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广东省广州市越秀区2023-2024学年高二下学期学业水平调研测试数学试题
1．（2024高二下·越秀期末）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（　　）
A．11 B．16 C． D．
2．（2024高二下·越秀期末）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·越秀期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （　　）
A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64
4．（2024高二下·越秀期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（　　）
A．10 B．15 C．60 D．125
5．（2024高二下·越秀期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·越秀期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·越秀期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（　　）
A．70 B．64 C．58 D．24
8．（2024高二下·越秀期末）已知函数，若恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·越秀期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下：
超市 A B C D
广告支出 2 4 5 6 8
销售额 30 40 60 60 70
下列说法正确的是（　　）
（参考公式：，；参考数据：）
A．经验回归直线经过点
B．经验回归方程为
C．样本点的残差为
D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元
10．（2024高二下·越秀期末）已知 ，则（　　）
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
D．
11．（2024高二下·越秀期末）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列.从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，则（　　）
A．数列是可分数列 B．数列是可分数列
C． D．
12．（2024高二下·越秀期末）已知数列满足，则　 　.
13．（2024高二下·越秀期末）长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天看手机时间超过，这些人的近视率为. 现从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为　 　.
14．（2024高二下·越秀期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　 　.
15．（2024高二下·越秀期末）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的最大值与最小值.
16．（2024高二下·越秀期末）为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
　 非体育迷 体育迷 合计
男 30 　 45
女 　 10 　
合计 75 　 100
（1）完成上面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？
（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，求取得最大值时的值.
附： （其中 ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（2024高二下·越秀期末）设数列的前项和为，已知，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
18．（2024高二下·越秀期末）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
19．（2024高二下·越秀期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
（1）求 与 ；
（2）设 ，求证：数列是等比数列；
（3）求 的数学期望 （用 表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：等比数列的首项为1，公比为， 则.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列前n项和公式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：定义域为，，
则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，代值计算即可.
3．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量X服从正态分布，，
则，.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
4．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 每位同学都有5种选法，则不同的选法种.
故答案为：D.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
5．【答案】B
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记事件=取到“第1，2，3台车床加工的零件”，
事件=“取到次品”，，
，
由全概率公式可得：，
由贝叶斯公式：.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据全概率公式，贝叶斯公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：易知，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程求解即可.
7．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，
8个顶点任选4个，有种，其中共面的有12种，
则以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个.
故答案为：C.
【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
当时，函数在上单调递增，
其中，不合题意；
当时，，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递减，在单调递增，
即在处取得极小值，也是最小值，
其中，
又因为恒成立，故，即，所以，
令，，
因为，所以当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，分和两种情况，结合函数单调性得到不合题意，当时，得到，进而求出，令，求导判断函数的单调性，求最小值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：A、易知，，
则经验回归直线经过点，故A错误；
B、，
，则经验回归方程为，故B正确；
C、将代入中，解得，则样本点的残差为，故C正确；
D、将代入中，得，预测广告支出10万元时的销售额为87万元，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由数据计算出样本点中心接口判断A；计算，得到经验回归方程即可判断B；代入，求出，得到残差即可判断C；代入，计算出即可判断D
10．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：
A、令，，即常数项为1，故A正确；
B、令，，即各项系数之和为1，故B错误；
C、展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性，二项式系数最大的项为第项，故C错误；
D、令，得，
因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用赋值法求解即可判断ABD；根据二项式系数的对称性和单调性即可判断C.
11．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、数列中删去以后，数列可以分成一组，并且依然构成等差数列，则数列是可分数列，故A正确；
B、数列中删去以后，剩余的项可以平均分成两组和，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为，这两个数列的公差为，则数列是可分数列，故B正确；
C、当时，根据定义，数列是可分数列，也可以是可分数列，也可以是可分数列共三种，所以，故C正确；
D、当时，根据定义，数列为可分数列的情况有共种，所以，故D错误.
故答案为： ABC.
【分析】根据定义即可判断AB；先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，
当时，，解得，
当时，，解得.
故答案为：.
【分析】由递推式，结合依次求、即可.
13．【答案】0.4
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件“抽到每天看手机时间超过的学生”，
事件“抽到每天看手机时间不超过的学生”，事件“抽到近视的学生”，
，，，，
由，
可得，解得，
则从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：在上恒成立，
即在上恒成立，
设，在上恒成立，
则函数在上单调递增，即，
所以，即，
设，可知函数在上单调递增，且，
所以，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，得，构造函数和，求导，利用导数判断函数的单调性求解即可.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
解得；
（2）解：由（1）知：，
令，解得，
随x的变换变换如下表所示：
x 1 3
10 6 10
由表知：函数在区间上的最大值为10，最小值为-10.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，根据函数在点处的切线方程为，得求解即可；
（2）令，得，分别求得比较大小即可.
