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综合微评(五)
时间：120分钟　满分：150分
2门世2有
3厚第5章　三角函数
5.1　任意角与弧度制
5．1.1　角的概念的推广
新课程标准 新学法解读
1．结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义． 2．理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示. 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
笔记　　教材
知识点一　角的概念
角 描述
定义 角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
表示 其中O为顶点，OA为始边，OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
知识点二　角的分类
1．按旋转方向分
2．在平面直角坐标系中，按角终边的位置分
(1)前提：在平面直角坐标系中，
①角的顶点与坐标原点重合；
②角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)
知识点三　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．如图所示，角α1，α2，α3为终边相同的角．
自我　　检测
1．设M＝{小于90°的角}，N＝{第一象限角}，则M∩N＝(　　)
A．{锐角} B．{小于90°的角}
C．{第一象限角} D．以上都不对
答案：D
2．(多选题)在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角是(　　)
A．－20° B．－400°
C．－2 000° D．1 600°
解析：－400°＝－360°－40°，
－2 000°＝－6×360°＋160°，
1 600°＝4×360°＋160°，故－20°，－400°是第四象限角．
答案：AB
3．30°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
答案：－690°
研习1 角的概念的推广
[典例1]　(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到OB位置，再逆时针旋转100°到OC位置，再顺时针旋转390°到OD的位置，则∠AOD＝________，∠BOD＝________.
(2)将钟表拨快10分钟，则分针所转过的度数为________．
[解析]　(1)∠AOD＝120°＋100°＋(－390°)＝－170°，∠BOD＝100°＋(－390°)＝－290°.
(2)将钟表拨快10分钟，分针顺时针旋转60°，所以分针所转过的度数为－60°.
[答案]　(1)－170°　－290°　(2)－60°
巧归纳
1．正确理解正角、负角、零角的概念，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确区分“终边相同的角”“象限角”“象限界角”与“区域角”的概念．
2．判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
提醒：解答概念辨析题，一是利用反例排除错误答案，只需举一个反例即可，二是利用定义直接判断．　
[练习1]　(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．第一象限角一定不是负角
B．第二象限角大于第一象限角
C．锐角是第一象限角，钝角是第二象限角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
答案：CD
研习2 终边相同的角
[典例2]　(1)若角α与β的终边垂直，则α与β的关系是(　　)
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝k·360°＋α＋90°，k∈Z
D．β＝k·360°＋α±90°，k∈Z
(2)已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)内终边与角的终边相同的角是________．
(1)[答案]　D
(2)[解析]　据已知，θ＝k·360°＋168°，k∈Z，则＝k·120°＋56°，k∈Z，
又0°＜k·120°＋56°＜360°，满足条件的k为0,1,2.
所以所求角为56°，176°，296°.
[答案]　56°，176°，296°
巧归纳
1．把任意角转化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用竖式除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
3．常用终边相同角的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．　
[练习2]　与－463°角终边相同的角为(　　)
A．k·360°＋463°，k∈Z
B．k·360°＋103°，k∈Z
C．k·360°＋257°，k∈Z
D．k·360°－257°，k∈Z
答案：C
研习3 象限角与区域角的应用
[典例3]　如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[思路点拨]　―→―→
[解]　(1)终边与OA重合的最小正角为30°，故终边在OA位置的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．同理，终边与OB重合的最小正角为60°，故终边落在OB位置的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图可知，阴影部分可表示为{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}．
巧归纳
区域角及其表示方法
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．　
[练习3]　(1)已知α是第二象限角，那么是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第二或第四象限角
D．第一或第三象限角
(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，指出角β的取值范围．
(1)解析：解法一：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z，当k取偶数(如k＝0)时，是第一象限角，当k取奇数(如k＝1)时，是第三象限角，故选D．
解法二：将各象限二等分，逆时针方向标①②③④，找标号②即可．
答案：D
(2)解：阴影在x轴上方部分的角的集合为A＝{β|k·360°＋60°≤β ≤k·360°＋105°，k∈Z}．
阴影在x轴下方部分的角的集合为B＝{β|k·360°＋240°≤β ≤k·360°＋285°，k∈Z}．
所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}，其中B可以化为{β|k·360°＋180°＋60°≤β≤k·360°＋180°＋105°，k∈Z}．
即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β≤(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}．集合A可以化为{β|2m×180°＋60°≤β≤2m×180°＋105°，m∈Z}．故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
1．(多选题)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角，故α在第一或第三象限．
答案：AC
2．已知α与120°角的终边关于x轴对称，则是(　　)
A．第二或第四象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，∴＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定终边在第二或第四象限．
答案：A
3．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．
解析：与2 013°终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．
答案：213°　－147°
4．设集合M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，N＝{α|－180°＜α＜180°}，则M∩N＝________.
解析：∵M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°；当k＝－1时，α＝－126°，又N＝{α|－180°＜α＜180°}，∴M∩N＝{－36°，54°，144°，－126°}．
答案：{－36°，54°，144°，－126°}
5．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
　
[示例1]　已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系正确的是(　　)
A．A?B　　　　　　　 B．B?A
C．A＝B D．AB且BA
[错解]　∵当k＝0时，集合A中角α＝±45°，集合B中角β＝45°，∴B?A，故选B．
[错因分析]　错解对集合概念理解错误．应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决．
[答案]　C
[正解]　当k为偶数时，集合A中角α的终边为第一、四象限的角平分线；当k为奇数时，集合A中角α的终边为第二、三象限的角平分线，角α的终边如图所示．故可以表示为k·90°＋45°，∴A＝B，故选C．
[点评]　(1)可直接用列举法A＝{…－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，B＝{…－135°，－45°，45°，135°，225°，…}，∴A＝B．
(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°，得n＝2k或n＝2k＋1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B．
不能准确分类讨论而致误(误区警示二)
[示例2]　已知α是第三象限角，则是第几象限角？
[错解]　由α是第三象限角，得180°<α<270°，∴60°<<90°，∴是第一象限角．
[错因分析]　仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要原因．
[正解]　∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
∴60°＋k·120°<<90°＋k·120°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<<210°＋n·360°(n∈Z)，∴是第三象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<<330°＋n·360°(n∈Z)，∴是第四象限角．∴是第一、三、四象限角．
[点评]　已知角α所在的象限，要求(n∈N*)所在的象限，应把角α写成k·360°＋β<α课时作业(三十二)　角的概念的推广
一、选择题
1．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是(　　)
A．45°－4×360°
B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360°
D．315°＋(－5)×360°
答案：D
2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在(　　)
A．第一象限或第三象限
B．第一象限或第二象限
C．第二象限或第四象限
D．第三象限或第四象限
答案：A
3．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　)
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A C D．A＝B＝C
解析：∵A＝{第一象限角}＝(k·360°，90°＋k·360°)，k∈Z；
B＝{锐角}＝(0°，90°)，
C＝{小于90°的角}＝(－∞，90°)，
∴B C，B A，
∴B∪C＝C，B∩A＝B；
故选B．
答案：B
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案：D
5．(多选题)与角－240°终边相同的角是(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．－600°
解析：与角－240°终边相同的角为k·360°－240°，k∈Z，
令k＝1，可得与角－240°终边相同的角是120°；
令k＝－1，可得与角－240°终边相同的角是－600°，故选CD．
答案：CD
6．若集合M＝，P＝，则M，P之间的关系为(　　)
A．M＝P B．M P
C．M P D．M∩P＝
答案：B
二、填空题
7．在0°～360°范围内：与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°，是第一象限角．
答案：80°　一
8．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
答案：150°＋k·360°，k∈Z
9．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案：120°，300°
三、解答题
10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－120°；
(2)640°；
(3)－950°12′.
