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5．1.2　导数的概念及其几何意义(1)
1. 了解平均变化率和瞬时变化率的意义．
2. 理解f′(x0)的含义，并能简单的应用．
3. 利用f′(x0)，解决简单的实际问题．
活动一 导数的概念
物理中，从平均速度到瞬时速度；在几何中，从割线的斜率到切线的斜率．都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法．
思考
对于函数y＝f(x)，自变量由x0→x0＋Δx，函数值有怎样的变化？
平均变化率：＝.
瞬时变化率：如果当Δx→0时，无限趋近于一个确定的值，这个值就称为瞬时变化率．
导数的定义：若Δx→0，无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
活动二　求函数在x＝x0处的导数　
例1　设f(x)＝，求f′(1).
要求f′(x0)的值，先求，再求它的极限．
求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
活动三　导数的实际应用　
例2　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
实际中的瞬时变化率就是导数，若值是负的，说明是下降（或减少），若值是正的，说明是上升（或增加）.
例3　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
1. 若f(x)在x＝x0处可导，则 (　　)
A. 与x0，Δx有关 B. 仅与x0有关，而与Δx无关
C. 仅与Δx有关，而与x0无关 D. 与x0，Δx均无关
2. （2023渭南期中）若函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ，且＝＝4＋Δx，则f′(2)的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 2＋Δx D. 4＋Δx
3. （多选）已知函数y＝f(x)，则下列说法中正确的是(　　)
A. Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量
B. ＝叫做函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率
C. f(x)在x＝x0处的导数记为y′
D. f(x)在x＝x0处的导数记为f′(x0)
4. （2023湖北期末）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为l(t)＝2t2＋t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为　　　　m/s.
5. 求函数y＝在x＝0处的导数．
5．1.2　导数的概念及其几何意义(2)
1. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2. 进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程，同时又对变量数学的思想方法有新的感悟.
活动一 导数的几何意义
思考1
从f′(x0)的求解过程看，从代数的角度看，是从平均变化率过渡到瞬时变化率的一个过程，体现了极限的思想，若从函数的图象来看，与f′(x0)分别有怎样的几何意义？
思考2
利用信息工具将函数y＝f(x)的图象在点P(x0，y0)附近的曲线不断放大，你会发现什么现象？
例1　如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况．
用切线的斜率的符号来描述曲线在某一点附近的变化情况（如上升或下降），从而得到函数在某点附近的单调性．
已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A. f′(xA)>f′(xB)
B. f′(xA)＝f′(xB)
C. f′(xA)D. f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
活动二　理解导函数的定义　
例2　如图是人体血管中药物浓度c＝f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象．根据图象，估计t＝0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.
从图象中得到某一时刻的瞬时变化率的估计值用该点处的切线斜率的近似值表示．
思考3
例2中如何得到任一时刻的瞬时变化率，这个值是精确值还是近似值？
导函数（简称导数）的定义：
思考4
“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”两者之间有哪些区别和联系？
思考5
f′(1)与f(1)的含义有什么不同？f′(1)与f′(x)的含义有什么不同？
例3　已知f(x)＝x2－2x，求 f′(x).
用两种方法解答．
已知f(x)＝2x3－1，f′(x0)＝6，求x0的值．
活动三　导数的几何意义的应用　
例4　(1) 若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值；
(2) 通过某导体的电量（单位：C）q＝2t2＋3t，求当t＝5 s时的电流强度（单位：A）.
1. （2024湖北月考）已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. f′(1)B. f′(2)C. f′(1)D. f(2)－f(1)2. 若函数y＝f(x)的图象在点P(3，f（3)）处的切线方程是y＝－x＋5，则f(3)＋f′(3)等于(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 0
3. （多选）为了评估某治疗流感药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中的药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度随时间t变化的关系如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B. 在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C. 在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D. 在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
4. （2023全国课时练习）曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程为　　　　．
5. 已知f(x)＝x3－2，求f′，f′(x).
5．1.2　导数的概念及其几何意义(1)
【活动方案】
思考：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
例1　f′(1)＝ ＝
＝ ＝－1.
跟踪训练　因为Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2＋，
所以＝4＋Δx－，
所以y′|x＝2＝ ＝ (4＋Δx－)＝4＋0－＝.
例2　在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6).
根据导数的定义，得
＝
＝
＝
＝Δx－3，
所以f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
同理可得f′(6)＝5.
在第2h与第6h时，原油温度瞬时变化率分别为－3℃/h与5℃/h.说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升．
例3　在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和v′(6).
