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5．2.2　导数的四则运算法则
1. 理解导数的四则运算法则，能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数．
2. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步提升思维能力.
活动一 掌握基本初等函数的导数公式
(1) C′＝　　　　（C为常数）；
(2) (xα)′＝　　　　（α为非零常数）；
(3) (ax)′＝　　　　（a>0，且a≠1）；
(4) (logax)′＝　　　　＝　　　　（a>0，且a≠1）；
(5) (ex)′＝　　　　；
(6) (ln x)′＝　　　　；
(7) (sin x)′＝　　　　；
(8) (cos x)′＝　　　　．
活动二 探究函数的四则运算的导数法则
探究1　设f(x)＝x2，g(x)＝x.计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？
结论1　[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
例1　求下列函数的导数：
(1) y＝x3－x＋3；
(2) y＝2x＋cos x.
探究2　设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
结论2　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g（x)≠0）.
函数的四则运算的导数法则：
(1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2) [Cf(x)]′＝Cf′(x)（C为常数）；
(3) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4) ′＝(g（x)≠0）.
例2　求下列函数的导数：
(1) y＝x3ex；
(2) y＝.
活动三 掌握导数的四则运算法则的简单应用
例3　日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)＝(80(1) 90%；
(2) 98%.
1. （2024十堰月考）函数f(x)＝3x2＋cos x的导函数是(　　)
A. f′(x)＝6x＋sin x B. f′(x)＝6x－sin x
C. f′(x)＝x3－sin x D. f′(x)＝x3＋sin x
2. （2024福州期末）已知某物体的运动方程是s＝t＋t3（s的单位为m，t的单位是s），该物体在t＝3 s时的瞬时加速度是(　　)
A. 2 m/s B. 4 m/s C. 2 m/s2 D. 4 m/s2
3. （多选）（2023东莞期中）下列命题中，正确的是(　　)
A. 若f(x)＝x sin x－cos x，则f′(x)＝2sin x－x cos x
B. 设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C. 若f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
4. 已知f(x)＝2x3＋ax2－2x－3，若f′(－1)＝4，则a的值为　　　　Ｗ．
5. 已知函数f(x)＝ex ln x＋3x.
(1) 求f(x)的导数f′(x)；
(2) 求函数f(x)的图象在点(1，f（1)）处的切线方程．
5．2.2　导数的四则运算法则
【活动方案】
1. (1) 0　(2) αxα-1　(3) ax ln a　(4) logae
　(5) ex　(6) 　(7) cos x　(8) －sin x
探究1：设y＝f(x)＋g(x)＝x2＋x.
因为＝＝Δx＋2x＋1，　
所以[f(x)＋g(x)]′＝y′＝ ＝ (Δx＋2x＋1)＝2x＋1.
又f′(x)＝2x，g′(x)＝1，
所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)＝2x＋1.
同理可得[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)＝2x－1.
例1　(1) y′＝(x3－x＋3)′＝(x3)′－(x)′＋(3)′＝3x2－1.
(2) y′＝(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x.
探究2：通过计算可知，[f(x)g(x)]′＝(x3)′＝3x2，f′(x)·g′(x)＝2x·1＝2x，所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).
同理可知，′与也不相等．
例2　(1) y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex.
(2) y′＝′＝＝＝.
例3　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
由题意，得c′(x)＝′
＝
＝＝.
(1) 因为c′(90)＝＝52.84，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/t.
(2) 因为c′(98)＝＝1321，所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/t.
【检测反馈】
1. B　f′(x)＝(3x2)′＋(cos x)′＝6x－sin x.
2. C　由题意，得v＝s′＝1＋t2，a＝v′＝，所以a(3)＝v′|t＝3＝×3＝2(m/s2).
3. BD　对于A，f′(x)＝2sin x＋x cos x，故A不正确；对于B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故B正确；对于C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，f′(1)＝6e＋3e＝9e，故C不正确；对于D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故D正确．故选BD.
4. 0　由题意，得f′(x)＝6x2＋2ax－2，则f′(－1)＝6－2a－2＝4－2a＝4，解得a＝0.
5. (1) 因为函数f(x)＝ex ln x＋3x的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝ex ln x＋ex·＋3＝ex(ln x＋)＋3.
(2) 由(1)知，f′(1)＝e＋3，
因为f(1)＝eln 1＋3＝3，
所以y－3＝(e＋3)(x－1)，即y＝(e＋3)x－e，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是y＝(e＋3)x－e.

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