解：(1)－120°＝－360°＋240°，
∴在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限角．
(2)640°＝360°＋280°，
∴在0°～360°范围内，与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限角．
(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
∴在0°～360°范围内，与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．
11．写出终边落在如图所示阴影部分的角α的范围．
解：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以题图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)同理可表示题图(2)中阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
12．写出终边在如图所示直线上的角的集合．
解：(1)S＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}．
(2)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
(3)S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(4)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}．
13．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)如图，直线x－y＝0过原点，∠AOx＝60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得－所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
5．1.2　弧度制
新课程标准 新学法解读
1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系． 3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 1．借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养． 2．应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.
笔记　　教材
知识点　弧度制
1．度量角的单位制
单位制 内容
角度制 周角的为1度的角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制
弧度制 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad
2.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
3．弧度制与角度制的换算公式
(1)弧度制与角度制的换算关系
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2πrad 2π rad＝360°
180°＝πrad π rad＝180°
1°＝rad ≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
4.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)，n°(0度量单位 类别 角度制，圆心 角为n° 弧度制，圆 心角为α
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝αR2＝lR
自我　　检测
1．在圆中1 rad的圆心角所对的(　　)
A．弦长相等
B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径
D．弧长等于所在圆的半径
答案：D
2．－300°化为弧度是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：B
3.化为角度是(　　)
A．270° B．280°
C．288° D．318°
答案：C
4．(多选题)下列四组角的表示式中，表示终边相同的角的是(　　)
A．2kπ±与kπ＋(k∈Z)
B．4kπ±π与kπ(k∈Z)
C．kπ－与kπ＋(k∈Z)
D．2kπ±与kπ＋(k∈Z)
解析：kπ－＝(k－1)π＋，k∈Z.
答案：CD
5．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
答案：
研习1 角度制和弧度制的概念及其转换
[典例1]　(1)(多选题)下列命题中，正确的是　　　(　　)
A．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
B．1 rad的角等于1度的角
C．180°的角一定等于π rad的角
D．“度”和“弧度”是度量角的两种单位
(2)①把－157°30′化成弧度；
②把化成度．
(1)[解析]　对于D，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故D正确；对于A，因为1°＝，1＝，所以A正确；对于C，由弧度制规定知，π rad＝180°，故C正确．
[答案]　ACD
(2)[解]　①－157°30′＝－157.5°，
由于180°＝π rad，有1°＝ rad，
所以－157.5°＝－157.5×＝－，
即－157°30′＝－rad.
②由于π rad＝180°，有1 rad＝°，
所以＝×°＝72°，即＝72°.
巧归纳
1．角度制与弧度制换算的要点
2．角度制与弧度制换算时应注意的三个问题
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．
(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．
(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．　
[练习1]　已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝π，β2＝－π.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1，β2有相同终边的角．
解：(1)∵－570°＝－π＝－π＝－4π＋π，∴－570°与π终边相同，又π在第二象限，∴α1在第二象限．
∵750°＝π＝π＝4π＋，
∴750°与终边相同，又在第一象限，
∴α2在第一象限．
(2)∵β1＝π＝°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理，β2＝－420°，且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.
研习2 用弧度数表示区域角
[典例2]　(1)与角终边相同的角是(　　)
A．
B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ－(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
(2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合．(不包括边界，如图)
(1)[解析]　由2kπ－＝2kπ－4π＋＝(2k－4)π＋，所以角2kπ－(k∈Z)的终边与相同，故选C．
[答案]　C
(2)[解]　如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)．
∴阴影部分内的角的集合为.
如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，M2＝.∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝.
巧归纳
1．用弧度数表示象限角
象限角 集合表示
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
　　2.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．　
3．弧度制下，终边落在坐标轴上的角的集合表示
终边的位置 集合表示
x轴正半轴 {α|α＝2kπ，k∈Z}
x轴负半轴 {α|α＝2kπ＋π，k∈Z}
y轴正半轴
y轴负半轴
x轴 {α|α＝kπ，k∈Z}
y轴
坐标轴
[练习2]　(1)若α是第三象限的角，则π－是(　　)
A．第一或第二象限的角
B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角
D．第二或第四象限的角
(2)将－1 500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角．
(1)解析：因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，则kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，－kπ－＜－＜－kπ－，k∈Z，故－kπ＋＜π－＜－kπ＋，k∈Z.当k为偶数时，π－在第一象限；当k为奇数时，π－在第三象限．
答案：B
(2)解：－1 500°＝－1 500×＝－＝－10π＋.
∵是第四象限角，∴－1 500°是第四象限角．
　　　　　　　　　　　　　　
研习3 扇形弧长与面积公式的应用
[典例3]　在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P转过的弧长是________cm.
[解析]　如图，连接OP且延长到圆上一点A，
CD＝6 cm，OD＝5 cm，易知OP＝4 cm，A，P两点角速度相同，故5秒后P点转过了25弧度，从而P转过的弧长为25×4＝100(cm)．
[答案]　100
巧归纳
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列式求解是解决此类问题的关键．有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径r的函数，转化为r的二次函数求最值问题.
其步骤为：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2(0<α<2π)和S＝lr(这里α必须是弧度制下的角)．
(2)分析题目中的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)求解．　
[练习3]　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r(0∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时θ＝＝＝2(rad)．
1．(多选题)下列转化结果错误的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－π化成角度是－1 200°
C．－150°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
解析：A,60°＝60×＝；B，－π＝－×180°＝－600°；C，－150°＝－150×＝－π；D，＝×180°＝15°.故选BC．
答案：BC
2．角－的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：－＝－4π＋，的终边位于第四象限．
答案：D
3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C．
答案：C
4.如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为________．
解析：如图，连接AO，OB，
因为∠ACB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，
故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
答案：
5．扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S.
(1)依题意有
由①，得l＝10－2r，代入②，得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝(rad)．
(2)由l＋2r＝10，得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋(0当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2(rad)．
　
[示例]　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
[错解]　(1)330°＋2kπ<θ<75°＋2kπ(k∈Z)，
(2)225°＋2kπ<θ<135°＋2kπ(k∈Z)．
[错因分析]　在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．
[正解]　(1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，且－30°＝－，75°＝，
∴所求角的集合为
.
(2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，
且－135°＝－，135°＝，
∴所求角的集合为
.
