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4．2.2　等差数列的前n项和公式(1)
1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2. 通过对公式的探索和发现，提升观察、联想、归纳类比等能力．
活动一 探求等差数列的前n项和公式
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…①前100项的和的问题．
思考1
你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能用高斯的方法求1＋2＋3＋4＋…＋100＋101吗？
思考2
你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？
思考3
我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？
活动二　掌握公式的应用——求基本量(a1，d，n，an，Sn)　
例1　已知数列{an}是等差数列．
(1) 若a1＝7，a50＝101，求S50；
(2) 若a1＝2，a2＝，求S10；
(3) 若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.
例2　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定．
(1) 已知等差数列{an}的前5项的和为25，第8项等于15，求第21项；
(2) 已知在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n的值．
活动三　探求等差数列前n项和公式的特征并应用其解决问题　
例3　(1) 已知数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？
思考4
已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
1. 在等差数列{an}中，若a3＝5，a7＝1，则S6的值为(　　)
A. 60 B. 57 C. 30 D. 27
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为(　　)
A. 17 B. 15 C. 13 D. 11
3. （多选）（2024银川二中期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且a1<0.若a10＋a15＝a12 ，则下列命题中正确的是(　　)
A. 数列{an}是递增数列
B. a13是数列{an}中的最小项
C. S12和S13是{Sn}中的最小项
D. 满足Sn<0的n的最大值为25
4. （2024上海阶段练习）已知{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则S5＝　　　　Ｗ．
5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求：
(1) 数列{an}的通项公式；
(2) 数列{|an|}的前n项和Tn.
4．2.2　等差数列的前n项和公式(2)
1. 能选取合适的等差数列的前n项和公式解决问题．
2. 探求等差数列前n项和性质并能运用它们解决问题．
活动一 灵活运用等差数列前n项和公式
例1　在等差数列{an}中，
(1) 已知a3＝1，a5＝11，求an和S8；
(2) 已知a2＋a7＋a12＝24，求S13；
(3) 已知前4项和为25，最后4项和为63，前n项和为286，求项数n；
(4) 已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n.
在等差数列{an}的五个变量中，a1，n，d，an，Sn，可知三求二．若已知an，优先选用Sn＝；若已知d，优先选用Sn＝na1＋d，同时在解题过程中注意等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq的应用．
活动二　掌握等差数列前n项和的最值问题　
例2　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
求Sn最值的常用方法：
(1) 函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数．
(2) 邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值；
(2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．
活动三　探求等差数列前n项和的性质　
例3　在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
在等差数列{an}中，公差为d，前m项和为Sm，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m为等差数列，且公差为m2d.
　例4　有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．
思考
(1) 在等差数列中，当项数为2n时(n∈N*)，奇数项和与偶数项和之间有什么关系？
(2) 若一个等差数列共有2n＋1(n∈N*)项，其奇数项和与偶数项和有什么关系？
例5　有两个等差数列{an}，{bn}，Tn，Sn分别为其前n项和，且＝，求.
有两个等差数列{an}，{bn}，Tn，Sn分别为其前n项和，且＝，求：
(1) ；
(2) ；
(3) .
若有两个等差数列{an}，{bn}，Tn，Sn分别为其前n项和，则＝.
1. （2024福州期末）在等差数列{an}中，若S3＝3，S6＝24，则S12的值为(　　)
A. 100 B. 120 C. 57 D. 18
2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是An和Bn，且＝，则等于(　　)
A. 2 B. C. D.
3. （多选）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论中正确的是(　　)
A. d<0 B. a7＝0
C. S9>S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
4. 若一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差d＝　　　　．
5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
4．2.2　等差数列的前n项和公式(3)
能在具体的问题情境中，发现数列的通项公式和递推关系，并能利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式解决一些实际问题．
活动一 等差数列的通项公式和前n项和公式的简单实际应用
例1　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第 2排 起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．
求解数列应用题的一般步骤：
(1) 找出规律，判断是否为等差数列．
(2) 巧用性质减少运算量．
例2　某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？（精确到1m，各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离）
活动二　掌握等差数列的综合实际应用
例3　教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税，教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生. 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.
(1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
(2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元（注：教育储蓄存款总额不超过2万元）？此时3年后本息合计约为多少？（精确到1元）
1. （2024临沂期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”，即1遂为1 520岁．某疗养中心恰有57人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为(　　)
A. 52 B. 54 C. 58 D. 60
2. （2024广东期末）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第6个叠放的图形中小正方体木块的总数是(　　)
图1　　 图2　　　　 图3
A. 61 B. 66 C. 90 D. 91
3. （多选）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升. ”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3L. ”则下列结论中正确的有(　　)
A. 将这1 864人派遣完需要16天
B. 第十天派往筑堤的人数为134
C. 官府前6天共发放1 467L大米
D. 官府前6天比后6天少发放1 260L大米
4. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为　　　　Ｗ．
5. 某商家耗资4500万元购进一批VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保养费用比上一年增加40万元．该设备使用后，每年的总收入为2800万元．
(1) 求盈利额y（万元）与使用年数x之间的函数关系式；
(2) 该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？
4．2.2　等差数列的前n项和公式(1)
【活动方案】
思考1：若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at.
