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6.1.1　空间向量的线性运算
1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．
2. 掌握空间向量的线性运算及其法则．
3. 理解空间向量共线的充要条件．
活动一 回顾平面向量的相关内容
1. 基本概念：
(1) 向量的定义：
(2) 向量的模：
(3) 零向量、单位向量、平行向量：
(4) 相等向量、共线向量、相反向量：
2. 平面向量a(a≠0)，b共线的充要条件：
3. 平面向量的加法、减法、数乘运算的定义及运算法则：
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 (1) 平行四边形法则 (2) 三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的数乘 λa是一个向量，满足： (1) |λa|＝|λ||a| (2) 若a≠0， 当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；特别地，当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0
活动二 类比平面向量探究空间向量的概念及运算
4. 空间向量的概念：
(1) 定义：在空间，既有大小又有方向的量叫作空间向量．
(2) 长度或模：向量的大小．
(3) 表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4) 几类特殊的空间向量：
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫作零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
5. 空间向量的线性运算及其运算律：
空间向量的线性运算 类型 表示方法 图示 几何方法
加法 ＝＋＝a＋b 平行四边形法则、三角形法则
减法 ＝－＝a－b 三角形法则
数乘 ＝λa(λ∈R) 若a≠0，当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；特别地，当λ＝0时，λa＝0，其方向是任意的；当a＝0时，λa＝0，其方向也是任意的
运算律 加法 运算律 交换律：a＋b＝b＋a 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘 运算律 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)； (λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R) 结合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
6. 共线向量：
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.
当我们说向量a，b共线(或a∥b)时，表示a，b的有向线段所在的直线可能是同一条直线，也可能是平行直线．
7. 共线向量定理：
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
思考
平面向量与空间向量有哪些相同点？有哪些不同点？
活动三　空间向量的线性运算　
例1　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
A. ①②　　B. ②③
C. ③④ D. ①④
例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在线段A1B，D1B1上，且BM＝BA1，B1N＝B1D1，P为棱B1C1的中点．求证：MN∥BP.
在空间向量中，要证明两直线平行，与平面向量的证明方法一样，只要利用空间向量的共线向量定理即可．
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，判断与是否共线？
1. (教材改编)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，M为四边形BCC1B1的中心，则　等于(　　)
A. a＋b＋c B. a＋b＋c
C. a＋b－c D. a－b－c
2. (教材改编)已知在空间四边形ABCD中，＝，则＋＋2　等于(　　)
A. 2 B. 2 C. 2 D.
3. (多选)(2024长治期末)在三棱锥O-ABC中，＝a，＝b，＝c，点M在直线OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则下列结论中可能成立的是(　　)
A. ＝(a＋b) B. ＝－a＋b＋c
C. ＝(＋) D. ＝－a－c
4. (2024绍兴期末)如图，已知E，F分别是空间四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，G是线段EF的中点，P为空间中任意一点，则＋＋＋＝________．
5. 如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
6.1.1　空间向量的线性运算
【活动方案】
1. (1) 我们把既有大小又有方向的量称为向量．
(2) 向量的大小称为向量的长度(或称为模).
(3) 长度为0的向量称为零向量．长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量．方向相同或相反的非零向量叫作平行向量．
(4) 长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．平行向量又称为共线向量．我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量．
2. 有一个实数λ，使得b＝λa(a≠0).
3. 略
思考：略
例1　(1) ＋＝.
(2) 因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如下图所示．
跟踪训练　A　①－－＝－＝；②＋－＝＋＝；③－－＝－＝－＝≠；④－＋＝＋＋＝＋≠.
例2　由题意，得＝＋＋.
因为BM＝BA1，B1N＝B1D1，
所以＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(＋)
＝＋＝＋.
又因为P为B1C1的中点，
所以＝＋＝＋
＝(＋)＝，
从而与为共线向量．
因为直线MN与BP不重合，所以MN∥BP.
跟踪训练　连接AC.因为M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，所以N为AC的中点，所以＝－＝－＝(－)＝，所以与共线．
【检测反馈】
1. A　由题意，得＝＋＝＋＝＋(＋).因为＝－，所以＝＋＋＝a＋b＋c.
2. A　因为＝，所以G为CD的中点．如图，由平行四边形法则，得＋＝2，所以2＋(＋)＝2(＋)＝2.
3. BC　对于A，因为N是BC的中点，所以＝(＋)＝(b＋c)，故A错误；对于B，当点M在线段OA上时，因为OM＝2MA，所以＝，则＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c，故B正确；对于C，当点M在线段OA的延长线上时，因为OM＝2MA，所以A为OM的中点，可得＝(＋)，故C正确；对于D，当点M在线段OA上时，由B知＝－＝a－c；当点M在线段OA的延长线上时，由C知＝－＝2a－c；当点M在线段AO的延长线上时，无法满足OM＝2MA，此情况不存在，故D错误．故选BC.
4. 4　由题意，得＋＋＋＝2＋2＝4.
5. 因为E，H分别是AB，AD的中点，
所以＝，＝，
则＝－＝－＝＝(－)＝(－)＝(－)＝，
所以∥，且||＝||≠||.
又点F不在直线EH上，
所以四边形EFGH是梯形．

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