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小升初典型奥数 工程问题
1．师、徒两人合做 264 个零件，徒弟先做 4 小时后又和师傅合做了 8 小时才完成了任务．已知徒弟每小时比师傅少做 3 个，师傅每小时做多少个？
2．两个工人合作加工一批零件，两人同时开工，经过21天后全部完工．已知甲每天加工53个零件，乙每天比甲多加工7个，但乙每工作七天就要休息一天．你知道这批零件有多少个吗？
3．加工一批零件，甲、乙合作5小时完成，甲独做9小时完成。已知甲每小时比乙多加工2个。合作加工完这批零件，甲、乙各加工多少个？
4．师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
5．有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件．这批零件共有多少个？
6．一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？
7．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
8．某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
9．一组割草的人要把两片草地的草割掉，大的草地比小的大一倍．全体组员先用半天时间割大的草地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大草地上，到傍晚时正好把大草地割完；另一半到小草地去割，到傍晚时还剩一小块，这一小块由1人去割，正好1天割完．问这组共有多少人？
10．师、徒两个做零件2300个，师傅先做了5分钟后师徒两人合作10分钟完成．如果师傅每分钟比徒弟多做20个．求师、徒两人每分钟各做多少个？
11．甲、乙、丙、丁承担一项打字任务。若由这四个人中某一个单独完成全部打字任务，甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时。
（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么需要多少时间完成？
（2）如果按甲、乙、丙、丁……的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，那么需要多少小时完成？
（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙、丁的次序作适当调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？
12．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？
13．刘军、王强、李明三人合修一面墙。刘、王合修，6天修好围墙的；王、李合修，2天修好余下的；剩下的三人又合修5天才完成。他们共得工资1800元，根据按劳分配的原则，每人应分多少钱？
14．甲、乙两个工厂都要安装 240 台电脑，乙工厂每小时安装 24台，当甲工厂完成任务时，乙工厂还有48 台没有装好，甲工厂每小时装多少台？
15．甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成，若甲队先挖天后，再由乙队单独挖天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
16．一项工程，甲、乙合作9天完成，甲、丙合作12天完成，乙、丙合作18天完成，甲、乙、丙合作需要几天完成？
17．一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作完成这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？
18．甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
19． 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天．若甲先做若干天以后乙接着做，则共用26天时间，问：甲独做了几天？
20．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？
21．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？
22．有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
23．蓄水池有甲，乙，丙三个进水管，甲，乙，丙三个进水管单独灌满一池水依次需要10，12，15小时，上午8点三个管同时开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池才被放满，问甲管何时被关闭？
24．一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要( )天。
25．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成。那么甲、丁两人合作多少天可以完成？
26．某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天都能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？
27．师徒两人共同加工156个零件，师傅加工的是徒弟的3倍，师傅加工了多少个？
28．某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25%，请问完成计划还需要多少天？
29．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？
30．芳芳和慧慧要制作相同数量的卡片，芳芳和慧慧工作效率之比为4∶5。如果两人合作，10小时可以完成两个人的任务。如果两人单独完成各自的任务，芳芳要比慧慧多花多少小时？
31．一项工程，甲单独完成要10天，丙和乙单独完成各要20天，现三人一起合做，但甲途中因事离开，完成这项工程共用了6天．求甲做了几天？
32．一项工程，甲、乙两队合做12天完工，如果由甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天，刚好完成，若由乙队单独完成，需要多少天？
