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浙江省绍兴市越城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·越城期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·越城期末）要使分式有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·越城期末）已知二元一次方程，则用关于x的代数式表示y正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·越城期末）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　）
A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到
B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到
C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到
D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到
5．（2024七下·越城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·越城期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·越城期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·越城期末）对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（　　）”中应填的运动项目是（　　）
A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球
9．（2024七下·越城期末）如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四个区域的面积相等，若甲区域的长是宽的2倍，则乙区域的长与宽的比为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·越城期末）若正整数，满足，则的最大值为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
11．（2024七下·越城期末）当　 　时，分式的值是零．
12．（2024七下·越城期末）计算的结果为　 　．
13．（2024七下·越城期末）若是二元一次方程为常数）的一个解，则　 　．
14．（2024七下·越城期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数都化成整数，则得到的结果为　 　．
15．（2024七下·越城期末）若，则　 　．
16．（2024七下·越城期末）如图，已知，现将一张直角三角形纸片放入如图所示的位置中，其中，交于点分别交于点与交于点，且，，则的度数为　 　．
17．（2024七下·越城期末）如图，有两个正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和32，则正方形，的面积之和为　 　．
18．（2024七下·越城期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所有符合要求能够拼成的正方形的个数有　 　个．
19．（2024七下·越城期末）解答下列各题：
（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2024七下·越城期末）因式分解：
（1）；
（2）．
21．（2024七下·越城期末）为了解七年级学生本学年开展“综合与实践”活动的情况，学校教务处抽样调查了该校名七年级学生参加“综合与实践”活动的次数，并根据调查所得的数据绘制了尚不完整的如下两幅统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：______； ；
（2）补全不完整的条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数．
22．（2024七下·越城期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同．
（1）求甲、乙两种糖果的售价；
（2）为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案．
23．（2024七下·越城期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①②
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为，，我们把“”“”“”“”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个．
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
【问题解决】若，则的值为______．
24．（2024七下·越城期末）如图1，点分别在直线上，．
（1）求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索）
（2）如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意；
B、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
C、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据二元一次方程的定义“只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程”逐项判断解题．
2．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B.
【分析】根据分式的分母不能为0解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：，
移项得，
故答案为：C．
【分析】把x看作已知量，通过移项求解即可．
4．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到，
只有选项C不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平移前后的图形位置得到平移方式解答即可．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，可得，故错误；
B、根据幂的乘方时底数不变，指数相乘，可得，故正确；
C、根据合并同类项，可得，故错误；
D、根据积的乘方可得，，故错误．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算法则逐项判断即可．
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
7．【答案】A
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A、∵三个阴影部分的面积分别为、、，∴阴影部分面积为，∴A符合题意；
B、∵上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，∴阴影部分面积为：，∴B不符合题意；
C、∵左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，∴阴影部分面积为：，∴C不符合题意；
D、∵大长方形面积：，空白处小长方形面积：，∴阴影部分面积为：，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先分别求出三个阴影部分的面积和空白部分的面积，再将各选项分别进行计算并比较即可.
8．【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】根据题意可得足球人数最少，占比，
故总人数为：(人)，
游泳的百分比是：，
游泳的人数是：(人)，
剩余的人数是： (人)，
∵柱的高度从高到低排列，
∴图中前两个柱一个为自行车，一个为篮球，应填的游泳，第三个柱为游泳，
故选：B．
【分析】根据足球的频数和百分比得到总人数，求出游泳的百分比是，即可得到骑自行车和篮球的人数为和，然后从高到低排列解答即可．
9．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
10．【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
，
，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
故选：C．
【分析】用含n的式子表示m，然后根据整除解题即可．
11．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，且，
∴且，
故答案为：3．
【分析】根据分式的值为0的条件得到，且，解答即可．
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算解题．
13．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程为常数）的一个解，
∴把代入得，，
解得，
故答案为：．
【分析】把x，y的值代入方程得到，解出k值即可．
14．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：.
【分析】利用分式的性质，分子、分母同时乘以10解题即可.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把两式相加，根据完全平方公式解答即可．
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【分析】利用三角形内角和动力得到，然后利用两直线平行，同位角相等得到，利用邻补角的定义、三角形内角和解答即可．
17．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个正方形，的边长分别为，，
由图可得：，即，
由图可得：，即，
，即，
即则正方形，的面积之和为，
故答案为：．
【分析】设两个正方形，的边长分别为，，分别表示图1和2的阴影部分面积列出等式，解答即可．
18．【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，A正方形的面积为，B长方形的面积为，C正方形的面积为，
∵A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张，从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，
因此有：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
综上所述，符合条件的正方形有6个，
故答案为：6．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
19．【答案】（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，得：，
解得：，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式：，
，
，
当时，原式，
故答案为；．
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）等号两边同时乘去分母化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验解题；
（2）根据多项式的乘法展开，然后合并同类项化为最简，再代入x的值计算解题．
（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，
得：，
解得：，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式：，
，
，
当时，原式，
故答案为；．
20．【答案】（1）解：，
；

（2）解：．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
（2）利用完全平方公式因式分解.
