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第一章 数的认识
第3节 小数的认识
知识点一 小数的意义
1.定义
把整数“1”平均分成 10份,100 份,1000 份,……这样的1份是十分之几、百分之几、千分之几……，可以用小数表示为零点几、零点零几、零点零零几……
2.小数的数位和计数单位
同整数一样，小数的计数单位也是按照一定的顺序排列起来的，它们所占的位置叫做小数的数位。
小数的小数部分按从左往右的顺序，计数单位依次是十分之一( 或0.1)、百分之一( 或0.01)、千分之一( 或0.001)、万分之( 或0.0001)……每相邻两个计数单位间的进率都是十。小数部分最高位十分位上的计数单位是十分之一，它与整数部分最低位个位上的计数单位一(或个)之间的进率也是十。
3.小数的数位顺序表
整数部分 小数点 小数部分
…… 亿级 万级 个级
数位 …… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位 ……
计数单位 …… 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个(一) 十分 之 一 百分之一 千分之一 ……
知识点二 小数的读法和写法
1.小数的读法：读小数时，整数部分按照整数的读法去读，整数部分是0的读作“零”，小数点读作“点”，小数部分可以顺次读出每个数位上的数字。
2.小数的写法：写小数时，整数部分按照整数的写法去写。整数部分是零的写作“0”，小数点写在整数部分的右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 如：零点零一四，写作：0.014;七点零八,写作:7.08。
知识点三 小数的基本性质
小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。
知识点四 小数点位置的移动引起小数的大小变化
小数点向右移动一位、两位、三位 ，小数的值就扩大10 倍、100倍、1000倍……;小数点向左移动一位、两位、三位 ，小数的值就缩小到原来的
知识点五 小数大小的比较
比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大……依此类推。
知识点六 小数的近似数
求一个小数的近似数，与求整数的近似数的方法相同，通常用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
温馨提示：在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。
知识点七 小数的分类
按小数部分分类
1.有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
2.无限小数：小数部分的位数是无限的小数。无限小数分为循环小数和无限不循环小数。
3.循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的数叫做循环小数。
4.循环节：循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。循环小数通常在第一个循环节的首尾项上各加一个圆点表示。
如:0.22…=0.2 0.6272727…=0.627
经 典 例 题
【例1】 判断：在0.8的末尾添加一个0后，小数的大小和意义都不变。 ( )
【解析】 在0.8的末尾添加一个0，小数变为0.80。 由小数的基本性质可知,0.80=0.8,但0.8表示十分之八，而0.80表示百分之八十，所以意义并不相同。
【答案】
【例2】 把0.006先扩大到它的1000倍,再缩小到原来的 后是( )。
【解析】 把0.006 扩大到它的1000 倍,就是将0.006的小数点向右移动三位，得6，再把6缩小到原来的 就是把6的小数点向左移动两位,得0.06。
【答案】 0.06
【例3】 一个循环小数是9.964，把它保留一位小数是( )，精确到百分位是( )。
【解析】 把9.964保留一位小数，要看百分位上的数字，再根据“四舍五入”法求近似数，把9.964精确到百分位，要看千分位上的数字，再根据“四舍五入”求近似值。
【答案】 10.0 9.96
【例4】 甲、乙两数的和是 3.52，如果把乙数的小数点向右移动一位，则甲、乙两数相等，甲数是多少
【解析】 把乙数的小数点向右移动，乙数就扩大到原来的10倍，这时甲数等于乙数，也就是说甲数是乙数的10倍，它们的和3.52 就是乙数的(10+1)倍。列式求甲数。
3.52÷(10+1)×10=3.2
【答案】 3.2
分 级 训 练
基础过关
一、填空题。
1.0.29的计数单位是( )，它是由( )个这样的计数单位组成的。
2.0.72里有( )个千分之一。把0.72缩小到原来的 ，得到的数是( )。
3.14÷11的商用循环小数表示是( )，保留三位小数后是( )。
4.在0.56、0.56和0.56中,( )是有限小数,( )是无限小数,( )是纯循环小数。
5.0.99的计数单位是( )，它有( )个这样的计数单位，至少再添上( )个这样的计数单位它就成了整数。
6.大小两个数的和是199.98，若把较小数的小数点向右移动一位，正好和大数相等，这样的两个数是( )和( )。
7.一个数由30个0.1,4个0.01组成,这个数写作( ),读作( )。
8.把14.57 的小数点先向右移动四位，再向左移动三位，结果是( )，比原数增加了( )倍。
9.一个两位小数，用“四舍五入”法保留一位小数是7.0，这个数原来最小是( )，最大是( )。
二、判断题。
1.大于0.7且小于0.9的小数只有0.8。 ( )
