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8．1.2　全概率公式
1. 结合古典概型及条件概率的乘法公式，推出全概率公式．
2. 会利用全概率公式计算概率．
3. 结合古典概型了解贝叶斯公式．
活动一 背景引入
思考1
甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球．先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，则该球为红球的概率是多少？
思考2
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的和，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率．
活动二 全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai).
这个公式称为全概率公式．
活动三　全概率公式的应用　
例1　某批麦种中，一等麦种占98%，二等麦种占2%，一、二等麦种种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.5，0.15.求用这批种子种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率．
使用全概率公式的前提是Ai(i＝1，2，3，…，n)是互斥事件，且＝Ω为样本空间，事件B Ω，才能计算事件B发生的概率．
设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率．
例2　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1) 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
1. 利用公式P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
在一个袋子中装有10个球，其中1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
活动四　贝叶斯公式　
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有
P(Ai|B)＝.
这个公式称为贝叶斯公式．
例3　某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%.如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂出产的可能性较大？
在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的．
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
(2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
1. (2024衡阳月考)甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球技高超．甲打赢球技一般的同学的概率为0.9，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为(　　)
A. 0.54 B. 0.58 C. 0.60 D. 0.64
2. (2024宿迁月考)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列结论中正确的有(　　)
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C. 若取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为
D. 若取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率为
4. 在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区的人口数之比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是________．
5. (2024常州期中)为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.求：
(1) 小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率；
(2) 小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率．
8．1.2　全概率公式
【活动方案】
思考1：随机取一只袋，设取到的是甲袋为事件A1，取到的是乙袋为事件A2.再从袋中随机取一个球，取出的球是红球为事件B，则事件B有两类：取出的是甲袋且从中取出的是红球，取出的是乙袋且从中取出的是红球，即 B＝A1B＋A2B.
因为A1B与A2B互斥，
所以P(B)＝P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B).
由概率的乘法公式，
得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
因为P(A1)＝，P(B|A1)＝＝，
P(A2)＝，P(B|A2)＝＝，
所以 P(B)＝×＋×＝.
思考2：记“第2次摸到红球”为事件A，则P(A)＝×＋×＝.
例1　用B表示事件“任取一粒麦种，其种植后所结的穗含有50粒以上的麦粒”，用Ai(i＝1，2)表示事件“任取一粒麦种，结果为第i等麦种”，显然A1与A2互斥，且A1＋A2为样本空间Ω.
由全概率公式，
得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.98×0.5＋0.02×0.15＝0.493.
故用这批种子种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率为0.493.
跟踪训练　记事件A1：从甲袋中取出2个红球，A2：从甲袋中取出2个白球，A3：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球．
显然，A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间Ω.由全概率公式，
得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝·＋·＋·＝.
故从乙袋中取出的是2个红球的概率为.
例2　设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1＋A2表示“不超过2次按对密码”．
(1) 因为事件A1与事件A2互斥，由概率的加法公式，得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2) 用B表示事件“最后一位是偶数”，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((A2)|B)＝＋＝.
跟踪训练　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，
所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝，
所以P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝，
所以所求的概率为.
例3　设事件A1：锄草机是甲厂生产的，事件A2：锄草机是乙厂生产的，事件A3：锄草机是丙厂生产的，事件B：买到一台次品锄草机．
由题意知
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.4，
P(B|A1)＝0.05，P(B|A2)＝0.04，P(B|A3)＝0.02.
由全概率公式得
P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.034 5.
由贝叶斯公式知
P(A1|B)＝＝≈0.362 3.
同理可得
P(A2|B)≈0.405 8，
P(A3|B)≈0.231 9.
故该次品锄草机由乙厂出产的可能性较大．
跟踪训练　用A表示“发送的信号为0”，用B表示“接收到的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收到的信号为1”．由题意，得
P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，P(B|)＝0.05，P(|)＝0.95.
(1) P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，
P()＝1－P(B)＝1－0.475＝0.525.
(2) P(|B)＝＝＝.
【检测反馈】
1. B　根据题意，用A1，A2分别表示甲随机选取的对手是球技一般的同学、球技高超的同学，用B表示甲打赢这场比赛， 可得P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.1，所以由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.58.
2. C　设“取出的是甲袋”为事件A1，“取出的是乙袋”为事件A2，“取出的是丙袋”为事件A3，“该球为红球”为事件B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝.
3. BC　用Ai表示事件“零件为第i(i＝1，2，3)台车床加工”，用B表示事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.对于A，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，故A错误；对于B，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，故B正确；对于C，P(A2|B)＝＝＝，故C正确；对于D，P(A3|B)＝＝＝，故D错误．故选BC.
4. 　由全概率公式，得从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为6%×＋5%×＋4%×＝.
5. (1) 用A1，A2分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用B1，B2分别表示第一次、第二次借阅“文献书籍”，
则P(A1)＝P(B1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|B1)＝，P(B2|B1)＝，P(B2|A1)＝.
记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件C，则
P(C)＝P(A1B2)＋P(B1A2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝×＋×＝.
故所求概率为.
(2) 设第二次借阅“文献书籍”为事件D，则
P(D)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝×＋×＝.
故所求概率为.

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