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综合微评(三)
时间：120分钟　满分：150分
2门世2有
3厚第3章　函数的概念与性质
3.1　函　数
3．1.1　对函数概念的再认识
新课程标准 新学法解读
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域． 3．会判断两个函数是否为同一函数. 1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养． 2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养． 3．通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养． 4．通过求一些简单函数的值域，抽象函数的定义域，提升逻辑推理、数学运算素养.
笔记　　教材
知识点一　函数的概念
　设A，B是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为定义于A取值于B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
知识点二　相等函数
　两个函数f(x)，g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫做相等．
自我　　检测
1．(多选题)下列各图中，可能是函数图象的是(　　)
解析：B选项，x＞0时有两个y值与之对应，不是函数，B错误．故选ACD.
答案：ACD
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝()4
B．y＝与y＝
C．f(x)＝x0与g(x)＝
D．f(x)＝·与g(x)＝
答案：C
3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
答案：B
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为________．
解析：由函数的定义可知，当x＝0时，y＝0，
当x＝1时，y＝1－2＝－1，当x＝2时，y＝4－4＝0，当x＝3时，y＝9－6＝3，所以值域为{－1,0,3}．
答案：{－1,0,3}
研习1 函数的概念
[典例1]　(1)(多选题)下列对应关系f是从集合A到集合B的函数的有(　　)
A．A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8
B．A＝Z，B＝{－1,1}，当n为奇数时，f(n)＝－1，当n为偶数时，f(n)＝1
C．A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1
D．A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1
(2)下列对应是不是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：A→B，求绝对值；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，求平方；
③A＝Z，B＝R，f：A→B，求算术平方根；
④A＝N，B＝R，f：A→B，求平方根；
⑤A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，f：A→B，求立方．
[思路点拨]　函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应．
(1)[解析]　对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此选项A，B中的对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
C．对于集合A中的值3，在集合B中没有与之对应的值，因此对应关系f不是从集合A到集合B的一个函数．
D．对于任意一个值x，与之对应的2x＋1的值是唯一确定的，又当x≥－1时2x＋1≥－1，所以对应关系f是从集合A到集合B的一个函数，可以表示为f(x)＝2x＋1，x≥－1.
[答案]　ABD
(2)[解]　只有②是从A到B的函数，①③④⑤都不是．
对于①，A中的元素0在B中无元素和它对应，故不是函数；
对于③，A中的负数没有算术平方根，故B中无元素和它们对应；
对于④，A中的每一个元素(除0外)都有2个平方根，所以B中有2个元素和它对应，故不是函数；
对于⑤，集合A中的一些元素，如2，立方后不在集合B中，所以在B中无元素和它对应．
巧归纳
准确理解函数概念的四个注意点
(1)A，B是非空数集，因此定义域(值域)为空集的函数不存在．
(2)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体，不表示f与x的乘积．
(3)在函数y＝f(x)中，f代表对应关系，对于定义域中的任意x值，在“对应关系f”的作用下，即可得到y的值．因此f是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x和y的纽带，从而是函数的核心．
(4)根据图形判断对应是否为函数的方法：
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[练习1]　(多选题)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，可作为函数y＝f(x)的图象的是(　　)
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数，其余均表示y是x的函数．
答案：ABD
研习2 相等函数
[典例2]　(1)给出下列四个说法：
①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；
②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；
③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数；
④定义域和值域相同的函数是同一个函数．
其中正确的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)下列四组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝·与g(x)＝
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝|x|
D．f(x)＝1，x∈R与g(x)＝x0
(1)[答案]　B
(2)[解析]　A选项中，函数f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；B选项中，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数；C选项中，函数f(x)，g(x)的定义域均为R，对应关系也相同，是同一个函数；D选项中，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数．故选C.
[答案]　C
巧归纳
判断函数相等的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否相等的三个步骤
(2)两个注意点
①在化简解析式时，必须是等价变形．
②与用哪个字母表示无关．　
[练习2]　下列各组中的两个函数是否为相等函数？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝，y＝x－3.
解：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，
又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，
∴f(x)与φ(t)是相等函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是相等函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．
又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是相等函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是相等函数．
研习3 求简单函数的定义域
[典例3]　求下列函数的定义域并用区间表示．
(1)y＝；
(2)y＝＋；
(3)y＝(x＋2)0＋.
[思路点拨]　分析所给函数解析式，列出不等式(组)求出x，用区间表示出来即可．
[解]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，∴x≠－1.
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
∴即1≤x≤3，
∴函数定义域为[1,3]．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
∴x≥－3且x≠－2.
∴函数定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
巧归纳
当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：
(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于0.
(2)分式中分母不能为0.
(3)零次幂的底数不为0.
(4)如果f(x)是由几部分数学式子构成，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
[练习3]　已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＞ B．－12＜a＜0
C．－12＜a≤0 D．a≤
解析：当a＝0时，f(x)有意义；当a≠0时，由ax2＋ax－3≠0，得Δ＝a2＋12a＜0，即－12＜a＜0，综合得－12＜a≤0.
答案：C
研习4 抽象函数的定义域问题
[典例4]　若函数f(x)的定义域为[2,3]，求函数f(x－1)的定义域．
[解]　若函数f(x)的定义域为[2,3]，
则函数f(x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，
即函数f(x－1)的定义域是[3,4]．
[延伸探究]
1．(变换条件)若将本例条件改为“若函数f(x－1)的定义域为[2,3]”，试求f(x)的定义域．
[解]　若函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，有1≤x－1≤2，则f(x)的定义域为[1,2]．
2．(改变问法)若本例条件不变，试求f－f的定义域．
[解]　因为2≤x≤3，所以2≤x＋≤3且2≤x－≤3，
解得x＝，故所求函数的定义域为.
巧归纳
两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域．
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．
[练习4]　已知f(2x－1)的定义域为[－1，5]，则f(2－5x)的定义域是________．
解析：因为f(2x－1)的定义域为[－1,5]，所以－3≤2x－1≤9.
令－3≤2－5x≤9，解得－≤x≤1，
所以f(2－5x)的定义域是.
答案：
研习5 求函数值
[典例5]　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝.
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求g(f(x))．
[思路点拨]　函数的解析式 明确对应关系代入求值．
[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)，
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
巧归纳
(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可．
(2)求f(f(a))时，一般应遵循由里到外的原则．
(3)注意：用来替换表达式中x的数也必须满足函数的定义域，否则函数无意义．
[练习5]　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；
(3)求g(f(x))的表达式．
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝，
g(f(2))＝g＝2＋2＝.
(3)g(f(x))＝g＝2＋2＝＋2.
