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4.2.1　等差数列的概念(1)
1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念．
2. 能根据等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列．
3. 了解等差中项的概念．
4. 探索并掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决一些简单的问题．
活动一 理解等差数列的概念
我们知道，数列是一种特殊的函数，在函数中，我们研究了一些有用的函数模型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等．类似地，在数列中我们也要研究一些具有特殊变化规律的数列．
请看下面几个问题中的数列．
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
25．0，24.4，23.8，23.2，22.6.
4. 某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为
ar，ar－br，ar－2br，ar－3br，….
思考1
通过运算，这些数列有什么共同的特点？
等差数列的定义：
递推公式表示：
例1　判断下列数列是否为等差数列：
(1) 1，1，1，1，1；
(2) 4，7，10，13，16；
(3) －3，－2，－1，1，2，3.
思考2
如何判断一个数列是否为等差数列？应注意概念中的哪些关键字？
思考3
若数列{an}是等差数列，公差为d，则
(1) an，an－1，…，a2，a1是等差数列吗？
(2) a1，a3，a5，…，a2n－1，…是等差数列吗？
(3) ak，ak＋m，ak＋2m，…是等差数列吗？(k，m∈N*)
(4) λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…是等差数列吗？（λ，μ为常数）
活动二 了解等差中项的概念
例2　写出下列等差数列中的未知项：
(1) 3，a，5，则a＝　　　　；
(2) 3，b，c，9，则b＝　　　　，c＝　　　　．
等差中项的定义：
若a，A，b成等差数列，则称A为a，b的等差中项，此时 A＝.
例3　（2023全国单元测试）已知数列{an}满足2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N*，n≥2)，证明：数列{an}为等差数列．
证明数列{an}为等差数列的方法：
(1) 定义法：an－an－1＝d（d为常数，n∈N*，n≥2）；
(2) 中项法：an＝(n∈N*，n≥2).
活动三　掌握等差数列的通项公式　
思考4
设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项an吗？
据其定义，可得：
a2－a1＝　　　　，
即a2＝a1＋　　　　；
a3－a2＝　　　　，
即a3＝a2＋　　　　＝a1＋　　　　；
a4－a3＝　　　　，
即a4＝a3＋　　　　＝a1＋　　　　；
……
由此可归纳出等差数列的通项公式：
叠加法，归纳法．
思考5
等差数列的通项公式有什么特点？它与哪一类函数有关？
活动四 掌握等差数列通项公式的简单应用　　
例4　(1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项；
(2) 求等差数列8，5，2，…的第20项．
例5　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
1. （2024张家界期末）35是等差数列3，5，7，9，…的(　　)
A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项
2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，2a＋1，a＋7，则此数列的第四项为(　　)
A. 12 B. 13 C. 10 D. 15
3. （多选）已知数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是(　　)
A. an＋1＝an＋d（d为常数） B. 数列{－an}是等差数列
C. 数列是等差数列 D. an＋1是an与an＋2的等差中项
4. （2024上海期末）在数列{an}中，a1＝－10，且2an＋1－2an＝1(n∈N*)，则a51＝　　　　．
5. 在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值．
4．2.1　等差数列的概念(2)
1. 巩固等差数列的概念及其通项公式．
2. 探索发现等差数列的性质并能运用这些性质解决问题．
3. 能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
活动一 等差数列的实际应用
例1　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
解决等差数列实际问题的步骤：
①将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化为数学问题；
②构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an；
③利用通项公式求解；
④将所求结果还原到实际问题中．
注意：建立等差数列模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
活动二　等差数列的定义及通项公式的综合应用
例2　已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1) 求数列{bn}的通项公式；
(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．
思考1
如果插入k(k∈N*)个数，那么{bn}的公差是多少？
思考2
对于第(2)小题，你还有其他解决方法吗？
已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1) 135，4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？请说明理由；
(2) 若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？请说明理由．
活动三　理解等差数列的基本性质　
探究1　在等差数列{an}中，公差为d，则am与an有何关系？
例3　在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
探究2　在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的新数列有何特征？若从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的新数列又有何特征？若构造新数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，则所得数列又有何特征？
已知等差数列{an}，{bn}的公差分别为d，e，则：
①项数成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
②如果{an}，{bn}是项数相同的等差数列，那么{an＋bn}和{an－bn}也是等差数列，公差分别为d＋e，d－e.
③{an＋k}，{kan}(k∈R)仍为等差数列，公差分别为d，kd.
例4　已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证：ap＋aq＝as＋at.
在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．
在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52，求公差d的值．
在等差数列{an}中，m，n，p，q∈N*.
(1) 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
(2) 若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
(3) 当公差不为0时，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.
1. （2024唐山期末）已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝1，b1＝2，a3＋b3＝5，则a2 023＋b2 023的值为(　　)
A. 2 026 B. 2 025 C. 2 024 D. 2 023
2. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A. 8 B. 4 C. 6 D. 12
3. （多选）（2024湖南模拟）若正项数列{an}是等差数列，且a2＝5，则下列说法中正确的是(　　)
A. 当a3＝7时，a7＝15
B. a4的取值范围是[5，15）
C. 当a7为整数时，a7的最大值为29
D. 公差d的取值范围是(0，5)
4. （2024湖南开学考试）在等差数列{an}中，已知a2＝5，a6＝21.若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为　　　　．
5. （2024江苏月考）已知一个直角三角形三边的长构成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
4．2.1　等差数列的概念(1)
【活动方案】
思考1：这些数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．
等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
递推公式表示：an＋1－an＝d(d为常数)
例1　(1) 是　(2) 是　(3) 不是
思考2：判断：从第2项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数．
关键字：从第2项起、同一个常数、每一项与它的前一项的差
思考3：(1) 是　(2) 是　(3) 是　(4) 是　
例2　(1) 4　(2) 5　7
例3　由2an＋(n－1)an－1＝nan＋a1(n∈N*，n≥2)，
得2an＋1＋nan＝(n＋1)an＋1＋a1，
两式相减并整理，得(n－1)an＋1－(n－1)an＝(n－1)an－(n－1)an－1.
