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6．3.2　空间线面关系的判定(1)
1. 能用向量语言描述线线、线面、面面的平行关系．
2. 能用向量方法判定、证明空间线面的平行关系．
活动一　用空间向量处理平行关系　
1. 知识回顾
(1) 直线的方向向量与平面的法向量：
(2) 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定和性质：
2. 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
平行
l与m a∥b
l与α a⊥μ
α与β μ∥v
活动二　用空间向量证明线线平行
例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.
要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
活动三　用空间向量证明线面平行　
例2　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.
利用空间向量证明线面平行的方法：
(1) 利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行；
(2) 利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行；
(3) 利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
活动四 利用空间向量证明面面平行
例3　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.
利用空间向量证明面面平行的方法：
(1) 转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线进行证明；
(2) 通过证明两个平面的法向量平行证明．
1. 已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A. (4，2，－2) B. (2，0，4) C. (2，－1，－5) D. (4，－2，2)
2. (2024扬州月考)已知u＝(3，a＋b，a－b)(a，b∈R)是直线l的一个方向向量，n＝(1，1，3)是平面α的一个法向量．若l∥α，则2b－4a的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多选)(2023荆州阶段练习)已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列说法中错误的是(　　)
A. 若直线l的一个方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的一个方向向量为b＝(2，－2，4)，则l∥m
B. 若直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l∥α
C. 若平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β
D. 若平面α经过三个点A(1，0，－1), B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u＋t＝1
4. 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)，D(8，4，a)，如果四边形ABCD为梯形，那么实数a的值为________．
5. (2024江苏月考)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：BM∥平面ADEF.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
1. 能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．
2. 能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理．
3. 掌握用向量方法判定、证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．
活动一 探究用空间向量证明空间线面关系的方法
设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有如下结论：
平行 垂直
l1与l2
l1与α1
α1与α2
活动二　用空间向量证明一些常见定理　
例1　证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(三垂线定理)
写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明．
例2　证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(直线与平面垂直的判定定理)
用向量方法证明：经过一个平面的垂线的平面垂直于该平面．
活动三 利用向量方法判断空间线面垂直关系
例3　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中点．求证：A1B⊥AM.
例4　如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
变式　在例4中增加条件E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF⊥平面ADE.
例5　如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求证：平面ADE⊥平面ABE.
1. (教材改编)已知平面α的一个法向量n1＝(3，0，λ)，平面β的一个法向量n2＝(2，1，6)，若α⊥β，则λ的值为(　　)
A. B. 4 C. －1 D. 1
2. (教材改编)已知直线l的方向向量a＝(1，2，3)，平面α的一个法向量n＝(k－1，k，k＋1)，若l⊥α，则k的值为(　　)
A. － B. 1 C. 2 D. 3
3. (多选)(2024安阳期中)在空间直角坐标系中，设a，b分别是异面直线l1，l2的两个方向向量，u，v分别是平面α，β的两个法向量，若a＝(1，1，2)，b＝(4，4，2)，u＝(－1，0，2)，v＝(2，2，1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. l1⊥α B. l2⊥β C. α∥β D. α⊥β
4. (2024广东月考)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上的一点，当BF⊥PE时，＝________．
5. 如图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
6．3.2　空间线面关系的判定(1)
【活动方案】
1. (1) 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们将向量n叫作平面α的法向量．
(2) 略
例1　方法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
则P(3，0，1)，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，1)，
所以＝(－3，2，1)，＝(－3，2，1)，
所以＝，所以∥.
又PQ，RS无公共点，所以PQ∥RS.
方法二：因为＝＋＝－＋，＝＋＝＋－，　
所以＝，所以∥.
又PQ，RS无公共点，所以RS∥PQ.
跟踪训练　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(1，0，1)，＝(－1，1，0).
设＝(a，b，c)，则即
取＝(1，1，－1).
易知＝(－1，－1，1)，所以＝－，
所以∥.