研习 求函数值域问题
[典例6]　(1)下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)
x x<2 2≤x≤3 x＞3
y －1 0 1
A.{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}
(2)求下列函数的值域．
①y＝；
②y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；
③y＝；
④y＝2x＋4.
(1)[答案]　D
(2)[解]　①∵0≤16－x2≤16，∴0≤≤4，即函数y＝的值域为[0,4]．
②y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2,11]．
③(分离常数法)∵y＝＝1－，
且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1.
∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}．
④(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，
则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4]．
巧归纳
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对y＝这一结构，变形为y＝＝＝＋，则函数在定义域内的值域是{y.
(4)换元法：此方法主要是针对y＝ax＋b±这一结构，设＝t(t≥0)．
[练习6]　(1)函数f(x)＝(x∈R)的值域为(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．[0,1) D．[0,1]
(2)求函数y＝的值域．
(1)解析：因为x∈R，
所以1＋x2∈[1，＋∞)，所以f(x)＝∈(0,1]．
答案：B
(2)解：y＝＝3－，
显然可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}．
1．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：由解得0≤x≤1，故选D.
答案：D
2．已知f(x)＝，则f(3)＝(　　)
A．2 B．4
C．±6 D．10
解析：∵f(x)＝，∴f(3)＝＝2.
答案：A
3．(多选题)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：∵|2x|＝2|x|，∴选项A满足题意；∵2x－|2x|＝2(x－|x|)，∴选项B满足题意；∵－2x＝2(－x)，∴选项D满足题意；∵2x＋1≠2(x＋1)，∴选项C不满足题意，故选ABD.
答案：ABD
4．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3，且f(4)＝5，则f(2)＝________.
解析：∵函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－3，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－3，
又∵f(4)＝5，∴f(2)＝4.
答案：4
5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{3,9}的“孪生函数”共有________个．
解析：当y＝3时，x＝±1；当y＝9时，x＝±2.所以值域为{3,9}时，有下列情况：x∈{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共9个．
答案：9
6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________.
解析：由题意知即 从而0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．
答案：(0,2)
7．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
8．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝.
解：(1)(观察法)因为≥0，所以＋1≥1，
所以y＝＋1的值域为[1，＋∞)．
(2)(分离常数法)y＝＝＝－1＋，故y＝的值域为{y|y∈R且y≠－1}．
　
[示例]　若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
[答案]　B
[解析]　选项A中，在集合M中，当x>0时的元素在N中没有数与之对应①，不符合函数的定义；
选项C中，一个变量x可能对应着两个y的值，也不符合函数的定义；
选项D中，一个x对应着一个y，但N为值域②，所以集合N中的每一个数在M中也必须有数与之对应，但是N中存在数在M中没有数与之对应．故选B.
[常见误区]
错解 错因剖析
A 忽视①处即函数定义域中的每一个元素都要有元素与之对应
D 忽视题目给出的条件即②处N是函数的值域，而导致错选D
[防范措施]　1.深刻理解函数定义中的条件
对于定义域中的每一个数在对应法则之下都要有唯一一个数与之对应，只要在定义域中存在一个数找不到与之对应的元素，或者是一个数对应着两个或以上的数时均不能称为函数．如本例中的A项在x>0时，没有数与之对应，故不是函数y＝f(x)的图象．
2．认真审题
解题时，除了掌握常规的知识外，还要认真审题，如本例中的集合N为值域，故也要保证N中的每个数在M中也要有数与之对应.
课时作业(十三)　对函数概念的再认识
一、选择题
1．(多选题)下列式子中能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A．x＝y2 B．y＝x＋1
C．x＋y＝0 D．y＝x2
解析：A中一个x有两个y与之对应，不满足函数定义．
答案：BCD
2．(多选题)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么如图所示的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有　　　(　　)
解析：对于A，由于M中元素2在N中无元素与之对应，因而不是集合M到集合N的函数关系；对于D，M中元素1在N中有两个元素与之对应，因而不是集合M到集合N的函数关系；而对于BC，在集合M中任取一个元素，在集合N中都有唯一的元素与之对应，故BC是集合M到集合N的函数关系．
答案：BC
3．函数f(x)＝0＋的定义域为(　　)
A.
B．(－2，＋∞)
C.∪
D.
解析：要使函数有意义，必有x－≠0且x＋2>0，即x>－2且x≠.
答案：C
4．(多选题)下列各组中两个函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋1(x∈R)，g(t)＝2t＋1(t∈R)
B．f(x)＝，g(x)＝x＋1
C．f(x)＝·，g(x)＝
D．f(x)＝|3－x|＋1，g(x)＝
解析：A项，函数与自变量及因变量的表示符号无关，∴是同一个函数；
B项，f(x)需满足x≠1，g(x)中x可以等于1，∴不是同一个函数；
C项，f(x)的定义域为[0，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，∴不是同一个函数；
D项，f(x)＝|3－x|＋1＝显然f(x)＝g(x)，是同一个函数．
故选AD.
答案：AD
5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有(　　)
A．0个 B．1个
C．0或1个 D．无数个
解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．
答案：C
6．(多选题)对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.5]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
解析：f(－3.9)＝(－3.9)－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，
f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，故A正确；
显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，故B错误，C正确；
方程f(x)－＝0的解为x＝k＋(k∈Z)，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
7．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a＝(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．
答案：A
8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝有意义，需即0≤x<1.
答案：B
9．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
C.∪
D.∪
解析：要使函数有意义，需满足
解得x∈∪.
答案：D
二、填空题
10．函数y＝(x－2)0＋的定义域是________．
解析：要使函数y＝(x－2)0＋的解析式有意义，自变量x须满足解得－2≤x＜2且x≠±1，故函数y＝(x－2)0＋的定义域是{x|－2≤x＜2且x≠±1}．
答案：{x|－2≤x＜2且x≠±1}
11．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．
答案：(1,2)
12．函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为________．
解析：f(x)＝的定义域为R是使ax2－4ax＋2＞0在实数集R上恒成立．
若a＝0时，2＞0恒成立，所以a＝0满足题意，
若a≠0时，要使ax2－4ax＋2＞0恒成立，则有
解得0＜a＜.
综上，即实数a的取值范围是.
故答案为.
答案：
13．下列说法正确的有________．(只填序号)
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；
④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；
⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．
解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的，当x不同时，函数值y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.⑤是正确的，f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤.
答案：①③⑤
14．设f(x)＝，则f(f(a))＝________.
解析：f(f(a))＝＝＝.
