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/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 隐圆模型 ★★★★ 题型结构：仍以选择、填空题的压轴题为主（如将军饮马、动点辅助圆类），解答题可能作为压轴题第2小问出现（如结合二次函数或动态变换）。 难度：整体难度较高，尤其是瓜豆原理、胡不归等模型，需构造几何转化或函数分析，综合性强。 分值占比：约占总分8%-10%，压轴题若涉及可能单题占6-8分。
备考重点：掌握将军饮马、辅助圆等高频题型，强化动态问题中的模型转化能力，重视跨知识点融合（如旋转、相似、函数）。
考向2 瓜豆原理 ★★★
考向3 切线最值与米勒问题、 千斤顶最值 ★★★★
考向4 对称和折叠最值
考点5 将军饮马类最值
考向6 胡不归类最值
1.定点到定点——两点之间，线段最短；
数学定理联系：
①三角形两边之和＞第三边
故三点共线时PA＋PB的值最小=AB
②首尾相连的两折图、三折图
也是当三点（或四点）共线时有最小值
2. 定点到定线——点线之间，垂线段最短；
数学定理联系：
①两平行线间的距离处处相等
故平行线之间，垂线段最短
②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短
（如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值）
3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长）
数学定理联系： 圆和圆外定点的最值问题
（如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r）
模型总结
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
隐圆模型
（1）动点到定点定长模型（共顶点的三条等线段）
若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定边对定角模型
固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①
若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
如：【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使AP＋BP最小．
【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将AP 转化为 PE，使得AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．
常见的题型有：
问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能
使得路程最短？
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
【题型二——将军造桥问题】
问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)
作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）
作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【题型三——遛马饮水问题】
问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．
问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
例1.【学习心得】学习完《圆》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
（1）①类型一，“定点+定长”．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外的一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助⊙A（请你在图1上画圆），则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　28　 °．（填写具体数值）
②类型二，“定角+定弦”．如图2，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP的长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°．
∴∠ABP+∠PBC＝90°．
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝　90°　 ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上．易求得CP的长的最小值为　4　 ．
【问题解决】
（2）如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边BC上的一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为　4　 ．
【问题拓展】
（3）如图4，在正方形ABCD中，AD＝10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF，连接AE，DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
【分析】（1）①根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；
②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可；
（2）根据圆的定义、构造辅助圆，运用圆的性质计算即可解答；
（3）①首先推导出△ADE≌△DCF（SAS），得到AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，利用角的关系推导出∠APD＝90°，进而推导出AE⊥DF；
②连接AC，BD交于点O，推导出点P的运动路径是以AD为直径的圆的，进而得到点P的运动路径长为．
【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外的一点，且AD＝AC，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，如图1，
∴，
故答案为：28；
②在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，
如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝6，
在Rt△BCO中，，
由勾股定理得：，
∴PC＝OC﹣OP＝10﹣6＝4，
∴PC最小值为4，
故答案为：90°；4；
（2）如图3，连接AC，AM，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴AB＝AM，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
在直角三角形ABC中，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得：，
∴MC的最小值为10﹣6＝4，
故答案为：4；
（3）①AE＝DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵DE＝CF，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADP+∠DCF＝90°，
∴∠ADP+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥DF；
②如图4，连接AC，BD交于点O，
∵点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．
变式1.如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动；
（1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝　　 ；
（2）试求的最小值＝　　 ．
【分析】（1）根据已知条件判断，点C在以点O为圆心，6为半径的圆弧上，当射线OC⊥AB于点E时，点C到AB的距离最近，最近距离为CE的长，用面积法求OE的长，OE﹣OC＝CE，即可求解；