2.小数点的后面添上0或去掉0，小数的大小不变。 ( )
3.无限小数一定是循环小数，循环小数一定是无限小数。 ( )
4.小数0.95没有整数部分。 ( )
5.12.3795保留三位小数是12.380。 ( )
6.读小数和读整数一样，连续几个0可以只读1个0。 ( )
三、选择题。
1.在2.63里面有( )个百分之一。
A.63 B.263 C.10 D.100
2.10.988按四舍五入精确到百分位，结果是( )。
A.11 B.11.00 C.10.90 D.10.99
3.在4.683>4.6□4>4.663的□里填上最大的数是( )。
A.9 B.7 C.5 D.3
4.不改变0.7的大小，将它改写成以千分之一为单位的数是( )。
A.0.007 B.0.70 C.7.000 D.0.700
5.在小数0.705的末尾添上两个0，这个小数的大小( )。
A.扩大到原来的100倍 B.缩小到原来的
C.不变 D.缩小到原来的
能力提升
四、按要求排一排。
1.3 3.4 0.43 31% π
( )>( )>( )>( )>( )
2.6.36 6.36 6.36 6.6 6.3
( )>( )>( )>( )>( )
3.3.14 3.14 π 3.14 3.144
( )<( )<( )<( )<( )
五、把下面表格填完整。
保留整数 保留一位小数 精确到百分位
3.968
4.049
0.84
六、解决问题。
1.用3、0、7和4这几个数字各写出一个符合下面要求的数，每个数字都要用到且只能用一次。
(1)写出一个小于1的最小的三位小数。
(2)写出一个小于7的最大的三位小数。
(3)写出一个不读出0的两位小数
2.小刚读一个小数时，把小数点读丢了，读成了四万五千零一，原来的小数只读一个零，原来的小数是多少
3.把 化成循环小数，小数点右边第2016位上的数是几
思维拓展
七、一个小数的小数点向左移动两位后，比原来减少了13.068，这个小数是多少
第4节 分数与百分数
知识点一 分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。表示其中一份的数叫分数单位。
知识点二 分数的分类
1.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。如：
2.假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。如： , 。一个假分数，如果分子不是分母的倍数，它就可以写成由一个整数和一个真分数合并而成的分数，叫做带分数。如： 可以写成3
知识点三 分数的读法和写法
1.分数的读法
在读真分数和假分数时，先读分母，再读“分之”，后读分子。如： 读作十七分之二十一。在读带分数时，先读带分数的整数部分，再读分数部分，并在两者之间加读“又”字。如：3 读作三又二分之一。
2.分数的写法
写真分数或假分数时，先写出分数线，再写分母，后写分子。写带分数时，先写带分数的整数部分，后写分数部分。如：五又七分之二写作
知识点四 分数与除法的关系
温馨提示：因为零不能作除数，因此，所有分数的分母不能为零。
知识点五 分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
1.约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数。
2.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。
知识点六 分数的大小比较
1.同分母分数的大小比较
分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。
2.同分子分数的大小比较
分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。
3.分子、分母都不相同的分数的大小比较
分子、分母都不相同的分数比较大小，一般先通分再比较，也可以把各个分数分别化成小数再比较。
知识点七 百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。
知识点八 折扣和成数
1.折扣：折表示十分之几，化成百分数就是百分之几十。如：八折就是 80%，七五折就是75%。
2.成数：表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。例如：“二成”就是十分之二，改写成百分数是20%，“三成五”是十分之三点五，写成百分数是35%。
知识点九 税率和利率
1.纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家，缴纳的税款叫做应纳税额。应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
2.利率
人们常把暂时不用的钱存入银行，存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。存入银行的钱叫做本金，取款时银行多支付的钱叫做利息；单位时间(如1年、1月、1日等)内利息与本金的比率叫做利率。利息的计算公式是：利息=本金×利率×存期。
知识点十 小数、分数和百分数的互化及大小比较
1.小数、分数和百分数的互化
温馨提示：判断一个分数能否改写成有限小数：首先要看是否是最简分数，再看分母，分母中如果只含有质因数2和5 的，能改写成有限小数；分母中除了2和5以外，还有其他的质因数，则不能改写成有限小数；分母中如果不含有质因数2和5的，不能改写成有限小数，而能改写成循环小数。
2.分数、小数、百分数的大小比较