答案：(a≠0，且a≠1)
15．下表的数据表示y是x的函数，则函数的值域是________.
x 0y 2 3 4 5
解析：由所给的表格可知，函数的值域为{2,3,4,5}．
答案：{2,3,4,5}
16．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
解析：g(x)的定义域B＝{x|x≤a＋1}，由于A∩B＝ ，作数轴如下：
故a＋1＜1，即a＜0.
答案：(－∞，0)
三、解答题
17．已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f；
(2)若f(x)＝5，求x的值．
解：(1)f(2)＝22＋2－1＝5，
f＝2＋－1＝.
(2)若f(x)＝5，则x2＋x－1＝5，得x＝－3或2.
18．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现．
解：(1)由f(x)＝＝1－，
所以f(2)＝1－＝，
f＝1－＝.
f(3)＝1－＝，
f＝1－＝.
(2)由(1)中发现f(x)＋f＝1.
证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
19．对任何实数x，y，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，试求＋＋＋…＋＋.
解：由f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x＋1)＝f(x)·f(1)，又因为f(1)＝2，所以＝f(1)＝2.
＋＋＋…＋＋＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝2 012·f(1)＝4 024.
20．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
解：(1)证明：若A＝ ，则A B显然成立．
若A≠ ，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，
从而A B，故A B成立．
(2)因为A＝{－1,3}，所以f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即所以
所以所以f(x)＝x2－x－3.
因为B＝{x|f(f(x))＝x}，
所以(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
所以(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
所以(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，
所以x＝±或x＝－1或x＝3.
所以B＝{－，－1，，3}．
3．1.2　表示函数的方法
新课程标准 新学法解读
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．会求函数的解析式. 结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.
笔记　　教材
知识点一　表示函数的方法
1.
2．表示函数的三种方法的优缺点
知识点二　函数f(x)的图象
1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值，都有唯一的y值与它对应．把这两个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标，即P(x，y)，则所有这些点的集合F叫做函数y＝f(x)的图象，即F＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．
2．特点
(1)图象F上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；
(2)满足函数关系y＝f(x)的点都在图象F上．
自我　　检测
1．已知f(x)的定义域和值域都是{－1,0,1,2}，且满足下表：
x －1 0 1 2
f(x) 0 1 －1 2
则f(f(0))＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
答案：C
2．(多选题)在下面四个图中，不能用来表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
解析：根据函数的定义，任作一条与x轴垂直的直线，直线与函数图象至多有一个交点，因此选项ABC不能用来表示函数图象．
答案：ABC
3．已知f＝＋，则f(x)等于(　　)
A．x2－x＋1，x≠0 B.＋，x≠0
C．x2－x＋1，x≠1 D．1＋＋，x≠1
解析：设＝t，则x＝，t≠1，
则f(t)＝＋t－1＝t2－t＋1，t≠1.
所以f(x)＝x2－x＋1，x≠1.
答案：C
4．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
解：①列表法：列表如下.
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
研习1 表示函数的三种方法
[典例1]　下列式子或表格：
①y＝2x，其中x∈{0,1,2,3}，y∈{0,2,4}；
②x2＋y2＝2；
③y＝＋；
④
x 1 2 3 4 5
y 90 89 88 85 95
其中表示y是x的函数的是________．
[思路点拨]　解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义．
[解析]　①不表示y是x的函数，因为当x＝3时，y没有值与其对应；②不表示y是x的函数，因为当x＝1时，y＝±1，即y有两个值与x的值对应；③不表示y是x的函数，因为原表达式中x∈ ；④能表示y是x的函数，因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性．
[答案]　④
巧归纳
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　
[练习1]　由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝(　　)
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A.1 B．2
C．4 D．5
解析：由题意，得f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.
答案：B
研习2 函数的图象
[典例2]　作出下列函数的图象并求出其值域：
(1)y＝2x＋1，x∈Z且0≤x≤2；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[思路点拨]　先根据定义域列表、描点，若是连续曲线，用光滑曲线连成图象，观察后求得值域．
[解]　(1)由已知得其定义域为{0,1,2}，列表：
x 0 1 2
y 1 3 5
作图如下所示，其图象是离散的点列，值域为{1,3,5}．
(2)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，如图所示，观察图象知，其值域为(0,1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象(如图)，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图象可得，函数的值域是[－1,8]．
巧归纳
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
(4)函数图象能直观反映出函数变化，因此求函数值域可用图象法．　
[练习2]　作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；
(3)y＝x＋1(x≤0)．
解：(1)因为x∈Z且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以图象为一直线上的孤立点(如图)．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.当y＝0时，x＝.所画函数图象如图．
由图象可知，y∈[－5,3)．
(3)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图．
由图象可知，y∈(－∞，1]．
研习3 求函数的解析式
[典例3]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)的解析式．
[思路点拨]　(1)已知f(g(x))的解析式求f(x)的解析式 换元或配凑法解决．
(2)先设出f(x)的解析式，将已知条件代入，列出方程，求得待定系数．
(3)函数所满足的关系式有f(x)和f(－x) 用－x代换x构建方程组，求f(x)．
[解]　(1)方法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)：∵f(＋1)＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1.
∵＋1≥1，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，
由恒等式性质，得∴
∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
(3)f(x)＋2f(－x)＝3x－2，①
用－x代为x，得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2.②
①－②×2，得－3f(x)＝9x＋2，∴f(x)＝－3x－.
巧归纳
(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法：若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)；若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出含待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
(2)换元法就是直接将式子左边括号内的表达式换作字母“t”，然后从中解出x，代入原式中，求出关于“t”的函数关系式，即为所求的函数解析式，这种方法要注意自变量取值范围的变化情况，否则易弄错函数定义域．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．　
[练习3]　(1)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．
(2)已知f＝，求f(x)．
解：(1)由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax＋b(a＞0)，
∵f(g(x))＝4x2－20x＋25，
∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25，
即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，
解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R)．
(2)解法一：设t＝，则x＝(t≠0)，
代入f＝，得f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠0且x≠±1)．
解法二：f＝＝，
∴f(x)＝(x≠0且x≠±1)．
1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍．在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是(　　)
解析：由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合．故选A.
答案：A
2．(多选题)设[x]表示小于等于x的最大整数，则对任意实数x，下列各式错误的是(　　)
A．[－x]＝－[x]
B.＝[x]
C．[2x]＝2[x]
D．[x]＋＝[2x]
解析：取特殊值进行判断，当x＝1.1时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错误；当x＝－1.1时，＝[－0.6]＝－1，[x]＝－2，故B错误；当x＝1.9时，[2x]＝3,2[x]＝2，故C错误．D正确．
答案：ABC
3．已知g(x－1)＝2x＋6，则g(3)＝________.