（2）在OB上取OD＝3，连接CD，AD，由，，得，又因为∠DOC＝∠COB，可推出△COD∽△BOC，根据相似三角形的性质，得，所以CDBC，ACBC＝AC+CD，在△ACD中，根据三角形三边关系，AC+CD＞AD，当点D、C、A三点共线时，AC+CD＝AD，此时AC+CD值最小，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AD
，所以ACBC的最小值为．
【解答】解：（1）如图1，以点O为圆心，6为半径作弧，作OE⊥AB于点E，
∵点C是第一象限的动点且OC＝6，
∴点C在以点O为圆心，6为半径的圆弧上，
在Rt△AOB中，OA＝16，OB＝12，
∴AB20，
∴S△AOBOA OBAB OE，
即16×12＝20×OE，
解得OE，
CE＝OE﹣OC6．
故答案为：．
（2）如图2，在OB上取OD＝3，连接CD，AD，
∵，，
∴，
又∵∠DOC＝∠COB，
∴△COD∽△BOC，
∴，
∴CDBC，
∴ACBC＝AC+CD，
∵在△ACD中，AC+CD＞AD，
当点D、C、A三点共线时，AC+CD＝AD，此时AC+CD值最小，
在Rt△AOD中，
∴AD，
∴ACBC的最小值为．
故答案为：．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵点C为平面内一动点，BC，
∴点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，
在x轴的负半轴上取点D（，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB，
∴AD＝OD+OA，
∴，
∵CM：MA＝1：2，
∴，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB，OD，
∴BD，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴，即，
解得CF，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴，即，
解得ME，
∴OE，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），
故选D．
变式3如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为 　　 ．
【分析】由点A为弧BC的中点及点P为弧AC上任意一点可得出∠APD＝45°，结合AD⊥AP可得出△ADP是等腰直角三角形，进而得出∠ADB＝135°，最后根据AB为定长，∠ADB为定角，得出点D的轨迹即可解决问题．
【解答】解：∵BC为直径的⊙O，
∴∠BAC＝90°，
又∵A为弧BC中点，
∴，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BC＝8，
∴AB＝AC＝4，
∵，
∴∠ACB＝∠APD＝45°，
∵AD⊥AP交BP于D，
∴∠ADB＝135°，
∴点D运动的轨迹是以I为圆心，以IA长为半径的一段圆弧，连接IB，IC交⊙I于点E，如图：
∴当点D运动点E时，CD的长度最短，
∴∠AIB＝360°﹣135°×2＝90°，
∵IB＝IA，
∴∠IBA＝∠IAB＝45°，
∴IB＝IA＝4，
∵点D在圆I上，
∴ID＝IB＝4，
∴∠IBC＝∠IBA+∠ABC＝90°，
∴IC4，
∴当C、D、三点共线时，CD取最小值，
∴CD的最小值＝IC﹣ID＝IC﹣IB＝44，
故答案为：44．
变式4.【问题情境】
（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的距离最长为多少？
【直接运用】
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是什么？
【构造运用】
（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点D和A运动，连接AM和BN交于点P，求tan∠DCP的最小值．
【分析】（1）当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长，由题意可得出答案；
（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，先由勾股定理得OA，当点P在OA上时，AP最短，即可得出答案；
（3）取AB中点O，连接OP、OC、PC，先证△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM＝∠CBN，再证∠APB＝90°，得点P在以AB为直径的⊙O上运动，当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案
【解答】解：（1）如图，当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长，
∵点P是⊙O上一动点．⊙O的半径为2，OA＝5，
∴AP＝OP+OA＝2+5＝7；
（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，如图所示：
∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，
∴OP＝OCBC＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴OA，
∵AP≥OA﹣OP，
∴AP1，
∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为1；
（3）取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图所示：
∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，
∴BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，
在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠BAM+∠ABN＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，
当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，
设DG＝x，则AG＝GP＝6﹣x，
∴CG＝12﹣x，
在Rt△DCG中，DG2+DC2＝CG2，
∴x2+62＝（12﹣x）2，
∴x，
∴DG，
∴tan∠DCP．
例1.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　 ．
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC＝1
故答案为．
变式1.如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一点，以DE为边作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　5　 ．
【解答】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，
∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDF，
∴∠EDH＝∠FDA，
在△EDH和△FDA中，
，
∴△EDH≌△FDA（SAS），
∴AF＝EH，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90°﹣∠HAD＝30°，EH⊥AB，
∴EHAH＝5，
∴AF的最小值为5，
故答案为：5．
变式2.已知正方形ABCD，点E是边AD上的动点，以EC为边作等边三角形ECF，连接BF，交边DC于点G，当BF最小时，∠CGF＝　120°　 ．
【分析】作等边三角形CDH，连接FH，由正方形ABCD，等边三角形ECF，得△ECD≌△FCH（SAS），得∠CHF＝∠CDE＝90°，故当BF⊥HF时BF最小，此时BF∥CH，即可得∠CGF＝180°﹣∠DCH＝120°．
【解答】解：作等边三角形CDH，连接FH，
由正方形ABCD，等边三角形ECF，
得△ECD≌△FCH（SAS），
得∠CHF＝∠CDE＝90°，
故当BF⊥HF时BF最小，此时BF∥CH，
得∠CGF＝180°﹣∠DCH＝120°．
故答案为：120°．