（1）解：，
；
（2）解：．
21．【答案】（1），
（2）解：由扇形图可知七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：由（1）可知，本次抽样调查中七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占，次的人数占，次的人数占，故该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数为：（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图表可知：七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，占扇形图的，
故本次抽查的学生总人数为：（人），
，
又七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的比值为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）利用参与活动次的人数除以占比求出的值，然后用参与活动次的人数除以总人数乘以求出n的值；
（2）求出参与活动次的人数，补全条形图解答；
（3）利用参加活动次及以上的人数占比乘以800解答即可．
（1）解：由图表可知：七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，占扇形图的，
故本次抽查的学生总人数为：（人），
，
又七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的比值为：，
，
故答案为：，；
（2）解：由扇形图可知七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：由（1）可知，本次抽样调查中七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占，次的人数占，次的人数占，
故该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数为：（人）．
22．【答案】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲糖果的售价为x元，根据题意列分式方程解答即可；
（2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，求出a、b的正整数解即可．
（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，
由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
23．【答案】（1）解：将左右两边进行平方，
可得，
将代入上式，可得，
解得：．
（2）解：将左右两边进行平方，
可得：，
即：，
解得：．
【问题解决】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 【问题解决】 解：设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
化简可得，
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算解题；
（2）把平方，然后整理解题即可；
（3）设，，即可得到，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
24．【答案】（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，先根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到同位角相等，再根据等量代换得到，即可得到两直线平行；
（2）延长交于点，交于点，根据三角形外角可得，然后根据平行线的性质可得，即可得到，进而利用角平分线的定义得到解题即可；
（3）分为在直线下方时和当在直线上方两种情况作图，然后根据平行线性质和三角形外角性质、角平分线定义解答．
（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
1 / 1浙江省绍兴市越城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·越城期末）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意；
B、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
C、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据二元一次方程的定义“只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程”逐项判断解题．
2．（2024七下·越城期末）要使分式有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B.
【分析】根据分式的分母不能为0解答即可．
3．（2024七下·越城期末）已知二元一次方程，则用关于x的代数式表示y正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：，
移项得，
故答案为：C．
【分析】把x看作已知量，通过移项求解即可．
4．（2024七下·越城期末）如图，在的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　）
A．将先向右平移3格，再向上平移2格得到
B．将先向上平移2格，再向右平移3格得到
C．将先向右平移3格，再向下平移2格得到
D．将先向下平移2格，再向左平移3格得到
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由图可得，将先向右平移3格，再向上平移2格得到，
只有选项C不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平移前后的图形位置得到平移方式解答即可．
5．（2024七下·越城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘底数不变，指数相加，可得，故错误；
B、根据幂的乘方时底数不变，指数相乘，可得，故正确；
C、根据合并同类项，可得，故错误；
D、根据积的乘方可得，，故错误．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方运算法则逐项判断即可．
6．（2024七下·越城期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
7．（2024七下·越城期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：A、∵三个阴影部分的面积分别为、、，∴阴影部分面积为，∴A符合题意；
B、∵上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，∴阴影部分面积为：，∴B不符合题意；
C、∵左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，∴阴影部分面积为：，∴C不符合题意；
D、∵大长方形面积：，空白处小长方形面积：，∴阴影部分面积为：，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先分别求出三个阴影部分的面积和空白部分的面积，再将各选项分别进行计算并比较即可.
8．（2024七下·越城期末）对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（　　）”中应填的运动项目是（　　）
A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球
【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】根据题意可得足球人数最少，占比，
故总人数为：(人)，
游泳的百分比是：，
游泳的人数是：(人)，
剩余的人数是： (人)，
∵柱的高度从高到低排列，
∴图中前两个柱一个为自行车，一个为篮球，应填的游泳，第三个柱为游泳，
故选：B．
【分析】根据足球的频数和百分比得到总人数，求出游泳的百分比是，即可得到骑自行车和篮球的人数为和，然后从高到低排列解答即可．
9．（2024七下·越城期末）如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四个区域的面积相等，若甲区域的长是宽的2倍，则乙区域的长与宽的比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
10．（2024七下·越城期末）若正整数，满足，则的最大值为（　　）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
，
，为正整数，
当时，有最大值，最大值为，
故选：C．
【分析】用含n的式子表示m，然后根据整除解题即可．
11．（2024七下·越城期末）当　 　时，分式的值是零．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值是零，
∴，且，
∴且，
故答案为：3．
【分析】根据分式的值为0的条件得到，且，解答即可．
12．（2024七下·越城期末）计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算解题．
13．（2024七下·越城期末）若是二元一次方程为常数）的一个解，则　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程为常数）的一个解，
∴把代入得，，
解得，
故答案为：．
【分析】把x，y的值代入方程得到，解出k值即可．
14．（2024七下·越城期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数都化成整数，则得到的结果为　 　．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：.