解析：解法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，有g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8.∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14.
解法二：令x＝4，则g(3)＝2×4＋6＝14.
答案：14
4．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________．
解析：∵f(x)＝2f＋x，①
∴将x换成，得f＝2f(x)＋，②
由①②消去f，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
答案：f(x)＝－(x≠0)
5．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是{m|－3≤m≤0或1≤m≤4}，
所以函数的定义域是[－3,0]∪[1,4]．
(2)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的纵坐标的取值范围是{p|－2≤p≤2}，所以函数的值域是[－2，2]．
　
[示例]　已知f(－1)＝x＋2，则f(x)＝________.
[答案]　x2＋4x＋3(x≥－1)
[解析]　令t＝－1，
则x＝(t＋1)2，
将其代入f(－1)＝x＋2，得
f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)
＝t2＋2t＋1＋2(t＋1)
＝t2＋4t＋3，
所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
[常见误区]
错解 错因剖析
x2＋4x＋3 阴影处忽视t的取值范围或者是把范围求成t≥0而导致错误
[防范措施]　等价性原则
采用换元法求函数解析式时，一定要注意换元前后变量的取值范围的变化，比如本例中x取非负值即可，但是t的范围是受x的范围影响的，所以其范围是t≥－1.
课时作业(十四)　表示函数的方法
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是(　　)
A．(－3,3)，(－2,2) B．[－3,3]，[－2,2]
C．[－2,2]，[－3,3] D．(－2,2)，(－3,3)
解析：结合f(x)的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．
答案：B
2．(多选题)已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))＝9x＋8，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝－3x＋4 D．f(x)＝－3x－4
解析：设f(x)＝kx＋b，
由题意可知f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8，
所以解得或
所以f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
故选AD.
答案：AD
3．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)＝(　　)
A. B. C. D.－1
解析：令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
答案：B
4．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图所示的函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为(　　)
A．50 kg B．30 kg
C．19 kg D．40 kg
解析：由题图，知函数的图象是一条直线，可以用一次函数表示，设为y＝kx＋b，将点(30,330)，(40,630)代入得k＝30，b＝－570，∴y＝30x－570，令y＝0得x＝19.
答案：C
5．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，若对于任意a∈D，存在b∈D使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上的“半差值”为C，下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝x3＋1 D．y＝x2
解析：C＝1时，f(b)＝f(a)－2，即对任意定义域中的a，存在b，使得f(b)＝f(a)－2，
由于A、C值域为R故满足；
对于B，当x＝0时，函数值为0，此时不存在自变量b，使得函数值为－2，故B不满足；
对于D，当x＝0时，函数值为0，此时不存在自变量b，使得函数值为－2，所以D不满足．
故选AC.
答案：AC
二、填空题
6．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.
答案：1
7．若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.
解析：由
得
两式相加，得f(2)＝4，所以f(2)＝.
答案：
8．函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对于定义域内的任意x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f()＝________.
解析：依据题意令x＝y＝，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(×)＝f()＋f()，即f(2)＝2f()＝1，所以f()＝.
答案：
9．已知函数f(x)对任意实数a，b都满足：f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝3，则f(3)＝________.
答案：
三、解答题
10．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1且x≠0)．
解：(1)用描点法可以作出函数的图象，如图①.
由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②.
由图可知，y＝(－2≤x≤1且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解：因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，
所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
3.1.3　简单的分段函数
新课程标准 新学法解读
通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理，数学运算素养.
笔记　　教材
知识点　分段函数
1．定义：一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同解析式给出，这种函数叫作分段函数．
2．分段函数的特征
(1)分段函数在各段上变量的取值范围不可以有公共部分．
(2)分段函数的值域是各段上函数值域的并集．
(3)分段函数表示的是一个函数，只是当定义域在不同范围内取值时对应法则不同．
(4)分段函数的图象由几部分构成，可以是平滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段、射线等．
自我　　检测
1．(多选题)下列给出的函数是分段函数的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：根据函数的定义可知．对于A中，取x＝2，得f(2)＝3或4，不符合函数的定义；对于C中，取x＝1，f(1)＝5或1，不符合函数的定义．故选BD.
答案：BD
2．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，a＝f(－1.01)，b＝f(－1)，c＝f(1.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＝c
C．a＝b＜c D．a＜b＝c
解析：a＝[－1.01]＝－2，b＝[－1]＝－1，c＝[1.5]＝1，所以a＜b＜c.
答案：A
3．已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则a＝________.
解析：当a≤0时，由f(a)＝3，得a2－1＝3，a＝－2；当a＞0时，由f(a)＝3，得a＋1＝3，a＝2.
答案：－2或2
4．已知函数f(x)＝g(x)＝当x∈R时，f(g(x))＝________，g(f(x))＝________.
解析：因为f(x)，g(x)的函数值均为有理数，所以f(g(x))＝1，g(f(x))＝0.
答案：1　0
研习1 分段函数的求值问题
[典例1]　已知函数f(x)＝
(1)求f(－4)，f(3)，f(f(－2))；
(2)若f(a)＝10，求a的值．
[思路点拨]　分段函数的解析式 求函数值或已知函数值列方程求字母的值．
[解]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2，
f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0，
f(f(－2))＝f(0)＝02＝0.
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当－1当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意．
综上可知，a＝5.
巧归纳
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
(2)多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，层层处理．
(3)已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．　
[练习1]　已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝________.
解析：由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值．
f(f())＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，故a＝2.
故答案为2.
答案：2
研习2 分段函数的图象
[典例2]　(1)作出f(x)＝x＋的图象．
(2)如图，根据函数y＝f(x)的图象写出它的解析式．
[思路点拨]　(1)去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象．
(2)根据图象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式．
[解]　(1)由题意知，f(x)＝
其图象如图所示．
(2)当0≤x≤1时，y＝2x；
当1＜x＜2时，y＝2；
当x≥2时，y＝3.故y＝
巧归纳
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．
(2)由于分段函数在定义域的不同区间解析式不同，因此画图时要注意区间端点处对应点的虚实问题．
(3)根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式．
(4)对于分段函数求值域问题常采用图象法．　
[练习2]　已知f(x)＝|x|，g(x)＝x2，设h(x)＝则函数h(x)的大致图象是(　　)
解析：当f(x)≤g(x)时，即|x|≤x2时，解得x≤－1或x≥1或x＝0，
∴h(x)＝
故图象为D，故选D.
