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浙江省宁波市余姚市2024-2025学年第二学期六校期中联考八年级数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·余姚期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·余姚期中）方程的根是（　　）
A． B． C． 或 D．
3．（2025八下·余姚期中）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·余姚期中）为了了解某校学生视力情况，从所有学生中随机抽取50名学生进行调查，统计如下表：则有关这组数据说法正确的是（　　）
视力值
人数（人） 2 6 5 7 7 9 10 3 1
A．中位数是7人 B．众数是7人 C．中位数是 D．众数是
5．（2025八下·余姚期中）方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·余姚期中）一个边长为的正多边形的每个外角的度数是，则这个正多边形的周长是(　　)
A． B． C． D．
7．（2025八下·余姚期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（　　）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
8．（2025八下·余姚期中） 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
9．（2025八下·余姚期中）请判断关于的一元二次方程根的情况，其中（　　）
A．两个实数根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．没有实数根
10．（2025八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025八下·余姚期中）若代数式有意义，则的取值范围是　 　.
12．（2025八下·余姚期中）据国家统计局公布的数据，2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元，假设每年的增长率相同，设年平均增长率为，根据题意可以列出关于的方程是　 　．
13．（2025八下·余姚期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是　 　．
14．（2025八下·余姚期中）若实数满足，则　 　
15．（2025八下·余姚期中）如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
16．（2025八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
三、解答题（本题共8题，共66分）
17．（2025八下·余姚期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·余姚期中）选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
19．（2025八下·余姚期中）在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为．
（1）请在下列网格中画出一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上．
（2）求出题（1）中平行四边形较长边上的高线的长度．
20．（2025八下·余姚期中）为了提高体育中考成绩，体育老师组织同学们进行了跳绳项目的训练．小明和小聪最近8次一分钟跳绳的成绩如下：
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
小明 200 180 195 196 182 174 190 195
小聪 190 189 190 192 192 187 192 180
（1）分别求出小明、小聪跳绳的中位数、众数．
（2）通过计算说明，哪位同学的跳绳成绩比较稳定？
21．（2025八下·余姚期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高，坝顶宽，求大坝横截面的周长．
22．（2025八下·余姚期中）如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
23．（2025八下·余姚期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．
（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？
24．（2025八下·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点，顶点，.
（1）求 ABCD的面积；
（2）点，分别在边，轴上运动，且过的中点，在，的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不会发生改变，请说明理由，并求出四边形的面积；若会发生改变，请说明理由；
（3）若点从点出发，在边，上运动，同时点从点出发，向轴正方向运动，点的速度是2个单位/秒，点的速度是1个单位/秒，当四边形的面积等于时，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：故本选项不符合题意；
故本选项符合题意；
故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据实数的算术平方根和平方运算法则计算即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或
故答案为：C.
【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为： 或 解此两个一次方程即可.
3．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形.故选B.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念“ 一个图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合 ”逐项判断解题.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：共有人数：(人)，
处于中间的是第25、第26人．
将统计数据按从小到大的顺序排列后，第25、第26人的视力值均为，故中位数是，因此，A错误，C正确；
视力值出现频率最高，故这组数据的众数是，故选项B、D均错误．
故选：C．
【分析】根据众数、中位数的定义“众数就是出现频率最高的数据，中位数是将一组数据按照大小顺序排列后居于中间的数或两个数的平均数”逐项判断解答．
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
移项得：
配方得： 即
故答案为：A.
【分析】根据配方法的求解步骤，进行求解即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意，多边形边数为，
∴正多边形为正十边形，
∵边长为，
∴正六边形的周长为，
故选：B．
【分析】利用多边形的外角和求出边数，然后计算周长即可．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；分类讨论
【解析】【解答】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；
两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；
故选：D．
【分析】利用不同的三角板进行拼合解答即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设仓库的宽为x米( 米)，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为 (84-4x)米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程：
，
，
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根进行判断即可.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 代数式有意义，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】 设年平均增长率为， 利用“ 2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元 ”列一元二次方程解答即可．
13．【答案】平方单位
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作于点D，
∵正的边长为，
∴．
在中，
．
∴．
故答案为：平方单位．
【分析】作于点D，根据等边三角形三线合一可得，再根据勾股定理得到长，根据三角形的面积公式计算即可．
14．【答案】-4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
整理为
即a+1=0，b-3=0，
解得a=-1，b=3，
∴a-b=-1-3=-4
故答案为：-4.
