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第十八章 平行四边形—八年级下册数学人教版期末四步复习法
第一步：学习目标
1.平行四边形 （1）理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理及判定定理，并能运用它们进行证明和计算 （2）了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离 （3）理解三角形的中位线的概念，探索并证明三角形的中位线定理，并能运用其解决有关线段的平行和倍分问题
2.特殊的平行四边形 （1）理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系 （2）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算，进一步培养演绎推理能力 （3）理解直角三角形斜边上的中线的性质，并能利用这一性质解决问题
第二步：思维导图
第三步：重难知识、易混易错
平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边相等 四边形是平行四边形，
角 平行四边形的对角相等 四边形是平行四边形，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形是平行四边形，
平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形.
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形.
【例题】下列选项中,属于平行四边形的性质的是( )
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.邻边相等
答案：A
解析：由题意知,平行四边形的对角线互相平分,
故A符合要求,B、C、D不符合要求；
故选：A.
【例题】四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A., B.,
C., D.,
答案：D
解析：A、由“,”可知,四边形ABCD的两组对边互相平行,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意；
B、由“,”可知,四边形ABCD的两组对边相等,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意；
C、由“,”可知,四边形ABCD的两条对角线互相平分,则该四边形是平行四边形.故本选项不符合题意；
D、由“,”可知,四边形ABCD的一组对边平行,另一组对边相等,据此不能判定该四边形是平行四边形.故本选项符合题意.
故选D.
【例题】如图，在中，，于点，若，则______
答案：50
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
中位线
在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
【例题】如图A,B两处被池塘阻隔,为测量A,B两地的距离,在地面上选一点C,连结,,分别取,的中点D,E.测得,则A,B两地的距离为______m.
答案：10
解析：∵D,E是,的中点,
∴是的中位线,
∴,
故答案为：.
矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质（见下表）.
性质 数学语言 图形
角 矩形的四个角都是直角 四边形是矩形，
对角线 矩形的对角线相等 四边形是矩形，
矩形的判定
判定方法 数学语言 图形
角 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 在中， ， 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中， ， 四边形是矩形.
对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ， 是矩形
【例题】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案：C
解析：根据矩形的性质，得，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
解得.
故选C.
【例题】如图，在中，，点O是斜边的中点，过点A作，与的延长线交于点D，连接.求证：四边形是矩形.
答案：见解析
解析：∵，点O是斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【例题】用刻度尺(单位：)测量某三角形部件的尺寸.如图,,D为边的中点,点A、B对应的刻度分别为1,6.则的长为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意得：,
,D为边的中点,
,
故选：C.
菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，总结见下表.
性质 数学语言 图形
边 菱形的四条边都相等 四边形是菱形， .
对角线 菱形的两条对角巷互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形是菱形， ,
对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴
菱形的面积
公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公式 菱形是平行四边形. 菱形的面积=底×高.
菱形的对角线互相垂直 菱形的面积=对角线长的乘积的一半
【拓展】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
菱形的判定
判定方法 数学语言 图示
边 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）. 在中， 是菱形.
四条边相等的四边形是菱形. 在四边形中， 四边形是菱形.
对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， 是菱形.
【例题】已知：如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，且.
求证：四边形是菱形.
答案：见详解
解析：证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是菱形；
【例题】如图，在菱形中，于点E，，，则的长是_____.
答案：
解析：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：.
正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质.
元素 性质
边 对边平行，四条边都相等
角 四个角都是直角
对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 是轴对称图形，有四条对称轴
正方形的判定
1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.
2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形.
四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系如图所示.
【例题】小明用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具.他先将学具调整为图(1)所示的菱形,其中,然后调整为图(2)所示的正方形,此时对角线,则图(1)中菱形的对角线的长为( )
A.6 B.8 C. D.
答案：C
解析：如图1中,连接,,交点为O,
在图2中,∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
在图1中,∵,,
∴是等边三角形,
∴
∵菱形,
∴,,,
∴,
∴,
故选：C.
【例题】如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.四边形EFGH是什么四边形？为什么？
答案：正方形，理由见解析
解析：四边形EFGH是正方形.
理由：E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，
，
，
四边形EFGH是菱形.
又，
四边形EFGH是正方形.
【例题】如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵四边形ABCD为矩形,
∴要使其为正方形,只需要使矩形ABCD为菱形即可,
∴可添加.
故选：B.
第四步：对接中考
1．[2024年内蒙古通辽中考真题]如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是( )
A. B.
C. D.
2．[2024年山东济宁中考真题]如图,菱形的对角线,相交于点O,E是的中点,连接.若,则菱形的边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
3．[2024年青海中考真题]如图，在中，D是AC的中点，，，则BC的长是( )
A.3 B.6 C. D.
4．[2024年山东济宁中考真题]如图,四边形的对角线,相交于点O,,请补充一个条件______,使四边形是平行四边形.
5．[2024年四川甘孜州中考真题]在菱形ABCD中，，则菱形的周长是___.
6．[2024年甘肃兰州中考真题]如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______.
7．[2024年湖南长沙中考真题]如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接.若，则的长为___________.
8．[2024年湖南中考真题]如图，在四边形中，，点E在边上，.请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长.
9．[2024年贵州中考真题]如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②.
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积.
10．[2024年吉林长春中考真题]如图，在四边形中，，O是边的中点，.求证：四边形是矩形.
11．[2024年福建中考真题]如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且.
求证：.
12．[2024年江苏徐州中考真题]已知：如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD的延长线上,连接EA、EC.
(1)求证：；
(2)若,求证：.
答案以及解析
对接中考
1．答案：D
解析：A、，
，
四边形是平行四边形，
是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是菱形，故本选项不符合题意；
C、，
，即，
四边形是平行四边形，
是菱形，故本选项不符合题意；
D、，
，无法得到是菱形，故本选项符合题意；
故选：D.
2．答案：A
解析：∵四边形是菱形,
,
∵E是的中点,
,
∴.
故选：A.
3．答案：A
解析：点D是斜边的中点,,
,
,
为等边三角形,
,
故选:A.
4．答案：(答案不唯一)
解析：添加条件：,
证明：∵,
∴,
在和中,
,
∴
∴,
∴四边形是平行四边形.
故答案为：(答案不唯一)
5．答案：8cm
解析：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为，
故答案为：8cm.
6．答案：2
解析：四边形为正方形，为等边三角形，，，
，，，，
，
；
故答案为：2.
7．答案：24
解析：D，E分别是，的中点，
是的中点，
，
故答案为：.
8．答案：（1）①或②，证明见解析
（2）6
解析：（1）选择①，证明：，
，
，
四边形为平行四边形；
选择②，证明：，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）由（1）得，
，，
.
9．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）选择①，
证明：，，
是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
选择②，
证明：，，
是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
（2），
，
矩形的面积为.
10．答案：证明见解析.
解析：证明：O是边的中点，
，
在和中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形.
11．答案：见解析
解析：证明：四边形是菱形，
，.
在和中，
，.
12．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴,,
在和中,
,
∴；
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.

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