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2025年中考数学临考冲刺专题：二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标．
2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
3．已知，二次函数．
(1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点．
①求该二次函数表达式；
②当时，求点的坐标；
(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围．
4．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，交轴于点，
(1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标．
(2)如图，点是抛物线对称轴上的一点，求周长的最小值．
(3)如图，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．
5．如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为B．
(1)直接写出点B的坐标________；
(2)求抛物线的表达式；
(3)点C为的中点，
①过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
②点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．如图2，当点F落在抛物线上时，直接写出点D的坐标；
6．如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式和点坐标；
(2)若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
7．如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴的正半轴于点，，
(1)______；
(2)在第二象限的抛物线上取点，连接交于，连接，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(3)在（2）的条件下，与交于点，在第二象限取点，（点不在抛物线上），再做于，连接，当，时，，求点的坐标．
8．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，抛物线经过A，B．
(1)求抛物线解析式；
(2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点P，连接PB．
①当时，求的面积.
②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值．
9．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值；
(3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
10．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形．
11．如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点且过点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)求三角形的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．

(1)求直线的解析式；
(2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，连接，点F是线段（不与点A，点P重合）上的动点，连接，作，交x轴于点G，设点G的横坐标为m，求m的取值范围．
13．如图甲，抛物线的对称轴为 ，与轴交于 两点，与轴交于点 ， 已知：，点 是第四象限抛物线上一动点， 于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的最大值；
(3)如图乙，点 在 轴上，且 ，连接交于点 ，记 的面积为， 的面积为，当的值最大时，求点 的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，顶点、分别在轴、轴的正半轴上．抛物线经过、两点，点为抛物线的顶点，连结、、．
(1)求、的值．
(2)求点的坐标．
(3)求四边形的面积．
15．已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，图象的顶点为，对称轴是直线，图象经过点，向左平移一个单位后经过坐标原点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)试判断的形状，并说明理由．
(3)直线经过点，交轴于点，求的度数．
《2025年中考数学临考冲刺专题：二次函数与特殊几何图形压轴题专题训练》参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先运用待定系数法可得直线的解析式为，如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，进而得到，再证明可得，即当PQ最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线过点、点、点，
设抛物线的解析式为：，
，解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴
直线的解析式为：，
如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，
点M的坐标为，
，，，
，
，
，
又，
，
．
当PQ最大时，的周长最大，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
2．(1)
(2)点D的坐标为时，的最大值为4
(3)点D的坐标是
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解．
【详解】（1）将，分别代入，
得
解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为．
（2）设，
由，，可得直线的表达式为，
则，
∴
当时，，
故点D的坐标为时，的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接，交于点M，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键．
3．(1)①；②或
(2)或
【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案；
（2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：①由题意可得，
，
解得，
∴该二次函数表达式为；
②当时，，
解得，
∴，
当时，则直线的表达式为，
和抛物线解析式联立得到，或，
解得（舍去）或或，
即点的坐标为或；
（2）由定义可知，
由题意可得， ，解得，
∴抛物线解析式为
当与只有一个交点时，
有两个相等的实数根，
∴，
解得，
当时，
当函数过时满足题意，
∴，解得，
当时，
当函数过时满足题意，
则，解得，
∴或
4．(1)抛物线的解析式为：，对称轴是直线，顶点坐标是
(2)
(3)以、为邻边的平行四边形不是菱形
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解；
（2）轴对称的性质可知，
从而得到的周长，进而得到当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，即可求解；
（3）设，则，可得，，然后根据，可得，过点P作，可得，可得到的面积，然后根据二次函数的性质即可求得面积的最大值，最后再分别计算出的长，由此即可判断以为邻边的平行四边形是否为菱形．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
（2）解：∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称，
∴，
∴的周长，
如图，当点A、C、M在同一条直线上时可取得最小值，为的长，
即当点A、C、M在同一条直线上时，周长的最小，为，
对于，
当时，，
∴点，
∵，点，
∴，
∴周长的最小值为：．
（3）解：设，则，
∵，，
∴，，
，
∴，
，即，
解得：，
如图，过点P作，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
的面积，
，
面积的最大值为3，此时，
∴，，
∴，
∴以、为邻边的平行四边形不是菱形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键．
5．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平移、平行四边形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据顶点式写出坐标即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）①由中点坐标公式得点，求出点E的坐标为，即可得到答案；②点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，求出点，根据平移规律即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线
∴顶点为B的坐标为．
故答案为：
（2）由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线的表达式为
即为；
（3）①由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当时，，
∴点E的坐标为，
则；
②由（2）知，，
∴点C向下平移个单位，向左平移1个单位，即可到达点O，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴根据点C平移的规律可得到
6．(1)，
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解；
（2）设交于点，根据已知得出的坐标，求得直线解析式，联立抛物线解析式，即可求解；
（3）分在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴；
（2）解：如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或；
（3）解：当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线解析式得出、，由得出，求出后，将点坐标代入抛物线即可得到；
（2）由抛物线解析式得，作于点，于点，证得，由相似三角形的性质可得，求出后即可表示出，最后由即可得到与的函数关系式；
（3）延长至，使，连接，交于，作于，于，证明，由相似三角形性质求出、、，由“边角边”证明，设，证得，，再由三线合一可得，设，，设，证明，由相似三角形性质得，解得，由求得，即可得、，证得，由相似三角形性质可得、、，得出点坐标，并求出直线的解析式，结合直线解析式和抛物线解析式即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：依题得：，，
，，
，
，
解得，
，
将点坐标代入抛物线，
得，
．
（2）解：依题得：，
作于点，于点，
则，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：延长至，使，连接，交于，作于，于，
中，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
设，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
设，，设，
，，
，
，
，
，
即，
得，（舍），
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
解析式，
点是抛物线与直线的交点，
则，
解得，（舍），
，
．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的相关计算、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等角对等边、三线合一定理、解一元二次方程的实际应用、一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
8．(1)抛物线
(2)①的面积为3；②点的坐标；当时，有最大值，最大值为
【分析】（1）求出点B坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）①求出点P坐标，再求出的面积即可；②过点Q作于点H，设点P坐标，求出直线解析式，列出的代数式，再确定它的最大值和E点坐标即可．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴得， 则直线，
当时，，点，
又∵，抛物线经过A，B，
∴解得，
则抛物线；
（2）解：① 轴， ，
，
，
点D坐标为，
，
．
②如图，过点Q作于点H，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用点的坐标表示出比值，再利用二次函数的性质确定最值．
9．(1)
(2)，的最小值为
(3)或
【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可；
（3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
代入抛物线，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
则，，
则，
∵，
∴当时，最大，
此时，
则此时，
∵， ，
∴，
∴，
由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，
由，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即最小值为；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为，
∴新抛物线的解析式为，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
如图，在直线上取一点，使得，
则，
∴，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，
则，
则直线与抛物线的另一交点即为点，
设，
则，，
∴，
解得：（舍），，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立抛物线，得，
解得：（舍），，
故点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
10．(1)
(2)的值为定值10，理由见详解
(3)点坐标为或
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质．
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论；
（3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标．
【详解】（1）解：将，两点代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：的值为定值10，理由如下，
如图，过点作轴于点,则,
∴,
即
假设点坐标为，则点坐标为，
∴，，,，，
∴，
整理得，
∴的值为定值10；
（3）解：平移后抛物线的表达式为，
整理得，
联立，
解得，
∴点坐标为，
∴根据勾股定理得，
抛物线的对称轴为直线，
①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为；
②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示，
假设交点坐标为，
∴
解得或，
即，
假设，
∵,
∴，；，；
解得；；
所以此时；
③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示，
假设，
∴
即
解得
∴
假设，根据得，
，
解得，
所以此时
综上可得点坐标为或．
11．(1)
(2)6
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．
（1）设顶点式，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先解方程得到点A、B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把C代入得到，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
解得，
∴，
∴三角形的面积
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再将点B、C的坐标代入求解即可．
（2）由（1）知，得，，当时，则得到轴，设，则，当时，则，解得，代入即可得解．
（3）延长交轴于点，证，得到，设，，则，得当时，的最大值为，即有最大值，即可得解．
【详解】（1）在中，令，得，令，得，，
∴，，
设直线的解析式为.把，代入，
，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）如图，由（1）知，