方法一：1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51＝102×50＋51＝5 151.
方法二：1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＝(1＋2＋3＋…＋100)＋101＝5 050＋101＝5 151.
方法三：1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＝1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＋102－102＝(1＋102)＋(2＋101)＋…＋(51＋52)－102＝103×51－102＝5 151.
方法四：1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＝0＋1＋2＋3＋4＋…＋100＋101＝(0＋101)＋(1＋100)＋…＋(50＋51)＝101×51＝5 151.
思考2：当n是偶数时，有
a1＋an＝a2＋an－1＝…＝＋，
于是有
Sn＝1＋2＋3＋…＋n
＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋
＝.
当n为奇数时，有
Sn＝1＋2＋3＋…＋n
＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[＋
　]＋
＝·(1＋n)＋
＝.
所以，对任意正整数n，都有
Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
思考3：利用倒序相加，得等差数列{an}的前n项和Sn＝.如果已知首项a1和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用a1和d来表示Sn，把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝，可得Sn＝na1＋d.
例1　(1) 因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2700.
(2) 因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝.
(3) 把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×，
整理，得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以n＝12.
例2　由题意，知S10＝310，S20＝1220，
把它们代入公式Sn＝na1＋d，
得解得
所以由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．
跟踪训练　(1) 由题意知
解得
所以a21＝1＋(21－1)×2＝41.
(2) 由题意知解得
因为Sn＝242＝12n＋×2，
所以n＝11(负值舍去).
例3　(1) Sn＝na1＋d＝2n＋×2＝n2＋n.
(2) 当n＝1时，a1＝S1＝1＋＝；
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－.
因为a1＝满足上式，所以an＝2n－.
当n≥2时，an－1＝2(n－1)－，
所以an－an－1＝2，
所以数列{an}是等差数列．
思考4：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q＋r；
当n≥2时，Sn－1＝p(n－1)2＋q(n－1)＋r，
所以an＝Sn－Sn－1＝pn2＋qn＋r－[p(n－1)2＋q(n－1)＋r]＝2pn－p＋q.
若r＝0，则a1＝p＋q，满足上式，
此时an＝2pn－p＋q，
an－1＝2p(n－1)－p＋q(n≥2)，
所以an－an－1＝2p，为常数，
所以{an}是等差数列；
若r≠0，则a1＝p＋q＋r，不满足上式，
所以an＝
此时{an}不是等差数列．
【检测反馈】
1. D　设等差数列{an}的公差为d，则所以所以S6＝6×7＋×(－1)＝27.
2. A　因为Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，所以(an－3＋a4)＋(an－2＋a3)＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)＝4(a1＋an)＝8，所以a1＋an＝2，所以Sn＝＝17，解得n＝17.
3. AC　对于A，因为a10＋a15＝a12＋a13＝a12，所以a13＝0，即a1＋12d＝0.因为a1＝－12d<0，所以d>0，则数列{an}是递增数列，故A正确；对于B，因为数列{an}是递增数列，所以最小项是首项a1，故B错误；对于C，因为a1 <0，a13＝0，所以当n＝12或n＝13时，Sn取最小值，故C正确；对于D，由Sn＝na1＋d＝n(a13－12d)＋d＝(n－25)<0，可得04. －10　设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝2，a4＝2a3，所以a1＋3d＝2(a1＋2d)，解得d＝－2，所以S5＝5×2＋×(－2)＝－10.
5. (1) 设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d，
则 即
解得
所以数列{an}的通项公式an＝－20＋(n－1)×3＝3n－23.
(2) 因为an＝3n－23，
所以Sn＝＝.
令3n－23≥0，得n≥8.
当0此时Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝；
当n≥8时，an>0，
此时Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋…＋an)＝－S7＋(Sn－S7)＝Sn－2S7＝＋154.
综上，数列{|an|}的前n项和为
Tn＝
4．2.2　等差数列的前n项和公式(2)
【活动方案】
例1　(1) 因为a3＝1，a5＝11，
所以d＝＝＝5，
所以a1＝a3－2d＝1－10＝－9，
所以an＝－9＋5(n－1)＝5n－14，
S8＝8×(－9)＋×5＝68.
(2) 因为{an}是等差数列，
所以a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，
所以a2＋a7＋a12＝3a7＝24，即a7＝8，
所以a1＋a13＝16，
所以S13＝＝＝104.
(3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝63.
因为{an}是等差数列，
所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22.
因为Sn＝＝286，所以n＝26.
(4) 设Sn＝An2＋Bn，
由题意，得
①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.
因为m≠n，所以(m＋n)A＋B＝－1，
所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n).
例2　方法一：由an＋1－an＝－2<0，得an＋1所以{an}是递减数列．
又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12可知，
当n<6时，an>0；
当n＝6时，an＝0；
当n>6时，an<0，
所以S1S7>….
也就是说，当n＝5或n＝6时，Sn最大．
因为S5＝×[10＋(－2)×5＋12]＝30，所以Sn的最大值为30.
方法二：因为Sn＝n2＋n＝－n2＋11n＝－＋，
所以当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30.
