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6．3.4　空间距离的计算
能用向量方法解决点线、点面、线面、面面的距离的计算问题．
活动一 背景引入
问题：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处修建一个蔬菜存储库．如何在公路上选择一个点，修一条公路到达点A，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
思考1
空间中包括哪些距离？求解空间距离常用的方法有哪些？
思考2
能否用所学的空间向量来解决有关于这些距离的问题呢？
活动二　点到平面的距离　
1. 点到平面的距离
已知P是平面α外的一点，PO⊥α，A是平面α内的任意一点，设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离为d＝.
1. 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解．
2. 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
例1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求点B到平面B1CD1的距离．
求点到平面的距离的主要方法：
(1) 作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
(2) 在三棱锥中用等体积法求解；
(3) 向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，M是平面外一点，MA为过点A的斜线段).
在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．
(1) 求证：B1C∥平面A1BD；
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离．
活动三　点到直线的距离　
2. 点到直线的距离
已知P是直线l外的一点，A是直线l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝.
思考3
能不能借助直线l的方向向量来求点到直线的距离？
3. 两条平行直线之间的距离
思考4
类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
例2　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是BC和CD的中点．
(1) 求证：EF∥B1D1；
(2) 求两条平行线EF和B1D1间的距离．
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：
(1) 确定法向量；
(2) 选择参考向量；
(3) 确定参考向量到法向量的投影向量；
(4) 求投影向量的长度．
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC到平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．
1. 已知点O(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，2)，则点O到直线BC的距离为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023临沂三中期末)已知平面α的一个法向量n＝(1，－2，－2)，点A(－1，3，0)在平面α内，则平面外一点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　)
A. 10 B. 3 C. D.
3. (多选)(教材改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面ABC1D1的距离为
C. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
4. (教材改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，D，E，N分别为PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为________．
5. 如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6．3.4　空间距离的计算
【活动方案】
问题：过点A修一条垂直于该条公路的路线理论上最短．
思考1：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离；传统方法都是把这些距离归结到平面内解决．
思考2：略
例1　以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
所以＝(1，1，0)，＝(1，0，1)，＝(－1，0，0).
设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即x＋y＝0，x＋z＝0.
令x＝－1，则y＝1，z＝1，
所以n＝(－1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量．
因为n·＝1，|n|＝，
所以点B到平面B1CD1的距离为d＝＝＝.
跟踪训练　(1) 连接AB1交A1B于点E，连接DE.
因为D，E分别为AC，AB1的中点，
所以DE∥B1C.
因为DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，
所以B1C∥平面A1BD.
(2) 由(1)，得B1C∥平面A1BD，所以直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．
建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
所以解得
令z＝1，所以n＝(3，0，1)，
所以所求距离为d＝＝.
思考3：如图，P是直线l外的一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝||sin φ.
思考4：求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离．
例2　以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系D-xyz，
则C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，E(，1，0)，F(0，，0).
(1) 因为＝(，，0)，＝(1，1，0)＝2，
所以∥，
故EF∥B1D1.
(2) 因为EF∥B1D1，所以点E到直线B1D1的距离即为两条平行线EF和B1D1间的距离．
方法一：连接EB1，ED1.设在平面EB1D1内与直线B1D1垂直的向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥，得x＋y＝0.
由n与，共面可知，存在实数m，p，使得
n＝m＋p.
因为＝(－1，－1，0)，＝(－，0，－1)，
所以(x，y，z)＝m(－1，－1，0)＋p(－，0，－1)＝(－m－p，－m，－p)，
即
所以 x＝y＋z.
令x＝1，则y＝－1，z＝4，即n＝(1，－1，4).
故点E到直线B1D1的距离为d＝＝＝，
即两条平行线EF和B1D1间的距离为.
方法二：连接EB1，则＝(，0，1).
记θ＝〈，〉，
因为·＝，||＝，||＝，
所以cos θ＝＝，
sin θ＝，
故点E到直线B1D1的距离为d＝||sin θ＝×＝，
即两条平行线EF和B1D1间的距离为.
跟踪训练　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则F为CD的中点，A(0，0，0)，B(4，0，0)，F(0，2，0)，C(2，2，0)，D(－2，2，0)，P(0，0，4)，E(0，0，2)，
所以＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2).
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，
则即所以
取z＝2，则x＝1，y＝，得n＝(1，，2).
因为＝(2，2，－4)，
所以n·＝2＋6－8＝0，
所以n⊥，故PC∥平面BED，
所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．
因为＝(0，0，2)，所以点P到平面BED的距离d＝＝＝，
即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．
【检测反馈】
1. A　由O(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，2)，可得＝(2，0，0)，＝(－2，2，2)，则向量在方向上的投影向量的长度为＝＝，所以点O到直线BC的距离为＝.
2. C　因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，所以＝(－1，－2，4).又平面α的一个法向量n＝(1，－2，－2)，所以点P到平面α的距离d＝＝＝.
3. BCD　根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，则E(，0，1)，O(，，1).又＝＋＋，故P(，，).对于A，＝(－，0，1)，＝(－1，0，0)，故点A到直线BE的距离为＝＝，故A错误；对于B，＝(0，1，1)，＝(－，－，0)，设平面ABC1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝1，则m＝(0，1，－1)，故点O到平面ABC1D1的距离为＝＝，故B正确；对于C，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，故∥，而B，A1，C，D1不共线，故BA1∥CD1，因为BA1 平面B1CD1，CD1 平面B1CD1，故BA1∥平面B1CD1，同理BD∥平面B1CD1，而BD∩BA1＝B，BD，BA1均在平面DBA1内，所以平面DBA1∥平面B1CD1，故平面DBA1与平面B1CD1的距离即为点B1到平面DBA1的距离．又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，0)，设平面DBA1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即取y2＝1，则n＝(1，1，1)，故点B1到平面DBA1的距离为＝，故C正确；对于D，＝(，，)，＝(1，0，0)，故点P到直线AB的距离为＝＝，故D正确．故选BCD.
4. 　易知BA，BC，PA两两垂直，则以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.由题意，得B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，4)，D(2，0，2)，E(1，，2)，M(2，0，1)，N(0，，0)，所以＝(－1，，0)，＝(－2，0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令y＝1，得n＝(，1，－).又＝(－2，，－1)，所以·n＝0，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE，所以直线MN到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离．因为＝(0，0，1)，所以点M到平面BDE的距离为d＝＝＝.
5. 取AD的中点O，连接PO，CO.
在△PAD中，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0).
设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则所以
即x0＝y0＝z0，
取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)，
所以点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，解得y＝－或y＝(舍去)，
所以＝(0，，0)，＝(0，，0)，
则||＝，||＝，
所以存在点Q满足题意，此时＝.

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