∴，
∴，
∵轴，
∴，
当时，则，
∴，此时轴，
设，则，
∴，，
当时，则，
解得（舍去），，
当时，，
∴点的坐标为．
（3）如图，延长交轴于点.

由（2）知点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则；
∴；
∴，
∴当时，的最大值为，即有最大值，
∵，
∴的最大值为，
又点在线段上，
∴点横坐标的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，灵活运用所学知识解决问题．
13．(1)抛物线解析式为
(2)当时， 有最大值，最大值为
(3)点 的坐标为
【分析】（1）根据题意得到，则，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得，则，，直线的解析式为，如图所示，点是第四象限抛物线上一动点，于点，过点作轴于点，交于点，设，则，，，，则，由二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）直线的解析式为，，则，，联立方程组得，，如图所示，过点作轴于点，，，，由（2）可得，所以，，根据，解二次函数最值的计算即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 ，
∴，
∴，
把点代入得，，
解得，，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：已知抛物线解析式为，
令，则，整理得，，
解得，，
∴，
令，则，
∴，
∴，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图所示，点是第四象限抛物线上一动点，于点，过点作轴于点，交于点，
∴设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时， 有最大值，最大值为；
（3）解：由（2）可得，直线的解析式为，
∵， ，
∴，则，
又∵，
∴设，
∴，
解得，，
∴，
联立方程组得，
解得，，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
由（2）可得，
∴，
，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴，
∴点 的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握二次函数图形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算是解题的关键．
14．(1)，
(2)
(3)12
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识．
（1）由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值；
（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标；
（3）由可求得四边形的面积．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，
∴，
∴，，
∵抛物线经过B，C两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点；
（3）解：∵，
∴D到的距离为，
∴．
15．(1)
(2)是直角三角形，见解析
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）由、两点坐标、对称轴，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）利用勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判断的形状；
（3）先求得点坐标，根据相似三角形的判定与性质可得，依此可求的度数．
【详解】（1）解：把，代入二次函数得，
，即，
联立解得，，，
这个二次函数的表达式为．
（2）解：由题意知：，，，
，，，
，
是直角三角形；
（3）解：当时，，
，
，，
，
，
．

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