变式3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为 　　 ．
【分析】以CE为一边在正方形ABCD内作等边△CEH，连接FH，过点H作HP⊥BC于点P，证△EFH和△EGC全等得FH＝CG，根据“垂线段最短”得：当FH⊥HP时，FH为最短，即CG为最短，然后由四边形FHPB为矩形得FB＝HP，FH＝BP＝3，则CG的最小值为3，由此可求出EF＝GE，进而可得△ECG的周长．
【解答】解：以CE为一边在正方形ABCD内作等边△CEH，连接FH，过点H作HP⊥BC于点P，如图1所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，点E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，
∵△EFG和△CEH均为等边三角形，HP⊥BC，
∴EF＝EG，EH＝EC＝2，∠FEG＝∠CEH＝60°，EP＝PC＝1，
∴BP＝3，由勾股定理得：HP＝√3
∵∠FEG＝∠CEH＝60°，
∴∠FEG+∠HEG＝∠CEH+∠HEG，
即：∠FEH＝∠CEG，
在△EFH和△EGC中，
，
∴△EFH≌△EGC（SAS），
∴FH＝CG，
根据“垂线段最短”得：当FH⊥HP时，FH为最短，即CG为最短，如图2所示：
∵FH⊥HP，∠B＝90°，HP⊥BC，
∴四边形FHPB为矩形，
∴FB＝HP，FH＝BP＝3，
∴CG的最小值为3，
在Rt△BEF中，FB，BE＝2
由勾股定理得：EF，
∴GE，
∴△ECG的周长为：CE+CG+GE＝2+35．
故答案为：5．
例1.“已知∠MON，点A，B是ON边上不重合的两个定点，点C是OM边上的一个动点，当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形ABCD，AD＝4，点E是射线AD上一点，点F是射线AB上的一动点．当AE＝12时，则∠DFE的值最大为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由米勒定理可知：当△DEF的外接圆⊙O与边AB相切于点F时，∠DFE取得最大值，作出△DEF的外接圆⊙O，连接OF，OD，OE，过点O作OG⊥DE于点G，利用圆的切线的性质，矩形的判定与性质得到OF＝AG＝8，利用同圆的半径相等和等边三角形的判定定理得到∠DOE＝60°，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：由米勒定理可知：当△DEF的外接圆⊙O与边AB相切于点F时，∠DFE取得最大值，
作出△DEF的外接圆⊙O，连接OF，OD，OE，过点O作OG⊥DE于点G，如图，
则OD＝OE＝OF．
∵⊙O与边AB相切于点F，
∴OF⊥AB，
∵∠A＝90°，OG⊥DE，
∴四边形AFOG为矩形，
∴OF＝AG．
∵AD＝4，AE＝12，
∴DE＝8．
∵OD＝OE，OG⊥DE，
∴DG＝GEDE＝4，
∴AG＝AD+DG＝8，
∴OF＝AG＝8，
∴OD＝OE＝OF＝8，
∴OD＝OE＝DE＝8，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DFE∠DOE＝30°．
即∠DFE的值最大为30°．
故选：A．
变式1.如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为 　5　 ．
【分析】连接PD，由题可知C、P、D、Q四点共圆，取PQ的中点E，连接CD，过点E作EF⊥CD交于F点，时当CD最短时，DE最短，即CD⊥AB时，PQ最短．
【解答】解：连接PD，
∵DQ是圆P的切线，
∴PD⊥DQ，
∵AB＝10，BC＝8，AC＝6，
∴AB2＝BC2+CA2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
∵∠C+∠PDQ＝180°，
∴C、P、D、Q四点共圆，
取PQ的中点E，连接CD，过点E作EF⊥CD交于F点，时
当CD最短时，DE最短，
∵PQ＝2DE，
∴此时PQ最短，
∴CD⊥AB，此时PQ∥AB，
∴PQAB＝5，
故答案为：5．
变式2.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．
①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；
②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．
【分析】（1）连接OC，证明△ODC≌△OBC即可．
（2）①利用平行线的性质解决问题即可．
②如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．想办法求出JQ，JC，根据CQ≥JC﹣JQ即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵OD垂直平分线段AC，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝∠OCD＝30°，
∵∠ODC＝∠OBC＝90°，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC（AAS），
∴OD＝OB，
∴AC是⊙O的切线．
（2）①解：如图1中，∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠DBC，
∵∠ABC＝90°，AD＝DC，
∴BD＝DC＝AD，
∵∠DCB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BDP＝60°．
②解：如图2中，连接OP，取OB的中点J，连接JQ．
∵BE＝4，
∴OB＝OE＝OD＝OP＝2，JO＝JB＝1，
∵∠OBC＝90°，∠OCB＝30°，
∴BCOB＝2，
∴JC，
∵QP＝QB，JO＝JB，
∴JQOP＝1，
∵CQ≥JC﹣JQ，
∴CQ1，
∴CQ的最小值为1．
变式3.问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，AC＝4，∠C＝60°，点E是以点C为圆心，1为半径的⊙C上任意一点，点D是AB的中点，连接DE，求DE的最小值．
（2）西安市的市花是石榴花，其花萼为红色或淡黄色．西安植物园内有一片空地，园林规划师计划将花萼为红色的石榴花移栽到等腰△ABC区域内，将花萼为淡黄色的石榴花移栽到扇形CBD区域内，其设计图纸如图②所示，其中∠ABC＝120°，AB＝BC＝3km．点P是扇形CBD中上的动点（不与点C、D重合），点Q是一座观景台且在线段AP上，并满足QC⊥CP．该园林规划师想沿DQ修一条观光路线，并使点D到点Q的距离最小．请你帮助该设计师求出DQ的最小值．
【分析】（1）如图所示，连接CE，由DE≤CD﹣CE可得当C、D、E三点共线，且点E在线段CD上时，DE有最小值，最小值为CD﹣CE，解直角三角求出，进而求出，再利用勾股定理求出CD的长即可得到答案；
（2）由AB＝BD＝BC，得到A、C、D都在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上再由点P在上，可得点P在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上，则由圆周角定理得到，进一步求出∠AQC＝150°；如图所示，以AC为边，在AC上方作等边△OAC，连接OD，则点Q在以O为圆心，AC的长为半径的圆上，可得当O、D、Q三点共线，且点Q在线段OD上时，DQ有最小值，最小值为OD﹣OQ；证明△BCD是等边三角形，得到CD＝BC＝3km，∠BCD＝60°，求出∠ACD＝90°，解直角三角形得到，AD＝6km，再求出∠OAD＝90°，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：（1）如图所示，连接CE，
∵DE≤CD﹣CE，
∴当C、D、E三点共线，且点E在线段CD上时，DE有最小值，最小值为CD﹣CE，
在Rt△ABC中，AC＝4，∠C＝60°，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴，
在Rt△DBC中，由勾股定理得，
∴；
（2）题意得，AB＝BD＝BC，
∴A、C、D都在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上，
∵点P在上，
∴点P在以点B为圆心，AB的长为半径的圆上，
∵∠ABC＝120°，
∴，
∵QC⊥CP，
∴∠QCP＝90°，
∴∠AQC＝∠QCP+∠CPQ＝150°，