跟踪训练　(1) 因为a1＝13，S3＝S11，
所以3a1＋d＝11a1＋d，
解得d＝－2，
所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
所以当n＝7时，Sn取得最大值49.
(2) 因为d>0，所以－a3＝a9，所以a1＝－5d.
因为Sn＝na1＋d＝，
所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，最小值为S5＝S6＝－15d.
例3　由题意知a1＋a2＋…＋a10＝310，①
a11＋a12＋…＋a20＝910.②
设S＝a21＋a22＋…＋a30，③
因为{an}是等差数列，
所以由②－①，得10d＋10d＋…＋10d＝600，
由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，
所以S－910＝600，所以S＝1 510，
即第21项到第30项的和为1 510.
例4　由题意知
解得
因为a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24，
所以a1＝.
故此数列的首项a1＝，公差d＝，项数2n＝8.
思考：(1) 若项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2) S奇－S偶＝an＋1(an＋1为中间项)，＝.
例5　＝＝＝＝＝.
跟踪训练　(1) ＝＝＝＝.
(2) ＝＝＝＝.
(3) 设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0，
所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k，
b6＝S6－S5＝9k－8k＝k，
所以＝＝7.
【检测反馈】
1. B　因为数列{an}是等差数列，所以数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9也是等差数列．又S3＝3，S6－S3＝24－3＝21，所以S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝39，S9＝39＋24＝63，S12－S9＝2(S9－S6)－(S6－S3)＝2×39－21＝57，所以S12＝57＋63＝120.
2. B　由等差数列的性质可知，＝＝＝＝＝.
3. ABD　因为S50，即a6>0.因为S6＝S7，所以S7－S6＝a7＝0.因为S7>S8，所以S8－S7＝a8<0，所以数列{an}是递减数列，所以d<0，故A，B正确；S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，所以S90，a7＝0，a8<0，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．故选ABD.
4. 5　由题意，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝5.
5. (1) 由题意，得
因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
代入，得解得－故公差d的取值范围是.
(2) 因为S12>0，S13<0，d<0，
所以即
所以所以S6最大．
4．2.2　等差数列的前n项和公式(3)
【活动方案】
例1　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.
由S20＝20a1＋×2＝800，得a1＝21，
故第1排应安排21个座位．
例2　由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95，所以各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π，所以59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得n＝400，则S＝400×40.1π＋×0.2π＝32 000π(mm)≈101(m).
例3　(1) 设每月存入A元，
则A(1＋2.1‰)＋A(1＋2×2.1‰)＋…＋A(1＋36×2.1‰)＝20 000，
即A(36＋36×2.1‰＋×2.1‰)＝20 000，
解得A≈535，故每月大约存入535元．
(2) 因为总额不超过2万，
所以每月至多存≈555(元)，
3年后本息和为555×(1＋2.1‰)＋555×(1＋2×2.1‰)＋…＋555×(1＋36×2.1‰)＝555×≈20 756(元)，
故零存整取3年期教育储蓄每月至多存入555元，此时3年后本息合计约为20 756元．
【检测反馈】
1. A　将他们的年龄从小到大依次排列为a1，a2，…，a57，则有＝1 520×3，a57＝a1＋56，解得a1＝52.
2. B　各图中小正方体木块的个数分别为1，1＋5，1＋5＋9，…，归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，且各层的小正方体木块个数构成了首项为1，公差为4的等差数列，所以第n个图形中小正方体木块的总数Sn＝n＋＝2n2－n，可得S6＝2×36－6＝66，故第6个叠放的图形中小正方体木块的总数为66.
3. ACD　记an为第n天派遣的人数，bn为第n天发放的大米升数，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，即an＝7n＋57，{bn}是以192为首项，21为公差的等差数列，即bn＝21n＋171，所以a10＝64＋7×9＝127，故B不正确；设第k天派遣完这 1 864人，则64k＋＝1 864，解得k＝16(负值舍去)，故A正确；官府前6天共发放192×6＋×21＝1 467(L)大米，故C正确；官府前6天比后6天少发放21×10×6＝1 260(L)大米，故D正确．故选ACD.
4. 392　括号里的数的规律是每三个括号算一组，里面的数的个数都是1＋2＋3＝6(个)，所以到第49个括号时，共有16×6＋1＝97(个)数，且第50个括号里的数有2个．又数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，所以第50个括号里的第一个数是a98＝2×98－1＝195，即第50个括号里的数是195，197，故第50个括号里的数之和为195＋197＝392.
5. (1) 由题意可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列，
所以x年的总保养费S(x)＝200x＋·40＝20x2＋180x(万元)，x年的总收入为2800x 万元，
所以盈利额y＝2800x－(20x2＋180x)－4500＝－20x2＋2620x－4500，
故x与y之间的关系式为y＝－20x2＋2620x－4500.
(2) 由(1)可知，年平均盈利额Z＝＝＝－20x－＋2620.
由基本不等式可知20x＋≥2＝600，当且仅当x＝15时取等号，
所以Z＝－20x－＋2620≤－600＋2620＝2020.
故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元．

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