答案：D
研习3 分段函数的简单应用
[典例3]　设f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围为________．
[解析]　当a≥0时，由f(a)＞a，知a－1＞a，解得a＜－2(舍去)．当a＜0时，由＞a，知a2＞1，解得a＜－1或a＞1(舍去)．所以a∈(－∞，－1)．
[答案]　(－∞，－1)
巧归纳
已知函数值求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．
第一步：通过观察分析，决定如何对自变量进行分类．
第二步：将问题转化为几段加以求解．
第三步：得出结论．
[练习3]　设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求关于x的方程f(x)＝x的解．
解：由f(－4)＝f(0)，得b＝4.
又由f(－2)＝－2，得c＝2.
于是f(x)＝方程f(x)＝x，
即x2＋4x＋2＝x(x≤0)或x＝2(x＞0)，
所以x＝2或x2＋3x＋2＝0(x≤0)，
解得x＝2或x＝－1或x＝－2.
综上，方程f(x)＝x的解为x＝2或x＝－1，x＝－2.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　)
x 0y 2 3 4 5
A.2 B．3
C．4 D．5
解析：由表可知f(11)＝4.
答案：C
2．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋∈B，∴f(f(x0))＝f＝2＝1－2x0∈A，∴0≤1－2x0<，即答案：C
3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
答案：2
4．已知y＝f(x)的图象如图所示，直接写出函数的表达式为________．
答案：y＝
5．设函数f(x)＝若方程f(x)＝t有三个不等实根，求t的取值范围．
解：作出函数f(x)＝的图象如图，因为方程f(x)＝t有三个不等实根，所以y＝f(x)的图象与y＝t的图象有三个不同的交点，结合图象可得0　
[示例]　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－1))；
(2)若f(x0) >2，求x0的取值范围．
[思路点拨]
[规范解答]
[误区警示]　失分点1：若在①处忽视－1所在区间上的对应法则，而代入另外解析式则会扣分．
失分点2：解题时只考虑不等式的解集，忽视②处的大前提，则会导致结论范围扩大而失分．忽视②处一种情况的讨论，也会使解题过程不完整而致误，一般会扣分．
失分点3：解题时若忽视③处的总结性的结论，则会扣分，这一步应引起足够的重视．
[规律指导]　1.分段函数意义的理解
分段函数是指变量在不同区间上取值时，对应法则不同而构成的函数，所以在分段函数求值时，一定要搞清楚变量所在区间，找准其对应法则．如本例(1)中，求f(－1)时，应使用当x≤0时对应的解析式，而求f(2)时，则使用当x>0时对应的解析式．
2．分段讨论易忽视的问题
(1)解决分段讨论问题时，大前提不要忽视，我们研究问题都是在这个大前提下研究的，如本例中x0≤0是我们解不等式2<－x＋3的前提条件，所以解出不等式的解后要和x0≤0取交集．
(2)遇到变量范围不确定或含有参数问题时，要有分类讨论的意识，如本例中由于f(x0)>2中x0的范围不确定，故需分两种情况讨论.
课时作业(十五)　简单的分段函数
一、选择题
1．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　)
2．设函数f(x)＝ 则f＝　　　　　(　　)
A. B．－
C. D．18
解析：f(2)＝22＋2－2＝4，f＝f＝1－2＝.故选A.
答案：A
3．已知f(x)＝则f＋f＝(　　)
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：∵f＝2×＝，
又∵x≤0时，f(x)＝f(x＋1)，
∴f＝f＝f＝f＝.
∴f＋f＝＋＝4.
答案：B
4．(多选题)关于直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是(　　)
A．不论m为何值时都有交点
B．当m＞2时，有两个交点
C．当m＝2时，有一个交点
D．当m＜2时，没有交点
解析：由题意得，y＝|x|＋|2x＋4|
＝作此函数图象如下图折线所示：y＝m即平行于x轴的直线，作图象如下图直线所示．
对于A，由图可知，当m＜2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当m＞2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当m＝2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当m＜2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象无交点，故D正确．
故选BCD.
答案：BCD
二、填空题
5．已知f(x)＝若f(x)＝16，则x的值为________．
解析：当x＜0时，2x＝16，无解；
当x≥0时，x2＝16，解得x＝4.
答案：4
6．定义运算a b＝已知函数f(x)＝x2 x，则f(2)＝________.
解析：根据已知条件有f(2)＝4 2＝4.
答案：4
7．设f(x)＝则f＝________，f(x)的定义域是____________．
解析：∵－1＜－＜0，
∴f＝2×＋2＝.
而0＜＜2，∴f＝－×＝－.
∵－1＜－＜0，∴f＝2×＋2＝.
因此f＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜0}∪{x|0＜x＜2}∪{x|x≥2}＝{x|x≥－1且x≠0}．
答案：　{x|x≥－1且x≠0}
8．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1舍去，
当－1答案：
三、解答题
9．已知f(x)＝若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．
解：f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，∴a＝－1或a＝－5(舍去)；
当a＋1＜0，即a＜－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．综上可知，a＝－1.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1,3)．
11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)移动，设点P移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．
(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的值域．
解：(1)函数的定义域为(0,12)，
当0当4当8所以函数的解析式为
f(x)＝
(2)函数的图象如图所示．从图象可以看出f(x)的值域为(0,8]．
3．2　函数的基本性质
3．2.1　函数的单调性与最值
新课程标准 新学法解读
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义． 3．在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用. 1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程．体会用符号形式表达单调性定义的必要性． 2．在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.
笔记　　教材
知识点一　最大值、最小值
如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．依照如上叙述，可以写出f(x)的最小值和最小值点的定义、最大值，最小值统称为最值．
知识点二　单调性
1．增函数与减函数的相关概念
2．函数的单调性及单调区间
自我　　检测
1．(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)
A．＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D．f(x1)≠f(x2)
解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，故C不正确；对于D，因为f(x)在区间[a，b]上单调，且x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)，故D正确．
答案：ABD
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：A在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数；B在R上为减函数；C在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；D在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
答案：A
3．函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．，1 B．1，
C．，1 D．1，
解析：f(x)在[2,6]上为减函数，所以最大值为f(2)＝1，最小值为f(6)＝.