[点评]　一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式．
课时作业(三十三)　弧度制
一、选择题
1．下列说法中，错误的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：D
2．在(－π，4π)内与－终边相同的角有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：C
3．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
4．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位的单位制叫做密位制．在角的密位制中，采用4个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数和十位数之间画一条短线连接(不足100密位的角用0补全百位和十位)，例如7密位写成“0－07”，2 021密位写成“20－21”，1周角等于6 000密位，记作“60－00”．如果一个半径为2的扇形的面积为π，则其圆心角用密位制表示为(　　)
A．12－50 B．17－50
C．21－100 D．35－00
解析：设扇形半径为r，圆心角为α，
由扇形面积为αr2＝α·22＝π，
解得α＝π，则其表示的密位为π÷(2π)×6 000＝1 750，即17－50.故选B．
答案：B
5．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝(　　)
A．
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
解析：令k＝－1,0可得集合A的两个子集分别为{α|－2π≤α≤－π}和{α|0≤α≤π}，所以A∩B＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．
答案：D
6．(多选题)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么(　　)
A．α1≈127.5° B．α1≈137.5°
C．α2＝(－1)π D．＝
解析：设扇形的半径为R，由＝＝，故D正确；
由α1＋α2＝2π，
所以α2＋α2＝2π，解得α2＝(－1)π，故C正确；
由≈0.618，则－1≈1.236，
所以α2＝(－1)π≈1.236×180°≈222.5°，
所以α1≈360°－222.5°＝137.5°，故B正确．故选BCD．
答案：BCD
二、填空题
7．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．
答案：
8．若圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝α.
答案：
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.
答案：或
三、解答题
10．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
解：因为120°＝＝，所以的长为6×＝4π.
所以S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，交AB于点D，则点D为AB的中点，
所以S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos×3＝9.
所以S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形ACB的面积为12π－9.
11．半径为12 cm，弧长为8π cm的弧所对的圆心角为α，写出与角α终边相同的角的集合A，并判断A是否为B＝的真子集．
解：由已知扇形的半径为12 cm，弧长为8π cm，
∴α＝＝.∴与α终边相同的角的集合为
A＝.
又当k＝4n＋1时，＋＝2nπ＋，
∴A是B的真子集．
12．已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．
解：(1)由题意，可得2r＋αr＝C，则αr＝C－2r，
得扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr，
故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.
(2)由题意，可得S＝αr2，则αr＝，
得扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，
当且仅当2r＝，即r＝时取等号，
即当r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.
13．如图，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．点P逆时针方向每秒转，点Q顺时针方向每秒转，试求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长．
解：设经过t s后第一次相遇.t＝2π，
即t＝4 (s)，则第5次相遇在20 s时．
当t＝20 s时，点P走过的弧长为×20＝，
点Q走过的弧长为×20＝.
因为＝6π＋，则两点相遇时所在位置为处．
5．2　任意角的三角函数
5．2.1　任意角三角函数的定义
新课程标准 新学法解读
1．借助单位圆理解任意角的三角函数意义． 2．能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号． 3．通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 1．通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养． 2．通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
笔记　　教材
知识点一　三角函数的定义
1．任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数
(1)前提：设角α的顶点是坐标系的原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α终边上任一点Q(x，y)．
(2)结论：OQ的长度为r＝，且sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．单位圆中任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
知识点二　三角函数的符号
正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
知识点三　三角函数线
单位圆与三角函数线．
如图，以原点为圆心，半径为1的圆称作单位圆．
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴，则sin α＝y，cos α＝x，即P(cos α，sin α)．
cos α＝x＝OM；sin α＝y＝MP.
于是我们把规定了方向的线段OM，MP分别称作角α的余弦线、正弦线．
设单位圆在点A的切线与角α的终边或其反向延长线相交于点T( T′) ，则
tan α＝＝＝AT(AT′)，
所以AT(AT′)称作角α的正切线.
自我　　检测
1．若角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．5
解析：r＝，cos α＝＝＝－.∴b＝3.
答案：A
2．已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
3．(多选题)若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α的可能取值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：设角α的终边y＝－2x上一点(a，－2a)，
当a＞0时，则r＝a，此时sin α＝＝－；
当a＜0时，则r＝－a，此时sin α＝＝.
故选CD．
答案：CD
研习1 三角函数的定义及应用
[典例1]　(1)已知角α的终边经过点P(－3,4)，则sin α的值等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
(1)[解析]　∵r＝＝5，∴sin α＝.
[答案]　C
(2)[解]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得
sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2.
巧归纳
用定义求三角函数值
(1)若已知角α的终边上一点P(a，b)，可以用定义sin α＝，cos α＝，tan α＝直接写出三角函数的值．
(2)若已知角α的终边在某条直线上求角α的三角函数值时，先明确角α所在象限，再从角α终边上任取一点，注意这里点的坐标一定与所在象限对应，再利用定义写出所求三角函数的值．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
[练习1]　(1)若点P在角的终边上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为(　　)
A．(1，) B．(－，1)
C．(－1，－) D．(－1，)
(2)(2021·北京卷) 若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
解析：(1)设P(x，y)是角的终边上任意一点，且|OP|＝2，
∴cos＝，sin ＝.
∴x＝|OP|cos＝2×＝－1，
y＝|OP|sin＝2×＝.
∴点P的坐标为(－1，)．故选D．
(2)∵P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，
即θ，θ＋关于y轴对称，
∴θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为.
故答案为.
答案：(1)D　(2)(满足θ＝＋kπ，k∈Z即可)
研习2 三角函数符号的判断
[典例2]　(1)函数y＝＋＋的值域为(　　)
A．{－1,3} B．{－1,1,3}
C．{－1,0,1,3} D．{－3，－1,1,3}
(2)若sin 2α>0，cos α<0，试确定α所在的象限．
(1)[解析]　由题可知，y＝＋＋的定义域为xx≠，k∈Z.
当x在第一象限时，各三角函数值均大于0，则y＝3；
当x在第二象限时，只有sin x＞0，则y＝1－1－1＝－1；
当x在第三象限时，只有tan x＞0，则y＝－1－1＋1＝－1；
当x在第四象限时，只有cos x＞0，则y＝－1＋1－1＝－1.
所以函数的值域为{－1,3}．
[答案]　A
(2)[解]　∵sin 2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π，k∈Z.∴kπ<α<＋kπ，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ<α<2nπ＋(n∈Z)，
∴α是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π<α<2nπ＋(n∈Z)，
∴α是第三象限角．
∴当sin 2α>0时，α是第一或第三象限角．
又由cos α<0可知，α在第二或第三象限，或终边与x轴的负半轴重合．
综上可知，α在第三象限．
巧归纳
判断三角函数值在各象限的符号的方法
(1)依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断．
(2)记住正弦、余弦函数值的正负规律：
[练习2]　确定下列各式的符号：
(1)sin 105°·cos 230°；
(2)sin·tan；
(3)cos 6·tan 6.
解：(1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin 105°>0，cos 230°<0.
∴sin 105°·cos 230°<0.
(2)∵<<π，
∴是第二象限角，则sin>0，tan<0.
∴sin·tan<0.
(3)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.
研习3 三角函数线
[典例3]　(1)已知a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
(2)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
①－；②；③.
(3)利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．
①cos α＞－；②tan α≤；
[思路点拨]　→→
(1)[解析]　由如图的三角函数线知：
MP＜AT，因为＞＝，所以MP＞OM，
所以cos＜sin＜tan，所以b＜a＜c.
