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第9章　统计
1. 会求线性回归方程，并运用回归直线进行预测．
2. 理解独立性检验的基本思想及实施步骤．
活动一 知识梳理
　　
1. 线性回归方程：
对于一组数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n，若它们线性相关，则线性回归方程为=x+．其中＝＝，＝－.
2. 2×2列联表：
类1 类2 合计
类A a b a＋b
类B c d c＋d
合计 a＋c b＋d n
其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 独立性检验：
χ2＝.
活动二　线性回归分析　
例1　(2024曲靖月考)某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展一系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中x为年份代号，y(单位：万吨)代表新增碳排放量．
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号x 1 2 3 4 5
新增碳排放量y/万吨 6.1 5.2 4.9 4 3.8
(1) 请计算并用相关系数r的数值说明x与y之间的线性相关性的强弱(保留小数点后两位)；
(2) 求y关于x的线性回归方程，并据此估计该地区2024年的新增碳排放数量．
参考数据：＝66.2，＝118.7，≈1.87，≈5.92.
参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式，相关系数r的公式分别为＝，＝－，r＝.
活动三　独立性检验　
例2　奥运会期间，为调查某高校学生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了60人，结果如下：
愿意 不愿意
男生 20 10
女生 10 20
(1) 用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？
(2) 能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？
参考数据及公式：
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
　　χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
1. (2024辽宁月考)已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：
x －2 －1 1 2 3
y 24 36 40 48 56
且线性回归方程为＝5.5x＋，则当x＝4时，y的预测值为(　　)
A. 59.5 B. 60.5
C. 61.5 D. 62.5
2. (2023德州期末)随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N* )：
支持 不支持
男生 70－m 10＋m
女生 50＋m 30－m
通过计算有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为(　　)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 15 B. 65 C. 16 D. 66
3. (多选)(2024大连期中)下列结论中，正确的是(　　)
A. 以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
B. 在线性回归方程＝－0.8x＋3中，当变量x每增加1个单位时，减少0.8个单位
C. 在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好
D. 对分类变量X和Y来说，它们的统计量χ2的观测值x0越大，“X与Y有关系”的把握程度越小
4. (2024昆明期中)盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查购买该款盲盒是否与性别有关，得到如下2×2列联表：
女生 男生 合计
购买 40 20 60
未购买 70 70 140
合计 110 90 200
则认为是否购买该款盲盒与性别有关出错的可能性为________．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5. (2024温州期中)为了解高中学生每天课后自主学习数学时间x(单位：min)和他们的数学成绩y(单位：分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下：
编号 1 2 3 4 5
学习时间x 30 40 50 60 70
数学成绩y 65 78 85 99 108
(1) 求数学成绩y与学习时间x的相关系数(精确到0.001)；
(2) 请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100 min时的数学成绩(参考数据：＝22 820，＝435，＝38 999，≈107.4，xi(i＝1，2，…，5)的方差为200)；
(3) 基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表如下：
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习 35 130 165
未参与周末在校自主学习 25 30 55
合计 60 160 220
依据表中的数据，是否有99.9%的把握认为学生周末在校自主学习与成绩进步有关．
附：＝＝，＝－，
r＝＝，
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
第9章　统　　计
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得＝＝3，
＝＝4.8，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
r＝
＝
＝
＝＝≈≈－0.98，
因为|r|≈0.98，所以x与y的线性相关程度很强．
(2) ＝＝＝＝－0.58，
＝－＝4.8＋0.58×3＝6.54，
所以＝－0.58x＋6.54，
当x＝6时，＝－0.58×6＋6.54＝3.06(万吨).
故估计该地区2024年的新增碳排放数量为3.06万吨．
例2　(1) 由题意，得男生抽取6×＝4(人).
(2) χ2＝≈6.667，
因为6.667＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．
【检测反馈】
1. A　＝＝0.6，＝＝40.8，所以＝－5.5×＝40.8－5.5×0.6＝37.5，所以＝5.5x＋37.5，故当x＝4时，y的预测值为5.5×4＋37.5＝59.5.
2. D　因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以>3.841，即(m－10)2>28.807 5.因为当10≤m≤20时，函数y＝(m－10)2单调递增，且m∈N*, (15－10)2<28.807 5，(16－10)2>28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66.
3. ABC　对于A，y＝cekx，两边取对数，得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx，则z＝ln c＋kx.因为z＝0.3x＋4，所以ln c＝4，k＝0.3，c＝e4，故A正确；对于B，在线性回归方程＝－0.8x＋3中，当变量x每增加1个单位时，减少0.8个单位，故B正确；对于C，在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好，故C正确；对于D，对分类变量X和Y来说，它们的统计量χ2的观测值x0越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故D错误．故选ABC.
4. 5%　因为χ2＝≈4.714>3.841，故认为是否购买该款盲盒与性别有关出错的可能性为5%.
5. (1) 由题意，得＝＝50，＝＝87，(xi－)2＝200×5＝1 000，所以r＝＝≈≈0.996.
(2) 由(1)知，r≈0.996接近1，
所以y与x之间具有极强的线性相关关系，
故可用线性回归模型进行拟合．
又＝＝＝1.07，
＝－＝87－1.07×50＝33.5，
所以＝1.07x＋33.5，
当x＝100时，＝1.07×100＋33.5＝140.5，
故预测每天课后自主学习数学时间为100 min时的数学成绩为140.5分．
(3) 提出假设H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算，得
χ2＝＝≈12.22.
因为12.22>10.828，
所以有99.9%的把握认为学生周末在校自主学习与成绩进步有关．

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