（1）解：因为函数，
所以，
因为函数在点处的切线方程为，
所以，
解得；
（2）由（1）知：，
令，得，
随x的变换变换如下表
x 1 3
　 　 　 　
10 　 6 　 10
由表知：在区间上的最大值为10，最小值为-10.
16．【答案】（1）解：完善列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设 ：认为“体育迷”与性别无关联，
，
依据的独立性检验，推断成立，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关；
（2）解：由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，
则，
令得，
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，
即当时，函数取得最大值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，求的值，分析判断即可；
（2）找到，利用导数研究最大值.
（1）列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关．
（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，
则，
令得，
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
即当时，函数取得最大值.
17．【答案】（1）解： 数列的前项和为 ，成等差数列，则，
当时，，，因为，所以，
当时，，两式相减得
，，
即数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则；
（2）解：由（1）可得
则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用与的关系求解即可；
（2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到.
（1）因为成等差数列，所以.
当时，，因为，所以，
当时，，两式相减得
，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
因此.
（2）由（1）可得
数列的前项和
.
18．【答案】解：（1）函数的定义域为，
，
当，，则在单调递增；
当，则当时，，当时，，
则在单调递减，则单调递增；
（2）由（1）可知，要使有两个零点，则，
则，即，
构造，则，故在上单调递增，
又，故当时，，故由得，
当时，由，则
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
构造，，则，
故在单调递减，又，故，即，
则，故，
则，则，又，
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
综上，当有两个零点时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性和零点存在定理求解即可.
19．【答案】（1）解：为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则；
（2）证明：是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，分为有2个、1个、0个3种情况，
所以，
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以
，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（3）解：由（2）知，即，，
的可能取值，则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求即可；
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列；
（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到.
（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，
为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则.
（2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个、0个3种情况，所以
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（3）由（2）知，即，，
的取值范围为，所以
1 / 1广东省广州市越秀区2023-2024学年高二下学期学业水平调研测试数学试题
1．（2024高二下·越秀期末）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（　　）
A．11 B．16 C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：等比数列的首项为1，公比为， 则.
故答案为：A.
【分析】根据等比数列前n项和公式求解即可.
2．（2024高二下·越秀期末）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：定义域为，，
则.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，再求导，代值计算即可.
3．（2024高二下·越秀期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （　　）
A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量X服从正态分布，，
则，.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
4．（2024高二下·越秀期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（　　）
A．10 B．15 C．60 D．125
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解： 5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 每位同学都有5种选法，则不同的选法种.
故答案为：D.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
5．（2024高二下·越秀期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：记事件=取到“第1，2，3台车床加工的零件”，
事件=“取到次品”，，
，
由全概率公式可得：，
由贝叶斯公式：.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据全概率公式，贝叶斯公式求解即可.
6．（2024高二下·越秀期末）已知随机变量 取所有的值是等可能的，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：易知，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程求解即可.
7．（2024高二下·越秀期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（　　）
A．70 B．64 C．58 D．24
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，
8个顶点任选4个，有种，其中共面的有12种，
则以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个.
故答案为：C.
【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数.
8．（2024高二下·越秀期末）已知函数，若恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
当时，函数在上单调递增，
其中，不合题意；
当时，，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递减，在单调递增，
即在处取得极小值，也是最小值，
其中，
又因为恒成立，故，即，所以，
令，，
因为，所以当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，分和两种情况，结合函数单调性得到不合题意，当时，得到，进而求出，令，求导判断函数的单调性，求最小值即可.
9．（2024高二下·越秀期末）随机抽取5家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下：
超市 A B C D
广告支出 2 4 5 6 8
销售额 30 40 60 60 70
下列说法正确的是（　　）
（参考公式：，；参考数据：）
A．经验回归直线经过点
B．经验回归方程为
C．样本点的残差为
D．预测广告支出10万元时的销售额为80万元
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：A、易知，，
则经验回归直线经过点，故A错误；
B、，
，则经验回归方程为，故B正确；
C、将代入中，解得，则样本点的残差为，故C正确；
D、将代入中，得，预测广告支出10万元时的销售额为87万元，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由数据计算出样本点中心接口判断A；计算，得到经验回归方程即可判断B；代入，求出，得到残差即可判断C；代入，计算出即可判断D
10．（2024高二下·越秀期末）已知 ，则（　　）
A．展开式中的常数项为1
B．展开式中各项系数之和为0
C．展开式中二项式系数最大的项为第1012项
D．
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：
A、令，，即常数项为1，故A正确；
B、令，，即各项系数之和为1，故B错误；
C、展开式共有2025项，根据二项式系数的单调性和对称性，二项式系数最大的项为第项，故C错误；
D、令，得，
因为，所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用赋值法求解即可判断ABD；根据二项式系数的对称性和单调性即可判断C.