如图所示，以AC为边，在AC上方作等边△OAC，连接OD，则点Q在以O为圆心，AC的长为半径的圆上，
∵DQ≥OD﹣OQ，
∴当O、D、Q三点共线，且点Q在线段OD上时，DQ有最小值，最小值为OD﹣OQ；
∵CB＝CD，∠CBD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝3km，∠BCD＝60°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴，，
∵△OAC是等边三角形，
∴，
∴∠OAD＝90°，
∴，
∴．
例1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点P为CD上一个动点，以AP为对称轴折叠△DAP得到△QAP，点D的对应点为点Q，直线PQ交AB于点M，若AD＝3，AB＝5，当点P与点C重合时，BM的长为 　　 ，当AM有最小值时，PQ的长为 　　 ．
【分析】由角平分线+平行线可知MA＝MP，当P和C重合时，过C作CG⊥AB，交AB延长线于点G，解Rt△CBG，设BM＝x，则AM＝CM＝5﹣x，在Rt△CGM中利用勾股定理建立方程求解即可；
由OM＝AM可知，当AM最小时，PM最小，而PM⊥AB时最小，此时△APM为等腰直角三角形，据此求解即可．
【解答】解：如图，过C作CG⊥AB，交AB延长线于点G，
由折叠可知∠DCA＝∠MCA，
在 ABCD中，CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC＝3，
∴∠DCA＝∠MAC，∠CBG＝∠DAB＝60°，
∴∠MAC＝∠MCA，
∴MA＝MC，
在Rt△BCG中，CG＝BC sin60°，BG＝BC cos60°，
设BM＝x，则MA＝MC＝5﹣x，
∴MGx，
在Rt△CMG中，CG2+MG2＝MC2，
∴（）2+（x）2＝（5﹣x）2，
解得x，即BM；
由前述可知∠MAP＝∠MPA，
∴AM＝PM，
∴当AM有最小值时，则PM最小，而PM⊥AB时最小，如图所示，
∴△APM为等腰直角三角形，
∴∠PAM＝45°，
∴∠PAD＝∠DAB﹣∠PAM＝15°，
∴∠DAQ＝2∠PAD＝30°，
∴∠MAQ＝30°，
在Rt△AQM中，AQ＝AD＝3，
∴QM，AM＝AQ cos30°PM，
∴PQ＝PM﹣MQ；
故答案为：，．
变式1.在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作：
（1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6，则A到BC边的距离是 　3　 ．
（2）如图2有一张三角形纸片ABC，AB＝6，∠B＝30°，D在AB上，且AD＝2，点E为边BC上一个动点．将纸片沿AE折叠，点D的对应点为点D'，点B的对应点为点B'，求点D'到边BC距离的最小值．
（3）如图3，有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点D'，连接AD'，连接AE并延长交DD'于点H，过点E作EF∥AB，交AD'于点F，连接FH，试求△AFH面积的最小值．
【分析】（1）作AH⊥BC．根据三角函数的定义即可求出AH；
（2）根据垂线段最短，知AB′⊥BC时，点D'到边BC距离的最小．由（1）知AH＝3，又AD'＝AD＝2，D'H＝1．故点D'到边BC距离的最小值为1．
（3）由题意S△AFH＝S△AEF+S△EFD＝S△AEF+S△EFD′＝S△AED′，当且仅当点E到A Dˊ的距离最小时，△AEDˊ面积的最小．
【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC．
在Rt△ABH中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AH＝AB sin30°＝63，
∴A到BC边的距离是3，
故答案为：3；
（2）根据垂线段最短，知AB′⊥BC时，
点D'到边BC距离的最小．
由（1）知AH＝3，
又AD'＝AD＝2，
∴D'H＝1．
∴点D'到边BC距离的最小值为1．
（3）如图3中，连接EDˊ，DF，过点D作DG⊥A Dˊ的于点G．
∵EF∥AB∥CD，
∴S△EFD＝S△EFH，
∴S△AFH＝S△AEF+S△EFD＝S△AEF+S△EFD′＝S△AED′，
当且仅当点E到A Dˊ的距离最小时，△AEDˊ面积的最小．
由对称可知，DDˊ＝8．
∴△DADˊ为等腰直角三角形，且A D′＝8，
∵DG⊥AD′，
∴AG＝GD′，
∴DGAD′＝4
∵DE＝DC＝4，
∴点E在以点D为圆心，DC为4的半径的弧上运动，
∴点E到A Dˊ的距离最小值为44，
∴△AEDˊ面积的最小值为8（44）＝32﹣16．
故△AFH面积的最小值为（32﹣16）．
变式2.数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边AD，CD上．
（1）折叠正方形纸片ABCD，使得PA，CQ依次落在直线PQ上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕PE，QF（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边BC，AB上．设PE，QF的交点为O，则∠POQ＝ 　45　 °；
（2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在直线PQ上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边AB，CD上．设MN，PE的交点为G，则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由；
（3）如图③，已知正方形纸片ABCD的边长为16cm，在（2）的条件下，当点P为边AD的中点时，
则随着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出△PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长．
【分析】（1）作∠APQ，∠CQP的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到∠APQ+∠CQP＝270°，再根据角平分线的定义得到∠OPQ+∠OQP＝135°，即可得到∠POQ＝45°；
（2）延长PQ，BC交于T，作∠BTP的角平分线即可．证明△PTG≌△ETG（AAS）得到点G是PE的中点即可；
（3）作∠MPQ的角平分线交BC于E，连接ME，先根据折叠的性质求出C△PAM＝AP+AM+MP＝AP+AM+ME，可知C△PAM的最小值为24cm，将MN向上平移使得M与A重合，证明△BM'P≌△M'DN'（ASA），得到BP＝M'N'，即可得到BP＝MN＝8．
【解答】解：（1）如图，作∠APQ，∠CQP 的角平分线即可，
∵∠APQ＝∠D+∠DQP，∠CQP＝∠D+∠DPQ．
∴∠APQ+∠CQP＝∠D+∠DQP﹣∠D+∠DPQ＝∠D+180°＝270°，
∵PE，QF分别是∠APQ，∠CQP 的角平分线，
∴∠OPQ+∠OQP（∠APQ+∠CQP）＝135°，
∴∠POQ＝180°﹣∠OPQ﹣∠OQP＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45；
（2）如图，延长PQ，BC交于T，作∠BTP的角平分线即可．
∵AD∥BC．
∴∠APE＝∠PEC，
∵PE平分∠APQ．
∴∠APE＝∠TPE．
∴∠PEC＝∠TPE，
∵TG平分∠BTP．
∴∠PTG＝∠ETG，
又∵TG＝TG，
∴△PTG≌△ETG（AAS），
∴点G是PE的中点，
∴点G在边AB、CD的垂直平分线上；
（3）如图，作∠MPQ的角平分线交BC于E，连接ME，
∵MN是折痕，
∴MP＝ME且MN垂直平分BP，
∴C△PAM＝AP+AM+MP＝AP+AM+ME，
∵AP为定值即＝AD＝8cm．
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小值即为AB的长，
故C△PAM的最小值为24cm，此时E和B重合，将MN向上平移使得M与A重合，如图，
∵∠PM'N'+∠BM'N′＝90°，∠M'BP+∠BM'N′＝90°，
∴∠PM'N′＝∠M'BP，
∵M'B＝M'D，∠BM'P＝∠M'DN'＝90°，
∴△BM'P≌△M'DN'（ASA），
∴BP＝M'N'即BP＝MN．
∵BP8（cm），
∴MN＝8cm．