根据导数的定义，得＝
＝
＝－Δt＋2，
所以v′(2)＝ ＝ (－Δt＋2)＝2.
同理可得v′(6)＝－6.
在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是2m/s2与－6m/s2.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
【检测反馈】
1. B　由定义知函数f(x)在x0处的导数，只与x0有关．
2. B　根据导数的定义可知，f′(2)＝ ＝ (4＋Δx)＝4.
3. ABD　对于A，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的改变量，即函数值的增量，故A正确；对于B，＝叫做函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，故B正确；由导数的定义知函数f(x)在x＝x0处的导数记为f′(x0)，故C错误，D正确．故选ABD.
4. 　因为l(3＋Δt)－l(3)＝2(3＋Δt)2＋(3＋Δt)－2×32－＝2(Δt)2＋Δt，所以当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为l′(3)＝ ＝ ＝(m/s).
5. 因为Δy＝－＝＝，
所以＝，
所以y′|x＝0＝ ＝0.
5．1.2　导数的概念及其几何意义(2)
【活动方案】
思考1：表示割线的斜率，f′(x0)表示函数y＝ f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
思考2：点P0附近的曲线越来越接近于直线，所以点P0附近曲线y＝f(x)可以用点P0处的切线近似代替．
例1　我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
①当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
②当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
③当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．
从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．
跟踪训练　A　由题意可知f′(xA)表示曲线在点(xA，f(xA))处切线的斜率kA，f′(xB)表示曲线在点(xB，f(xB))处切线的斜率kB，结合题中的函数图象可知kA>kB，则f′(xA)>f′(xB).
例2　血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作t＝0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7，0.91)，(1.0，0.48)，则该切线的斜率k＝≈－1.4，
所以f′(0.8)≈－1.4.
则药物浓度的瞬时变化率的估计值如下表：
t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率f′(t) 0.4 0 －0.7 －1.4
思考3：先求出这个函数表达式，再设图象上任一点为(t，f(t))，这点附近的点为(t＋Δt，f(t＋Δt))，再通过这两点的割线斜率逼近其切线的斜率，即是瞬时变化率，这个值是精确值．
导函数(简称导数)的定义：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ .
思考4：联系：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
区别：导函数是函数，导数是数值．
思考5：f′(1)表示函数f(x)在x＝1处的导数，f(1)表示函数f(x)在x＝1处的值，f′(1)表示导函数f′(x)在x＝1处的值．
例3　因为＝＝＝Δx＋2x－2，
所以当Δx→0时，→2x－2，即f′(x)＝2x－2.
跟踪训练　方法一：因为f′(x)＝
＝[6x2＋6xΔx＋2(Δx)2]＝6x2，
所以f′(x0)＝6x，所以6x＝6，
所以x0＝±1.
方法二：因为f′(x0)＝
＝[6x＋6x0Δx＋2(Δx)2]＝6x，
所以6x＝6，所以x0＝±1.
例4　(1) 因为＝＝2x＋2a＋Δx，　
所以当Δx→0时，→2a＋2x，
即f′(x)＝2x＋2a.
设切点为(x0，y0)，
则2x0＋2a＝2，y0＝2x0－4＝x＋2ax0，
由此解得x0＝±2.
当x0＝2时，a＝－1；
当x0＝－2时，a＝3.
(2) 因为＝＝4t＋3＋2Δt，
所以当Δt→0时，→4t＋3，即q′＝4t＋3，
故当t＝5 s时电流强度为23A.
【检测反馈】
1. C　如图，设A(1，f(1))，B(2，f(2)).由图可得f′(1)2. B　因为函数y＝f(x)的图象在点P(3，f(3))处的切线方程是y＝－x＋5，所以f(3)＝－3＋5＝2，f′(3)＝－1，所以f(3)＋f′(3)＝2－1＝1.
3. AC　对于A，在t1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；对于B，在t2时刻，两图象的切线斜率不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B错误；对于C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在[t2，t3]内，血管中药物浓度的平均变化率均为，故C正确；对于D，在[t1，t2]和[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，故D不正确．故选AC.
4. x＋y－2＝0　设f(x)＝，因为f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝－，所以曲线y＝在点P(1，1)处的切线的斜率为k＝f′(1)＝－1，所以曲线y＝在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
5. 因为＝＝2x2＋2x·Δx＋(Δx)2，
所以当Δx→0时，→2x2，即f′(x)＝2x2.
当x＝－时，f′＝.

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