答案：B
4．已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．
答案：[－3,1]　2　－3
5．已知函数f(x)＝ax2－2x－2在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，f(x)＝－2x－2在区间[1，＋∞)上单调递减，不符合题意；
当a≠0时，若f(x)在区间[1，＋∞)上不单调，必有＞1，解得0＜a＜1，
即实数a的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
研习 1 求函数的单调区间
[典例1]　(1)如图所示的两图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，试写出函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间．
　　
(2)求f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
[解]　(1)由题图①可知，在区间[1,4]和区间(4,6]上，函数y＝f(x)是增函数，
由题图②可知，在区间[－1,0]和[1,2]上，y＝g(x)是增函数．
所以y＝f(x)的单调递增区间是[1,4]和(4,6]，函数y＝g(x)的单调递增区间是[－1，0]和[1,2]．
(2)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3
＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调递减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．
巧归纳
(1)求函数的单调递增区间，即从图象上确定上升的部分x的取值区间，注意区间的端点值，两个区间不连续不能用“∪”．
(2)对于含有绝对值号的，应分段讨论去掉绝对值号，写成分段函数形式，再判断单调区间．
(3)记住常见函数的单调性，有利于我们快速判断．　
[练习1]　画出函数f(x)＝
的图象，并写出其单调区间．
解：图象如图所示，
由图象可知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．
研习2 函数的单调性的判断与证明
[典例2]　求证：函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
[思路点拨]　→→→→
[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
∵2＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
巧归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．　
[练习2]　讨论函数f(x)＝x－的单调性．
解：由题意知1－2x≥0，∴x≤，
∴函数的定义域为.设x1，x2是定义域上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)
＝x1－－(x2－)
＝－＋x1－x2
＝
＋x1－x2
＝＋x1－x2
＝(x1－x2)，
由x1＜x2得x1－x2＜0.
∵＋1＞1，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)在上单调递增．
研习3 图象法求函数的最值
[典例3]　已知函数f(x)＝
求f(x)的最大值、最小值．
[思路点拨]　可先画出f(x)的图象，观察图象的最高点与最低点，从而确定最大值与最小值．
[解]　作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，
当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1，
当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0.
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
巧归纳
(1)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值．
(2)如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．　
[练习3]　用max{a，b}表示a，b两个数中的较大值，设f(x)＝max{2－x，x2－3x＋2}，求f(x)的最小值．
解：根据max{a，b}的含义知，f(x)＝max{2－x，x2－3x＋2}＝
在直角坐标系中作出y＝f(x)的图象，由图可知，f(x)的最小值为0.
研习4 函数的单调性的应用
[典例4]　题点一：利用单调性比较大小
(1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立．设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)(e≈2.718)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，
可得f＝f.
由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，
知f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1＜2＜＜e，∴f(2)>f＞f(e)，
∴b＞a＞c.故选D．
[答案]　D
题点二：利用单调性解不等式
(2)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)[思路点拨]　抽象不等式，利用单调性，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即化为具体的不等式求解．
[解析]　由题知
解得0[答案]　
题点三：已知单调性求参数范围
(3)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解]　由于函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，可知在(1，＋∞)上任取1＜x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)－＝(x1－x2)·＜0，因为1＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞1，所以a＋x1x2＞0，所以a≥－1.
巧归纳
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　
[练习4]　(1)函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(4a－3)>f(5＋6a)，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
(2)由题意，得4a－3>5＋6a，解得a<－4.
答案：(1)(－∞，1]∪[2，＋∞)　(2)(－∞，－4)
研习 利用单调性求函数的最值
[典例5]　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
[思路点拨]　→
[解]　(1)函数f(x)在[3,5]上为增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，
当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝；
当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝.
巧归纳
利用函数的单调性求最值，一般并不证明函数的单调性，而应该熟练掌握一些常见函数的单调性，比如：(1)y＝kx＋b的单调性；(2)y＝的单调性；(3)y＝ax2＋bx＋c的单调性；(4)y＝x＋的单调性．若熟练掌握这些函数的单调性后，再求其最值显然就容易很多了.
[练习5]　求函数f(x)＝x＋在x∈[1,3]上的最大值与最小值．
解：设1≤x1又因为x1当1≤x1所以f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在[1,2]上是减函数．
当20，
所以f(x1)－f(x2)<0.
所以f(x)在(2,3]上是增函数．
所以f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4.
又因为f(1)＝5，f(3)＝3＋＝所以f(x)的最大值为5.
研习 实际应用中的最值
[典例6]　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3 600元时，能租出多少辆？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
[思路点拨]　→→→→
[解]　(1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以此时租出了88辆汽车．
(2)设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为
y＝(x－150)－×50，
整理得y＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050，
所以当x＝4 050，即每辆车的租金为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307 050元．
巧归纳
解实际应用问题的五个步骤
(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．　
[练习6]　近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？
解：(1)当x＝128时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元)．
(2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时，120<240－x≤160，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160时，80≤240－x≤120，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88，
当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88.
因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，且最大收益为88万元．
1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数
D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
解析：结合图象可知，函数f(x)在[－1,2]上是“上升”的，故选A．
答案：A
2．函数f(x)＝在区间上的最大值是(　　)
A． B．－1
C．4 D．－4
解析：f(x)＝在区间上单调递减，
∴f(x)max＝f＝4，故选C．
答案：C
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由已知，得f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)＝－x2＋4x－2.f(x)max＝f(1)＝1，故选C．
答案：C
4．(多选题)关于函数y＝，下列说法正确的是(　　)
A．在区间(－1,1)上单调递减
B．单调递减区间为(－1，＋∞)
C．最大值为2
D．无最小值
解析：由3－2x－x2≥0得－3≤x≤1，即函数的定义域为[－3,1]．
令t＝3－2x－x2，则t＝3－2x－x2是图象开口向下，对称轴方程为x＝－1的二次函数，
所以函数t＝3－2x－x2在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减．
又y＝在[0，＋∞)上单调递增，
所以y＝在[－3，－1]上单调递增，在[－1，1]上单调递减，
故A正确，B错误．
所以当x∈[－3,1]时，tmax＝3＋2－1＝4，tmin＝3－2－1＝0，即t∈[0,4]，
因此y＝∈[0,2]，故C正确，D错误．
故选AC．
答案：AC
5．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，即f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.故实数m的值为6.
答案：6
6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b对称轴为x＝－，又f(x)在区间[1,2]上不单调，所以1<－<2，即－4即a的取值范围为(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
7．函数y＝在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：y＝＝1－，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a，即a≥2.
答案：[2，＋∞)
　利用函数的单调性求参数的范围，因考虑不周致误 易错误区)
[示例]　若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________．
[答案]　(－∞，40]∪[64，＋∞)
[解析]　由题意可知，二次函数的图象开口向上，对称轴是x＝，所以函数的单调增区间是，单调减区间是.