[答案]　D
(2)[解]　如图．
其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．
(3)[解]　①如图，由余弦线知，角α的取值范围是.
②如图，由正切线知，角α的取值范围是.
巧归纳
1．三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.
2．利用三角函数线比较大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”．
(2)比较三角函数线的长度．
(3)确定有向线段的正负．　
[练习3]　(1)作出－的正弦线、余弦线和正切线；
(2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小；
(3)利用三角函数线确定|sin α|≤的角α的取值范围．
解：(1)如图：
sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
(2)如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，∴sin>sin；
|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；
|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.
如图，由正弦线知，角α的取值范围是.
1.已知点P tan α，cos α 在第三象限，则角α的终边在 　　
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵点P tan α，cos α 在第三象限，
∴∴角α的终边在第二象限，故选B．
答案：B
2.已知角α的终边经过点 3a－9，a＋2 ，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是　　　　.
解析：由三角函数的定义可知，sin α>0 a＋2>0，cos α≤0 3a－9≤0，∴－2答案： －2，3]
3.已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为　　　　.
解析：在角α终边上任取一点P x，y ，则y＝x.
当x>0时，r＝＝x，
sin α＋cos α＝＋＝＋＝.
当x<0时，r＝＝－x，
sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
答案：±
4.已知＝－，且lg cos α 有意义.
1 试判断角α所在的象限；
2 若角α的终边上一点M，且|OM|＝1 O为坐标原点 ，求m的值及sin α的值.
解： 1 由＝－，可知sin α<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角.
由lg cos α 有意义可知，cos α>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角.
综上可知，角α是第四象限角.
2 ∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义，可知
sin α＝＝＝＝－.
[示例]　已知角α的终边上一点P 4t，－3t t≠0 ，求α的各三角函数值.
[错解]　因为点P的坐标是 4t，－3t 且t≠0，
所以r＝|PO|＝＝5t.
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝.
tan α＝＝＝－.
[错因分析]
误区 对涉及到的变量未讨论符号
错因 ①去根号后没有加绝对值； ②没有对t≠0这个条件加以分析
悟区 ＝|a|，去掉绝对值符号时应分a≥0和a<0两种情况讨论，也可以直接从条件出发，因为t≠0，所以分t>0和t<0两种情况讨论
[正解]　因为点P的坐标是 4t，－3t 且t≠0，
所以r＝|PO|＝＝5|t|.
当t>0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t.
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；
当t<0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t.
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.
[点评]　 1 含有参数的式子在化简过程中要注意符号.
2 对参数要注意分类讨论，做到不重不漏.
3 对三角函数的定义要把握准确，尤其是比值问题一定要记准分子和分母所代表的量.
课时作业 三十四 　任意角三角函数的定义
一、选择题
1.已知角α终边经过P，则cos α＝ 　　
A． B．
C． D．±
答案：B
2.如果点P sin θcos θ，2cos θ 位于第三象限，那么角θ所在的象限是 　　
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
3.当α为第二象限角时，＋的值是 　　
A．1 B．0
C．2 D．－2
答案：B
4.已知角θ的终边上有一点 a，a ，a∈R且a≠0，则sin θ＝ 　　
A．
B．－
C．或－
D．根据a值的不同变化
答案：C
5. 多选题 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P m，1－m ，若m＞0，则下列各式一定为正值的是 　　
A．sin α B．cos α
C．sin α－cos α D．sin α＋cos α
解析：当m＝2时，sin α＜0，所以选项A错误；
由角α的终边过点P m，1－m ，m＞0，得
cos α＝＞0，所以选项B正确；
当m＝时，sin α＝cos α，sin α－cos α＝0，所以选项C错误；
又tan α＝＝－1＞－1，即＞－1，所以sin α＞－cos α，即sin α＋cos α＞0，所以选项D正确.
故选BD．
答案：BD
6.设角α属于第二象限角，且＝－cos，则角属于 　　
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由题意得2kπ＋<α<2kπ＋π k∈Z ，
∴kπ＋<当k＝2n n∈Z 时，的终边在第一象限；
当k＝2n＋1 n∈Z 时，的终边在第三象限.
又＝－cos，
∴cos≤0，∴的终边在第三象限.
答案：C
二、填空题
7.5sin 90°＋2cos 0°－3sin 270°＋10cos 180°＝　　　　.
解析：原式＝5＋2＋3－10＝0.
答案：0
8.已知角α的终边过点 －3cos θ，4cos θ ，其中θ∈，则cos α＝　　　　.
解析：∵θ∈，∴cos θ<0，r＝5|cos θ|＝－5cos θ，∴cos α＝＝.
答案：
9.已知α∈ 0，4π ，且sin α＝，则α的值为　　　　.
解析：作出满足sin α＝的角的终边，如图：
直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，
则终边在OA，OB上的角的集合为
.
又α∈ 0，4π ，所以α＝或或或.
答案：或或或
三、解答题
10.化简下列各式：
1 2cos－tan＋tan2－sin＋cos2＋sin；
2 a2cos 2π－b2sin＋abcos π－absin.
解： 1 原式＝0－1＋－＋－1＝－.
2 原式＝a2＋b2－ab－ab＝a2＋b2－2ab＝ a－b 2.
11.利用三角函数线解不等式：
1 已知cos α＜，求α的取值范围；
2 已知－≤sin α＜，求α的取值范围.
解： 1 如图，由余弦线知，角α的取值范围是
.
2 由三角函数线可知，sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin α＜，故α的取值集合是[2kπ－，2kπ＋)∪(kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)．
12．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
解：当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，
取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
5．2.2　同角三角函数的基本关系
新课程标准 新学法解读
1．理解同角三角函数的基本关系式． 2．会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
笔记　　教材
知识点　同角三角函数的基本关系式
自我　　检测
1．(多选题)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)
A．tan α＝
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝
D．sin α－cos α＝－
解析：∵sin α＝，且α为锐角，
∴cos α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝，sin α＋cos α＝＋＝，
sin α－cos α＝－＝.故选AB．
答案：AB
2．化简的结果是(　　)
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
答案：C
3．已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
解析：由tan α＝＝2，得
sin α＝2cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
所以4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，
又α∈，所以cos α＝－.
答案：－
4．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.
解析：因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
所以sin αcos α＝－.
答案：－
研习1 求三角函数值
[典例1]　(1)若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α＝(　　)
A．－ B．
C．± D．±
(2)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－4 B．4
C．－8 D．8
[解析]　(1)由α是第二象限角，得cos α＝－＝－＝－，
∴tan α＝＝－.
(2)tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.
[答案]　(1)A　(2)C
巧归纳
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分类讨论．　
[练习1]　(1)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)已知tan α＝，α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
(1)解析：∵α是第二象限角，
∴cos α<0.又∵sin α＝，
∴cos α＝－＝－.
答案：A
(2)解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α在第三象限，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
研习2 切化弦，弦化切的应用
[典例2]　已知tan α＝3.