【分析】先整理为，然后根据非负性得到a=-1，b=3，然后代入计算解题.
15．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接BE.
根据题意，可设
∵四边形ABCD 是平行四边形，
在 中， 由勾股定理，得
解得 即
故答案为：5.
【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=18-3
=15
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法、二次根式的化简，然后合并同类二次根式解题；
（2）利用平方差公式计算解题.
18．【答案】（1）解：或
，
（2）解：
或
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）解：如图：四边形即为所求
（2）解：设平行四边形较长边上的高线的长度为h，
∵ ABCD的面积=，
又∵，的面积=，
∴上的高线，
∴较长边上的高为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到、 ，然后作平行四边形即可；
（2）利用割补法求得平行四边形的面积，再根据平行四边形的面积公式计算解题．
（1）解：如图：四边形即为所求
（2）解：设平行四边形较长边上的高线的长度为h，
∵ ABCD的面积=，
又∵，的面积=，
∴上的高线，
∴较长边上的高为．
20．【答案】（1）解： 把小明的8次成绩从小到大排列为：174，180，182，190，195，195，196，200，
中位数是，
其中195出现了2次，出现次数最多，故众数是195；
把小聪的8次成绩从小到大排列为：180，187，189，190，190，192，192，192，
中位数是，
其中192出现了3次，出现次数最多，众数是192；
（2）解：小明的平均成绩是：，方差是：；
小聪的平均成绩是：，
方差是：，
∵，
∴小聪同学的跳绳成绩比较稳定．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用平均数和方差公式计算，然后比较方差解答即可．
（1）把小明的8次成绩从小到大排列为：174，180，182，190，195，195，196，200，
中位数是，
其中195出现了2次，出现次数最多，故众数是195；
把小聪的8次成绩从小到大排列为：180，187，189，190，190，192，192，192，
中位数是，
其中192出现了3次，出现次数最多，众数是192；
（2）小明的平均成绩是：，
方差是：；
小聪的平均成绩是：，
方差是：，
∵，
∴小聪同学的跳绳成绩比较稳定．
21．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴大坝横截面的周长为．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，即可得到四边形为矩形，根据坡比求得，，根据勾股定理求出和，即可解题．
22．【答案】解：∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得、然后根据AAS得到，即可得到，进而可得，再根据勾股定理解答即可．
23．【答案】（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=单日利润单日销售量解答即可；
（2）设每件吉祥物降价元，根据利润=单日利润单日销售量列一元二次方程解答即可．
（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
24．【答案】（1）解：∵
∴BO=1∵
∵CO=3BO∴A0=
∴CO=3∴=
（2）解：不发生改变，理由如下：如图，
∵G为CD中点，
在 和 中，
∴四边形AEFB的面积=平行四边形ABCD的面积
（3）解：①当点E在线段AD上时，设运动时间为 ts，由题意可知：
∴梯形AEFB面积
解得，
②当点E在线段CD上时，设运动时间为 ts，如图，过点E作 于点H，延长EH交AB于点Q，
得四边形ADEQ是平行四边形，
t)，
∵四边形AEFB的面积 梯形QEFB的面积，
∴
整理得
综上所述：点E的坐标为 或

【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的顶点 顶点 可得 进而根据平行四边形的面积即可解决问题；
(2)证明可得即四边形AEFB的面积=平行四边形ABCD的面积
(3)分两种情况画图讨论：①当点E在线段AD上时，设运动时间为 ts，②当点E在线段CD上时，过点E作 于点H，延长EH交AB于点Q，得四边形ADEQ是平行四边形，然后根据四边形AEFB的面积列方程即可解决问题.
1 / 1浙江省宁波市余姚市2024-2025学年第二学期六校期中联考八年级数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·余姚期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：故本选项不符合题意；
故本选项符合题意；
故本选项不符合题意；
故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据实数的算术平方根和平方运算法则计算即可.
2．（2025八下·余姚期中）方程的根是（　　）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
或
故答案为：C.
【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为： 或 解此两个一次方程即可.
3．（2025八下·余姚期中）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形.故选B.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的概念“ 一个图形绕某一点旋转180度后能与原图形重合 ”逐项判断解题.