33．有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定时间的，再把打开的水管增加1倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
34．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次．每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？
35．一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元。如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？
36．师徒两人共同加工一批零件，2天后已加工总数的，这批零件如果全部由师傅单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？
37．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？
38．某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期3天才能完成，现在两队合作2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成．那么该工程限期是多少天？
39．某库房有一批钢材，原计划每天用 12 吨，由于提高技术，实际每天比原计划多用 3 吨，这样比原计划少用 8 天，这批钢材有多少吨？
40．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
41．放满一池的水，若同时开1、2、3号阀门，则20分钟可注满，若同时开2、3、4号阀门，则21分可注满，若同时开1、3、4号阀门，则28分钟可以注满；若同时开1、2、4号阀门，30分钟可以完成．
问：（1）如果同时开1、2、3、4号阀门，那么多少分钟可以完成？
（2）单开3号阀门多少分钟可以完成？
42．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？
43．甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲乙两人合作6小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
44．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？
45．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
46．一堆煤，原来每天烧 1.8 吨，可以烧 30 天，技术革新后，这堆煤能多烧 6 天，技术革新后每天少烧多少吨煤？
47．一项工程，乙单独做需要17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？
48．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？
49．甲、乙两个车间织布，原计划每天共织700m，现技术改进，甲车间每天多织布100m，乙车间的日产量提高一倍，这样，两车间一天共织了1020m．甲、乙两车间原计划每天各织布多少米？
50．一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
51．甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天。现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天？
52．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天
53．一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？
54．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？
55．放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？
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参考答案：
1．15个
【详解】3×8=24（个）
264-24=240（个）
徒弟每小时做：240÷（4+8+8）=12（个）
师傅每小时做：12+3=15（个）．
答：师傅每小时做15个．
2．2253个
【详解】由题意知在整个工作期间干满21天，而乙每7天休息一天，那么21天中乙休息了2天，干了21-2=19（天）．
乙每天干：53+7=60（个）
零件总数：53×21+60×19＝2253（个）
答：这批零件共有2253个．
3．50个；40个
【分析】把这批零件总数看作单位“1”，根据题意可知，甲、乙工作效率之和是，甲的工作效率是，据此求出乙的工作效率；再求出甲、乙的工作效率之差，再根据分数除法的意义，用2除以甲、乙的工作效率之差，求出这批零件的总数，用零件总数先分别乘甲、乙的工作效率，再乘5小时即可。
【详解】1÷5＝
1÷9＝
－＝
2÷（－）
＝2÷
＝90（个）
90××5＝50（个）
90××5＝40（个）
答：甲加工50个，乙加工40个。
【点睛】解答本题的关键是：求出甲与乙的工作效率的差。
4．100个
【详解】师傅与徒弟的工作效率之比是，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件个。
5．180个
【详解】甲和乙的工作时间比为4：5，所以工作效率比是5：4,工作量的比也5：4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份,那么甲比乙多1份，就是20个．因此9份就是180个,所以这批零件共180个.
6．28天
【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，据此求出乙的工作效率，然后计算工作时间。
【详解】甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的；
乙单独做每天能完成总量的
（天）
答：乙单独做28天能完成。
