资源简介

小升初典型奥数 逆推还原问题
1．小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小到原来的，再加1岁后才10岁．小刚的奶奶今年多少岁？
2．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
3．有一个数，把它乘4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4．问：这个数是几？
4．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝。他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的。此时瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
5．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
6．有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果最少有几个？
7．少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子？
8．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。
9．某小贩出售一筐苹果，第一天卖掉了全部的一半多2千克，第二天卖掉了余下的一半少2千克，这时筐内还剩下20千克苹果．问：这筐苹果原有多少千克？
10．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？
11．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？
12．有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？
13．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘，再加上4后除以，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？
14．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？
15．小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘7，加上6，除以5，正好等于4。请你算一算，我今年几岁？”
16．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？
17．有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？
18．学校运来48棵树苗，冬冬、莹莹和丽丽争着去栽。她们三人各自分得树苗若干棵。丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又从莹莹手中抢了7棵。结果，丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和。问最初冬冬分得多少棵树苗？
19．一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，原来桶里有油多少千克？
20．篮子里有一些苹果，妈妈拿他的一半又一个给了爷爷，再拿剩余的一半又二个给了爸爸，又取最后所余的一半又三个给了女儿，篮子里的苹果正好拿完．问篮子里原来有苹果多少个？
21． 某学生将乘一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少
22．有一筐苹果，第一次吃去它的一半少1个，第二次吃去余下的一半多1个，第三次又吃去余下的一半，最后还剩3个．原来这一筐苹果有多少个？
23．桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个。这时桃园里还只有100个桃了。那么园中原有多少桃？
24．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？
25．池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？
26．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？
27．一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？
28．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？
29．某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台．这个商场原来有洗衣机多少台？
30．某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？
31．A、B、C三个桶内都有水，如果把A桶内的水倒入B桶，再把B桶内的水倒入C桶，最后再把C桶内的水倒入A桶，这时各桶内的水都是12升，求每个桶内原有水多少升？
32．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？
33．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？
34．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？
35．同学们玩扔沙袋游戏，甲乙两班共有140袋沙袋，如果甲班先给乙班5只，乙班又给甲班8只，这时两班沙袋相等，两班原来各有沙袋多少只？
36．小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？
37．袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球．问：袋中原有多少个球？
38．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖
39．思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？
40．学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？
41．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变）
42．甲、乙、丙3人各有糖豆若干粒。甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加一倍。现在3人的糖豆一样多。如果开始时甲有5l粒糖豆，那么最初乙有糖豆多少粒？
43．小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？
44．甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书．问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
45．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元．这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？