因为函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，
[常见误区]　
错解 错因剖析
(－∞，40] 阴影处易忽略二次函数有两个单调区间，只考虑其中一个单调区间，而漏解
[64，＋∞)
[防范措施]　函数单调性的应用
在利用函数的单调性求参数范围时，尤其出现二次函数和分段函数时，要画出函数的图象，从而避免在求参数的取值范围时忽略函数单调区间的个数而漏解，如本例中只说函数在[5,8]上是单调函数，没说是增函数或是减函数，所以两个单调区间都要考虑．
课时作业(十六)　函数的单调性与最值
一、选择题
1．(多选题)下列说法中，错误的有(　　)
A．若任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上是增函数
D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：A．当x10知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)答案：BCD
2．(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是　　(　　)
A．y＝|x|
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝
解析：选项A，y＝|x|，当x＜0时为减函数，故错误；选项C，y＝x2，当x＜0时为减函数，故错误；对于选项D画出图象(如图)观察可得，该函数在R上为增函数，故选BD．
答案：BD
3．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－ 2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B．
答案：B
4．函数y＝2x＋，则(　　)
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值
D．既无最大值，也无最小值
解析：设＝t(t≥0)，则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋(t≥0)，对称轴t＝∈[0，＋∞)，所以y在上递增，在上递减，所以y在t＝处取得最大值，无最小值．故选A．
答案：A
5．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯取整函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝x－[x]，则下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1，没有最小值
B．f(x)的最小值为0，没有最大值
C．f(x)没有最大值，没有最小值
D．f(x)的最大值为1，最小值为0
解析：由高斯取整函数的定义可得，
当0≤x＜1时，[x]＝0，则x－[x]＝x，
当1≤x＜2时，[x]＝1，则x－[x]＝x－1，
当2≤x＜3时，[x]＝2，则x－[x]＝x－2，
当3≤x＜4时，[x]＝3，则x－[x]＝x－3，
很明显所给的函数具有一定规律，绘制函数图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值．
故选B．
答案：B
6．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上单调递增；当a＜0时，只有满足－≥4，即a≥－，函数f(x)在区间(－∞，4)上才是单调递增的．综上可知，实数a的取值范围是.
答案：D
7．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.
答案：C
8．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1]
D．(0,1)
解析：由题可知，g(x)＝在[1,2]上是减函数 a＞0.欲使y＝－x2＋2ax在[1,2]上单调递减，必须满足a≤1.综上，0＜a≤1.故选C．
答案：C
二、填空题
9．已知f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是________．
解析：∵f(x)为R上的减函数，且f＜f(1)，∴＞1，∴0＜x＜1.
答案：(0,1)
10．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
解析：由＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b.
答案：b
11．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
12．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为________．
解析：由题意知，x＝－2是f(x)的对称轴，则＝－2，m＝－16，∴f(x)＝4x2＋16x＋1＝4(x＋2)2－15.
又∵f(x)在[1,2]上单调递增，f(1)＝21，f(2)＝49，
∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．
答案：[21,49]
13．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
作出其图象如图，观察图象知递增区间为.
答案：
14．函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围为________．
答案：[1,2)
15．已知函数f(x)＝－在(0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1由题意知，f(x1)∴>0.
又00，x2－x1>0，
∴a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
三、解答题
16．已知函数f(x)＝x2－x＋a＋1.
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在区间(－∞，a]上的最小值g(a)的表达式．
解：(1)由f(x)≥0对一切实数x恒成立，知
x2－x＋a＋1≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝1－4(a＋1)≤0，解得a≥－，
∴实数a的取值范围为.
(2)∵f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋(x≤a)，
①当a＜时，g(a)＝f(x)min＝f(a)＝a2＋1；
②当a≥时，g(a)＝f(x)min＝f＝a＋.
∴g(a)＝
17．函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对任意x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)＋1，且f(2)＝2，当x＞1时，有f(x)＞1.
(1)求f(1)，f(4)的值；
(2)判断f(x)的单调性并加以证明；
(3)求f(x)在[1,16]的值域．
解：(1)可令x＝y＝1时，f(1)＝f(1)－f(1)＋1＝1；
令x＝4，y＝2可得f(2)＝f(4)－f(2)＋1，即f(4)＝3.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
证明：当x＞1时，有f(x)＞1，
可令0＜x1＜x2，即有＞1，则f＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，可得f(x2)＞f(x1)，
则f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)由f(x)在(0，＋∞)上为增函数，可得f(x)在[1,16]递增，可得f(1)＝1为最小值，f(16)为最大值，
由f(4)＝f(16)－f(4)＋1，可得f(16)＝2f(4)－1＝5，则f(x)的值域为[1,5]．
3．2.2　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
新课程标准 新学法解读
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 2．会根据函数奇偶性求解析式. 通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
笔记　　教材
知识点　奇偶性定义
1．偶函数
如果对一切使f(x)有定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝f(x)成立，则称f(x)为偶函数．
2．奇函数
如果对一切使f(x)有定义的x，f(－x)也有定义，并且f(－x)＝－f(x)成立，则称f(x)为奇函数．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
(1)如果一个函数是偶函数，那么它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
(2)如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，那么这个函数是奇函数．
自我　　检测
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
解析：选项A中的图象关于原点和y轴均不对称，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；选项C，D中的图象表示的函数的定义域关于原点不对称，不具有奇偶性，故C，D错误；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故B正确．故选B．
答案：B
2．(多选题)下列说法错误的是(　　)
A．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象一定过坐标原点
D．偶函数的图象一定与y轴相交
解析：由奇、偶函数的性质，知AB说法正确；对于C，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误．
答案：CD
3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
解析：由题意可得f(x)＝＝－1＋，
对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；
对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．
故选B．
答案：B
4．若函数f(x)＝x2＋|x－a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：因为f(x)＝x2＋|x－a|为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋|x－a|＝x2＋|－x－a|，即|x－a|＝|x＋a|，故a＝0.
答案：0
5．若f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝x(1－x)，则x＜0时，f(x)＝________.
解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为当x＞0时，f(x)＝x(1－x)，当x＜0时，－x＜0，故f(x)＝f(－x)＝－x(1＋x)．
答案：－x(1＋x)
研习1 判断函数的奇偶性
[典例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－x；
(2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[思路点拨]　先判断函数的定义域是否关于原点对称，再计算定义域内任意x的f(－x)与f(x)的关系．
[解]　(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，关于原点对称，
又f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，
不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
巧归纳
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题和填空题中．
(3)对于分段函数奇偶性的判断应对每一段定义域内的任意自变量x，检验f(－x)与f(x)的关系．
(4)性质法
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．　
[练习1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]；
(4)f(x)＝.
解：(1)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(2)既是奇函数也是偶函数．
(3)偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
研习2 利用函数的奇偶性求值
[典例2]　已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．
[解]　解法一：f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①
f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8
＝－ad5－bd3－cd－8，②
①＋②，得f(d)＋f(－d)＝－16，
∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.
解法二：设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，
由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.