把握一个总体原则：一般都统一化成小数的形式进行比较：(是循环小数的视情况取一定的位数比较，以能与其他小数比出大小为准)
知识点十一 倒数
1.倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数：
2.倒数的特点：1的倒数是1，0没有倒数：倒数是相互依存的，不能单独存在。
经 典 例题
【例1】 (1)把一条长4米的绳子，平均分成6 份，每份占这条绳子的 每份是( )米。
(2)分数单位是 的所有最简真分数的和是( )。
【解析】 (1)分数的意义表示把单位“1”(4米)平均分成6份，表示其中的1份，可以用分数 来表示，所以每份占这条绳子的 。除法的意义表示把4米平均分成6份，求每份是多少。 (米)= (米)，每份是 米。(2)在完成此题时一定要注意同时考虑“最简”和“真分数”这两个条件，符合此条件的有 ，共6个，其和是3。其实此类题型，所求的最简真分数正好是成对存在的，并且每对的和都是1。
【答案】 (1) (2)3
【例2】 填空。
( )%=0.8
【解析】 本题综合运用分数、除法、比的基本关系和分数、比的基本性质等有关知识来解答，解答此题的关键是先根据已知项求得最简分数，如本题中 ，然后以 为条件逐一求出其他各项，
【答案】 (80)%=0.8
【例3】 有一个分数，分子加上1后可约分为 ，分母减去1后可约分为 。这个分数是多少
【解析】 方法一(试算法)：因为 和 是约分后的最简分数，所以可以利用分数的基本性质，列举出约分前的分数。 ，比较可发现 与 正好分子、分母分别相差1，所以原来的分数是
方法二(代数法)：设原分数是 则有 又有 所以 解得a=3,b=4×3+4=16。
【例 4】 将 从大到小排列。
分级 训练
基础过关
一、填空题。
1.把1根5m长的木料平均分成8段，每段占全长的( )，每段长( )m。如果锯成3段需6分钟。锯成4段需( )分钟。
2.3 的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。
3.( )(填小数)=( )折=( )成
4.把一个最简分数的分子扩大4倍得 ，这个最简分数是( )，把一个最简分数的分母扩大4倍是 ，这个最简分数是( )。
5.若4a=5b,那么a:b=( ),a比b多( )%,a是a与b的和的( )。
6.一桶水，当水结成冰时，它的体积增加了 ，当冰化成水，体积减少( )。
7.在1.67, ,1.6,160%,1.506这组数中,最大的数是( ),最小的数是( ),相等的两个数是( )。 )和(
8.一种商品打七折出售，售价是原价的( )%。
9.一种商品因滞销降价20%，后来转为畅销，要恢复原价，应提价( )%。
二、判断题。
1.一根绳子长80%米。 ( )
2.99件产品全部合部，合格率是99%。 ( )
3.一杯盐水100g，含盐率是10%，如果再加5g盐，含盐率达到15%。 ( )
4.如果甲(甲、乙都不为0)，则甲>乙。 ( )
5.8千克的 和3千克的一样重。 ( )
6.因为 所以 的分数单位比 的分数单位大。 ( )
能力提升
三、选择题。
1.分母是最小合数的最简真分数有( )。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.100元增加它的10%后,再减少10%结果是( )。
A.100 B.110 C.99 D.120
3. 的分子减少18，要使这个分数的大小不变，分母应该变成( )。
A.10 B.46 C.7 D.6
4.在 中的□里，能填写的整数有( )。
A.8、9、10、11、12、13 B.9、10、11、12、13、14
C.9、10、11、12、13 D.无数个
5.把一桶20升的纯牛奶喝掉1升，再用水添满，则牛奶的浓度为( )。
A.90% B.10% C.95% D.85%
四、解决问题。
1.把 的分子加上14，要使分数的大小不变，分母应怎样变化
2.已知 那么A 表示的最大整数是多少
3.把 按从小到大的顺序排列。
4.一件衣服原价200元，先打九折后又打八折，现在这件衣服卖多少元
思维拓展
五、最简分数的分母减去一个数，分子加上同一个数，所得分数约分后是 这个数是多少
参考答案：
第3节
一、1.0.01 29 2.720 0.0072 3.1.27 1.273 4.0.56 0.56和0.56 0.56 5.0.01 99 1 6.18.18 181.8 7.3.04
三点零四 8.145.7 9 9.6.95 7.04
二、1.× 2.× 3.× 4.× 5. 6.×
三、1. B 2. D 3. B 4. D 5. C
四、1.3.4 3 π 0.43 31%2.6.6 6.36 6.36 6.366.3 3.3.14 3.14 π 3.144 3.14
五、4 4.0 3.97 4 4.0 4.05 1 0.8 0.85
六、1.(1)0.347 (2)4.730(3)30.47
2.450.01
2016÷6=336
答：小数点右边第2016位上的数是5。
七、13.068÷(100-1)=0.132
0.132×100=13.2
第4节
一、1. 9 2. 53 7 3.2 20 0.4 四 四
4. 5.5:4 25 6. 7.1.67 1.506 160%8.70 9.25
二、1.× 2.× 3.× 4.× 5. 6.×
三、1. B 2. C 3. C 4. C 5. C
四、1.7+14=21
21÷7=3
16×3=48
48-16=32
答：分母应增加32。
答：A表示的最大整数是44。
4.200×90%×80%=144(元)
五、9+5=14
3+4=7
14÷7=2
6-5=1
答：这个数是1。

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