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第二十章 数据的分析—八年级下册数学人教版期末四步复习法
第一步：学习目标
1.数据的集中趋势 （1）理解平均数、中位数、众数的意义 （2）会计算一组数据的加权平均数、中位数、众数、能选择适当的统计量表示数据的集中趋势 （3）会用样本平均数估计总体平均数
2.数据的波动程度 （1）理解方差的统计意义，会计算简单数据的方差
第二步：思维导图
第三步：重难知识、易混易错
算术平均数
算术平均数：一般地，如果有个数，那么我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作，则.
【重点】平均数的性质
若一组数据的平均数为，则
（1）数据的平均数为；
（2）数据的平均数为；
（3）数据的平均数为.
加权平均数
1.一般地，若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
2.在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，···，出现次（这里），那么这个数的平均数也叫做这个数的加权平均数，其中分别叫做的权.
3.用样本平均数估计总体平均数
（1）组中值：数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值.
（2）用样本的平均数估计总体的平均数：当所要考查的对象很多，或者对考查对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识.例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数.
中位数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
众数
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
【注意】
众数可能是一个或多个，在一组数据中，当出现次数最多的数据只有一个时，这组数据的众数只有一个；当出现次数最多的数据不止一个时，这组数据的众数就有多个；当每个数据出现的次数相同时，这组数据就没有研究众数的必要了.
方差
1.方差的概念：设有个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是
，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动性的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作.
2.方差的计算公式：若个数据的平均数为，
则方差.
3.方差的意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
例题练习
1．某次射击比赛中，甲队员的成绩如图所示，根据图中的数据，下列结论中错误的是( )
A.这组成绩的最高成绩是9.4环 B.这组成绩的平均成绩是9环
C.这组成绩的众数是9环 D.这组成绩的方差是8.7
答案：D
解析：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
这组成绩的平均成绩是，故选项B不合题意；
这10次成绩中出现次数最多的是9，因此这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是：
，故选项D符合题意.
故选：D.
2．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
课外书数量/本 6 7 9 12
人数 6 9 10 5
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A.8，9 B.10，9 C.7，12 D.8，10
答案：A
解析：数据排序后，第15个和第16个数据为7和9，
∴中位数为，
∵9出现的次数最多，
∴众数为9.
故选：A.
3．某校在国学文化进校园活动中,随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示,这组数据的众数和中位数分别是( )
学生数(人) 5 8 14 19 4
时间(小时) 6 7 8 9 10
A.14,9 B.9,9 C.9,8 D.8,9
答案：C
解析：观察、分析表格中的数据可得：
∵课外阅读时间为9小时的人数最多为19人,
∴众数为9.
∵将这组数据按照从小到大的顺序排列,第25个和第26个数据的均为8,
∴中位数为8.
故选C.
4．为增强学校之间的友谊,某市举办联合篮球比赛,下表是A校篮球队员的身高：
身高 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是( )
A.篮球队员身高的众数是 B.篮球队员的平均身高是
C.篮球队员身高的中位数是 D.篮球队员身高的方差是
答案：B
解析：A.∵出现的次数最多,
∴众数是,故不正确；
B.平均数,正确；
C.∵从小到大排列后排在第5和第6位的是,
∴中位数是,故不正确；
D.
故不正确.
故选B.
5．老师在黑板上写出一个计算方差的算式： ，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是( )
A. B.平均数为8
C.添加一个数8后方差不变 D.这组数据的众数是6
答案：C
解析：根据题意得：该组数据为10，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为：
∴添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故选：C.
6．甲、乙、丙、丁四种小麦的平均苗高都是，方差分别是，，，，则小麦长势最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案：D
解析：，，，，
，小麦长势最稳定的是丁，
故选：D.
7．九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的( )
A.方差 B.众数 C.中位数 D.平均数
答案：B
解析：九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，
这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的众数，故选：B.
8．要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手,应关注的统计量是( )
A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数
答案：B
解析：要从两名水平相当的射击运动员中挑选出成绩更稳定的选手,应关注的统计量是方差,
故选：B.
9．某银行需要招聘一名大堂经理，应聘者王琳三项指标得分如下表，若从左至右依次赋予的权重，则她的最终成绩为______分.
应聘者 信息处理 人际沟通 理解判断
王琳 80 90 80
答案：83
解析：王琳的最终成绩为：(分).
10．小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛,她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分,72分,81分,若依次按照40%,30%,30%的百分比确定成绩,则她的平均成绩是______分.
答案：80.3
解析：∵(分),
∴她的平均成绩是80.3分.
故答案为：80.3.
11．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8,则这组数据的中位数为_____.
答案：5
解析：∵数据1、3、x、5、8的众数为8,
∴,
则数据重新排列为1、3、5、8、8,
所以中位数为5,
故答案为5.
12．为了解某一路口的汽车流量，调查了10天中同一时段通过该路口的汽车数量（单位：辆），结果如下：
183 209 195 178 204 215 191 208 167 197
在该时段中，平均约有多少辆汽车通过这个路口？
答案：195辆
解析：（辆）.