【点睛】本题考查的是基础的工程问题，注意多人合作时，工作效率等于每个人的工作效率之和。
7．26天
8．3天
9．8人
【分析】本题实际上隐含着每个人的工作效率相同这个条件．要求出有多少人，关键是求出1个人的工作效率，也就是1个人1天的工作量，还要求出全组人1天的工作量．
【详解】设大片草地的面积为单位“1”，则小片草地的面积为．根据题中条件，可以知道，一半组员半天割，则一天割了，全组人员1天割了．由此还知道所剩的一小块面积应是：，也就是1人1天的工作量为．所以全组人数是．
10．徒弟：80个 师傅：100个
【详解】师傅做：5+10=15（分）
师傅15分比徒弟15分多做：20×15=300（个）
2300-300=2000（个）零件是徒弟：15+10=25（分）做的
徒弟每分钟做：2000÷25=80（个）
师傅每分钟做：80+20=100（个）
11．（1）小时；
（2）小时；
（3）能，将丁放在第一位。
【分析】（1）将这项任务看成单位“1”，也就是工作总量是“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲的工效是，乙的工效是，丙的工效是，丁的工效是。则工作时间＝工作总量÷工效之和。求出四个人的工效和即可。
（2）将甲乙丙丁合在一起，组成一次，每次能完成这批任务的，当完成4次时，完成了，还有未完成。这时候再给甲完成1小时，就是完成，还剩未完成。继续给乙做需要小时完成。综上所述，完成这项工作，按照甲乙丙丁的顺序轮流打字，首先是4组，每组4个小时，再给甲完成1小时，再给乙完成小时就可完成。
（3）半小时就是小时，无论怎么改变次序，都是将这4个人合在一起，都是需要4组完成这项工作的，还有未完成。要想提前，则尽量让工效快的人先做，则四个人比较，丁的工效最快。则只需要给再给丁用小时完成，总共用的时间是小时，和小时相减的值大于小时。只需要将丁放在第一位即可。
【详解】（1）
（小时）
答：需要小时完成。
（2）
（小时）
（小时）
答：需要小时完成。
（3）半小时＝小时
（小时）
（小时）
（小时）
答：可以按照丁、甲、乙、丙的次序（只需要将丁排在第一个即可）可以使完成这项打字任务的时间至少提前半小时。
12．260米
【分析】由于甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；同理乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，用单位“1”减去甲乙丙的占比和，即是丁队的占比，然后乘总长度1200米即可解答。
【详解】所以丁筑路为：1200×（1－－－）
＝1200×（1－－－）
＝1200×
＝260（米）
答：丁队筑路260米。
【点睛】此题考查学生对比例分配应用题的掌握，需要注意各队占比与总占比之间的关系。
13．李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元
【分析】把这项工程看作单位“1”，已知刘、王合修，6天修好围墙的，则剩余这项工程的（1－），王、李合修，2天修好余下的，根据分数乘法的意义，得王、李2天修好这项工程的（1－）×，也就是；剩下的三人又合修5天才完成，三人5天完成了这项工程的（1－－），也就是，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷6即可求出刘、王的工作效率和，用÷2即可求出王、李的工作效率和，用÷5即可求出三人的工作效率和；然后用三人的工作效率和减去刘、王的工作效率和，即可求出李的工作效率；用王、李的工作效率和减去李的工作效率，即可求出王的工作效率；用刘、王的工作效率和减去王的工作效率，即可求出刘的工作效率；又已知刘军工作了（6＋5）天，王强工作了（6＋2＋5）天，李明工作了（2＋5）天，根据工作总量＝工作时间×工作效率，代入数据分别求出三人各自的工作量占总工作量的几分之几；然后把总工资看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用总工资分别乘每个人工作量对应的分率，即可求出三人各自应得的工资。
【详解】（1－）×
＝×
＝
1－－＝
刘、王的工作效率和：
÷6
＝×
＝
王、李的工作效率和：
÷2
＝×
＝
三人的工作效率和：
÷5
＝×
＝
李的工作效率：－＝
王的工作效率：－＝
刘的工作效率：－＝
李的工作量：
×（2＋5）
＝×7
＝
王的工作量：
×（6＋2＋5）
＝×13
＝
刘的工作量：
×（6＋5）
＝×11
＝
李分得的工资：1800×＝560（元）
王分得的工资：1800×＝910（元）
刘分得的工资：1800×＝330（元）
答：李明分得560元；刘军分得330元；王强分得910元。
【点睛】解答本题的关键是求出每个人各自的工作量占总工作量的分率，然后根据分数乘法进行按劳分配。
14．30台
【详解】（240-48）÷24=8（小时）
240÷8=30（台）
答：甲工厂每小时装30台。
15．甲队单独做需要天；乙队单独做需要天
【分析】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，那么合作的工作效率是，合作完成需要12天，而实际情况是甲比12天少了8天，乙比12天多了4天，也就是甲队做8天相当于乙队做4天，根据这个关系可以求出甲和乙各自的工作效率。
【详解】甲、乙合作完成工程的需要：（天）。甲队先做天，比合作少了（天）；乙队后做天，比合作多了（天），所以甲队做天相当于乙队做天，甲、乙两队工作效率的比是。甲队单独工作需要：（天）；乙队单独工作需要：（天）。
答：甲队单独做需要90天；乙队单独做需要45天。
【点睛】工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。
16．8天
【详解】工程问题第一步确定三个基本量．题目中只有合作效率，我们可以运用图标法．
甲 乙 丙 工作效率
√ √
√ √
√ √
2 2 2
所以甲、乙、丙的效率和=÷2=，所以三人合作需要工作1÷=8（天）
17．5天
【详解】解法一：假设甲没请假，则甲、乙工作时间相同，共完成这批零件的（1+）．
（1+）÷（+）=5（天）
解法二：甲休息一天相当于让乙先做一天，然后两人合做．
（1－×1）÷（+）+1=5（天）
答：完成这批零件共用5天．
18．27立方米
【详解】解：设水池容量为1，甲、乙两管共同注水3分钟，注入水量是=.　　
甲每分钟注入水量是（1-）÷10=,
乙每分钟注入水量是-=,
因此水池容积是0.6÷(-)=27(立方米)
答：水池容积是27立方米.