46．A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？
47．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
48．一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又取第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？
49．便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？
50．两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72．问另一个加数原来是多少
51．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？
52．解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？
53．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？
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参考答案：
1．88
【分析】我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法．
从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小到原来的之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁．
【详解】10－1＝9岁
9×9＝81岁
81＋7＝88岁
答：小刚的奶奶今年88岁．
2．28个；29个；33个
【分析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（90÷3）个，即30个；所以小巧原来有（30＋6－8）个，小亚原来有（30＋5－6）个，小红原来有（30＋8－5）个。
【详解】90÷3＝30（个）
30＋6－8＝28（个）
30＋5－6＝29（个）
30＋8－5＝33（个）
答：小巧、小亚、小红原来分别有28、29、33个玻璃球。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
3．22
【详解】这个问题是由
（□×4—46）÷3—10＝4，
求出□．我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22．
［（4＋10）×3＋46］÷4＝22．
答：这个数是22．
4．3升
【分析】第五口喝了剩下的，那么还剩下，它对应的数量是0.5升，由此用除法求出第五口之前矿泉水的量，同理可以求出第四口之前、第三口之前……一直到原来的升数。据此列式解答即可。
【详解】
＝3（升）
答：最开始瓶子里有3升矿泉水。
【点睛】解决本题运用倒推法，逆着喝水的顺序，从后向前推算，逐步找出最初的状态。
5．甲5乙13．
【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．
解：
周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，
那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．
点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．
6．23个
【分析】依据题意，先将最初的筐中加入4个苹果，从而一一推导出接下来的三次三等分下的苹果数量情况，从而推导出最初的筐中有多少苹果。
【详解】在原来的一筐苹果中补入4个苹果，则加上原来剩下的两个苹果，那么每堆可以再分苹果：6÷3＝2（个），则其中的两份可以多分苹果：2×2＝4（个）；
那么按原来的第二次三等分就会多出苹果：4＋2＝6（个），则其中二份会多出苹果：6÷3×2＝4（个）；
那么第三次三等分时，第二次分后的2堆加上剩下的2个多出苹果：4＋2＝6（个），那么每堆又正好多分2个，此时每堆最少3个苹果。
于是，加上4个苹果后，那筐苹果至少苹果：3×3×3＝27（个），那么未补入之前，那筐苹果至少有苹果：27－4＝23（个）。
答：这筐苹果最少有23个。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
7．250个
【分析】根据题意，减去25，还剩25，那么没减去25之前是：25＋25＝50；把这个数除以5等于50，在没除以5之前是：50×5＝250；解决问题。
【详解】（25＋25）×5
＝50×5
＝250
答：共采集了250个树种子
【点睛】从最后结果出发，运用加减、乘除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，进而得出初始结果，解决问题。
8．甲:50 乙:70 丙:30 丁:120
【详解】解：设恰好相等的数量为x，
（x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270
解得x＝60
可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。
9．76千克
【详解】〔（20-2）×2+2〕×2=38×2=76（千克）　答：这筐苹果原有76千克.
解决这类一半多几，一半少几的还原法应用题，我们往往借助线段图来帮助我们解题．根据题意此题可以画图,图略
10．1160元
【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数.
【详解】250＋30=280（元），
280＋280＋20=580（元），
580＋580=1160（元）
答：爸爸原来有存款1160元.
11．米
【分析】根据题意，画图倒推分析如下：
即：（米）；
即：（米）；
即：（米）；
【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2
＝[14×2＋2]×2
＝30×2
＝60（米）
答：这根绳子全长60米。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
12．3角
【分析】画线段示意图倒推分析如下：
；
从上面的线段图可以看出：
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是：2×2＝4（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是：5×2＝10（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是：11×2＝22（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2＝22（个）；再求每个苹果平均值多少钱：66÷22＝3（角），每个苹果平均值3角钱。
【详解】{[（1＋1）×2＋1]×2＋1}×2
＝11×2
＝22（个）
66÷22＝3（角）
答：每个苹果平均值3角钱。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