4．（2025八下·余姚期中）为了了解某校学生视力情况，从所有学生中随机抽取50名学生进行调查，统计如下表：则有关这组数据说法正确的是（　　）
视力值
人数（人） 2 6 5 7 7 9 10 3 1
A．中位数是7人 B．众数是7人 C．中位数是 D．众数是
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：共有人数：(人)，
处于中间的是第25、第26人．
将统计数据按从小到大的顺序排列后，第25、第26人的视力值均为，故中位数是，因此，A错误，C正确；
视力值出现频率最高，故这组数据的众数是，故选项B、D均错误．
故选：C．
【分析】根据众数、中位数的定义“众数就是出现频率最高的数据，中位数是将一组数据按照大小顺序排列后居于中间的数或两个数的平均数”逐项判断解答．
5．（2025八下·余姚期中）方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
移项得：
配方得： 即
故答案为：A.
【分析】根据配方法的求解步骤，进行求解即可.
6．（2025八下·余姚期中）一个边长为的正多边形的每个外角的度数是，则这个正多边形的周长是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意，多边形边数为，
∴正多边形为正十边形，
∵边长为，
∴正六边形的周长为，
故选：B．
【分析】利用多边形的外角和求出边数，然后计算周长即可．
7．（2025八下·余姚期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（　　）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；分类讨论
【解析】【解答】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；
两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；
故选：D．
【分析】利用不同的三角板进行拼合解答即可．
8．（2025八下·余姚期中） 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
故答案为：D.
【分析】设仓库的宽为x米( 米)，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为 (84-4x)米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
9．（2025八下·余姚期中）请判断关于的一元二次方程根的情况，其中（　　）
A．两个实数根 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程：
，
，
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根进行判断即可.
10．（2025八下·余姚期中）如图，在中，对角线，，直线过点，连接，的周长等于周长的一半，下列说法正确的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①②③ C．②③④ D．③④
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如图，取的中点G，连接，
则，
∵， ∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
②∵的周长等于周长的一半，
周长的一半，的周长，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，故②正确；
③如图，过点E作，交的延长线于H， 则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
而，
∴，
∵，，，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，说法正确的是①②．
故选：A．
【分析】取的中点G，连接即可得到是等边三角形，继而得到，根据勾股定理求出，进而求出OA长判断①； 由题意得，利用平行四边形性质得到，即可得到判断②； 过点E作，交的延长线于H，设根据勾股定理表示AH和EH长，根据勾股定理求出x值，即可得到，判断③；根据三角形的面积公式求出比值判断④解答即可．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025八下·余姚期中）若代数式有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 代数式有意义，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
12．（2025八下·余姚期中）据国家统计局公布的数据，2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元，假设每年的增长率相同，设年平均增长率为，根据题意可以列出关于的方程是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】 设年平均增长率为， 利用“ 2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元 ”列一元二次方程解答即可．
13．（2025八下·余姚期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是　 　．
【答案】平方单位
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作于点D，
∵正的边长为，
∴．
在中，
．
∴．
故答案为：平方单位．
【分析】作于点D，根据等边三角形三线合一可得，再根据勾股定理得到长，根据三角形的面积公式计算即可．
14．（2025八下·余姚期中）若实数满足，则　 　
【答案】-4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
整理为
即a+1=0，b-3=0，
解得a=-1，b=3，
∴a-b=-1-3=-4
故答案为：-4.
【分析】先整理为，然后根据非负性得到a=-1，b=3，然后代入计算解题.
15．（2025八下·余姚期中）如图， ABCD中，为对角线，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接BE.
根据题意，可设
∵四边形ABCD 是平行四边形，
在 中， 由勾股定理，得
解得 即
故答案为：5.
【分析】根据作图MN是线段AB的垂直平分线，则有MA=MB，在 中，利用勾股定理解题即可.
16．（2025八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
三、解答题（本题共8题，共66分）
17．（2025八下·余姚期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=18-3
=15
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法、二次根式的化简，然后合并同类二次根式解题；
（2）利用平方差公式计算解题.