又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，
∴g(－d)＝－g(d)，
∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.
巧归纳
解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d)．也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解．　
[练习2]　设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：由题意可得f＝f＝f＝－f，
而f＝f＝f＝－f＝－，
故f＝.
故选C．
答案：C
研习3 利用函数的奇偶性求参数
[典例3]　若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝(　　)
A． B．
C． D．2
[思路点拨]　→→
[解析]　因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0，解得a＝.
所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
又因为f(－x)＝f(x)，
所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b，
由对应项系数相等，得－(b－1)＝b－1，所以b＝1，
所以a＋b＝.
[答案]　C
巧归纳
1．本题中由f(－x)＝f(x)求b时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．
2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略
(1)定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．　
[练习3]　已知g(x)是定义在R上的奇函数，f(x)＝g(x)＋x2.若f(a)＝2，f(－a)＝2a＋2，则a＝(　　)
A．2 B．－1
C．2或－1 D．2或1
解析：∵g(x)是奇函数，∴g(x)＋g(－x)＝0，
∴f(x)＋f(－x)＝2x2.∵f(a)＝2，f(－a)＝2a＋2，
∴4＋2a＝2a2，解得a＝2或a＝－1，
故选C．
答案：C
1．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝x
B．y＝3x2
C．y＝
D．y＝|x|(x∈[0,1])
解析：利用偶函数的定义，首先定义域关于原点对称，满足f(－x)＝f(x)．故选B．
答案：B
2．(多选题)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．令y＝g(x)，
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，∴y＝x＋f(x)是奇函数．对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，∴y＝xf(x)是偶函数．对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴y＝x2＋f(x)是非奇非偶函数．对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，∴y＝x2f(x)是奇函数．
答案：AD
3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C．
答案：C
4．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
答案：－1
5．已知函数f(x)对一切x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(x)＝－f(－x)，故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－A．
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4A．
　函数奇偶性判断的误区与防范措施 易错误区
[示例]　以下说法中：
①函数f(x)＝x3＋是奇函数；
②函数f(x)＝3x2，x∈(－2,2]是偶函数；
③函数f(x)＝|x－5|是偶函数；
④函数f(x)＝0，x∈[－2,2]既是奇函数又是偶函数．
正确的序号是________．
[答案]　①④
[解析]　对于①，函数f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数，故①正确；
对于②，函数f(x)＝3x2，x∈(－2,2]的定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故②错误；
对于③，函数f(x)＝|x－5|是由f(x)＝|x|的图象向右平移了5个单位得到的，图象不关于y轴对称，故③错误；
对于④，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]的图象既关于原点对称又关于y轴对称，故④正确．
[常见误区]
错解 错因剖析
①②④ 对于②中的函数，易忽略其定义域x∈(－2,2]不关于原点对称，就会出现根据f(－x)＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，从而判定为偶函数的错误
[防范措施]　1.定义域优先的原则
由奇偶函数的定义知，对于函数定义域内任意一个x，都有“f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”，不难得到，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称．因此，判断函数的奇偶性，必先判定函数的定义域是否关于原点对称．
2．注意图象的变换
一些常用的图象平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－5|，就是要根据y＝|x|的图象特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图象关于y轴对称，而向右平移5个单位后图象就不再关于y轴对称，故可得结论．
课时作业(十七)　函数的奇偶性
一、选择题
1．(多选题)下列说法不正确的是(　　)
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D．图象过原点的奇函数必是单调函数
解析：A项，若定义域不包含0，则图象与y轴不相交；C项，若定义域不包含0，则图象不过原点；D项，奇函数不一定是单调函数．故选ACD．
答案：ACD
2．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
答案：A
3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx(　　)
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－g(x)．
答案：A
4．对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有(　　)
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
解析：∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故选C．
答案：C
5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是(　　)
A．f(x)＝－x(x－2)
B．f(x)＝x(|x|－2)
C．f(x)＝|x|(x－2)
D．f(x)＝|x|(|x|－2)
解析：因为f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x，所以当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，则f(x)＝f(－x)＝x2＋2x＝－x(－x－2)．又当x≥0时f(x)＝x2－2x＝x(x－2)，因此f(x)＝|x|(|x|－2)．
答案：D
6．(多选题)已知函数f(x)＝[x]([x]指不超过x的最大整数)，下列说法正确的是(　　)
A．x－1＜f(x)≤x
B．f(x)为增函数
C．f(x)为奇函数
D．y＝x－f(x)的值域为[0,1)
解析：A．①因为[x]指不超过x的最大整数，故[x]≤x，当且仅当x为整数的时候取等号．
②当x为整数时，f(x)＝x＞x－1成立；
当x不为整数时，设x＝[x]＋t，则由[x]指不超过x的最大整数可知，0≤t＜1，
故[x]＝x－t＞x－1，故A正确．
B．f＝＝0，f(0)＝[0]＝0，故f(x)不是增函数，B错误．
C．f＝＝－1，f＝＝0，
f，f不互为相反数，C错误．
D．由A项分析可知，设x＝[x]＋t，则0≤t＜1，
故y＝x－[x]＝t∈[0,1)，故D正确．
故选AD．
答案：AD
7．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①；
因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)②.
令x＝1，由①得f(0)＝－f(2)＝－(4a＋b)，
由②得f(3)＝f(1)＝a＋b，
因为f(0)＋f(3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6 a＝－2.
令x＝0，由①得f(1)＝－f(1) f(1)＝0 b＝2，
所以f(x)＝－2x2＋2.
f＝f＝f＝f，
f＝f＝－f＝－f，
－f＝－f＝－f＝－f，
所以f＝－f＝.
答案：D
二、填空题
8．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．
解析：由偶函数的定义知k＝3，f(x)＝x2＋3，其图象开口向上，∴f(x)的递减区间是(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
9．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：由f(－x)＝－f(x)，得
＝，
即(x－1)(x－a)＝(x＋1)(x＋a)(x≠0)，∴a＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
所以解析式可化简为f(x)＝，
满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为R.
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．
综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
11．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x＋，x≠0.
∵f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
12．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
13．已知函数f(x)，x∈R.
(1)若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数．
证明：(1)设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．第2课时　函数的单调性与奇偶性的综合应用
新课程标准 新学法解读
能利用函数的奇偶性与单调性解决简单问题. 通过单调性与奇偶性综合应用，重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
笔记　　教材
知识点一　根据函数奇偶性求函数的解析式
用奇偶性求解析式的步骤：
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
知识点二　利用函数奇偶性与单调性比
较大小
1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a研习1 利用函数的奇偶性求解析式
[典例1]　已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x

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