【分析】利用分式的性质，分子、分母同时乘以10解题即可.
15．（2024七下·越城期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】把两式相加，根据完全平方公式解答即可．
16．（2024七下·越城期末）如图，已知，现将一张直角三角形纸片放入如图所示的位置中，其中，交于点分别交于点与交于点，且，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【分析】利用三角形内角和动力得到，然后利用两直线平行，同位角相等得到，利用邻补角的定义、三角形内角和解答即可．
17．（2024七下·越城期末）如图，有两个正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和32，则正方形，的面积之和为　 　．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个正方形，的边长分别为，，
由图可得：，即，
由图可得：，即，
，即，
即则正方形，的面积之和为，
故答案为：．
【分析】设两个正方形，的边长分别为，，分别表示图1和2的阴影部分面积列出等式，解答即可．
18．（2024七下·越城期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所有符合要求能够拼成的正方形的个数有　 　个．
【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，A正方形的面积为，B长方形的面积为，C正方形的面积为，
∵A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张，从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，
因此有：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
综上所述，符合条件的正方形有6个，
故答案为：6．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
19．（2024七下·越城期末）解答下列各题：
（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，得：，
解得：，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式：，
，
，
当时，原式，
故答案为；．
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）等号两边同时乘去分母化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验解题；
（2）根据多项式的乘法展开，然后合并同类项化为最简，再代入x的值计算解题．
（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，
得：，
解得：，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式：，
，
，
当时，原式，
故答案为；．
20．（2024七下·越城期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
；

（2）解：．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）提公因式，然后根据平方差公式因式分解；
（2）利用完全平方公式因式分解.
（1）解：，
；
（2）解：．
21．（2024七下·越城期末）为了解七年级学生本学年开展“综合与实践”活动的情况，学校教务处抽样调查了该校名七年级学生参加“综合与实践”活动的次数，并根据调查所得的数据绘制了尚不完整的如下两幅统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：______； ；
（2）补全不完整的条形统计图；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数．
【答案】（1），
（2）解：由扇形图可知七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：由（1）可知，本次抽样调查中七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占，次的人数占，次的人数占，故该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数为：（人）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由图表可知：七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，占扇形图的，
故本次抽查的学生总人数为：（人），
，
又七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的比值为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）利用参与活动次的人数除以占比求出的值，然后用参与活动次的人数除以总人数乘以求出n的值；
（2）求出参与活动次的人数，补全条形图解答；
（3）利用参加活动次及以上的人数占比乘以800解答即可．
（1）解：由图表可知：七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，占扇形图的，
故本次抽查的学生总人数为：（人），
，
又七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数有人，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的比值为：，
，
故答案为：，；
（2）解：由扇形图可知七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占扇形图的，
七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：由（1）可知，本次抽样调查中七年级部分学生参加“综合与实践”活动次的人数占，次的人数占，次的人数占，
故该校800名七年级学生中本学年参加“综合与实践”活动4次及以上的人数为：（人）．
22．（2024七下·越城期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同．
（1）求甲、乙两种糖果的售价；
（2）为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案．
【答案】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲糖果的售价为x元，根据题意列分式方程解答即可；
（2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，求出a、b的正整数解即可．
（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，
由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
23．（2024七下·越城期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①②
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为，，我们把“”“”“”“”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个．
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
【问题解决】若，则的值为______．
【答案】（1）解：将左右两边进行平方，
可得，
将代入上式，可得，
解得：．
（2）解：将左右两边进行平方，
可得：，
即：，
解得：．
【问题解决】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 【问题解决】 解：设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
化简可得，
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算解题；
（2）把平方，然后整理解题即可；
（3）设，，即可得到，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
24．（2024七下·越城期末）如图1，点分别在直线上，．
（1）求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索）
（2）如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长交于点，先根据内错角相等，两直线平行得到，即可得到同位角相等，再根据等量代换得到，即可得到两直线平行；
（2）延长交于点，交于点，根据三角形外角可得，然后根据平行线的性质可得，即可得到，进而利用角平分线的定义得到解题即可；
（3）分为在直线下方时和当在直线上方两种情况作图，然后根据平行线性质和三角形外角性质、角平分线定义解答．
（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
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