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7．3　组　　合
7.3.1　组　　合(1)
1. 理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．
2. 了解组合数的意义，理解排列数与组合数间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
活动一 背景引入
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出 2名同学分别担任正、副班长，有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出 2名去参加学校的学生代表会，有多少种不同的选法？
思考1
(1) 问题2是不是我们前面讲的排列问题？为什么？
(2) 这两个问题的本质区别是什么？
活动二　了解组合的概念　
1. 组合的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考2
(1) 1，2，3和3，1，2是相同的排列吗？是相同的组合吗？
(2) 什么是相同的排列？什么是相同的组合？
组合的特点：
(1) 不同元素；
(2) “只取不排”——无序性；
(3) 相同组合：元素相同．
例1　判断下列问题哪些是组合问题，哪些是排列问题？
(1) 在北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线上(假设来回的票价相同)，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
(2) 高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3) 从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员3个职务，有多少种不同的选法？选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
(4) 10个人互相通信一次，共写了多少封信？
(5) 10个人互通电话一次，共通了多少个电话？
1. 判断一个问题是排列还是组合的关键点是：有序性与无序性．
2. 排列与组合的联系与区别：
联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．
区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
例2　(1) 写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合；
(2) 写出从a，b，c这3个元素中，每次取出2个元素的所有排列．
(1) 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出2个元素的所有组合；
(2) 写出从a，b，c，d这4个元素中，每次取出2个元素的所有排列．
活动三　了解组合数的概念及组合数公式
2. 组合数的概念：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
思考3
从4个不同元素a，b，c，d中取出2个元素的组合数C是多少呢？组合数C与排列数A有什么关系呢？
3. 组合数公式的推导：
组合数的公式：
C＝＝或C＝(n，m∈N*，且m≤n).
活动四　掌握组合数公式的简单应用
例3　计算：
(1) C；
(2) C；
(3) C.
1. (教材改编)从4名老师和10名学生中各选1人组成1个小组，则不同的选法共有(　　)
A. 14种 B. 24种 C. 36种 D. 40种
2. (教材改编)若C＝10，则A的值为(　　)
A. 30 B. 20 C. 12 D. 6
3. (多选)(2024江苏月考)下列问题是组合问题的有(　　)
A. 设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
B. 某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价
C. 3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D. 把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法
4. 在1，3，5，7，11，13，17这七个数中取两个数作乘法，可得________个不同的积．
5. 写出从a，b，c，d，e这5个元素中每次取出4个元素的所有不同的组合．
7．3.1　组　　合(2)
1. 掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简．
2. 熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题．
活动一 组合数性质的推导
例1　一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球．
(1) 从口袋内取出3个球，共有多少种不同的取法？
(2) 从口袋内取出5个球，共有多少种不同的取法？
(3) 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种不同的取法？
(4) 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种不同的取法？
思考1
(1) 例1中(1)和(2)中的组合数有什么关系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？
(2) 例1中(1)与(3)(4)有何联系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？
结论：C＝C，C＝C＋C.
规定：C＝1.
思考2
如何证明这两个结论？(试从实际问题模型和组合数公式两个角度给出证明)
活动二　组合数的性质及应用　
组合数的性质1：C＝C.
说明：①规定：C＝1；
②等式特征：等式两边下标相同，上标之和等于下标；
③此性质的作用：当m>时，计算C可变为计算C，能够使运算简化，
例如C＝C＝C＝2 002；
④C＝C x＝y或x＋y＝n.
组合数的性质2：C＝C＋C.
说明：①等式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和等于下标比原下标多1而上标与两个上标中大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算．
例2　(1) 计算：C＋C＋C＋C；
(2) 求证：C＝C＋2C＋C.
例3　证明：C·C＝C·C.