又PQ，BD1无公共点，所以PQ∥BD1.
例2　因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直．
不妨设AB，AD，AF的长分别为3a，3b，3c，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系 Axyz，
则B(3a，0，0)，D(0，3b，0)，F(0，0，3c)，E(0，3b，3c)，
所以＝(－3a，3b，0)，＝(0，－3b，－3c).
因为＝＝(－a，b，0)，＝＝(0，－b，－c)，
所以＝＋＋＝(0，－b，－c)＋(3a，0，0)＋(－a，b，0)＝(2a，0，－c).
又平面CDE的一个法向量是＝(0，3b，0)，
由·＝(2a，0，－c)·(0，3b，0)＝0，
得⊥.
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
跟踪训练　由题意，得CD，CB，CE两两垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
设AC∩BD＝N，连接NE，
则N(，，0)，E(0，0，1)，
所以＝(－，－，1).
又A(，，0)，M(，，1)，
所以＝(－，－，1)，
所以＝，且A NE，所以NE∥AM.
又因为NE 平面BDE，AM 平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
例3　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，CQ的长为m，
则O(，，0)，P(0，0，)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，Q(0，1，m).
方法一：因为＝(－，－，)，＝(－1，－1，1)＝2，所以∥，
所以OP∥BD1.
因为＝(－1，0，)，＝(－1，0，m)，
当m＝时，＝，即AP∥BQ，此时有平面PAO∥平面D1BQ，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
方法二：＝(，－，0)，＝(－，－，).
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则n1⊥，n1⊥，
所以
取x＝1，则n1＝(1，1，2).
又因为＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m).
设平面D1BQ的法向量为n2＝(a，b，c)，
则n2⊥，n2⊥，
所以
取c＝1，则n2＝(m，1－m，1).
要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，
所以＝＝，解得m＝，
所以Q(0，1，).
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
跟踪训练　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N(2，，4)，E(0，，4)，F(1，3，4)，
所以＝(1，，0)，＝(1，，0)，＝(－1，0，4)，＝(－1，0，4)，
所以＝，＝，
所以MN∥EF，AM∥BF，
所以易得MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.
又MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFBD.
【检测反馈】
1. D　因为α∥β，所以平面α的法向量和平面β的法向量平行．设平面β的法向量为(x，y，z)，则(2，－1，1)＝λ(x，y，z)，λ≠0，对比四个选项可知，只有D符合要求．
2. A　因为l∥α，所以u⊥n，则u·n＝0，所以3×1＋(a＋b)×1＋(a－b)×3＝0，整理，得2b－4a＝3.
3. BCD　对于A，因为b＝2a，所以a∥b，所以l∥m，故A正确；对于B，a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a⊥n，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，若n1＝λn2(λ≠0)，则(0，1，3)＝λ(1，0，2)，得此方程组无解，所以α∥β不成立，故C错误；对于D，＝(－1，－1，1)，＝(－1，3，0)，因为n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，所以解得所以u＋t＝，故D错误．故选BCD.
4. 9　由题意知＝(4，－8，2)，＝(8，5，7)，＝(2，－4，10－a)，＝(10，1，a－1).显然与不平行．又四边形ABCD为梯形，所以∥，解得a＝9.
5. 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF是正方形，
所以AD⊥ED.又ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD，所以，，两两垂直．
以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2).
又M为CE的中点，所以M(0，2，1)，
则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，
所以＝＋，故，，共面．
又BM 平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.
6．3.2　空间线面关系的判定(2)
【活动方案】
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
例1　已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，AB⊥α，A为垂足，CD α，且CD⊥OA.
求证：CD⊥OB.
证明：因为CD⊥OA，
所以·＝0.
因为AB⊥α，CD α，
所以AB⊥CD，所以·＝0.
又＝＋，
所以·＝·(＋)＝·＋·＝0，
所以CD⊥OB.