13．79岁
【分析】从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以，那就是100× = 20（岁）；不加上4，就是20 – 4 = 16（岁）；不乘，就是16÷ = 64（岁）；最后再加上15就是奶奶今年的年龄．
【详解】（100×－4）÷+ 15 = 79（岁）
答：小明奶奶今年79岁．
14．61本；55本；48本；36本
【分析】用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。
【详解】（1）张原有读物的本数：50＋13－2＝61（本）
（2）王原有读物的本数：50＋18－13＝55（本）
（3）李原有读物的本数：50＋16－18＝48（本）
（4）赵原有读物的本数：50＋2－16＝36（本）
答：张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。
【点睛】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本。后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是50本。
15．10岁
【分析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多少？没乘7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没除以5，此数是： ；如果没加上6，此数是：；如果没乘7，此数是：；如果没减去8，此数是：；据此解题即可。
【详解】（4×5－6）÷7＋8
＝14÷7＋8
＝10（岁）
答：小康今年10岁。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
16．100页
【分析】（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）．
【详解】[（10+10×2+10）]×2
=[40+10]×2
=50×2
=100（页）
答：这本书有100页．
17．枚
【分析】根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。据此采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理。
【详解】列表倒推如下：
一份 一份 一份 剩余
最后棋子数（枚） 1 1 1 1
前次棋子数（枚） 4 4 4 1
再前次棋子数（枚） 13 13 13 1
原来至少有棋子数（枚） 40
[（1×3＋1）×3＋1]×3＋1
＝[4×3＋1]×3＋1
＝13×3＋1
＝39＋1
＝40（枚）
答：原来至少有40枚棋子。
【点睛】本题考查了还原问题，本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢？解答此题的关键是，根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。
18．26棵
【分析】丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和，因此可以把丽丽和莹莹的树苗数目都看作1份，则冬冬的树苗数目就是2份，由此可以先求出此时冬冬的树苗数。再根据“丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又从莹莹手中抢了7棵”，可以用倒推的方法，用此时冬冬的树苗数减去7，再加上9，即可求出冬冬最初拿的树苗棵数。
【详解】冬冬最后分得树苗：48÷（2＋1＋1）×2
＝48÷4×2
＝12×2
＝24（棵）
冬冬最初分得树苗：24－7＋9
＝17＋9
＝26（棵）
答：最初冬冬分得26棵树苗。
19．52千克
【分析】由题意，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，则油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次没倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次没倒前油重（8-1.5）×2×2×2．
【详解】（8-1.5）×2×2×2
=6.5×2×2×2
=52（千克）
答：原来桶里有油52千克．
20．34个
【分析】最后的一半又3个给女儿，说明最后的一半就是3个，女儿得到6个苹果；由“再拿剩余的一半又二个给了爸爸”，则给爷爷后剩余：（3×2+2）×2=16（个）；那么总数为（16+1）×2=34（个）．
【详解】[（3×2+2）×2+1]×2
=[8×2+1]×2
=17×2
=34（个）
答：篮中原有苹果34个．
21．
【详解】由题意得：，即：，所以有：．解得，
所以
22．26个
【详解】略
23．807个
【分析】根据题意，从最后只有100个向前倒推如下：第三群猴没吃，相应有桃：（100＋0.5）×2＝201（个）,第二群猴没吃，相应有桃：（201＋0.5）×2＝403（个）,第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）：（403＋0.5）×2＝807（个）。所以园中原有807的桃子。
【详解】（100＋0.5）×2＝201（个）
（201＋0.5）×2＝403（个）
（403＋0.5）×2＝807（个）
答：园中原有807个桃子。
【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。
24．12%
【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为．
25．9天后．
【分析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，得出结果．
【详解】每天增长1倍，就是前一天的2倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么它的前一天正好是一半，即9后池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面．
10﹣1=9（天），
答：9天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面．
26．一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
【详解】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答．
解：最后三棵树上各有鸟：
48÷3=16（只）；
第三棵树上原有：
（16+10）÷2=13（只）；
第一棵树上原有：
（16﹣10）×2=12（只）；
第二棵树上原有：
48﹣12﹣13=23（只）；
答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．
27．500毫升
【分析】由“第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升”，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么这瓶果汁原有（300-50）×2．
【详解】[(125+25)×2－50]×2
=[300－50]×2
=250×2