活动三　简单的实际问题　
例4　在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5道试题中任意选答3题，问：
(1) 有几种不同的选题方法？
(2) 若有1道题是必答题，则有几种不同的选题方法？
例5　在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1) 一共有多少种不同的抽法？
(2) 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？
(3) 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？
变式　例5中，抽出的3件中至多有 1件是不合格品的抽法有多少种？
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．
按下列条件，从甲、乙、丙等12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1) 甲、乙、丙三人必须当选；
(2) 甲、乙、丙三人不能当选；
(3) 甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4) 甲、乙、丙三人只有1人当选；
(5) 甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6) 甲、乙、丙三人至少1人当选．
1. (教材改编)若C＝C，则n的值可以是(　　)
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
2. (教材改编)从2名男生中选1人，3名女生中选2人，组成一个由其中1名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为(　　)
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
3. (多选)某学生想在铅球、跳绳、跳远、跳高等七项运动中选三项作为参赛项目，则下列说法中正确的有(　　)
A. 若任意选择三项运动，选法总数为C
B. 若铅球和跳绳至少选一项，选法总数为CC
C. 若铅球和跳高不能同时选，选法总数为C－C
D. 若铅球和跳绳至少选一项，且铅球和跳高不同时选，选法总数为CC－C
4. C＋C＋C＋…＋C＝________．
5. (2024郑州期中)为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复．某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者．
(1) 共有多少种选法？
(2) 如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
7．3.1　组　　合(3)
能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
活动一 巩固排列与组合的基本概念
组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类计数原理和分步计数原理．
学生探究：(完成如下表格)
名称 排列 组合
定义
计算公式
性质
活动二　直接分类与间接求解　
例1　房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有多少种不同的方法？
例2　某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队．
(1) 某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2) 甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3) 甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
例3　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1) 只有一名女生；
(2) 两队长当选；
(3) 至少有一名队长当选；
(4) 至多有两名女生当选．
活动三　几何中的组合问题　
例4　已知平面α∥平面β，在平面α内有4个点，在平面β内有6个点．
(1) 过这10个点中的3个点作一平面，最多可作多少个不同平面？
(2) 以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3) 上述三棱锥中最多可以有多少种不同的体积值？
活动四　分配问题　
例5　有6本不同的书按下列要求进行分配，各有多少种不同的分配方法？
(1) 分成三组，每组分别有1本、2本、3本；
(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3) 分成三组，每组都是2本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本．
1. 将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　)
A. 24种 B. 10种 C. 12种 D. 9种
2. (2024苏州期中)一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数为(　　)
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
3. (多选)在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论中正确的有(　　)
A. 抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有CC种
B. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC种
C. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC＋C种
D. 抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C－C种
4. (2024吉林期末)将5个数字5，3个数字3排成一列，组成八位数，共有________个不同的八位数．(用数字作答)
5. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛的规则，比赛时一个足球队的上场队员人数为11.
(1) 这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种上场的方案？
(2) 如果在选11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么有多少种上场方案？
7．3　组　　合
7.3.1　组　　合(1)
【活动方案】
问题1：正班长有3种选法，副班长有2种选法，根据分步计数原理，共有3×2＝6(种)选法．
问题2：在甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加学生代表会有甲乙，甲丙，乙丙共3种不同的选法．
思考1：(1) 不是，没有顺序之分，不满足排列定义．
(2) 本质区别在于有序选取和无序选取．
思考2：(1) 是不相同的排列，相同的组合．
(2) 相同的排列要求元素和顺序都相同；相同的组合只要元素相同，不论顺序．
例1　(1) 飞机票是排列问题；票价是组合问题．
(2) 组合问题．
(3) 选班长、副班长、学习委员是排列问题；选3人参加某项劳动是组合问题．
(4) 排列问题．
(5) 组合问题．
例2　(1) 所有的组合：ab，ac，bc.
(2) 所有的排列：ab，ba，ac，ca，bc，cb.
跟踪训练　(1) 所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2) 所有的排列：ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc.
思考3：由例2的跟踪训练(1)得C＝6，
又A＝4×3＝12，
所以2C＝A.
3. 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A，可以分如下两步：
①先求出从n个不同元素中取出m个元素的组合数C；
②求每一个组合中m个元素的全排列数A，根据分步计数原理，得到A＝C·A.
因此，我们得到组合数公式C＝＝.
这里m，n∈N*，并且m≤n.
因为A＝，
所以上面的组合数公式还可以写成C＝.
例3　(1) C＝＝36.
(2) C＝＝56.
(3) C＝＝6 724 520.
【检测反馈】
1. D　由题意，得不同的选法共有CC＝40(种).
2. B　因为C＝10，所以A＝CA＝10×2＝20.
3. ABD　对于A，取出的元素与顺序无关，故是组合问题；对于B，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题；对于C，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题；对于D，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪3人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题．故选ABD.
4. 21　在1，3，5，7，11，13，17这七个数中取两个数作乘法所得不同乘积的个数，相当于从七个不同元素中任选出两个元素的组数，即共有C＝＝21(个).
5. 取出的不同组合有abcd，abde，acde，abce，bcde，共有5种不同的组合．
7．3.1　组　　合(2)
【活动方案】
例1　(1) C＝＝56(种).
(2) C＝＝56(种).
(3) C＝＝21(种).
(4) C＝＝35(种).
思考1：(1) 例1中(1)和(2)中的组合数相等，从8个球中取出3个球和从8个球中取出5个球的不同取法种数相等，即C＝C，一般情形为C＝C.
(2) 例1中(1)的组合数与问题(3)(4)的组合数之和相等，从口袋中取出3个球包含2个白球1个黑球和3个白球两种情况，即C＝C＋C，一般情形为C＝C＋C.
思考2：从实际问题模型角度证明如例1.
从组合数公式角度证明如下：
C＝＝＝C.
C＋C＝＋
＝＋
＝＝
＝C.
