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7.4.1　二项式定理(1)
1. 掌握二项式定理和二项展开式的通项，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．
2. 提升归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力．
活动一 背景引入
问题：由多项式的乘法法则可以知道：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
那么你能写出(a＋b)4的展开式吗？
思考1
(a＋b)4展开后，合并同类项之前有几项？
思考2
合并同类项后有几项？
思考3
合并前，每一项的系数是多少？合并后，如何求每一项的系数？
思考4
类比刚才的研究过程思考：(a＋b)n展开后，它的各项是什么呢？
活动二　　二项式定理
1. 二项式定理：
(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－r·br＋…＋Cbn(n∈N*).
思考5
如何证明这个结论呢？
2.
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－r·br＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式 Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn
二项式系数 C(r＝0，1，2，…，n)
二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr
活动三　二项式定理的简单应用　
例1　利用二项式定理展开下列各式：
(1) (a－b)n；
(2) (1＋)4；
(3) (2－)6.
例2　分别求(2a＋3b)6和(3b＋2a)6的展开式中的第3项．
(2a＋3b)6和(3b＋2a)6的二项展开式相同，但展开式中的第r项不相同．
例3　求(1＋2x)7的第4项的二项式系数和系数．
思考6
二项展开式中，某一项的二项式系数与该项的系数有什么区别？
例4　求(x－)6的二项展开式中的常数项．
求二项展开式中的特定项的方法：
利用通项Tk＋1＝Can－kbk进行化简后，令字母的指数符合要求，解出项数k＋1，再代入通项求出结果．
1. 化简1＋3x＋3x2＋x3的结果为(　　)
A. x4 B. (x＋1)3 C. (x＋1)4 D. (x－1)3
2. (教材改编)在(x－1)5的展开式中，含x2的项是(　　)
A. －5x2 B. 5x2 C. －10x2 D. 10x2
3. (多选)若(x－)n的展开式中存在常数项，则n的取值可以是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 若(x－)n的二项展开式共有8项，则n＝________．
5. (教材改编)已知在(3＋)n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中所有的有理项．
7．4.1　二项式定理(2)
1. 进一步理解二项式定理的有关概念．
2. 能熟练地运用二项展开式的通项求满足条件的项．
3. 会解决几个二项式的和与积的有关问题．
活动一 求二项展开式中的特定项
例1　已知(x2－)n，根据下列条件，确定n的值：
(1) 当展开式中的第3项的系数为36时，n＝________；
(2) 当展开式中的第5项是常数项时，n＝________；
(3) 当展开式中的第7项是x的一次项时，n＝________．
例2　已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1) 证明：展开式中没有常数项；
(2) 求展开式中的所有有理项．
活动二　求较复杂展开式中的特定项　
例3　求(1－x)5(1＋x＋x2)4的展开式中含x7项的系数．
例4　求(x2＋3x＋2)4的展开式中含x5项的系数．
活动三　二项式定理的逆用　
例5　(1) 设n∈N*，则C＋C6＋C62＋…＋C6n-1＝__________；
(2) Cxn－Cxn-1＋Cxn-2－…＋(－1)nC＝__________．
1. (2024南通月考)(x＋)(1－x)7的展开式中含x5的项的系数是(　　)
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
2. 已知(2x－3)8＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a8(1－x)8，则a3的值为(　　)
A. 224 B. －224 C. －448 D. 448
3. (多选)在(1＋x2)(2＋x)4的展开式中，下列说法中正确的是(　　)
A. 含x3项的系数为40 B. 含x3项的系数为32
C. 常数项为16 D. 常数项为8
4. C＋2C＋4C＋…＋29C＝________．
5. (2024河南月考)在(1＋x＋2y)10的展开式中，求含x3y2项的系数．
7.4.1　二项式定理(1)
【活动方案】
问题：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
思考1：合并同类项之前有16项．
思考2：合并同类项之后有5项．
思考3：合并前，每一项的系数是1，合并后每一项的系数，就是合并前这个项的个数．
思考4：(a＋b)n的展开式是从每个括号中各取1个字母的一切可能乘积的和，它的每一项都具有an－rbr(r＝0，1，2，…，n)的形式，其系数就是在(a＋b)(a＋b)…(a＋b)的n个括号中选r个取b的方法种数．具体地，在这n个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C种，所以an的系数是C；恰有1个取b的情况有C种，所以an-1b的系数是C；恰有2个取b的情况有C种，所以an-2b2的系数是C；恰有r个取b的情况有C种，所以an－rbr的系数是C；都取b的情况有C种，所以bn的系数是C.因此，(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*).
思考5：①当n＝1时，左边＝a＋b，右边＝Ca1＋Cb1＝a＋b，左边＝右边，所以等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即(a＋b)k＝Cak＋Cak-1b＋…＋Cak－rbr＋…＋Cbk，
那么当n＝k＋1时，(a＋b)k+1＝(a＋b)k(a＋b)＝(Cak＋Cak-1b＋…＋Cak－rbr＋…＋Cbk)(a＋b)＝Cak+1＋Cakb＋…＋Cak－rbr+1＋…＋Cabk＋Cakb＋…＋Cak－rbr+1＋…＋Cabk＋Cbk+1＝Cak+1＋(C＋C)akb＋…＋(C＋C)ak－r·br+1＋…＋(C＋C)abk＋Cbk+1＝Cak+1＋Cakb＋…＋Cak－rbr+1＋…＋Cabk＋Cbk+1，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可得，对任意正整数n，等式都成立．
例1　(1) (a－b)n＝[a＋(－b)]n＝Can＋Can-1·(－b)1＋Can-2(－b)2＋…＋Can－r(－b)r＋…＋C(－b)n＝Can－Can-1b＋Can-2b2－…＋(－1)rCan－rbr＋…＋(－1)nCbn.