所以在该时段中，平均约有195辆汽车通过这个路口.
13．某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘.通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示.
应试者 计算机 语言 商品知识
甲 70 50 80
乙 90 75 45
丙 50 60 85
（1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5，计算三名应试者的平均成绩.从成绩看，应该录取谁？
（2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占，，，计算三名应试者的平均成绩.从成绩看，应该录取谁？
答案：（1）（分）；（分）；（分）；录取丙
（2）（分）；（分）；（分）；录取乙
解析：（1）（分）；
（分）；
（分）.
从成绩看，应该录取丙.
（2）（分）；
（分）；
（分）.
从成绩看，应该录取乙.
第四步：对接中考
1．[2024年云南中考真题]甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9.9 9.5 8.2 8.5
0.09 0.65 0.16 2.85
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2．[2024年新疆中考真题]某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：，，，，则应选择的运动员是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3．[2024年四川雅安中考真题]某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89.关于这组数据，下列说法中正确的是( )
A.众数是92 B.中位数是
C.平均数是84 D.方差是13
4．[2024年四川成都中考真题]为深入贯彻落实《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是( )
A.53 B.55 C.58 D.64
5．[2024年湖南中考真题]某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141.这组数据的中位数是( )
A.130 B.158 C.160 D.192
6．[2024年山东日照中考真题]某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示,那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是( )
A.9,9 B.14,9 C.14,8.5 D.9,8.5
7．[2024年江苏徐州中考真题]铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”(如图所示),测得它们的质量(单位：g)分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7.这组数据的中位数为( )
A.7.1 B.6.9 C.6.8 D.6.6
8．[2024年宁夏中考真题]某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩(单位：次)如表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 3 8 6 5 2
则本次测试成绩的中位数和众数分别是( )
A.172和172 B.172和173 C.173和172 D.173和173
9．[2024年四川资阳中考真题]6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为( )
A.5，4 B.6，5 C.6，7 D.7，7
10．[2024年甘肃兰州中考真题]甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.其中正确的是______.（填序号）
11．[2024年湖南长沙中考真题]为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知___________种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）.
12．[2024年新疆中考真题]学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如下表：
口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取.通过计算，你认为__________同学将被录取.
13．[2024年广东中考真题]数据5，2，5，4，3的众数是_______.
14．[2024年黑龙江牡丹江中考真题]已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为______.
15．[2024年河南中考真题]为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分.
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
16．[2024年广西中考真题]某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如下表：
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数.
答案以及解析
对接中考
1．答案：A
解析：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，
故选：A.
2．答案：C
解析：，，，，，，
丙运动员成绩最优异且发挥稳定.
故选：C.
3．答案：D
解析：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，
出现次数最多是82，即众数为82；
最中间的两个数为83和85，即中位数为84；
，即平均数为85；
，即方差为13.
故选：D.
4．答案：B
解析：将这组数据按照从小到大的顺序排列，为50，51，55，55，61，64，位于中间位置的两个数为55，55，它们的平均数为55，所以中位数为55.故选B.
5．答案：B
解析：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
中位数是158，
故选：B.
6．答案：A
解析：由统计图可知,该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是9小时,故众数是9,
处在第、位的是9,故中位数是,
故选：A.
7．答案：B
解析：将这组数据重新排列得6.6,6.6,6.8,6.9,7.4,7.5,7.7.
所以这组数据的中位数为6.9.
故选:B.
8．答案：C
解析：中位数是第12、13个数据的平均数,
所以中位数为,
这组数据中172出现次数最多,
所以众数为172,
故选:C.
9．答案：C
解析：中位数：，
众数：7.
故选：C.
10．答案：①②
解析：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误.
故答案为：①②.
11．答案：甲
解析：，
甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲.
12．答案：乙
解析：根据题意可知，甲同学的成绩为：（分），
乙同学的成绩为：（分）；
，
乙同学将被录取，故答案为：乙.
13．答案：5
解析：数据5,2,5,4,3中,5出现的次数最多,所以众数是5.
故答案为:5.
14．答案：5
解析：这组数据有唯一众数8，
b为8，
中位数是5，
a是5，
这一组数据的平均数为，
故答案为：5.
15．答案：（1）甲；29
（2）甲
（3）乙队员表现更好
解析：(1)由折线图可得甲得分更稳定;
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序,第三次、第四次的成绩分别为28和30,
故中位数为；
(2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分,且甲的得分更稳定,所以甲队员表现更好;(注:答案不唯一,合理即可)
(3)甲的综合得分为.
乙的综合得分为.
因为,所以乙队员表现更好.
16．答案：（1）众数为1、中位数为2、平均数为
（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人
解析：（1）女生进球数的平均数为（个），
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即（个），
女生进球个数为1个的人最多，故众数是1个；
（2）（人），
答：估计为“优秀”等级的女生约为50人.

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