例2　(1) 原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝210.
(2) 右边＝＋2·＋
＝[(m－n＋2)(m－n＋1)＋2n(m－n＋2)＋n(n－1)]
＝(m2＋3m＋2)
＝＝
＝C＝左边．
例3　左边＝·
＝，
右边＝·＝，
所以C·C＝C·C.
例4　(1) C＝＝10(种).
(2) C＝＝6(种).
例5　(1) C＝＝161 700(种).
(2) CC＝2×＝9 506(种).
(3) CC＋CC＝9 506＋98＝9 604(种).
变式　CC＋C＝9 506＋＝161 602(种).
跟踪训练　(1) C＝＝36(种).
(2) C＝＝126(种).
(3) C＝＝126(种).
(4) CC＝3×＝378(种).
(5) C－C＝－36＝756(种).
(6) C－C＝－126＝666(种).
【检测反馈】
1. A　根据组合数的性质，若C＝C，则3＝17－n或3＋17－n＝n，且n≥3，n≥17－n≥0，n∈N*，解得n＝10或n＝14，故选A.
2. D　先从2名男生中选1名男生，有C种；再从3名女生中选2名女生，有C种；最后从选出的2名女生中选1人为组长，有C种，由分步计数原理，得可以选择的方法种数为CCC＝12.
3. AC　对于A，显然有C种选法，故A正确；对于B，在铅球、跳绳中选一项，其他选两项，有CC种；铅球、跳绳都选，其他选一项，有CC种，总共有CC＋CC＝25(种)选法，故B错误；对于C，任选3项的C种选法中，排除铅球、跳高同时选的C种选法，故C正确；对于D，应分三种情况：①只选铅球，则有C种选法；②只选跳绳，则有C种选法；③若铅球与跳绳都选，则有C种选法，共有C＋C＋C＝20(种)选法，故D错误．故选AC.
4. 714　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C－1＝－1＝714.
5. (1) 可以分三步完成：
先选下午的志愿者，有C种选法；
再选上午的志愿者，有C种选法；
最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有C种选法，
因此，共有CCC种选法．
(2) 当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，
则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有C＝3(种)选法．
7．3.1　组　　合(3)
【活动方案】
学生探究：表格略
例1　开1盏灯有C种方法；开2盏灯有C种方法；开3盏灯有C种方法；开4盏灯有C种方法；5盏灯全开有C种方法，
根据分类计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋C＋C＋C＝31(种).
例2　(1) C＝＝816(种).
(2) C＝＝8 568(种).
(3) CC＋C＝2×＋816＝6 936(种).
(4) C－C－C＝－－＝14 656(种).
例3　(1) CC＝5×＝350(种).
(2) C＝＝165(种).
(3) C－C＝－＝825(种).
(4) CC＋CC＋CC＝＋5×＋×＝966(种).
例4　(1) 当平面α内选1个点，平面β内选2个点时，不同平面有CC＝60(个)；
当平面α内选2个点，平面β内选1个点时，不同平面有CC＝36(个)；
当平面α内选3个点时，所作平面即为平面α；
当平面β内选3个点时，所作平面即为平面β.
故最多可作60＋36＋1＋1＝98(个)不同平面．
(2) 当平面α内选1个点，平面β内选3个点时，三棱锥的个数为CC＝80；
当平面α内选2个点，平面β内选2个点时，三棱锥的个数为CC＝90；
当平面α内选3个点，平面β内选1个点时，三棱锥的个数为CC＝24.
故最多可作80＋90＋24＝194(个)三棱锥．
(3) 因为平面α∥平面β，所以三棱锥最多可以有C＋C＋CC＝114(个)不同的体积．
例5　(1) CCC＝6×10×1＝60(种).
(2) CCCA＝60×6＝360(种).
(3) ＝＝15(种).
(4) ·A＝CCC＝90(种).
【检测反馈】
1. C　第一步，为甲地选1名女教师，有C＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种).
2. B　从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，需要走五段路，其中三纵二横，最短路径有C＝10(条).由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，点B处出发有3条路径，爬过一条后又各有2条最短路径到顶点C处，最短路径有3×2＝6(条)，所以从点A到顶点C可以爬行的不同最短路径条数为10×6＝60.
3. ACD　对于A，抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有C种取法，7件合格品种抽取2件有C种取法，故共有CC种取法，故A正确；对于B，C，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有CC种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有CC种取法；③抽取的3件产品都不合格，有C种取法，故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有CC＋CC＋C种，故B错误，C正确；对于D，10件产品种抽取3件的取法有C种取法，抽出的3件产品中全部合格的取法有C种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C－C种，故D正确．故选ACD.
4. 56　由题意，得共有C＝C＝56(个)不同的八位数．
5. (1) C＝＝12 376(种).
(2) CC＝12 376×11＝136 136(种).

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