(1)求的值；
(2)求sin2α－3sin αcos α＋1的值．
[思路点拨]　对于(1)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(2)，如果把分母视作1，进行1的代换，即1＝sin2α＋cos2α，然后运用(1)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin2α＋cos2α＝1中，求出cos2α，把待求式消去sin α，也化为cos2α的表达式求解．
[解]　(1)∵tan α＝3，
∴＝＝.
(2)∵tan α＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴原式＝
＝
＝＝＝1.
巧归纳
1．关于sin α，cos α的齐次式的求值方法
(1)sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，如可化为，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，如3sin2α－2cos2α可写成，进一步化为，再代入求值．
2．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α之间的关系
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
由以上关系，可知对于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α可以“知一求二”．　
[练习2]　(1)已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)
A． B．－
C．－2 D．2
(2)若tan α＝cos α，则＋cos4α＝________.
解析：(1)由＝5，得＝5，
∴tan α＝2.
∴sin2α－sin αcos α＝＝＝.
(2)∵tan α＝cos α，∴＝cos α，
∴sin α＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sin α－1＝0，
解得sin α＝或sin α＝(舍)．
∴cos2α＝，
∴＋cos4α＝＋(cos2α)2＝＋2＝＋＝2.
答案：(1)A　(2)2
研习3 三角函数式的化简与证明
[典例3]　(1)若π<α<，则＋的化简结果为(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
(1)[解析]　原式＝＋
＝＋＝.
∵π<α<，∴原式＝－.
[答案]　D
(2)[证明]　证法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)
＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝(1－2sin α＋sin2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos2α
＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos2α
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
∴原式成立．
证法二：右边－左边＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)－2(1－sin α)(1＋cos α)
＝(1－sin α)2＋(1－sin2α)＋2(1－sin α)·[cos α－(1＋cos α)]
＝(1－sin α)2＋(1－sin α)(1＋sin α)－2(1－sin α)
＝(1－sin α)[(1－sin α)＋(1＋sin α)－2]＝0.
∴左边＝右边，∴原式成立．
巧归纳
1．三角函数的化简技巧
三角函数式化简的关键是公式的灵活运用，要切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．简单的三角恒等式的证明思路
三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的的化简．
(1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．
(2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证．
(3)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等.
[练习3]　(1)；
(2)证明下列三角恒等式：
①＝；
②＝.
(1)解：
＝＝＝1.
(2)证明：①左边＝＝
＝＝＝＋＝＋
＝＝右边，所以原等式成立．
②左边＝
＝＝
＝＝＝右边，所以原等式成立．
1．若α∈[0,2π)，且＋＝sin α－cos α，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：∵＋＝|sin α|＋|cos α|＝sin α－cos α，∴又α∈[0,2π)，所以α∈.故选B．
答案：B
2．若tan α＝2，则的值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．
答案：B
3．已知cos＝，0＜α＜，则sin＝________.
解析：∵0＜α＜，∴＜α＋＜，
∴sin＝＝.
答案：
4．已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
解析：∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈，
故sin α－cos α＝
＝，
可得sin α＝，cos α＝－，∴tan α＝－.
答案：－
5．已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，求：
(1)tan α；(2).
解：(1)2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α
＝
＝＝1，
即4tan2α－3tan α－1＝0.
解得tan α＝－或tan α＝1.
(2)原式＝＝，
当tan α＝－时，原式＝；
当tan α＝1时，原式＝.
6．求证：＝.
证明：左边
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
　
[示例]　已知sin θ＋cos θ＝，且0<θ<π，求tan θ的值．
[错解]　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－.
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
故sin θ－cos θ＝±.
∴＝＝±7，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
[错因分析]　该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．
[正解]　∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，
解得sin θcos θ＝－.
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝.
∴＝＝7，得tan θ＝－.
[防范措施]　在已知sin θcos θ的值求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时需开方，因此要根据角的范围确定正负号的选择．
课时作业(三十五)　同角三角函数的基本关系
一、选择题
1．化简的结果是(　　)
A．cos 160° B．±|cos 160°|
C．±cos 160° D．－cos 160°
解析：＝＝|cos 160°|＝－cos 160°.
答案：D
2．(多选题)已知sin θcos θ＝，＜θ＜2π，则(　　)
A．θ的终边在第三象限
B．sin θ＋cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝0
D．tan θ＝－1
解析：因为sin θcos θ＝，<θ<2π，则θ为第三象限角，A正确；
由题意得sin θ＜0，cos θ＜0，B错误；
因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝0，
故sin θ－cos θ＝0，C正确；
结合选项C可知，tan θ＝1，D错误．故选AC．
答案：AC
3．(多选题)已知sin θ＝，cos θ＝，则m的值可以等于(　　)
A．0 B．4
C．6 D．8
解析：根据同角三角函数基本关系sin2θ＋cos2θ＝1，可得
2＋2＝1，
解得m＝0或m＝8.故选AD．
答案：AD
4．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－<0，
∴α∈.故为钝角三角形．
答案：B
5．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
答案：C
二、填空题
6．化简(1＋tan215°)cos215°＝________.
解析：(1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
答案：1
7．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.
解析：由cos α<0，tan α>0知，α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝＝－.
答案：－
8．若sin A＝，且A是三角形的一个角，则＝________.
解析：∵A是三角形的一个内角，
∴0代入可求得结果．
答案：6或－
9．已知sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，则＋＝________.
解析：＋＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x2－mx＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得sin θcos θ＝，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±.
答案：±
三、解答题
10．化简：
(1)＋3sin2x；
(2) .
解：(1)原式＝＋3sin2x＝3cos2x＋3sin2x＝3.
(2)原式＝＝|sin 40°－cos 40°|，
∵sin 40°11．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋的值．
解：(1)根据题意，方程判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
∴a≥4或a≤0.
由根与系数的关系，知sin θ＋cos θ＝a，sin θcos θ＝a.
∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2＝1＋2a，即a2－2a－1＝0，
解得a＝1－或a＝1＋(舍)．
∴sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)
＝a(1－a)＝－2.
(2)tan θ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－.
12．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，求tan θ的值．
解：将sin θ＋cos θ＝两边平方，
得1＋2sin θcos θ＝1－，即sin θcos θ＝－.
又sin θcos θ＝＝＝－，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
∵θ∈(0，π)，sin θcos θ＝－<0，∴θ∈.
又sin θ＋cos θ＝>0，
∴|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，
∴tan θ＝－.
5.2.3　诱导公式
第1课时　诱导公式一～四
新课程标准 新学法解读
1．了解三角函数的诱导公式的意义与作用． 2．理解诱导公式的推导过程． 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
笔记　　教材
知识点一　诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：
sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z.
知识点二　诱导公式二～四
后三组诱导公式的顺口溜：函数名不变，符号看象限．
自我　　检测
1．(多选题)若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是(　　)
A．sin α＝sin β
B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β
D．cos(π＋α)＝cos β
解析：∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin(π－β)＝sin β；cos(π＋α)＝－cos α＝－cos(π－β)＝cos β.
答案：AD
2．若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：A
3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________.
解析：tan(π－α)＝－tan α＝－4.
答案：－4
4．化简sin·cos＝________.
解析：sin·cos＝sincos
＝sincos＝sincos
＝＝×＝.