19．18
【详解】如果26天都由乙来做，他能完成的工作量为
可是由于有甲参与其中，所以实际上26天完成了整个工作
甲做一天比乙做一天多做
所以甲做的天数为天．
20．12天
【分析】开始时甲队拿到8400—5040＝3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360∶5040＝2∶3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为（3360＋960）∶（5040—960）＝18∶17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务。有（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17，求出天数，然后求出共有的工程量，进而求出原计划需要的天数。
【详解】原来甲乙的工作效率比为：
（8400－5040）∶5040
＝3360∶5040
＝2∶3
甲提高工效后，甲乙的工作效率比为：
（3360＋960）∶（5040－960）
＝4320∶4080
＝18∶17
设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需a天完成任务，得：（2×4＋4a）∶（3×4＋3a）＝18∶17，
解得：a＝
于是共有工程量为：
（2×4＋4×）∶（3×4＋3×）
＝（8＋）＋（12＋）
＝20＋40
＝60
所以原计划修好这条路的天数为：
60÷（2＋3）
＝60÷5
＝12（天）
答：两队原计划完成修路任务要12天。
【点睛】根据甲、乙前后工效比求出共有工程量是解决本题的关键。
21．吨
【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。
【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入：
（吨）
甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是：
那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水；
则甲管注入18吨水时，丙管注入水：
（吨）
（吨）
答：该水箱最多可容纳54吨水。
【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。
22．12天
【详解】很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.
8+4=12（天）.
答：这两项工作都完成最少需要12天.
23．甲管9点被关闭
【详解】中间甲管关闭，但是乙、丙照常，因此可以将乙、丙合并．
甲、乙、丙功效为
上午8点到下午2点共6个小时
甲工作的时间：小时
所以甲管9点被关闭．
24．40
【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。
【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程；
解得：
如果调走2人，需要
（天）
所以调走2人后，完成这项工程需要40天。
【点睛】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。
25．24天
【分析】根据三种情况，可以求出甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 ，对于工作效率有（甲，乙）＋（丙，丁）－（乙，丙）＝（甲，丁），求出甲、丁两人的工作效率后，即可求出工作时间。
【详解】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是，，；
＋－＝
甲、丁合作的工作效率为；
（天）
答：甲、丁两人合作24天可以完成这件工程。
【点睛】本题考查的是工程问题，工程问题始终是围绕着工作效率、工作时间、工作总量的关系展开的。
26．6天
【分析】我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为5个小队效率和的2倍再加上一、三两支小队的效率和。因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是5个小队效率的3倍。再由此效果得出天数即可。
【详解】由分析可知，我们有以下公式：
（一＋二＋三＋四＋五）×3＝（一＋二＋三）＋（一＋三＋五）＋（二＋四＋五）×2＋（一＋三＋四）。
所以，5支小队效率和为：
＝
＝
1÷＝6（天）
答：这五个小队一起合作需要5天才能完成这项工程。
【点睛】解决本题的关键是求出5支小队效率和。
27．117个
【分析】把徒弟加工的数量看作1份，师傅加工的就是3份，他们一共加工的就是1＋3＝4份，4份一共156个，计算出每1份是39个，师傅是3份，再乘3即可。
【详解】156÷（3＋1）
＝156÷4
＝39（个）
156－39＝117（个）
答：师傅加工了117个。
28．12天
【分析】在本题中，工作效率和工作时间是两个变量，而不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率上看，有原来的工作效率1600÷20=80（台／天），又有提高后的效率80×（1+25%）=100（台／天）．从时间上看，有原来计划的天数，又有效率提高后还需要的天数．根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：提高后的效率×所需要天数=剩下的台数
