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6．2.2　排　列　数
6．2.2　排　列　数(1)
1. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法．
2. 掌握并能应用排列数的两个公式．
3. 初步运用所学的排列知识解决简单的实际问题．
活动一　排列数的概念　
1. 排列数的定义：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
思考1
排列和排列数有何区别？
2. 排列数公式的推导：
如何求A？
假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中任取2个元素去填空，一个空位上填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.
由分步计数原理完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1).
思考2
(1) 如何求A？
(2) 如何求A？
排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)
说明：(1) 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数．
(2) 全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)…2×1＝n！(叫做n的阶乘).
另外，我们规定 0！＝1.
练习　计算下表中的阶乘并填入表中：
n 2 3 4 5
n！
n 6 7 8
n！
活动二　排列数公式的两种形式及应用　
例1　计算：
(1) A；
(2) A；
(3) A÷A.
思考3
由(2)(3)我们看到A＝A÷A，那么这个结果有没有一般性呢？
A＝＝.
思考4
如何证明这个结论？
例2　(1) 求证：A＝nA(n≥m≥2)；
(2) 求证：A＋mA＝A；
(3) 解方程：A＝12A.
说明：(1) 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，n∈N*且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
(2) 公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特别是m，n为已知时，公式A＝常用来证明或化简．
活动三　排列数的简单应用　
例3　某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别赛1 次，共要进行多少场比赛？
例4　(1) 有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2) 有5种不同的书，每种都超过3本，要买3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
思考5
例4中两个问题的本质区别在哪里？
1. (2024重庆黔江月考)求A＋A的值为(　　)
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
2. (2024石家庄期中)设n∈N*，且n<19，则(19－n)(20－n)…(2 024－n)等于(　　)
A. A B. A C. A D. A
3. (多选)对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n！！＝n(n－2)(n－4)…6×4×2；当n为奇数时，n！！＝n(n－2)(n－4)…5×3×1，则下列命题中正确的是(　　)
A. (2 009！！)(2 008！！)＝2 009! B. 2 008！！＝2×1 004!
C. 2 008！！的个位数为0 D. 2 009！！的个位数为5
4. (2024中山期末)若A＝10A，则正整数n＝________．
5. (2024淮安洪泽中学等七校联考)(1) 计算：；
(2) 解不等式：A<6A.
6．2.2　排　列　数(2)
1. 会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
2. 能运用分类和分步计数原理解决有限制条件的排列问题．
3. 会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题．
4. 进一步培养分析问题、解决问题的能力，学会一题多解．
活动一 排数问题
例1　用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解决排列问题的关键是审题，确定分类与分步的标准，遵循两个原则：(1) 按事情发生的过程进行分步；(2) 按元素的性质进行分类．
解题策略：
(1) 特殊元素优先安排的策略；
(2) 合理分类与准确分步的策略；
(3) 正难则反、等价转化的策略．
用1，2，3，4，5这五个数字可组成多少个比20 000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？
活动二　座位问题　
例2　3个女生和5个男生排成一排．
(1) 如果两端都不排女生，有多少种不同的排法？
(2) 如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
(3) 如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(4) 如果男生相邻，女生也相邻，有多少种不同的排法？
(5) 如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(6) 如果女生4人，男生5人，男女生相间有多少种排法？
(7) 如果女生4人，男生4人，男女生相间有多少种排法？
将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
1. (2024牡丹江月考)3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为(　　)
A. 72 B. 60 C. 36 D. 30
2. (2024湖北重点高中智学联盟联考)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有(　　)
A. 48个 B. 36个 C. 32个 D. 24个
3. (多选)(2024成都期末)某班一天上午有5节课，现要安排语文、数学、政治、英语、物理5门课程，下列说法中正确的是(　　)
A. 数学不排在第1节，物理不排在第5节共有96种排法
B. 按语文、数学、英语的前后顺序(不一定相邻)共有20种排法
C. 语文和英语必须相邻共有48种排法
D. 数学和物理不相邻共有72种排法
4. (2024合肥六校联盟期末联考)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有________种．
5. (2024宿迁期中)0～9共10个数字．
(1) 可组成多少个无重复数字的四位数？
(2) 可组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3) 可组成多少个无重复数字的大于或等于30 000的五位数？
(4) 在无重复数字的五位数中，50 124从大到小排第几？
6．2.2　排　列　数(1)
【活动方案】
思考1：一个排列是指从n个不同的元素中每次取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列成一列；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．
思考2：(1) 第一步，第1位可以从n个元素中任取1个来填，有n种不同的方法；
第二步，第2位只能从余下的(n－1)个元素中任取1个来填，有(n－1)种不同的方法；
第三步，第3位只能从余下的(n－2)个元素中任取1个来填，有(n－2)种不同的方法，
根据分步计数原理，A＝n(n－1)(n－2).
