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第8章　概率
1. 了解条件概率的概念，会利用全概率公式计算概率．
2. 理解离散型随机变量及分布列，掌握二项分布，了解超几何分布．
3. 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题．
4. 了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
活动一 知识梳理
　　
1. 条件概率：
(1) 条件概率：在事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2) 全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)；
(3) 贝叶斯公式P(Ai|B)＝.
2. 离散型随机变量：
(1) 离散型随机变量的概念；
(2) 离散型随机变量的分布列：
若随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
将①用表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
此表称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫作随机变量X的概率分布．
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.
3. 离散型随机变量的期望与方差：
(1) 若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2) 离散型随机变量X的概率分布为上表所示，则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2.
方差也可以用公式D(X)＝pi－μ2计算．
(3) 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.
4. 二项分布：
(1) 二项分布的概念：若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0(2) 若X服从二项分布，则E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
5. 超几何分布：
(1) 超几何分布的概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N).
(2) 若X服从超几何分布，则E(X)＝；D(X)＝.
6. 正态分布：
(1) 设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a(2) ①正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ②通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
活动二　条件概率　
例1　深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队，在对球员的使用上总是进行数据分析．根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.
(1) 当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
(2) 当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当前锋的概率．
袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出 1个球，摸出的球不再放回．求：
(1) 第一次摸到红球的概率；
(2) 在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
(3) 第二次摸到红球的概率．
活动三　离散型随机变量及其分布列　
例2　某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的概率分布、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
例3　某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．
(1) 若有放回地抽取，求X的概率分布与数学期望；
(2) 若不放回地抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．
活动四　正态分布　
例4　某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率直方图．
(1) 求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩(精确到整数)；
(2) 由频率直方图可认为：这次竞赛成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似等于样本的平均数，σ近似等于样本的标准差s，并已求得s≈18.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86，140]之外的人数为Y，求P(Y＝2)的值(精确到0.001).
附：当X～N(μ，σ2)时，P(μ－σ1. (2024郑州期中)若随机变量ξ的概率分布如下表所示，则D(1－3ξ)等于(　　)
ξ －1 0 1
P a a2
A. B. 2 C. D.
2. (2024南阳期末)医学上用血清甲胎蛋白法诊断某种疾病，研究表明，这种诊断方法是可能存有误差的，且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果98%呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果2%呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)下列说法中，正确的是(　　)
A. 设随机变量X服从二项分布B(6，)，则P(X＝3)＝
B. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0C. E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
D. 已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若04. (2024辽阳期末)在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X.若E(X)＝，则m＝________，P(X＝2)＝________．
5. (2024南通月考)某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．求：
(1) 一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2) 每位学生分得月饼数X的概率分布和数学期望．
第8章　概　　率
【活动方案】
例1　(1) 用A1表示“甲球员担当前锋”，A2表示“甲球员担当中锋 ”，A3表示“甲球员担当后卫”，A4表示“甲球员担当守门员”，B表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.
(2) P(A1|B)＝＝＝0.25.
跟踪训练　设事件A为“第一次摸到红球”；事件B为“第二次摸到红球”，则事件为“第一次摸到白球”．
(1) 第一次从10个球中摸1个球，共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，
所以 P(A)＝.
(2) 在第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸1个，共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种，
所以P(B|A)＝.
(3) P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，
所以第二次摸到红球的概率为.
例2　(1) 当n≥16时，y＝80；
当n<16时，y＝10n－80，
所以利润y关于需求量n的函数解析式为y＝
(n∈N).
(2) ①由题意，得X的可能取值为60，70，80，且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，
所以X的概率分布为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
所以E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的概率分布为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
所以E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04，
所以D(X)另外，虽然E(X)答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的概率分布为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
所以E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
所以E(X)例3　(1) P(取到合格品)＝＝，P(取到次品)＝＝，
根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，4，
则P(X＝0)＝C()0()4＝， P(X＝1)＝C()1()3＝， P(X＝2)＝C()2()2＝，P(X＝3)＝C()3·()1＝， P(X＝4)＝C()4()0＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2) 由题意，得总体中合格品的比例为＝.
因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，
所以样本中合格品的比例不小于，且不大于，即样品中合格品的个数为2或3.
因为P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以P(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过)＝＋＝.
例4　(1) ＝10×(65×0.002 8＋75×0.01＋85×0.01＋95×0.018＋105×0.02＋115×0.018＋125×0.012＋135×0.008＋145×0.001 2)＝104.16(分)≈104(分).
(2) 由题意知，X～N(μ，σ2)，且μ＝104，σ＝18，
所以86＝104－18＝μ－σ，140＝104＋18×2＝μ＋2σ，
所以P(86所以P(X≤86或X>140)＝1－0.818 6＝0.181 4，　
所以Y～B(10，0.181 4)，
所以P(Y＝2)＝C×0.181 42×0.818 68≈45×0.006 6＝0.297.
【检测反馈】
1. D　由已知可得a＋＋a2＝1，0≤a<1，0≤a2<1，所以a＝，所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝，所以D(ξ)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝，所以D(1－3ξ)＝9D(ξ)＝.
2. C　记事件A为某人患病，事件B为化验结果呈阳性．由题意可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋(1－)×＝.现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是P(A|B)＝＝＝＝.
3. ABD　对于A，P(X＝3)＝C()3×(1－)3＝，故A正确；对于B，因为随机变量X～N(2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X<0)＝0.1，所以P(04. 1　　由题意知，X～B(3，).因为E(X)＝，所以3×＝，解得m＝1，所以P(X＝2)＝C×()2×＝.
5. (1) 记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以P(A)＝＝.
(2) 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
可得X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

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