【详解】解法一：设完成计划还需要x天，则
1600÷20×（1+25%）×x=1600-1600÷20×5
80×1.25×x=1600-80×5
100×x=1600-400
x=12
解法二：提高后的效率是原来效率的倍，把原来的效率看作“1”，则提高后效率与原来的效率之比是．因为工作效率和工作时间成反比例的关系，所以实际时间与计划时间之比是4∶5，如果设实际还需要量x天，而原来计划的时间是20-5=15（天），因此
4∶5=x∶15
5x=60
x=12
答：完成计划还需12天．
29．9小时
【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y．
得
1÷=9（小时）
答：乙单独做需要9小时．
30．2.25小时
【分析】芳芳和慧慧工作效率之比为4∶5，可以设芳芳的工作效率是4，慧慧的工作效率5。两人合作的工作效率之和是9，则工作总量＝工作时间×工作效率和则完成的任务总量是90， 芳芳和慧慧要制作相同数量的卡片即芳芳和慧慧的工作总量是一样的，则平均每个人的工作总量是45。再根据工作时间＝工作总量÷工作效率分别求出芳芳和慧慧的工作时间，再相减即可。
【详解】设芳芳的工作效率是4，慧慧的工作效率5。
（4＋5）×10÷2
＝9×10÷2
＝90÷2
＝45
45÷4－45÷5
＝11.25－9
＝2.25（小时）
答： 芳芳要比慧慧多花2.25小时。
31．4天
【详解】1 ÷（++）=5（天）
6-5=1（天）
（+）÷=1（天）
5-1=4（天）
答：甲做了4天．
32．30天
【分析】把已知条件中“甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天”转化为“甲、乙两队合做了6天，乙队又做了15天”，问题即可解决．
【详解】甲、乙两队合做6天后，还项工程还剩下：1－×6=
乙队每天完成这项工程的：÷（21－6）=÷15=
乙队单独完成这项工程需要：1÷=30（天）
答：若由乙队单独完成，需要30天．
33．6根
【详解】增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-=，是的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量是前一段时间注水量的4倍．设水池容量是1，预定时间的（前一段时间）的注水量是1-=
10根水管同时打开，能按预定时间注满水池，每根水管的注水量是，预定时间的，每根水管注水量是=，
要注满水池的，需要水管÷=6（根）．　　
答：开始时打开6根水管.
34．400吨
【分析】把一堆黄沙的重量看作单位“1”，用大卡车装要50辆，如果用小卡车装要80辆．一辆大卡车装黄沙的，小卡车装货物的，3对应的分率是（-），用3除以（-）就是黄沙的总吨数．
【详解】解：3÷（-）
=3×
=400（吨）
答：这堆黄沙有400吨．
35．乙队
【分析】根据题目给出的三种情况，可以求出甲、乙、丙三个队各自的工作效率，以及三个队各自的费用，然后进行比较即可。
【详解】甲、乙一天完成工程的；
乙、丙一天完成工程的；
甲、丙一天完成工程的；
所以，甲的工效为：
乙的工效为；丙的工效为
甲、乙一天需工程款（元）；
乙、丙一天需工程款（元）；
甲、丙一天需工程款（元）；
所以，甲一天的工程款为：
（元）
乙一天的工程款为（元），丙一天的工程款为（元）；
单独完成整个工程，甲队需工程款（元）；
乙队需工程款（元）；
丙队需工程款（元）；
答：应该选择乙队。
【点睛】本题考查的是工程问题，解题的关键是如何通过题目给出的三种情况，得到三个队各自的工作效率及所需费用。
36．15天
【详解】1÷（÷2-）
=1÷（-）
=1÷
=15（天）
答：如果全部由徒弟加工需15天完成．
37．7天.
【详解】试题分析：甲队休息了2天，说明甲干了14天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数．
解：[×（16﹣2）+×16﹣1]÷
=[+﹣1]×30
=×30
=7（天）
答；乙队休息了7天．
点评：本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力．
38．6天
【详解】由题可知，甲2天的工作量相当于乙3天的 工作量，所以工程期限为：2×（3÷（3－2））=2×3=6天．
39．480吨
【详解】12×8÷3×（12+3）
=12×8÷3×15
=480（吨）
答：这批钢材有480吨．
40．54分钟
【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，
其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
41．（1）同时开，需18分钟注满
（2）单开3号阀门45分钟注满
【详解】4个阀门，每次开3个，可以用图表法解题．
列表：
1 2 3 4 工作效率
√ √ √
√ √ √
√ √ √
√ √ √
3 3 3 3
+++=
1，2，3，4号阀门的工效和为÷3=．
答：同时开，需18分钟注满．
（2）单开“3”，找表中“3”对应的竖列中的空．
“3”号阀门的工效=，1÷=45（分钟）
所以单开3号阀门45分钟注满．
42．21小时
【详解】设甲、乙的工作效率为x与y
解得，，
（小时）
43．33小时
【详解】乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时，甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答：甲单独完成这件工作需要33小时.