(2) (1＋)4＝1＋C()＋C()2＋C()3＋C()4＝1＋＋＋＋.
(3) (2－)6＝C(2)6＋C(2)5·(－)＋C(2)4(－)2＋…＋C(2)0(－)6＝64x3－192x2＋240x－160＋－＋.
例2　(2a＋3b)6展开式中的第3项为T3＝C(2a)4·(3b)2＝2 160a4b2，
(3b＋2a)6展开式中的第3项为T3＝C(3b)4·(2a)2＝4 860b4a2.
例3　由二项式定理可知在(1＋2x)7的展开式中，第4项的二项式系数为C＝35，系数是C·23＝35×8＝280.
思考6：第r＋1项的二项式系数C(r＝0，1，2，3，…，n)只与二项式的指数及项数有关，它是一个组合数；而项的系数是指通项中除字母之外的部分，它与二项式和二项式系数都有关．
例4　设二项展开式中的常数项为第r＋1项，
即Tr＋1＝Cx6-r(－)r＝(－1)rC··x6-2r.
根据题意，得6－2r＝0，r＝3，
所以二项展开式中的常数项为T4＝－＝－.
【检测反馈】
1. B　1＋3x＋3x2＋x3＝C·13＋C·x·12＋C·x2·1＋C·x3＝(x＋1)3.
2. C　(x－1)5的展开式的通项为Tk＋1＝C·x5-k·(－1)k，则5－k＝2，得k＝3，所以含x2的项是T4＝C·x2·(－1)3＝－10x2.
3. BD　因为(x－)n的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxn－r(－1)rx－r＝C(－1)rxn-2r，若(x－)n的展开式中存在常数项，则n－2r＝0，即n＝2r.又n∈N*，r∈N，所以n为正偶数．故选BD.
4. 7　二项式(x－)n的展开式中一共有n＋1项，所以n＋1＝8，解得n＝7.
5. (1) 因为在(3＋)n的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3，
所以＝，即＝，
解得n＝7或n＝0(舍去)，即n＝7.
(2) 因为(3＋)n的展开式的第r＋1项为
Tr＋1＝C(3)7-r()r＝C37-rx(r＝0，1，2，…，7)，
所以当∈Z时，r＝1，3，5，7，
所以(3＋)7的展开式中，有理项分别为T2＝C·36·x2＝5 103x2，
T4＝C·34·x-1＝2 835x-1，
T6＝C·32·x-4＝189x-4，
T8＝C·30·x-7＝x-7.
7．4.1　二项式定理(2)
【活动方案】
例1　(1) 9　由题意，得T3＝C(x2)n-2·(－)2＝C·x2n-5，则C＝36，所以n＝9.
(2) 5　由题意，得T5＝C(x2)n-4·(－)4＝C·x2n-10，则2n－10＝0，解得n＝5.
(3) 8　由题意，得T7＝C(x2)n-6·(－)6＝C·x2n-15，则2n－15＝1，解得n＝8.
例2　(1) (－)n展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝(－1)rC·，
则前三项系数的绝对值分别为1，C()，C()2.
因为前三项系数的绝对值依次成等差数列，
所以2C·()＝1＋C()2，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，
则展开式的第r＋1项为C()8-r(－)r＝(－)rCx.
令＝0，得k＝不是整数，
所以展开式中没有常数项．
(2) 若第r＋1项为有理项，当且仅当为整数时成立，即r的值为0，4，8时成立，则展开式中的所有有理项为T1＝x4，T5＝x，T9＝x-2.
例3　因为(1－x)5(1＋x＋x2)4＝(1－x)[(1－x)(1＋x＋x2)]4＝(1－x)(1－x3)4，所以展开式中含x7项的系数为－1·C(－1)2＝－6.
例4　因为(x2＋3x＋2)4＝[(x＋1)(x＋2)]4＝(x＋1)4(x＋2)4，所以含x5项的系数为CC·23＋CC·22＋CC·2＋CC＝180.
例5　(1) 　因为1＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n＝(1＋6)n＝7n，所以C＋C6＋…＋C6n-1＝.
(2) (x－1)n　Cxn－Cxn-1＋Cxn-2－…＋(－1)nC＝(x－1)n.
【检测反馈】
1. C　因为(x＋)(1－x)7＝x(1－x)7＋(1－x)7，且(1－x)7展开式的通项为Tr＋1＝C·(－x)r＝(－1)rC·xr，r＝0，1，2，…，7，所以展开式中含x5的项的系数为1×(C)＋1×(－C)＝34.
2. D　令1－x＝t，得x＝1－t，则(2x－3)8＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a8(1－x)8，可化为(1＋2t)8＝a0＋a1t＋…＋a8t8，二项展开式的通项为Tr＋1＝C×2r×tr，所以a3＝C×23＝448.
3. AC　(1＋x2)(2＋x)4的展开式中含x3项的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3项的系数为C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数为C·23＝32，所以含x3项的系数为8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中常数项为24＝16，故C正确，D错误．故选AC.
4. 　因为C＋2C＋22C＋23C＋…＋210C＝(1＋2)10＝310，所以C＋2C＋4C＋…＋29C＝.
5. (1＋x＋2y)10表示10个因式1＋x＋2y的乘积，
若要得到x3y2，则需2个因式选2y，3个因式选x，其余的因式选1，
所以含x3y2的项为C·C·C·x3·(2y)2·15＝10 080x3y2，
所以含x3y2项的系数是10 080.

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