例1.如图，线段AB＝10，点C是线段AB上的一个动点，分别以AC，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE，点F在线段AB上，连接DF，EF，DE．则△DEF周长的最小值为（　　）
A． B．10 C． D．
【分析】作D点关于直线AB的对称点D′，此时D′E就是DF+EF的最小值，设AC＝x，则BC＝10﹣x，然后分别表示出DCx，CE（10﹣x），求得D′E＝5，继而在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，即可得出DE的最小值为5，进一步求得△DEF周长的最小值为5+5．
【解答】解：作D点关于直线AB的对称点D′，此时D′E就是DF+EF的最小值，
作EK⊥AB于K，EG⊥DD′于G，
则四边形EGHK是矩形，
∴GH＝EK，GE＝HK，
设AC＝x，则BC＝10﹣x，
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形，DD′⊥AB，EK⊥AB，
∴AH＝CH，CK＝BK，
∴D′H＝DHAC，GH＝EK，
∴GE＝HK＝CH+CK＝5，D′G＝D′H+GH＝5，
∴D′E＝5，
∴∠DCA＝∠45°，∠ECB＝45°，DCx，CE（10﹣x），
∴∠DCE＝90°，DC+CEx（10﹣x）＝5，
∴DE2＝DC2+CE2x2（10﹣x）2＝x2﹣10x+50＝（x﹣5）2+25，
∴DE5，
∴当x＝5时，DE取得最小值，最小值为5，
∴此时DF+EF+DE＝5+5，即△DEF周长的最小值为5+5，
故选：A．
变式1.由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形ABCD，其中AB＝18，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，在直线FG上方有一个动点P，且满足四边形EFGH的面积是△PFG的面积的6倍，则△APD周长的最小值为 　318　 ．
【分析】如图，连接AC、BD交于O，由条件可知EH、FG为△ABD、△CBD的中位线，得到EH＝FGBD，EH∥BD，BD∥FG，求得四边形EFGH为平行四边形，由菱形性质可知AC⊥BD，EF⊥FG，推出四边形EFGH为矩形，在FG上方作直线l∥FG，且l到FG的距离为EF，即NHEF，由四边形EFGH的面积是△PFG的面积的6倍，得到点P在直线l上，如图，作点A关于直线l的对称点M，连接MD，交直线l于点P，AC交直线l于点N，AC交AC于点H，由对称性可知：PA＝PM，求得PA+PD＝PM+PD，根据两点之间线段最短可得：当点M、P、D三点共线时，PA+PD最短为MD长，得到△ADP周长的最小，得到OA＝OCAC＝9，由勾股定理得到OD9，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接AC、BD交于O，
由条件可知EH、FG为△ABD、△CBD的中位线，
∴EH＝FGBD，EH∥BD，BD∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
由菱形性质可知AC⊥BD，EF⊥FG，
∴四边形EFGH为矩形，
在FG上方作直线l∥FG，且l到FG的距离为EF，即NHEF，
∵四边形EFGH的面积是△PFG的面积的6倍，
∴点P在直线l上，
如图，作点A关于直线l的对称点M，连接MD，交直线l于点P，AC交直线l于点N，AC交AC于点H，
由对称性可知：PA＝PM，
∴PA+PD＝PM+PD，
根据两点之间线段最短可得：当点M、P、D三点共线时，PA+PD最短为MD长，
∴△ADP周长的最小，
由条件可知△ABC为等边三角形，
∴AC＝18，
∴OA＝OCAC＝9，
由勾股定理得OD9，
∵E、F分别为AB、BC中点，
∴BE＝BFAB＝9，
∵∠B＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴EF＝6，
∴NH9＝3，
∴ON3，
∴AN＝MN＝OA+ON＝9，
∴MO＝MN+ON12，
∴MD3，
∴△ADP周长的最小值为318，
故答案为：318．
变式2.在矩形ABCD中，，连接BD，点E，F分别是边BC，AD上的动点，且BE＝AF，分别过点E，F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，连接AM，AN，则△AMN周长的最小值为 　　 ．
【分析】如图所示，过点A作l∥BD，作AH⊥BD于点H，作点M关于直线直的对称点M'，则AM＝AM'，连接M'N，根据两点之间线段最短可得线段M'N即为AM+AN的最小值，根据矩形，勾股定理，等面积法得到，，根据平行线之间距离相等，轴对称的性质得到MM′＝2AH＝4，设ME＝x，证明△BEM∽△DBA，得，BM＝2x，AFx，则DF＝AD﹣AF，再证△DFN∽△BEM，得DN＝4﹣2x，则MN＝BD﹣BM﹣DN＝5﹣2x﹣（4﹣2x）＝1，在Rt△M'MN中由勾股定理得到MN，根据三角形周长的计算即可求解．
【解答】解：如图所示，过点A作l∥BD，作AH⊥BD于点H，作点M关于直线l的对称点M′，则AM＝AM'，连接M′N，
∴AM+AN＝A'M+AN，
根据两点之间线段最短可得线段M'N即为AM+AN的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，，
∴∠BAD＝90°，ABAD＝25，
∴，
∴，
∵EM⊥BD，l∥BD，
∴MM'⊥BD，MM'＝2AH＝4，
设ME＝x，
∵∠BME＝∠DAB＝90°，∠EBM＝∠ADB，
∴△BEM﹣△DBA，
∴，即，
∴，BM＝2x，
∴AFx，则DF＝AD﹣AF，
∵∠FND＝∠EMB＝90°，∠FDN＝∠EBM，
∴△DFN∽△BEM，
∴，即，
∴DN＝4﹣2x，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝5﹣2x﹣（4﹣2x）＝1，
在Rt△MM'N 中，，
∴△AMN 周长的最小值为，
故答案为：．
例2.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5，
∴QD＝DQ′＝1.5，
∴CQ′＝BP＝2，
∴AP＝AQ′＝5，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5，
∴PE+QE的最小值为5．
故选：C．
变式1.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M，N分别是边AB，BC上的动点，且AM＝BN，连接AN，DM交于点E，点F是线段AB上的一个动点，连接FC，FE，则FC+EF的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝AD＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠ADM＝∠BAN，求得∠AED＝90°，推出点E在以AD为直径的圆周上，设以AD为直径的圆的圆心为O，作点C关于直线AB的对称点C′，连接C′O交⊙O于E，则此时，FC+EF的值最小，且等于CE的长度，过点O作OH⊥BC于H，根据矩形的性质得到OH＝AB＝4，BH＝AOAD＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AM＝BN，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠DAN+∠BAN＝90°，
∴∠DAN+∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴点E在以AD为直径的圆周上，
设以AD为直径的圆的圆心为O，
作点C关于直线AB的对称点C′，连接C′O交⊙O于E，
则此时，FC+EF的值最小，且等于CE的长度，
过点O作OH⊥BC于H，
则四边形ABHO是矩形，
∴OH＝AB＝4，BH＝AOAD＝2，
∴C′H＝4+2＝6，
∴OC′2，
∴FC+EF的最小值为OC′﹣OE＝22，
故选：A．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，）点C的坐标为（1，0），且∠AOB＝30°，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线问题AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值＝AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′＝60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，
则AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值＝AC′，
过点C′作C′D⊥OA于D，
∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB＝30°，
∴OC＝1，CC′＝2×11，
∠OCC′＝90°﹣30°＝60°，
∴CD＝1，C′D＝1，
∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB＝90°，
∴AC＝3﹣1＝2，
∴AD＝2，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′．
故选：C．
变式3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】作A关于BC的对称点A′，以A′为圆心，2为半径作⊙A′，连接A′D交⊙A′于E′，交BC于P，由轴对称的性质得PE+PD＝PE′+PD，此时PE+PD取得最小值，PE+PD＝DE′，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键．
【解答】解：如图，作A关于BC的对称点A′，以A′为圆心，2为半径作⊙A′，连接A′D交⊙A′于E′，交BC于P，
∴PE+PD＝PE′+PD，
∴当D，P，E'三点共线时，PE+PD取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
AD＝BC＝6，
AA′＝8，
∴
＝10，
∴DE′＝10﹣2＝8，
∴PE+PD取得最小值为8，
故选：A．
例1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，，点P为BC边上一点，则的最小值等于 　　 ．
【分析】在矩形外作∠BCM＝30°，过点P作PE⊥CM，则PEPC，过点A作AF⊥CM于点F，交BC于点P'，推出APPC的最小值为AF的长，在分别求出AP'和P'F即可求出答案．
【解答】解：在矩形外作∠BCM＝30°，过点P作PE⊥CM，则PEPC，过点A作AF⊥CM于点F，交BC于点P'，
∴APPC＝AP+PE≥AF，
∴APPC的最小值为AF的长，
∵∠AP'B＝∠CP'F＝90°﹣∠BCM＝60°，∠B＝90°，
在Rt△ABP'中，
AP'2，BP'1，
∴CP'＝BC﹣BP'＝AD﹣BP'＝2﹣1＝1，
在Rt△CFP'中，
P'FCP'，
∴AF＝AP'+P'F＝2，
故答案为：．
变式1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝2，BC＝2，点P是BC上的动点，则OPBP的最小值是 　　 ．
【分析】过点P作PE⊥BD于点E，作点O关于BC的对称点O'，OO'交BC于点F，连接PO'，过点O'作O'H⊥BD于点H，先求得∠DBC＝30°，将OPBP的最小值表示成O'H，再利用三角函数关系求出O'H的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，
∴∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，
∵BC＝2，
∴tan∠DBC，
∴∠DBC＝30°，
过点P作PE⊥BD于点E，
则PEBP，
作点O关于BC的对称点O'，OO'交BC于点F，连接PO'，
则PO'＝PO，
过点O'作O'H⊥BD于点H，如图，
则OPBP＝OP'+PE≥O'H，
∴OPBP的最小值是O'H，
在Rt△O'OH中，
∠BOO'＝60°，OO'＝2OF＝AB＝2，
∴O'H＝OO' sin∠BOO'＝2×sin60°，
即OPBP的最小值是，
故答案为：．
变式2.如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　5　 ．
【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BC，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出A H＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°，
∵点M是DF的中点，
∴，
如图，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，
∴FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH，
在△FBG和△FBH中，
，
∴△FBG≌△FBH（SAS），
∴FH＝FG，
∴，
∴当H、D、F三点共线时，DF+HB有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半，
∵AG＝2GB，AB＝6，
∴BH＝BG＝2，
∴A H＝8，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
变式3.如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BDAD的最小值为 　　 ．
【分析】在AC上截取CG，可证明△CDG∽△CAD，进而得出DG，从而得出BDAD＝BD+DG≥BG，进一步求得结果．
【解答】解：如图，
在AC上截取CG，
∴，
∵∠DCG＝∠ACD，
∴△CDG∽△CAD，
∴，
∴DG，
∴BDAD＝BD+DG≥BG，
∴当B、D、G在同一条直线上时，BD+DG最小，最小值＝BG，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，CG，
∴BG，
∴BD的最小值为：，
故答案为：．
例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象与x轴分别交于点A和点B，过顶点C的直线l⊥x轴于点D，点M为线段BC上一点，点N在线段CD上，且CN＝2BM，当取最小值时，则DN＝ 　　 ．
【分析】由函数解析式求得，B（0，3），进而可得，BC＝5，则，可知∠DBC＝60°，分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，则，，PQ是△BCN的中位线，得PQ＝CN，PQ＝BM，过点B作BE∥PQ，且BE＝PB，则BD＝BE，证明△
BPQ≌△EBM（SAS），得BQ＝EM，可知BN+DM＝BQ+DM＝EM+DM≥DE，当M在DE上时取等号，此时，过点M作MF⊥BD，解直角三角形得，可得，则CN＝2BM＝5（1），可知此时DN＝CD﹣CN，即可求解DN．
【解答】解：∵，
当y＝0时，即，
可得x1＝﹣2，x2＝3，
∴，B（0，3），
则，，
∴，则∠DBC＝60°，
分别取BC，BN的中点P，Q，连接PQ，则，，PQ是△BCN的中位线，
∴，
∵CN＝2BM，
∴PQ＝BM，
过点B作BE∥PQ，且，则BD＝BE，
∴∠BPQ＝∠EBM，∠BDE＝45°，BP＝BE，
∴△BPQ≌△EBM（SAS），
∴BQ＝EM，
∴BN+DM＝BQ+DM＝EM+DM≥DE，当M在DE上时取等号，
即：当取最小值时，M在DE上，
此时，过点M作MF⊥BD，则，，
又∵∠BDE＝45°，
∴，则，
可得，则，
∴此时，
即：当取最小值时，，
故答案为：．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以A为圆心，半径为2画圆，点M为⊙A上一动点，连接BM、CM，则BM+2CM的最小值为 　2　
【分析】识别出阿氏圆，在AB上截取AQ＝1，证△AMQ∽△ABM得到，所以MQ，从而将BM+2CM转化成BM+CM＝MQ+CM≥CQ，三点共线时取等，再利用勾股定理求CQ的长度即可．
【解答】解：∵抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，
当y＝0时，，
解得：x1＝4，x2＝8，
∴A（4，0），B（8，0），
∴OB＝8，
∴AB＝4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
在AB上截取AQ＝1，连接AM、MQ，
∴，
∵∠MAQ＝∠BAM，
∴△AMQ∽△ABM，
∴，
∴MQBM，
∴BM+CM＝MQ+CM≥CQ，
当C、M、Q三点共线时取等，
∵OQ＝OA+AQ＝5，
在Rt△OCQ中，CQ，
即BM+CM最小值为，
此时BM+2CM＝2（BM+CM）＝2．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是　　 ．