答案：
5．已知cos(α－75°)＝－，则cos(105°＋α)＝________.
答案：
研习1 诱导公式(一)及应用
[典例1]　求值：
(1)sin(－1 740°)cos 1 470°＋cos(－660°)·sin 750°＋tan 405°；
(2)sin2＋tan2tan.
[思路点拨]　
[解]　(1)原式＝sin(60°－5×360°)·cos(30°＋4×360°)＋cos(60°－2×360°)·sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝×＋×＋1＝2.
(2)原式＝sin2＋tan2tan＝sin2＋tan2tan＝2＋2×1＝＋＝.
巧归纳
一些特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360°
角α的 弧度数 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 － － －1 0 1
tan α 0 1 不存在 － － 0 不存在 0
提醒：熟记特殊角的三角函数值对今后学习大有益处
[练习1]　求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
研习2 给角求值问题
[典例2]　求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；
(3)sin·cos·tan.
[思路点拨]　
[解]　(1)解法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
解法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)解法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
解法二：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
(3)原式＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝－sin·cos·tan
＝－××＝－.
巧归纳
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°之间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
[练习2]　求下列三角函数式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos－tan－tan；
(2)cos·sin.
解：(1)原式＝cos＋cos＋cos＋
cos－tan－tan
＝cos＋cos－cos－cos－－tan＝tan－tan＝0.
(2)①当n为奇数时，
原式＝cos·＝cos·
＝－cos·sin＝－×＝－.
②当n为偶数时，
原式＝cos·sin＝cos·sin
＝·＝－×＝.
研习3 给值求值
[典例3]　(1)已知sin＝a，则sin＝(　　)
A．a B．－a
C．±a D．不确定
(2)已知＝3，求tan(5π－α)的值．
(1)[解析]　sin＝sin
＝－sin＝－a.
[答案]　B
(2)[解]　∵
＝
＝＝3.
∴sin α＝－.
∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝，
当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－.
∴tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝±.
巧归纳
解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
[练习3]　(1)若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(2π－α)＝(　　)
A． B．±
C． D．－
(2)已知
＝lg，求＋
的值．
(1)解析：∵cos(α＋π)＝－.
∴cos α＝.又∵<α<2π，
∴sin α＝－＝－＝－，
∴sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：C
(2)解：∵
＝
＝＝－sin α＝lg，
∴sin α＝－lg＝lg＝.
∴＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝18.
研习4 三角函数式的化简与证明
[典例4]　(1)化简：＝________.
(2)设tan＝m，
求证：＝.
(1)[解析]　∵sin 280°＝sin(360°－80°)
＝－sin 80°，
cos 440°＝cos(360°＋80°)＝cos 80°，
sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
cos 800°＝cos(720°＋80°)＝cos 80°，
∴原式＝
＝＝－1.
[答案]　－1
(2)[证明]　左边＝
＝
＝
＝＝右边．∴等式成立．
巧归纳
1．三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的正切函数化为正余弦函数．
(3)注意“1”的变形应用．
2．三角函数关系式的证明方法
证明简单的三角函数关系式常用的途径有：
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.　
[练习4]　(1)化简：＝________.
(2)已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
(1)解析：原式＝
＝＝＝1.
答案：1
(2)证明：∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β(k∈Z)，
∴左边＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β
＝0＝右边，原等式成立．
1．tan 300°＋sin 450°的值是(　　)
A．－1＋ B．1＋
C．－1－ D．1－
解析：tan 300°＋sin 450°＝tan(180°＋120°)＋sin(360°＋90°)＝tan 120°＋sin 90°＝－＋1＝1－，故选D．
答案：D
2．(多选题)下列各式中结果为正的是(　　)
A．sin(－1 000°) B．cos(－2 200°)
C．tan(－10) D．
解析：A中：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
B中：cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；
C中：tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
D中：＝，因为sin>0，tan<0.所以原式>0.
答案：ABD
3．求值：cos＋tan＝________.
解析：原式＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋＝.
答案：
4．计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________.
解析：原式＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0.
答案：0
5．已知＝，
求的值．
解：因为＝，所以3tan α－3＝2tan α＋1，
所以tan α＝4，
所以
＝＝＝.
6．已知sin(α＋π)＝，且sin αcos α<0，
求的值．
解：∵sin(α＋π)＝，∴sin α＝－<0.
又sin αcos α<0，∴cos α>0.
∴α是第四象限角．
∴cos α＝＝＝.
∴tan α＝＝－.
∴原式＝＝
＝＝－.
　
[示例1]　化简：cos＋cos(n∈Z)．
[错解]　原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos.
[错因分析]　错在没有对n进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透．
[思路点拨]　化简sin(kπ＋α)，cos(kπ＋α)(k∈Z)时，需对k是奇数还是偶数分类讨论，可以证明tan(kπ＋α)＝tan α(k∈Z)是成立的．
[正解]　原式＝cos＋cos.
(1)当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)，
原式＝cos＋cos＝－cos－cos＝－2cos；
(2)当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)，
原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos.
故原式＝
[方法技巧]　转化与化归思想在求三角函数式的值中的应用．
[示例2]　已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.
求：(1)sin α－cos α；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．
[思路点拨]　借助同角三角函数基本关系及立方差公式求解．
[解析]　(1)∵sin(π－α)－cos(π＋α)＝，∴sin α＋cos α＝，
对上式平方，得2sin αcos α＝－.
∵<α<π，∴sin α>0>cos α，
故sin α－cos α＝
＝＝＝.
(2)由(1)得，sin αcos α＝－，cos α－sin α＝－，
∴sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)(cos2α＋sin αcos α＋sin2α)
＝×＝－.
[题后反思]　本题体现了转化思想，解决本题可通过观察sin α＋cos α与sin α－cos α的关系及cos3α－sin3α与cos α－sin α，sin αcos α的关系来解．通过这种转化，使复杂的问题变得简单明了，符合处理数学问题时的简单化原则.
课时作业(三十六)　诱导公式一～四
一、选择题
1．sin(－1 920°)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：D
2．(多选题)下列各式中与sin 的值相同的是(其中n∈Z)(　　)
A．sin B．cos
C．sin D．cos
解析：sin＝
cos＝cos＝sin；
sin＝sin；
cos＝cos.故选BC．
答案：BC
3．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
答案：C
4．当θ∈(0，π)时，若cos＝－，则sin的值为(　　)
A．－ B．
C．± D．
解析：∵θ∈(0，π)，∴－θ∈，
∵cos＝－，∴sin＝，
∴sin＝sin＝sin＝.
故选B．
答案：B
5．设f(α)＝，则f的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：D
6．(多选题)如果α＋β＝180°，那么下列等式中不成立的是(　　)
A．cos α＝cos β B．cos α＝－cos β
C．sin α＝－sin β D．sin α＝cos β
解析：因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β，对于A选项，cos α＝cos(180°－β)＝－cos β，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，sin α＝sin(180°－β)＝sin β，故C选项错误，
对于D选项，由于sin α＝sin β，所以sin β＝cos β，显然不一定成立，故D选项错误．故选ACD．
答案：ACD
二、填空题
7．若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
解析：因点P(cos θ，sin θ)与Q在单位圆上，且关于y轴对称，
即cos＝－cos θ，且sin＝sin θ，则θ角的终边与θ＋角的终边关于y轴对称．
即θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，于是得θ＝kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，θ的值为.(答案不唯一)
答案：(答案不唯一)
8．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2 018)＝－1，则f(2 019)＝________.
