【分析】根据正五边形的性质求出其中心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOB72°，
∴的长为，
故选：A．
例2.如图，已知正六边形ABCDEF的半径为1，且点O为正六边形ABCDEF的中心，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OC、OD，作OL⊥CD于点L，由OC＝OD，∠COD＝60°，证明△COD是等边三角形，则CD＝OD＝1，所以DL＝CL，求得OL，由S阴影＝S扇形COD﹣S△COD求得S阴影，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OC、OD，作OL⊥CD于点L，则∠OLD＝90°，
∵正六边形ABCDEF的半径为1，且点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OC＝OD＝1，∠COD360°＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝1，
∴DL＝CLCD，
∴OL，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD1，
故选：D．
变式1.如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6π B．8π C．12π D．16π
【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC＝60°，∠COE＝120°，则∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL＝CL，则∠ALB＝90°，所以BLAB＝2，求得AL2，则AC＝2AL＝4，即可根据扇形的面积公式求得S阴影＝8π，于是得到问题的答案．
【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，
∵∠BOC360°＝60°，∠COE360°×2＝120°，
∴∠BAC∠BOC＝30°，∠CAE∠COE＝60°，
∵CB＝AB＝4，
∴，
∴OB⊥AC，AL＝CL，
∴∠ALB＝90°，
∴BLAB＝2，
∴AL2，
∴AC＝2AL＝4，
∴S阴影8π，
故选：B．
变式2.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．8π C．π D．π
【分析】根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出扇形的半径、圆心角度数，由扇形面积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC120°＝∠BAF，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
同理∠FAE＝30°，
∴∠EAC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
过点B作BM⊥AC 于点M，则AM＝MCAC，∠ABM＝60°，
在Rt△ABM 中，AB＝4，∠ABM＝60°，
∴AMAB＝2，
∴AC＝2AM＝4，
∴S阴影＝S扇形8π，
故选：B．
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 垂径定理及其应用 ★★★★ 题型结构：基础题型（60%）：垂径定理、圆周角定理、切线的性质等高频考点以选择/填空形式出现，每题3-4分。综合题型（40%）：切线的判定、圆与相似三角形/锐角三角函数的结合题常作为10分左右的解答题，要求逻辑严密。 难度分布：基础题侧重公式直接应用，如弧长计算、外接圆半径等；压轴题多涉及动态圆或与坐标系结合的问题，需综合几何变换思想。 分值占比：该板块总分约10-15分，占总分10%-12%。其中直线与圆位置关系（尤其是切线）占比最高，约6-8分；圆的基本性质（如垂径定理）占3-5分。建议重点关注切线的证明及圆与多边形综合题。
考向2 圆周角定理 ★★★
考向3 三角形的外接圆与外心 ★★★★
考向4 直线与圆的位置关系
考向5 切线的性质与判定
考向6 正多边形和圆
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
辨析：
1.经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2.3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3.任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
例1.如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A．4m B．5m C．8m D．10m
变式1.如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　）
A．13m B．15m C．20 m D．26m
变式2.．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
变式3.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
变式4如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现AM＝AB，将玻璃棒竖立起来（MN⊥AB）时，测得MN＝37.5cm．
（1）求∠BAM的度数，并求AB的长；
（2）求弧AMB的长；
（3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度．
.
例1.如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，则∠AOB的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
变式1.如图，点A、点B、点C在⊙O上，∠BAC＝130°，那么∠1的度数为（　　）
A．130° B．120° C．100° D．50°
变式2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝43°，则∠ADC＝（　　）
A．43° B．45° C．47° D．49°
例2.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是的中点，，，则AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．8
变式1.如图，AB，AC是半径为2的⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接DE．若∠A＝45°，则DE的长为（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
变式2.如图，⊙O的直径AB平分非直径弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接CF交AB于点G，连接BC．
（1）求证：GC＝BC；
（2）若AG＝4，BG＝6，求CF的长．
例1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若∠ACB＝65°，则∠BAD的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
变式1.如图，⊙O是△ACD外接圆，AB是⊙O的直径，连接BC，∠D＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
变式2.如图，已知△ABC内接于半径为5的⊙O，∠BAC是锐角，BC＝8，则tan∠BAC的值为 　 　 ．
例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为 　 　 ．
变式1.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，P是⊙O上一点．若AC＝4，∠BPC＝30°，则AB的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
变式2.如图，平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（3，0），B（﹣5，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，则△ABC的外接圆的半径等于（　　）
A． B． C．8 D．4
变式3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
变式4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D，E在直径AB上，∠DCE＝45°，AE＝AC．
（1）求证：BD＝BC；
（2）CD的延长线交⊙O于F点，若DF＝3，BC＝7，求⊙O的半径．
例1.已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
变式1.已知直线l与圆O相交，点P在直线l上，若P点到O点的距离等于圆O的半径，则点P的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．3个以上
变式2.如图，已知△ABC，∠C＝90°，sinB，BC＝12，M、N是BC边上的点，CM＝BN，如果以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，且以MN为直径的圆与边AB有公共点，那么CM的值可以是（　　）
A．1 B．B C．2 D．3
变式3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE
上一点，⊙O的半径为1，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 　 　 ．
变式4.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝6，∠B＝90°，点D为AB上一点，且BD＝2，将DB绕点D旋转，得到DE，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，则CF的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ．
例1.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，AD∥BC，连接BD交AC于点E，交⊙O点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）当点F为弧AC的中点，AE＝25，CE＝30时，求⊙O的半径．
变式1.如图，AB是⊙O的弦，直径DG⊥AB于点F，C为上的一点，连接DC，交线段AB于点E，H为DG的延长线上一点，∠DCH＝∠AED．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求CD的长．
变式2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝2，求阴影部分的面积．
例2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 　 　 s后⊙P与直线CD相切．
变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AD长为半径作圆，交AB于点E，过点B作⊙A的切线BF交CD于点G，切点为F，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
变式2.如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
例1.如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，该正多边形的边数是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
变式1.如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（　　）
A．25° B．36° C．35° D．40°
变式2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若OA＝1，则的长为（　　）
A． B． C．π D．2π
例2.如图，已知正六边形ABCDEF的半径为1，且点O为正六边形ABCDEF的中心，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
变式1.如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6π B．8π C．12π D．16π
变式2.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π B．8π C．π D．π
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