11．（2024高二下·越秀期末）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列.从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，则（　　）
A．数列是可分数列 B．数列是可分数列
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、数列中删去以后，数列可以分成一组，并且依然构成等差数列，则数列是可分数列，故A正确；
B、数列中删去以后，剩余的项可以平均分成两组和，且在两个数列都能构成等差数列，设原数列公差为，这两个数列的公差为，则数列是可分数列，故B正确；
C、当时，根据定义，数列是可分数列，也可以是可分数列，也可以是可分数列共三种，所以，故C正确；
D、当时，根据定义，数列为可分数列的情况有共种，所以，故D错误.
故答案为： ABC.
【分析】根据定义即可判断AB；先根据定义找到所有符合的情况，再利用概率公式求解即可判断CD.
12．（2024高二下·越秀期末）已知数列满足，则　 　.
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列满足，
当时，，解得，
当时，，解得.
故答案为：.
【分析】由递推式，结合依次求、即可.
13．（2024高二下·越秀期末）长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天看手机时间超过，这些人的近视率为. 现从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为　 　.
【答案】0.4
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记事件“抽到每天看手机时间超过的学生”，
事件“抽到每天看手机时间不超过的学生”，事件“抽到近视的学生”，
，，，，
由，
可得，解得，
则从每天看手机时间不超过的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为.
故答案为：.
【分析】利用全概率公式求解即可.
14．（2024高二下·越秀期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：在上恒成立，
即在上恒成立，
设，在上恒成立，
则函数在上单调递增，即，
所以，即，
设，可知函数在上单调递增，且，
所以，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，得，构造函数和，求导，利用导数判断函数的单调性求解即可.
15．（2024高二下·越秀期末）已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的最大值与最小值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为函数在点处的切线方程为，所以，
解得；
（2）解：由（1）知：，
令，解得，
随x的变换变换如下表所示：
x 1 3
10 6 10
由表知：函数在区间上的最大值为10，最小值为-10.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，根据函数在点处的切线方程为，得求解即可；
（2）令，得，分别求得比较大小即可.
（1）解：因为函数，
所以，
因为函数在点处的切线方程为，
所以，
解得；
（2）由（1）知：，
令，得，
随x的变换变换如下表
x 1 3
　 　 　 　
10 　 6 　 10
由表知：在区间上的最大值为10，最小值为-10.
16．（2024高二下·越秀期末）为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
　 非体育迷 体育迷 合计
男 30 　 45
女 　 10 　
合计 75 　 100
（1）完成上面的 列联表，依据 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？
（2）五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，求取得最大值时的值.
附： （其中 ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：完善列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
零假设 ：认为“体育迷”与性别无关联，
，
依据的独立性检验，推断成立，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关；
（2）解：由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，
则，
令得，
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，
即当时，函数取得最大值.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；独立性检验；2×2列联表
【解析】【分析】（1）先完善列联表，求的值，分析判断即可；
（2）找到，利用导数研究最大值.
（1）列联表：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“体育迷”与性别有关．
（2）由题意，连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为，
则，
令得，
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，极大值为，
即当时，函数取得最大值.
17．（2024高二下·越秀期末）设数列的前项和为，已知，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【答案】（1）解： 数列的前项和为 ，成等差数列，则，
当时，，，因为，所以，
当时，，两式相减得
，，
即数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则；
（2）解：由（1）可得
则
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】（1）由题意可得，利用与的关系求解即可；
（2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到.
（1）因为成等差数列，所以.
当时，，因为，所以，
当时，，两式相减得
，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
因此.
（2）由（1）可得
数列的前项和
.
18．（2024高二下·越秀期末）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】解：（1）函数的定义域为，
，
当，，则在单调递增；
当，则当时，，当时，，
则在单调递减，则单调递增；
（2）由（1）可知，要使有两个零点，则，
则，即，
构造，则，故在上单调递增，
又，故当时，，故由得，
当时，由，则
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
构造，，则，
故在单调递减，又，故，即，
则，故，
则，则，又，
结合零点存在性知，在存在唯一实数，使得，
综上，当有两个零点时，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，求导，分和讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性和零点存在定理求解即可.
19．（2024高二下·越秀期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
（1）求 与 ；
（2）设 ，求证：数列是等比数列；
（3）求 的数学期望 （用 表示）.
【答案】（1）解：为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则；
（2）证明：是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，分为有2个、1个、0个3种情况，
所以，
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以
，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（3）解：由（2）知，即，，
的可能取值，则.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求即可；
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列；
（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到.
（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，
为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则.
（2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个、0个3种情况，所以
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（3）由（2）知，即，，
的取值范围为，所以
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