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期末复习（2）一元二次方程考点复习
一、考点一 一元二次方程的概念
1．下列方程属于一元二次方程的是(　　)
A． B．2 C． D．
2．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，，9 C．2，， D．，6，
3．把方程化成一般形式为　 　.
二、考点二 一元二次方程的解法
4．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
5．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程x2=9的解为　 　.
7．选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
8．解下列方程
（1）(配方法)；
（2）2x2-7x+6=0(公式法).
9．解方程：
（1）x2+4x-5=0；
（2）下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务。
解方程： (3x-1)2=2 (3x-1)，
解：方程两边同除以(3x-1)，得 3x -1=2……第一步
移项，合并同类项，得3x=3……第二步
系数化为1，得x=1……第三步
任务：
①小蒋的解法从第 ▲ 步开始出现错误；
②请写出此题的正确解题过程.
三、考点三 一元二次方程根的判别式
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
11．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是　 　．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　.
13．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2-2k=0的两个实数根，第三边BC的长为10.
（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；
（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
四、考点四 一元二次方程根与系数的关系（选学）
14．关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1-x2=10，则n的值为（　　）
A．2或3 B．3或-2 C．-3或2 D．-3或-2
15．关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a，β，且α2+β2=12，m的值为（　　）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
16． 已知m，n是方程x2+2x-3=0的两个根，则　 　.
17． (本题8分) 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，.
（1） 求实数m的取值范围.
（2） 若，求实数m的值.
18．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)，如果方程有两个实数根为x1，x2，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：已知一元二次方程x2-3x-2=0两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值。小明给出了一部分解题思路：
解：（1）∵一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为m，n
∴m+n=____，
∴mn=____，
∴m2n+mn2=____，请填空；
（1）一元二次方程-x2+mx+1=0的一个根为x=2，则m=　 　，另一个根为x=　 　；
（2）关于x的一元二次方程：x2+（2m+1)x+m2-2=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求m的值.
五、考点五 一元二次方程的应用
19．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
20． 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
21．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的。设观花道的直角边(如图所示)为x，则可列方程为（　　）
A．(10+x)(9+x)=30 B．(10+x)(9+x)=60
C．(10-x)(9-x)=30 D．(10-x)(9-x)=60
22．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是　 　．
23．综合实践：设计商品最优定价方案
【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个：若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，当进货量不超过200个时，枕头的进价为每个20元，当进货量超过200个时，超过200个的部分进价变为每个18元。假设枕头全部售完（进货量=销售量），设每个枕头降价x元（x为整数），回答下列问题、
【问题】
（1）任务1：枕头的实际售价为　 　（用含x的代数式表示）：枕头的销售量为　 　 （用含x的代数式表示）.
（2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由，（利润=（售价一进价）×销售量）
（3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价。
24．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
参考答案
1．C
2．C
解：整理得
二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，，；
3．
4．B
解：∵，
∴，
5．D
解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
6．x1=3； x2=-3
解：∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
7．（1）解：或
，
（2）解：
或
，
8．（1）解：x2+2x=3
(x+1)2=4
x+1=，
（2）解：a=2，b=7，c=6，
∵△=49-48=1>0，
，
.
9．（1）解：
（2）解： ① 一
②，，
10．且
11．且
12．4
解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
13．（1）证明：b2－4ac＝4(k－1)2－4(k2－2k)＝4＞0
无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时
x＝10必定是方程的一个根
当x＝10时，102－20(k－1)＋k2－2k＝0
解得k＝10或12
①当k＝10时，方程变为x2－18x＋80＝0
得x＝10或8
△ABC的周长为10＋10＋8＝28
②当k＝12时，方程变为x2－22x＋120＝0
得x＝10或12
△ABC的周长为10＋10＋12＝32
（3）解：解一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－2k＝0
x＝，x1＝k，x2＝k－2
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形
∴k2＋(k－2)2＝102
解得k＝8或－6
当k＝－6时，AB，AC即x1，x2＜0(舍去)
∴k＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形
14．C
解：∵ x2+4n（x+1）-8n-1=0
∴x2-4nx-4n-1=0，
∵ 关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=4n，x1×x2=-4n-1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(4n)2-4(-4n-1)=16n2+16n+4，
又∵ x1-x2=10，
∴16n2+16n+4=100，
∴4n2+4n+1=25，
∴(2n+1)2=25，
∴2n+1=±5，
∴n1=2，n2=-3.
当n=2时，△=（4×2）2-4×（-4×2-1）=100＞0，
当n=-3时，△=（-3×4）2-4×[-4×（-3）-1]=100＞0，
∴n=2或n=-3都满足题意.
15．A
解：∵关于x的方程 有两个实数根α，β，
则，
解得
又∵， ，
∴
即
则 或 (舍去)。
16．
解：由题意，∵m，n是方程x2+2x-3=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=-3
∴
17．（1）解：由题意，得，
解得，
即实数m的取值范围是
（2）解：由根与系数的关系，得，
即，
解得，
由根与系数的关系，得.
在的范围内，
18．（1）；
（2）解：设方程的两个根为，
，
，解得，
方程有两个实数根，
，
，
.
19．C
解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
20．D
解：设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
21．D
解： 设观花道的直角边为xm，
根据题意得：，
∴（9-x）（10-x）=60.
22．9
23．（1）50-×；100+10x
（2）解：根据题意，得(50-x-20)(100+10x) =3750，
解得：x1=15，x2=5，
当x=15时，100+10x=250，
∵ 经销商计划进货不超过200个，
∴x1=15不符合题意，舍去，
∴50-5=45（元），
∴此时枕头的售价为45元；
（3）解：当进货量不超过200个时，利润为(50-20-x)(100 +10x) =-10(x-10)2+4000，
∵--10(x-10)2≤0，
∴当x=10 时，此时利润最高，为4000元；
当进货量超过200个，即100 +10x>200时，
∴x>10，
此时利润为(50-x-20) ×200 +(50-×-18)×(100 +10x-200)=-10x2+220x+2800，
∴当x=11时，利润最高，即-10(x-11)2+4010=4010，
∴此时枕头售价为50-11=39（元），
∴每月利润最大值时枕头售价为39元，利润为4010元.
24．（1）26，12
（2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
（3）解：设剪去的正方形的边长为，由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
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