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7．4.2　二项式系数的性质及应用
1. 掌握二项式系数的性质，能用二项式的性质解决问题．
2. 能应用二项式系数的性质解决有关二项式系数的最值问题．
活动一 复习巩固
1. 二项式定理及其特例：
(1) (a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2) (1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxr＋…＋Cxn.
2. 二项展开式的通项：Tr＋1＝Can－rbr.
3. 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．
活动二　探求二项式系数的性质　
探究：
1. 请写出当n依次取0，1，2，3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数．
2. 观察二项式系数表与下面的杨辉三角，探究这两者之间有什么关系？
3. 你能从中发现二项式系数有什么特点？
二项式系数的性质：
(a＋b)n展开式的二项式系数是C，C，C，…，C，…，C.C可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0，1，2，…，n}，例如：当n＝6时，其图象是7个孤立的点(如图).
(1) 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(C＝C)，直线r＝是图象的对称轴．
(2) 二项式系数表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
(3) 增减性与最大值．
因为C＝＝C·，所以C相对于C的增减情况由决定．若>1，则k<，当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数，相等且最大．
(4) 二项式系数之和．
因为(1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxr＋…＋Cxn，所以令x＝1，则2n＝C＋C＋C＋…＋C＋…＋C.
活动三　二项式系数性质的应用——赋值法　
例1　证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2) a1＋a3＋a5＋a7；
(3) |a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
活动四　求二项展开式中的有关系数或二项式系数的最大项与最小项　
例3　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数的和大992，求(2x－)2n的展开式中：
(1) 二项式系数最大的项；
(2) 系数的绝对值最大的项．
活动五　整除性问题　
例4　用二项式定理证明：9910－1能被1 000整除．
例5　求证：32n+2－8n－9是64的倍数(n∈N*).
1. (2024北京顺义月考)在(2x＋1)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A. 第7项 B. 第3和第4项 C. 第4项 D. 第3项
2. (2023龙岩期末)设a∈N，且a<17，若522 022＋a能被17整除，则a等于(　　)
A. 0 B. 1 C. 13 D. 16
3. (多选)(2024茂名期中)关于(2x－1)5的展开式，下列说法中正确的是(　　)
A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项
B. 所有项的系数之和为1
C. 常数项为－1
D. 所有项的二项式系数之和为64
4. 设(x＋2m)5＋(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.若a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝243，则m＝________．
5. 已知(x－2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
(1) 求a1＋a2＋…＋a7的值；
(2) 求a1＋a3＋a5＋a7的值．
7．4.2　二项式系数的性质及应用
【活动方案】
1. 当n＝0时，展开式的二项式系数为1；
当n＝1时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝1；
当n＝2时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝2，C＝1；
当n＝3时，展开式的二项式系数为C＝1，C＝3，C＝3，C＝1；
……
2. 二项式系数表的值与杨辉三角的值对应相等．
3. ①每一行中的二项式系数是“对称”的；②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和；③每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大；④第1行为1，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22，…，第n行的各数之和为2n-1.
例1　(a＋b)n＝Can＋Can-1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，
令a＝1，b＝－1，得(1－1)n＝C－C＋C－C＋…＋(－1)nC＝0，
则C＋C＋…＝C＋C＋…，
即在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2　(1) 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－2)7＝－1；
当x＝0时，a0＝(1－2×0)7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2) 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37，
又a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3) 由(2)，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093，
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝1 093＋1 094＝2 187.　
例3　(1) 由题意，得22n－2n＝992，解得n＝5，故(2x－)10的展开式中，第6项的二项式系数最大，即T6＝C·(2x)5·(－)5＝－8 064.　
(2) 设第r＋1项的系数的绝对值最大，则Tr＋1＝C·(2x)10-r(－)r＝(－1)rC·210-r·x10-2r.
由
得解得≤r≤，所以r＝3，
所以系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝(－1)3·C·27·x4＝－15 360x4.
例4　9910－1＝(100－1)10－1＝C10010－C1009＋…＋C(－1)10－1＝C10010－C1009＋…＋C1002－1 000.因为每一项都能被1 000整除，所以原式能被1 000整除．
例5　32n+2－8n－9＝9n+1－8(n＋1)－1＝(8＋1)n+1－8(n＋1)－1＝8n+1＋C8n＋…＋C·1－8(n＋1)－1＝82(8n-1＋C8n-2＋…＋C)＋C·8＋1－8(n＋1)－1＝64(8n-1＋C8n-2＋…＋C)，所以32n+2－8n－9(n∈N*)是64的倍数．
【检测反馈】
1. C　二项式(2x＋1)6的展开式有7项，所以二项式系数最大的项是第4项．
2. D　522 022＋a＝(51＋1)2 022＋a＝C512 022＋C512 021＋C512 020＋…＋C51＋C＋a，因为522 022＋a能被17整除，且C512 022＋C512 021＋C512 020＋…＋C51能被17整除，所以C＋a＝1＋a能被17整除，观察选项可得a＝16.
3. ABC　对于A，所有项的二项式系数为C，C，…，C，最大的为C和C，对应的是第3项和第4项，故A正确；对于B，设f(x)＝(2x－1)5，所有项的系数为a0，a1，…，a5，所以a0＋a1＋…＋a5＝f(1)＝(2×1－1)5＝1，故B正确；对于C，(2x－1)5的展开式的通项为C(2x)5-r(－1)r(r＝0，1，2，3，4，5)，令5－r＝0，解得r＝5，所以常数项为C·20·(－1)5＝－1，故C正确；对于D，所有项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝25＝32，故D错误．故选ABC.
4. 1　令x＝1，则(1＋2m)5＋(1－1)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝243，解得m＝1.
5. (1) 当x＝0时，a0＝－27＝－128；
当x＝1时，a0＋a1＋…＋a7＝－1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－(－128)＝127.
(2) 当x＝－1时，a0－a1＋…－a7＝(－1－2)7＝－37，又a0＋a1＋…＋a7＝－1，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝1 093.

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