解析：∵f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)
＝asin(π＋2 018π＋α)＋bcos(π＋2 018π＋β)
＝－asin(2 018π＋α)－bcos(2 018π＋β)＝－f(2 018)，
又f(2 018)＝－1，∴f(2 019)＝1.
答案：1
三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
解：因为点P(－4,3)是角α终边上一点，
所以tan α＝－，
原式＝
＝＝＝tan α＝－.
10．已知＝2，求的值．
解：∵
＝
＝＝.
又由已知得＝－tan α＝2，
∴tan α＝－2.∴原式＝＝.
11．若cos(α－π)＝－，
求的值．
解：原式
＝
＝＝＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．化简下列各式：
(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝＝－cos2α.
(2)原式＝
＝＝－cos θ.
13．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
两式平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或.
当A＝时，cos B＝－<0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，C＝.
第2课时　诱导公式五、六
新课程标准 新学法解读
1．在诱导公式一～四的基础上，掌握诱导公式五～六的推导． 2．能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
笔记　　教材
知识点　诱导公式五、六
1．三角函数的诱导公式五、六
2．对诱导公式的记忆
提醒：诱导公式中把角α看成锐角，但α本身可以是任意角．
自我　　检测
1．(多选题)在△ABC中，下列四个关系中正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．cos(A＋B)＝sin C
C．sin ＝sin
D．cos＝sin
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，即A正确；
sin＝sin＝cos，即D正确．
答案：AD
2．已知sin α＝，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．±
答案：D
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
答案：1
4．cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝________.
解析：cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos289°＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋sin21°＝1＋1＋…＋ ＋cos245°＝44.5.
答案：44.5
　　　　　　　　　　　　　　　　
研习1 利用诱导公式化简求值
[典例1]　已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
[思路点拨]　→→
[解]　(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－.
∵α为第三象限角，∴cos α＝－.
∴f(α)＝－cos α＝.
巧归纳
1．对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
2．对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．
提醒：运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象限的符号．　
[练习1]　(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝(　　)
A．－2 B．2
C．0 D．
(2)已知sin＝，求cos的值．
(1)解析：由已知可得，tan θ＝2，则原式＝＝＝2.故选B．
答案：B
(2)解：∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.
∴cos＝cos＝sin＝.
研习2 利用诱导公式证明恒等式
[典例2]　求证：
＝.
[思路点拨]
[证明]　左边＝
＝
＝
＝＝
＝，
右边＝＝.
∴左边＝右边，故原式成立．
巧归纳
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)作差或作商法，即证明左边－右边＝0或＝1.　
[练习2]　求证：＝－tan α.
证明：左边＝
＝
＝＝
＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
研习3 诱导公式的综合应用
[典例3]　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
[解]　(1)f(α)＝＝cos α.
(2)由(1)知，cos A＝，因为A是△ABC的内角，
所以0＜A＜π.所以sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
巧归纳
1．化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．
(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角．
2．诱导公式之间的联系
诱导公式揭示了角k·±α(k∈Z)与角α的正弦、余弦函数值之间的关系，主要从函数名称和符号两个角度记忆，即把握一个规律：“奇变偶不变，符号看象限”．
解释如下：
(1)“奇变偶不变”是说当k是奇数时，三角函数名称要改变，即正弦变余弦，余弦变正弦．当k是偶数时，三角函数名称不变，即正弦仍为正弦，余弦仍为余弦．
(2)“符号看象限”是说由于公式对于任意角α都成立，不妨将角α看作一个锐角，此时可用旋转的方法，观察角k·±α(k∈Z)所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．　
[练习3]　(多选题)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
解析：当k＝2n，n∈Z时，
A＝＋＝＋＝2.
当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝＋
＝＋＝－2.
答案：BD
1．(多选题)下列与sin θ的值不相等的是(　　)
A．sin(π＋θ) B．sin
C．cos D．cos
解析：sin(π＋θ)＝－sin θ，A符合题意；
sin＝cos θ，B符合题意；
cos＝sin θ，C不符合题意；
cos＝－sin θ，D符合题意．故选ABD．
答案：ABD
2．若sin＝，则cos＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：cos＝cos
＝－sin＝－.
答案：B
3．已知α是锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝________.
解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，∴tan α＝3.
又tan α＝，∴9＝＝，解得sin2α＝.
∵α为锐角，∴sin α＝.
答案：
4．已知cos＝2sin，
则＝________.
解析：∵cos＝2sin，
∴sin α＝2cos α.
原式＝＝＝.
答案：
5．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－＝－.
　
[示例]　已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
[错解]　因为角α的终边过点P(－4,3)，
所以tan α＝＝－，
所以原式＝＝＝－tan α＝.
[错因分析]　错误的根本原因是cos化简时出错，实际上cos＝cos＝cos＝－sin α.
[正解]　因为角α的终边过点P(－4,3)，
所以tan α＝＝－，
所以原式＝
＝
＝
＝
＝tan α＝－.
[答案]　－
课时作业(三十七)　诱导公式五、六
一、选择题
1．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　)
A．a B．－a
C． D．－
答案：B
2．若α为任意角，则满足cos＝cos α的一个k值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：∵cos＝cos α对 α成立．
∴k·＝2nπ，n∈Z，∴k＝8n，n∈Z，故选D．
答案：D
3．已知tan θ＝2，则＝(　　)
A．2 B．－2
C．0 D．3
答案：B
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：C
5．(多选题)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)
A．sin(3π－x)＝sin x
B．sin＝cos
C．cos＝sin 3x
D．cos＝－sin 2x
解析：由于sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，故A正确；
由于sin＝sin＝cos，故B正确；
由于cos＝cos＝－sin 3x，故C错误；
由于cos＝sin 2x，故D错误．故选AB．
答案：AB
6．若sin>0，cos>0，则角θ的终边位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
二、填空题
7．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝________.
解析：∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－.
∴cos＝－sin α＝.
答案：
8．sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
解析：∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，又sin245°＝，∴以上各式相加得和为.
答案：
9．已知θ∈，若cos＝－，则cos＝________.
解析：θ∈，若cos＝－，
可得sin＝－sin＝－cos＝－cos＝，∴θ－∈，
∴cos＝＝.
答案：
10．若k∈{4,5,6,7}，且sin＝－sin α，cos＝cos α，则k＝________.
解析：∵必须是偶数，∴k＝4.
答案：4
三、解答题
11．求证：＝－1.
证明：∵左边＝
＝＝＝－1＝右边．
∴原等式成立．
12．已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
解：∵cos(π＋α)＝－，∴－cos α＝－，即cos α＝.
又∵α是第四象限角，∴sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.
(2)
＝
＝
＝
＝＝－＝－4.
13．已知sin α＋cos α＝－.