=500（毫升）
答：这瓶果汁原有500毫升．
28．38岁
【分析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38 8＝30；没除以2时应是：30×2＝60；没减去16时应是：60＋16＝76；没乘2时应是：76÷2＝38。
【详解】[（38 8）×2＋16]÷2
＝[30×2＋16]÷2
＝76÷2
＝38（岁）
答：牛老师今年38岁。
【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。
29．40
【分析】我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考．
结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台．
【详解】10×2＝20台
原有洗衣机的台数：20×2＝40台．
答：这个商场原来有洗衣机40台．
30．11人；38人；33人；32人；36人。
【分析】最后每个车间都是30人，逆着调入的顺序，列表倒推，逐步求出原来的状态。
【详解】采用倒推法，列表如下
单位：人 A车间 B车间 C车间 D车间 E车间
调整结束后 30 30 30 30 30
E往D调前 30 30 30 24 36
D往C调前 30 30 22 32 36
C往B调前 30 19 33 32 36
B往A调前 11 38 33 32 36
所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人。
答：原来A车间有11人，B车间有38人，C车间有33人，D车间有32人，E车间有36人。
【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。
31．A：15升 B：11升 C：10升
【分析】该题直接计算比较困难，可以采用逆向思维，利用倒推法来解题，最后桶的水都是12升，往回推，假设C不倒给A，可以算出这时C和A桶内水的体积，然后再假设B不倒给C，可以算出这时B和C内水的体积，再假设A不倒给B，可以算出这时A和B水的体积．
【详解】解:C不倒给A，这时C有水：12÷（1-）=14（升），A有水：12-14×=10（升）
B不倒给C，这时B有水：12÷（1-）=16（升），C有水：14-16×=10（升）
A不倒给B，这时A有水：10÷（1-）=15（升），B有水：16-15×=11（升）
【点睛】“倒推法“可以使解题过程简化，有时与列表法结合更加一目了然．利用倒推法时，注意分数的单位“1”是原来的水，所以这里应该用分数除法而不是分数乘法，对应的分率也应该是（1-）而不是（1+）．
32．108元
【分析】可以用逆推还原的方法。程才到书店买了三本书，第一本是《数学大世界》，第二本《数学探秘》，第三本是《趣味数学》。按照题目的意思画出线段图。
从线段图中可以得出买完《数学探秘》剩的钱是30元。
从线段图中可以得出买完《数学大世界》剩的钱是62元。
程才带了108元。
【详解】（13＋2）×2
＝15×2
＝30（元）
（30＋1）×2
＝31×2
＝62（元）
（62－8）×2
＝54×2
＝108（元）
答：程才一共带了108元。
【点睛】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。
33．600千克
【分析】
从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出后余下的（1－）．则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240÷（1－）=400（千克）
同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1－），则这批大白菜的千克数为：400÷（1－）=600（千克）
【详解】240÷（1－）=400（千克）
400÷（1－）=600（千克）
答：这批大白菜有600千克．
34．7两酒．
【详解】试题分析：由题意，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，遇到3家酒店，最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒；则遇到第三家酒店时是8÷2=4两酒，遇到第二家酒店时是（4+8）÷2=6两酒，遇到第一家酒店时，原来酒葫芦里有酒 （6+8）÷2=7两；据此解答．
解：最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒，
8÷2=4（两），
（4+8）÷2=6（两），
（6+8）÷2=7（两），
答：原来酒葫芦里有7两酒．
点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．
35．甲班原有67袋，乙班原有73袋
【分析】通过题中“甲乙两班共有140只沙袋”和“这时两班沙袋相等”这两个条件，我们可以知道甲、乙两班各有140÷2=70（袋），然后可以列表推算：
甲 乙
这时 70 70
第2次 70－8 70＋8
第3次 70－8＋5 70＋8－5
【详解】由分析可得，
最后甲、乙两班各有：140÷2=70（袋）
甲班原有：70－8＋5=67（袋）
乙班原有：70＋8－5=73（袋）
答：甲班原有67袋，乙班原有73袋沙袋．
36．24元
【分析】根据题意，第二次剩下的一半是：4＋1＝5（元），第二次剩下：5×2＝10（元），第一次剩下：10×2＝20（元），原来有：20＋4＝24（元）。
【详解】画线段示意图如下：
（4＋1）×2×2＋4＝24（元）
答：小丽原有24元。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
37．34
【详解】利用逆推法从第5次操作后向前逆推．第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：
所以原来袋中有34个球．
38．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个）
出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个）
第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个）
这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个）
答：盒内原有珠子25个．
【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决．
39．32米
【分析】由“第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米；可知第二次剪钱是（8×2）米，那么第一次剪前是（8×2×2）米。
画图分析如下：
即：（米）；
即：（米）。
【详解】8×2×2＝32（米）
答：这段五彩布原来长米。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
40．22小时
【分析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到（20÷2）厘米时，就是第23个小时，以此倒推。
【详解】列表倒推法解题如下：
出生时数 小虫身长（厘米）
24 20
23 10
22 5