因为n≥2，所以an＋1－an＝an－an－1，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，
所以数列{an}为等差数列．
思考4：d　d　d　d　2d　d　d　3d　an＝a1＋(n－1)d
思考5：等差数列的通项公式是关于n的一次式，与一次函数有关，其图象是一条直线上均匀分布的点．
例4　(1) 当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得an－1＝5－2(n－1)＝7－2n.
于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.
把n＝1代入通项公式an＝5－2n，
得a1＝5－2×1＝3，
所以{an}的公差为－2，首项为3.
(2) 由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，
得an＝8－3(n－1)＝11－3n.
把n＝20代入上式，得a20＝11－3×20＝－49，
所以这个数列的第20项是－49.
例5　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
令－4n－1＝－401，
解得n＝100，
所以－401是这个数列的项，是第100项．
【检测反馈】
1. B　等差数列3，5，7，9，…的首项为3，公差为2，所以等差数列的通项公式为an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.令2n＋1＝35，得n＝17，所以35是等差数列3，5，7，9，…的第17项．
2. B　因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，2a＋1，a＋7，所以2(2a＋1)＝(a－1)＋(a＋7)，解得a＝2，所以该等差数列的前三项分别为1，5，9，公差为4，所以此数列的第四项为9＋4＝13.
3. ABD　因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d，故A正确；因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，所以(－an＋1)－(－an)＝－(an＋1－an)＝－d，所以数列{－an}是等差数列，故B正确；－＝＝，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确．故选ABD.
4. 15　由2an＋1－2an＝1，得an＋1－an＝，所以数列{an}是首项为a1＝－10，公差为d＝的等差数列，则a51＝a1＋(51－1)d＝－10＋50×＝15.
5. 设数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝－＋(n－1)＝n－6，
所以a12＝15.
4．2.1　等差数列的概念(2)
【活动方案】
例1　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．
由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2).
由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．
因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.
根据题意，得即
解这个不等式组，得19所以d的取值范围为(19，20.9].
跟踪训练　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
例2　(1) 设数列{bn}的公差为d′.
由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，
于是b5－b1＝a2－a1＝8.
因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，
所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.
(2) 数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.
令4n－3＝29，解得n＝8，
所以b29是数列{an}的第8项．
思考1：设数列{bn}的公差为d″.
因为b1＝a1，bk＋2＝a2，
所以bk＋2－b1＝a2－a1＝8，
所以(k＋1)d″＝8，
所以d″＝.
思考2：因为bn＝2n，
所以b29＝2×29＝58.
又a1＝2，d＝8，
所以an＝2＋(n－1)×8＝8n－6，
令8n－6＝58，得n＝8，
所以b29是数列{an}的第8项．
跟踪训练　a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1) 令an＝4n－1＝135，解得n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，
所以4m＋19是数列{an}中的第m＋5项．
(2) 因为ap，aq是数列{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1，
所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N*，
所以2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项．
探究1：an＝am＋(n－m)d
例3　由题意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.
探究2：在等差数列{an}中，依次抽取数列中的偶数项，所构成的数列还是等差数列，且其公差为原数列公差的2倍．从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的数列仍为等差数列，且其公差为原数列公差的4倍．构造数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，新数列仍成等差数列，其公差为原数列公差的4倍．
例4　设数列{an}的公差为d，
则ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
at＝a1＋(t－1)d，
所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.
因为p＋q＝s＋t，
所以ap＋aq＝as＋at.
跟踪训练1　a5＋a8＝a6＋a7＝18
跟踪训练2　由题意，得
解得或
所以d＝3或d＝－3.
【检测反馈】
1. B　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝3，a3＋b3＝5，则等差数列{an＋bn}的公差为1，故a2 023＋b2 023＝a3＋b3＋2 020×1＝2 025.
2. A　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
3. ABC　当a2＝5，a3＝7时，公差d＝2，则a7＝a3＋4d＝7＋8＝15，故A正确；因为{an}是正项等差数列，所以a1＝5－d>0，即d<5，且d≥0，所以公差d的取值范围是[0，5)，故D错误；因为a4＝5＋2d，所以a4的取值范围是[5，15)，故B正确；a7＝5＋5d∈[5，30)，当a7为整数时，a7的最大值为29，故C正确．故选ABC.
4. 41　设等差数列{an}的公差为d，由a2＝5，a6＝21，得解得所以数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列．在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，得到新等差数列{bn}，则等差数列{bn}的首项为1，公差为1，所以新数列的第41项为b41＝1＋40×1＝41.
5. 设直角三角形三边的长分别为m－d，m，m＋d且m>d>0，
则有(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，
整理得m(m－4d)＝0，所以m＝4d，
则直角三角形三边的长分别为3d，4d，5d，
故直角三角形三边长的比为3∶4∶5.

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