(1)求sincos的值；
(2)若＜α＜π，且角β终边经过点P(－3，)，求＋＋的值．
解：(1)因为sin α＋cos α＝－，①两边平方，可得1＋2sin α cos α＝，可得sin α cos α＝－，所以sin·cos＝cos αsin α＝－.
(2)由<α<π，可得cos α<0，sin α>0，
可得sin α－cos α＝＝＝，②所以由①②可得cos α＝－，sin α＝，
又角β终边经过点P(－3，)，
可得cos β＝＝－.
所以＋＋＝－＋＝.
14．是否存在角α，β，其中α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？
解：已知可化为sin α＝sin β，①
cos α＝cos β，②
①2＋②2，得cos2α＝，∴sin2α＝.
又∵α∈，∴sin α＝±，∴α＝或－.
当α＝时，由cos α＝cos β，得cos β＝，
∵β∈(0，π)，∴β＝且满足sin α＝sin β.
当α＝－时，由cos α＝cos β，得cos β＝，
∵β∈(0，π)，∴β＝，但不满足sin α＝sin β.
∴α＝，β＝.
5.3　三角函数的图象与性质
5．3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第1课时　正弦函数、余弦函数的图象
新课程标准 新学法解读
1．能利用三角函数的定义，画y＝sin x，y＝cos x的图象． 2．掌握“五点法”画y＝sin x，y＝cos x的图象的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线． 3．理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的联系. 通过利用定义和“五点法”作y＝sin x与y＝cos x的图象，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
笔记　　教材
知识点一　正弦函数的图象
1．正弦曲线：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法——借助三角函数线；
(2)描点法——五点法．
用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
知识点二　余弦函数的图象
1．余弦曲线：余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cos x＝sin.
(2)用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
自我　　检测
1．(多选题)对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法正确的是(　　)
A．向左右无限伸展
B．与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
答案：ABC
2．若点M在函数y＝sin x的图象上，则m的值为(　　)
A． B．
C． D．1
答案：B
3．函数y＝sin|x|的图象是(　　)
解析：y＝sin|x|＝画出简图知应选B．
答案：B
4．用“五点法”画出y＝2sin x在[0,2π]内的图象时，应取的五个点为__________________________．
解析：可结合函数y＝sin x的五个关键点寻找，即把y＝sin x的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．
答案：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
5．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
答案：2
研习1 用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
[典例1]　用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sin x；(2)y＝cos x－1.
[思路点拨]　在区间[0,2π]上按五个关键点列表、描点，并用光滑的曲线将这些点连接起来．
[解]　(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2－sin x 2 1 2 3 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图①所示)．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
cos x－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图②所示)．
巧归纳
作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节．
五个关键点的意义：
[练习1]　(1)函数y＝sin，x∈图象上的五个关键点是________________________________．
(2)作出函数y＝的图象．
(1)解析：由x－＝0，，π，，2π，得x＝，π，，2π，.
故五个关键点是：，(π，1)，，(2π，－1)，.
答案：，(π，1)，，(2π，－1)，
(2)解：将y＝化为y＝|sin x|，即
y＝
其图象如图．
研习2 正、余弦函数图象的应用
[典例2]　根据正弦函数的图象，求满足sin x≥的x的范围．
[思路点拨]　→→→
[解]　在同一坐标系内画出y＝sin x和y＝的图象，如图所示：
由图看到在x∈[0,2π]内，
满足sin x≥的x为≤x≤.
再由诱导公式一，知终边相同的角的三角函数值相同，
所以在x∈R时，满足sin x≥的x的范围为
.
巧归纳
利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数)求字母参数的范围问题．
[练习2]　(1)函数y＝的定义域是(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
(2)方程sin x＝lg x的解有________个．
解析：(1)由题意得|sin x|－cos x≥0，
即或
在同一坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0,2π]上的图象(图略)，由图知，x∈，故2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.故选D．
(2)用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再向右平移2π个单位，得到y＝sin x在[0,4π]上的图象．描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知，方程sin x＝lg x的解有3个．
答案：(1)D　(2)3
1．(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A．作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与x轴的单位长度必须一致
B．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P对称
C．y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称图形
D．正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域
解析：结合正、余弦函数的图象可知，A，C，D均正确．
答案：ACD
2．在(0,2π)上，使cos x>sin x成立的x的取值范围是(　　)
A．∪
B．∪
C．
D．
解析：解法一：在同一坐标系中画出函数y＝sin x和y＝cos x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示，
可知，当0sin x，故选A．
解法二：第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cos x>sin x.
∵x∈(0,2π)，
∴cos x>sin x成立的x范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．故选A．
答案：A
3．画出正弦函数y＝sin x(x∈R)的简图，并根据图象写出当－≤y≤时x的集合．
解：如图，过点，分别作x轴的平行线，从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点，k∈Z，，k∈Z和，k∈Z，，k∈Z，那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，
即当－≤y≤时，x的集合为∪.
4．根据y＝cos x的图象解不等式：
－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解：函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
.
课时作业(三十八)　正弦函数、余弦函数的图象
一、选择题
1．(多选题)函数y＝的函数值可以取(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．2
解析：∵－1≤sin x≤1，∴≤－1或≥1，
即函数y＝的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选项BCD满足．故选BCD．
答案：BCD
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
答案：D
3．在[0,2π]内，不等式sin x＜－的解集是(　　)
A．(0，π) B．
C． D．
答案：C
4．函数y＝的定义域为(　　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：由2sin x－1≥0，得sin x≥，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为(k∈Z)．
答案：B
5．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：A
6．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形．那么此封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．4π D．8π
解析：如图，由对称性知S1＝S2，S3＝S4，
∴封闭图形的面积为S矩形ABCD＝2×＝4π.
答案：C
二、填空题
7．若函数y＝asin x＋b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________.
解析：|a|＝＝4，故a＝±4.
∴－4≤asin x≤4，又∵－7≤asin x＋b≤1，故b＝－3.
答案：±4　－3
8．关于三角函数的图象，有下列命题：
①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是________．
解析：对②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称，由图象可知，①③均不正确．
答案：②④
9．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数f (x)＝[x]也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[2.39]＝2，[－0.17]＝－1.若函数f (k)＝(k∈Z)，则f (k)的值域为________．
解析：当＝＋2k1π，k，k1∈Z或＝＋2k2π，k，k2∈Z时，
cos＝－，f (k)＝－1；
当＝2π＋2k3π，k，k3∈Z时，cos＝1，f (k)＝1；
故f (k)的值域为{－1,1}．
答案：{－1,1}
三、解答题
10．求满足sin≤的x的取值范围．
解：令z＝x＋，则sin z≤，在同一坐标系中作出y＝sin z与直线y＝的图象，如图，
观察在区间长度为2π上的情况，在内适合sin z≤的z∈，根据诱导公式(一)知，
z∈(k∈Z)，
即－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.
∴－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.
即满足sin≤的x的取值范围为
(k∈Z)．
11．用五点法作出函数y＝cos，x∈的图象．
解：找出五点，列表如下：
x＋ 0 π 2π
x －
y 1 0 －1 0 1
描点作图．
12．画出函数y＝|sin x|，x∈R的简图．
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝|sin x| 0 1 0

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