【分析】过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由得，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．
【解答】解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，
令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或1，
∴A（1，0），C（﹣4，0），
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
∴．
∴，
根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，
∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
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考点分布 考查频率 命题趋势
考向1 隐圆模型 ★★★★ 题型结构：仍以选择、填空题的压轴题为主（如将军饮马、动点辅助圆类），解答题可能作为压轴题第2小问出现（如结合二次函数或动态变换）。 难度：整体难度较高，尤其是瓜豆原理、胡不归等模型，需构造几何转化或函数分析，综合性强。 分值占比：约占总分8%-10%，压轴题若涉及可能单题占6-8分。
备考重点：掌握将军饮马、辅助圆等高频题型，强化动态问题中的模型转化能力，重视跨知识点融合（如旋转、相似、函数）。
考向2 瓜豆原理 ★★★
考向3 切线最值与米勒问题、 千斤顶最值 ★★★★
考向4 对称和折叠最值
考点5 将军饮马类最值
考向6 胡不归类最值
1.定点到定点——两点之间，线段最短；
数学定理联系：
①三角形两边之和＞第三边
故三点共线时PA＋PB的值最小=AB
②首尾相连的两折图、三折图
也是当三点（或四点）共线时有最小值
2. 定点到定线——点线之间，垂线段最短；
数学定理联系：
①两平行线间的距离处处相等
故平行线之间，垂线段最短
②圆上一点到圆外定直线上一点中，垂线段最短
（如图：则PH即为圆O上的点到直线L的最小值;QH为最大值）
3.定点到定圆——点圆之间，点心线截距最短（长）
数学定理联系： 圆和圆外定点的最值问题
（如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r）
模型总结
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
隐圆模型
（1）动点到定点定长模型（共顶点的三条等线段）
若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长
（2）直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90° 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径
则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角
（3）定边对定角模型
固定线段AB所对动角∠P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可
（4）四点共圆模型①
若动角∠A+动角∠C=180° 原理：圆内接四边形对角互补
则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧
（5）四点共圆模型②
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等
则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
如：【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使AP＋BP最小．
【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将AP 转化为 PE，使得AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度．
常见的题型有：
问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能
使得路程最短？
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
【题型二——将军造桥问题】
问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥)
作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马）
作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
【题型三——遛马饮水问题】
问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R．
问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
例1.【学习心得】学习完《圆》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
（1）①类型一，“定点+定长”．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，D是△ABC外的一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助⊙A（请你在图1上画圆），则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　 °．（填写具体数值）
②类型二，“定角+定弦”．如图2，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP的长的最小值．
解：∵∠ABC＝90°．
∴∠ABP+∠PBC＝90°．
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝　 °　 ，（定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上．易求得CP的长的最小值为　 　 ．
【问题解决】
（2）如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是边BC上的一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为　 　 ．
【问题拓展】
（3）如图4，在正方形ABCD中，AD＝10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF，连接AE，DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
变式1.如图所示，在平面直角坐标系中，A（16，0），B（0，12），点C是第一象限的动点且OC＝6，线段OC绕点O在第一象限转动；
（1）在转动过程中，求点C到AB的最近距离＝　 　 ；（2）试求的最小值＝　 　 ．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
变式3如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为 　 　 ．
变式4.【问题情境】
（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的距离最长为多少？
【直接运用】
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是什么？
【构造运用】
（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点D和A运动，连接AM和BN交于点P，求tan∠DCP的最小值．
例1.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　 ．
变式1.如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一点，以DE为边作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　 　 ．
变式2.已知正方形ABCD，点E是边AD上的动点，以EC为边作等边三角形ECF，连接BF，交边DC于点G，当BF最小时，∠CGF＝　 　 ．