18．（2025八下·余姚期中）选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：或
，
（2）解：
或
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）运用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2025八下·余姚期中）在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为．
（1）请在下列网格中画出一个相邻两边长分别为、的平行四边形，使它的顶点都在格点上．
（2）求出题（1）中平行四边形较长边上的高线的长度．
【答案】（1）解：如图：四边形即为所求
（2）解：设平行四边形较长边上的高线的长度为h，
∵ ABCD的面积=，
又∵，的面积=，
∴上的高线，
∴较长边上的高为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到、 ，然后作平行四边形即可；
（2）利用割补法求得平行四边形的面积，再根据平行四边形的面积公式计算解题．
（1）解：如图：四边形即为所求
（2）解：设平行四边形较长边上的高线的长度为h，
∵ ABCD的面积=，
又∵，的面积=，
∴上的高线，
∴较长边上的高为．
20．（2025八下·余姚期中）为了提高体育中考成绩，体育老师组织同学们进行了跳绳项目的训练．小明和小聪最近8次一分钟跳绳的成绩如下：
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次
小明 200 180 195 196 182 174 190 195
小聪 190 189 190 192 192 187 192 180
（1）分别求出小明、小聪跳绳的中位数、众数．
（2）通过计算说明，哪位同学的跳绳成绩比较稳定？
【答案】（1）解： 把小明的8次成绩从小到大排列为：174，180，182，190，195，195，196，200，
中位数是，
其中195出现了2次，出现次数最多，故众数是195；
把小聪的8次成绩从小到大排列为：180，187，189，190，190，192，192，192，
中位数是，
其中192出现了3次，出现次数最多，众数是192；
（2）解：小明的平均成绩是：，方差是：；
小聪的平均成绩是：，
方差是：，
∵，
∴小聪同学的跳绳成绩比较稳定．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）利用平均数和方差公式计算，然后比较方差解答即可．
（1）把小明的8次成绩从小到大排列为：174，180，182，190，195，195，196，200，
中位数是，
其中195出现了2次，出现次数最多，故众数是195；
把小聪的8次成绩从小到大排列为：180，187，189，190，190，192，192，192，
中位数是，
其中192出现了3次，出现次数最多，众数是192；
（2）小明的平均成绩是：，
方差是：；
小聪的平均成绩是：，
方差是：，
∵，
∴小聪同学的跳绳成绩比较稳定．
21．（2025八下·余姚期中）如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高，坝顶宽，求大坝横截面的周长．
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴大坝横截面的周长为．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，即可得到四边形为矩形，根据坡比求得，，根据勾股定理求出和，即可解题．
22．（2025八下·余姚期中）如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
【答案】解：∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得、然后根据AAS得到，即可得到，进而可得，再根据勾股定理解答即可．
23．（2025八下·余姚期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售亚运会吉祥物，在销售过程中发现，当每件获利125元时，每天可出售50件，为了扩大销售量增加利润，该商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件吉祥物降价5元，平均可多售出1件．
（1）若每件吉祥物降价20元，商家平均每天能盈利多少元？
（2）每件吉祥物降价多少元时，能尽量让利于顾客并且让商家平均每天盈利5980元？
【答案】（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=单日利润单日销售量解答即可；
（2）设每件吉祥物降价元，根据利润=单日利润单日销售量列一元二次方程解答即可．
（1）解：（元），
答：商家平均每天盈利5670元；
（2）解：设每件吉祥物降价元，
依题意得，
解得（舍去），，
答：每件吉祥物降价10元．
24．（2025八下·余姚期中）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点，顶点，.
（1）求 ABCD的面积；
（2）点，分别在边，轴上运动，且过的中点，在，的运动过程中，四边形的面积是否会发生改变？若不会发生改变，请说明理由，并求出四边形的面积；若会发生改变，请说明理由；
（3）若点从点出发，在边，上运动，同时点从点出发，向轴正方向运动，点的速度是2个单位/秒，点的速度是1个单位/秒，当四边形的面积等于时，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵
∴BO=1∵
∵CO=3BO∴A0=
∴CO=3∴=
（2）解：不发生改变，理由如下：如图，
∵G为CD中点，
在 和 中，
∴四边形AEFB的面积=平行四边形ABCD的面积
（3）解：①当点E在线段AD上时，设运动时间为 ts，由题意可知：
∴梯形AEFB面积
解得，
②当点E在线段CD上时，设运动时间为 ts，如图，过点E作 于点H，延长EH交AB于点Q，
得四边形ADEQ是平行四边形，
t)，
∵四边形AEFB的面积 梯形QEFB的面积，
∴
整理得
综上所述：点E的坐标为 或

【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的顶点 顶点 可得 进而根据平行四边形的面积即可解决问题；
(2)证明可得即四边形AEFB的面积=平行四边形ABCD的面积
(3)分两种情况画图讨论：①当点E在线段AD上时，设运动时间为 ts，②当点E在线段CD上时，过点E作 于点H，延长EH交AB于点Q，得四边形ADEQ是平行四边形，然后根据四边形AEFB的面积列方程即可解决问题.
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