跟踪训练　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，AB⊥α，A为垂足，CD α，且OB⊥CD.求证：CD⊥OA.
证明：因为OB⊥CD，
所以·＝0.
因为AB⊥α，CD α，
所以BA⊥CD，所以·＝0.
又＝＋，
所以·＝·(＋)＝·＋·＝0，
故CD⊥OA.
例2　已知：如图，m α，n α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n.　
求证：l⊥α.
证明：如图，在平面α内任意作一条直线g，在直线l，m，n，g上分别取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，
所以向量m与n不共线．
由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数组(x，y)，使得g＝x m＋y n，
所以l·g＝l·(x m＋y n)＝x l·m＋y l·n.
因为l⊥m，l⊥n，
所以l·m＝0，l·n＝0，
所以l·g＝0，即l⊥g.
因为l垂直于α内任意一条直线，
所以l⊥α.
跟踪训练　已知：平面α，β，AB⊥α，且AB β.
求证：α⊥β.
证明：设平面α的法向量为n1(n1有无数个)，平面β的法向量为n2.
因为⊥α，n1⊥α，
所以n1∥.
设＝λn1，λ为非零实数．
因为AB 平面β，
所以n2⊥，
所以n2·＝0，即n2·λn1＝0.
因为λ≠0，
所以n2·n1＝0，
所以平面α⊥平面β.
例3　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
因为BC＝1，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
所以AC＝，
所以A(，0，0)，A1(，0，)，B(0，1，0)，
M(0，0，)，
所以＝(－，1，－)，＝(－，0，)，
所以·＝0，
所以A1B⊥AM.
例4　取BC的中点O，连接AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO 平面ABC，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，连接OO1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，
所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0).
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0，
所以⊥，⊥，
即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，BA1 平面A1BD，BD 平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD.
变式　建系同例4，点E与点O重合．
由E(0，0，0)，A(0，0，)，D(－1，1，0)，F(1，1，0)，
得＝(1，1，0)，＝(0，0，)，＝(－1，1，0)，
所以·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，
即EF⊥EA，EF⊥ED.
又EA∩ED＝E，EA 平面ADE，ED 平面ADE，
所以EF⊥平面ADE.
例5　取BE的中点O，连接OC.
因为AB⊥平面BCE，所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则C(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1，0，1)，A(0，，2)，
所以＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1).
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
令b＝1，则a＝0，c＝－，
所以n＝(0，1，－).
又AB⊥平面BCE，OC 平面BCE，
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB 平面ABE，BE 平面ABE，
所以OC⊥平面ABE，
所以平面ABE的一个法向量为m＝(1，0，0).
因为n·m＝(0，1，－)·(1，0，0)＝0，
所以n⊥m，所以平面ADE⊥平面ABE.
【检测反馈】
1. C　因为α⊥β，所以n1⊥n2，可得6＋6λ＝0，解得λ＝－1.
2. C　因为l⊥α，所以a∥n，则＝＝，解得k＝2.
3. BD　对于A，因为a＝(1，1，2)，u＝(－1，0，2)，所以a与u既不平行也不垂直，所以直线l1与平面α不垂直，故A错误；对于B，因为b＝(4，4，2)，v＝(2，2，1)，所以b＝2v，所以l2⊥β，故B正确；对于C，因为u＝(－1，0，2)，v＝(2，2，1)，所以u与v不平行，所以平面α与平面β不平行，故C错误；对于D，因为u·v＝－1×2＋0×2＋2×1＝0，所以u⊥v，即平面α与平面β垂直，故D正确．故选BD.
4. 1　以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E(，1，0)，P(0，0，a).设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝(，1，－a).因为BF⊥PE，所以·＝－＋y＝0，解得y＝，即F(0，，0)是AD的中点，故＝1.
5. 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，
所以＝(，1，－2)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－1).
设平面ECA与平面DEA的法向量分别是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则即解得
即解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1，2).
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2，
所以平面DEA⊥平面ECA.

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