变式3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为 　 　 ．
例1.“已知∠MON，点A，B是ON边上不重合的两个定点，点C是OM边上的一个动点，当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时，∠ACB的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形ABCD，AD＝4，点E是射线AD上一点，点F是射线AB上的一动点．当AE＝12时，则∠DFE的值最大为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
变式1.如图，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点P在线段AC上，以P为圆心，PA长为半径的圆与边AB相交于另一点D，点Q在直线BC上，且DQ是⊙P的切线，则PQ的最小值为 　 　 ．
变式2.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点P为⊙O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP．
①当点P只在BE左侧半圆上时，如果BC∥DP，求∠BDP的度数；
②若Q是BP的中点，当BE＝4时，直接写出CQ长度的最小值．
变式3.问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，AC＝4，∠C＝60°，点E是以点C为圆心，1为半径的⊙C上任意一点，点D是AB的中点，连接DE，求DE的最小值．
（2）西安市的市花是石榴花，其花萼为红色或淡黄色．西安植物园内有一片空地，园林规划师计划将花萼为红色的石榴花移栽到等腰△ABC区域内，将花萼为淡黄色的石榴花移栽到扇形CBD区域内，其设计图纸如图②所示，其中∠ABC＝120°，AB＝BC＝3km．点P是扇形CBD中上的动点（不与点C、D重合），点Q是一座观景台且在线段AP上，并满足QC⊥CP．该园林规划师想沿DQ修一条观光路线，并使点D到点Q的距离最小．请你帮助该设计师求出DQ的最小值．
例1.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，点P为CD上一个动点，以AP为对称轴折叠△DAP得到△QAP，点D的对应点为点Q，直线PQ交AB于点M，若AD＝3，AB＝5，当点P与点C重合时，BM的长为 　 ，当AM有最小值时，PQ的长为 　 　 ．
变式1.在探究“折叠问题”时，同学们的兴趣被激发，他们进行了如下操作：
（1）在探究过程中，学生发现运用了一条数学“公理”，解决了如下问题：如图1，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6，则A到BC边的距离是 　 　 ．
（2）如图2有一张三角形纸片ABC，AB＝6，∠B＝30°，D在AB上，且AD＝2，点E为边BC上一个动点．将纸片沿AE折叠，点D的对应点为点D'，点B的对应点为点B'，求点D'到边BC距离的最小值．
（3）如图3，有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．做点D关于点C的对称点D'，连接AD'，连接AE并延长交DD'于点H，过点E作EF∥AB，交AD'于点F，连接FH，试求△AFH面积的最小值．
变式2.数学实验：折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，PQ是将正方形纸片ABCD折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边AD，CD上．
（1）折叠正方形纸片ABCD，使得PA，CQ依次落在直线PQ上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕PE，QF（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边BC，AB上．设PE，QF的交点为O，则∠POQ＝ 　 　 °；
（2）在（1）的条件下，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在直线PQ上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边AB，CD上．设MN，PE的交点为G，则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对称轴上？请说明理由；
（3）如图③，已知正方形纸片ABCD的边长为16cm，在（2）的条件下，当点P为边AD的中点时，
则随着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM的周长；如果改变，求出△PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长．
例1.如图，线段AB＝10，点C是线段AB上的一个动点，分别以AC，BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，等腰直角三角形BCE，点F在线段AB上，连接DF，EF，DE．则△DEF周长的最小值为（　　）
A． B．10 C． D．
变式1.由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形ABCD，其中AB＝18，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，在直线FG上方有一个动点P，且满足四边形EFGH的面积是△PFG的面积的6倍，则△APD周长的最小值为 　 　 ．
变式2.在矩形ABCD中，，连接BD，点E，F分别是边BC，AD上的动点，且BE＝AF，分别过点E，F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，连接AM，AN，则△AMN周长的最小值为 　 　 ．
例2.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
变式1.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M，N分别是边AB，BC上的动点，且AM＝BN，连接AN，DM交于点E，点F是线段AB上的一个动点，连接FC，FE，则FC+EF的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．
变式2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，）点C的坐标为（1，0），且∠AOB＝30°，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）
A． B． C． D．
变式3.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
例1.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，，点P为BC边上一点，则的最小值等于 　　 ．
变式1.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB＝2，BC＝2，点P是BC上的动点，则OPBP的最小值是 　　 ．
变式2.如图，在边长是6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则的最小值是 　　 ．
变式3.如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BDAD的最小值为 　 　 ．
例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图象与x轴分别交于点A和点B，过顶点C的直线l⊥x轴于点D，点M为线段BC上一点，点N在线段CD上，且CN＝2BM，当取最小值时，则DN＝ 　 　 ．
变式1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，以A为圆心，半径为2画圆，点M为⊙A上一动点，连接BM、CM，则BM+2CM的最小值为 　 　
变式2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则的最小值是　 　 ．
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