44．小时
【分析】先求出甲、乙的工作效率，按照每次交替工作的时间，先大概估算出完成工作所需要的时间，再求出具体的时间。
【详解】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，，
此时剩下的工作量为：
还需甲做（小时），
所以共需（小时）
答：完成任务共需小时。
【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，需要注意的是甲、乙每次工作的时间是不一样的。
45．20天
【详解】略
46．0.3吨
【详解】1.8×30=54（吨）
30+6=36（天）
54÷36=1.5（吨）
1.8-1.5=0.3（吨）
答：技术革新后每天少烧0.3吨煤.
47．8.5天
【分析】如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做8.5天。
【详解】17÷2＝8.5（天）
答：甲单独做这项工作要8.5天完成。
【点睛】此题关键是理清甲先时，完成的天数一定是奇数，通过分析可得乙做一天等于甲做半天。
48．100个
【分析】此题包含了四个未知数，它们之间的关系是经过加减乘除的运算后，四人做的零件个数相等，由此可以设出零件数相等时是x个，从而可以得出他们实际所做的零件个数：甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据等量关系四人所做的零件个数之和=370，可以列出方程解决问题．
【详解】解：设四人做的零件数相等时为x个，那么原来甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据题意列方程：
（x-10）+（x+20）+（x÷2）+2x=370
解得x=80
乙为：80+20=100（个）
答：乙实际做了100个零件．
49．甲：480米 乙：220米
【详解】乙：(1020-100)-700=220（米）
甲：700-220=480（米）
答：甲车间原计划每天织布480米，乙车间原计划每天织布220米．
50．天
【分析】丙单独做的工作效率是，乙、丙合作的工作效率是，甲、乙合作的工作效率是 ；先求出乙的工作效率，再计算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再计算时间。
【详解】我们可以有：
甲乙，乙丙，丙
不难求得，乙的工作效率为，因此甲的工作效率为，从而甲丙合作的工作效率为，
（天）
答：甲、丙合作12天能完成。
【点睛】本题考查的是工程问题，合作的工作效率等于每个人的工作效率之和。
51．天
【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设 A工程的工作总量为单位“1”，那么B工程的工作量就是“”，先求出总共的工作时间，再确定丙帮乙做了几天。
【详解】三队合作完成两项工程所用的天数为：
（天）
天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为；
剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了
（天）
答：丙队与乙队合作了天。
【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是先整体考虑问题，得到工作时间是多少。
52．
【详解】见下表：说明在第五天没有全天干活，那么第四天干完以后剩下：300－231.25＝68.75米，
那么共用时间为4+68.75÷210.625＝天．
天数 1 2 3 4 5
甲 10 20 40 80 160
乙 10 15 22.5 33.75 50.625
已挖 20 35 62.5 113.75 210.625
共挖 20 55 117.5 231.25 441.375
53．天
【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，求出甲、乙的工作效率之和，再计算合作的工作时间。
【详解】甲每天完成总量的，乙每天完成总量的；
两人合作每天能完成总量的
（天）
答：甲、乙合作需要12天。
【点睛】本题考查的是工程问题，当多人合作时，需要用合作的工作效率进行计算。
54．天
【分析】甲队做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的工作效率的关系，然后计算乙单独完成这项工作需要的时间。
【详解】20－8＝12（天）
甲12天工作量等于乙15天工作量；
乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天）
答：乙队单独完成这项工作需25天。
【点睛】本题考查的是工程问题，求出甲和乙的工作效率的关系是求解问题的关键。
55．分钟
【分析】1、2、3号阀门的效率之和是；2、3、4号阀门的效率之和是；1、3、4号阀门的效率之和是 ；1、2、4号阀门的效率之和是；据此可以求出1、2、3、4号阀门的效率之和，然后再计算时间。
【详解】根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：
1号 2号 3号 4号 工作效率
○ ○ ○ ×
× ○ ○ ○
○ × ○ ○
○ ○ × ○
从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：
那么同时打开这4个阀门，需要（分钟）
答：18分钟可以完成。
【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的和是四个量之和的3倍。
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