答：小虫长到5厘米时需要22小时。
【点睛】本题主要考查了还原问题的解题方法，用列表倒推法解题更直观、易懂。
41．260点
【分析】翻了一番即扩大到原来的2倍的意思，可以设最后的数量为未知数，从后往前进行倒推，表示出找出三人各自的数量，根据甲输了100点列方程求解。
【详解】解：设三局后每人手中都是点；
根据题意列表
甲 乙 丙 点数总和
第三局后 3
第二局后 2 3
第一局后 3
开始时 3
因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即
－＝100
＝160
于是160×＝260（点）
答：开始时，甲手上有260点。
【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，用列表法进行倒推是求解此类问题最常用的方法。
42．85粒
【分析】分析题意，先利用乘法求出丙从甲取之前甲的糖豆数量。丙从甲取一些糖豆，使自己的糖豆增加1倍，并且此时三人的糖豆一样多，那么可以用甲的糖豆数量除以3乘2求出此时每个人的糖豆数量。从而利用除法求出乙未从丙处取之前的糖豆数量，再加上51粒求出乙最初有的糖豆数量。
【详解】丙从甲取之前，甲有：51×2＝102（粒）
102÷（1＋1＋1）×（1＋1）
＝102÷3×2
＝68（粒）
乙未从丙处取之前有68÷2＝34（粒）
开始时，乙有糖豆34＋51＝85（粒）
答：乙有糖豆85粒。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
43．147
【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了：9 6＝3；②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10×（9 6）＝30；这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数。”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174＋（9 6） 10×（9 6）＝147。
【详解】174＋（9 6） 10×（9 6）
＝174＋3 30
＝147
答：正确的结果应该是147。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
44．33,32,25
【详解】尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）．根据题目条件，原来各组的图书为
甲组有30＋3＝33（本），
乙组有30—3＋5＝32（本），
丙组有30—5＝25（本）．
45．5500元
【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”．
【详解】[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
答：他原有存款5500元．
46．26千克；14千克；8千克
【分析】第三次后都为16千克，第三次前是C向A、B倒并使A、B增加到第三次前的2倍，所以A、B两桶第三次前是16千克的一半，是8千克，即A＝B＝8千克，所以第三次前C是（16×3－（16÷2＋16÷2）千克，即32千克；第二次是从B桶把油倒入C、A两桶，所以第二次倒前就是把C、A减半，再算出B；第一次把A桶油倒入B、C两桶，所以第一次倒前就是把B、C减半，再算出A。
【详解】根据题意，列表倒推如下：
A B C
结果 16 16 16
第三次倒之前 8 8 32
第二次倒之前 4 28 16
第一次倒之前 26 14 8
（16×3－16÷2－16÷2）÷2÷2
＝（48－8－8）÷2÷2
＝32÷2÷2
＝8（千克）
[16÷2＋16÷2÷2＋（16×3－16÷2－16÷2）÷2]÷2
＝[8＋4＋（48－8－8）÷2]÷2
＝[8＋4＋16]÷2
＝28÷2
＝14（千克）
16÷2÷2＋14＋8
＝4＋14＋8
＝26（千克）
答：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。
【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。
47．85枚
【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。
【详解】第三次分之前有：
1×4＋1
＝4＋1
＝5（枚），
第二次分之前有：
5×4＋1
＝20＋1
＝21（枚），
第一次分之前有：
21×4＋1
＝84＋1
＝85（枚）
答：原来至少有85枚棋子。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
48．30个
【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果．
【详解】[(3×2+1)×2+1]×2
=[7×2+1]×2
=15×2
=30（个）
答：篮中原有苹果30个．
49．88个
【分析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）．
【详解】{[(11－1)×2+1]×2+2}×2
=[（10×2+1）×2+2]×2
=（21×2+2）×2
=44×2
=88（个）
答：水果店里原来一共有88个芒果．
50．48
【详解】另外一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1后，其与73的和只能是172，不然和为272、372、472、…，则原来的另一个加数的位数超过2位．
所以，原来的另一个加数为172－73－5×10－1＝48．
51．26
【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙
堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系．
52．158人
【分析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有（30－8）人，即22人。由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有（22×2）人，44人；由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有（44＋35）人，即79人；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有（79×2）人。据此列式解答即可。
【详解】[（30－8）×2＋35]×2
＝[44＋35]×2
＝79×2
＝158（人）
答：第一队原有158人。
【点睛】还原问题的基本方法：倒推法或列表法，解题时一般根据已知条件从结果一步一步向前倒推。
53．2400千克
【分析】由原有水果880千克出发逐步倒推：运进水果：800÷2＝400（千克），现有水果：800＋400＝1200（千克），原有蔬菜：1200×2＝2400（千克）。
【详解】（800÷2＋800）×2
＝1200×2
＝2400（千克）
答：原有的蔬菜是2400千克。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
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