(2) 同(1)可得A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
练习：2　6　24　120　720　5 040　40 320
例1　(1) A＝10×9×8＝720.
(2) A＝18×17＝306.
(3) A÷A＝18×17＝306.
思考3：有一般性
思考4：因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝＝.
例2　(1) A＝＝n·
＝n·＝nA.
(2) A＋mA＝＋m·
＝＝
＝＝A.
(3) 该方程可化为＝12·，化简，得(11－m)(10－m)＝12，解得m＝7或m＝14(舍去)，故原方程的解为m＝7.
例3　因为任何两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，所以1场比赛对应于从12个不同元素中任取2个元素的1个排列，所以总共进行的比赛场次是A＝12×11＝132(场).故共要进行132场比赛．
例4　(1) 从5本不同的书中选3本送给3名同学，则不同的送法种数为A＝5×4×3＝60.
(2) 由题意，得送每人的书都有5种可能，故不同的送法种数为53＝125.
思考5：(1)中是5本选3本的排列，(2)不是排列．
【检测反馈】
1. B　A＋A＝3×2＋4×3＝18.
2. D　先确定最大数，即2 024－n，再确定因数的个数，即(2 024－n)－(19－n)＋1＝2 006，所以原式＝A.
3. ACD　对于A，由双阶乘的定义，得2 009！！＝1×3×5×…×2 009，2 008！！＝2×4×6×…×2 008，所以(2 009！！)·(2 008！！)＝1×2×3×4×…×2 008×2 009＝2 009！，故A正确；对于B，2 008！！＝2×4×6×…×2 008＝(2×1)×(2×2)×(2×3)×…×(2×1 004)＝21 004×1 004！，故B错误；对于C，2 008！！＝2×4×6×8×10×…×2 008，则2 008！！能被10整除，则2 008！！的个位数为0，故C正确；对于D，因为2 009！！＝1×3×5×…×2 009能被5整除，所以2 009！！的个位数为0或5.又因为2 009！！为奇数，所以2 009！！的个位数为5，故D正确．故选ACD.
4. 8　因为A＝10A，所以2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，且n≥3，n∈N*，整理，得4n－2＝5(n－2)，解得n＝8.
5. (1) 由排列数的公式，得＝＝6.
(2) 由A<6A，可得<6×，
所以(10－x)(9－x)<6，
可得(x－7)(x－12)<0，即7又因为2所以不等式A<6A的解集为{8}．
6．2.2　排　列　数(2)
【活动方案】
例1　方法一：如图所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有A种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有A种取法，根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A×A＝9×9×8＝648.
方法二：如图所示，符合条件的三位数可以分成3类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有A种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有A种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有A种取法．根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为A＋A＋A＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648.
方法三：从0～9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在首位的排列数为A，这些排列不能构成三位数，所以组成的三位数的个数为A－A＝10×9×8－9×8＝648.
跟踪训练　由题意，得万位是2，3，4，5中的一个，
当万位数字是3时，有A＝24(种)情况；
当万位数字是2，4，5时，因为百位数字不是3，所以有3(A－A)＝54(种)情况．
综上所述，无重复数字的五位数有24＋54＝78(个).
例2　(1) AA＝5×4×6！＝14 400(种).
(2) A－AA＝8！－3×2×6！＝36 000(种).
(3) AA＝3！×6！＝4 320(种).
(4) AAA＝3！×5！×2！＝1 440(种).
(5) AA＝5！×6×5×4＝14 400(种).
(6) AA＝4！×5！＝2 880(种).
(7) 2AA＝2×4！×4！＝1 152(种).
跟踪训练　AA＝4！×4！＝576(种)，
故共有576种分配方案．
【检测反馈】
1. A　因为共排3名男生，有A＝6(种)排法，再将女生插入4个空，有A＝12(种)排法，所以女生不能站在一起的排法种数为AA＝72.
2. B　根据题意，能被5整除的没有重复数字的三位数分成两类：①个位数字是0，有A＝20(种)；②个位数字是5，先填百位再填十位，有4×4＝16(种).由分步加法计数原理，可得共有20＋16＝36(个).
3. BCD　对于A，因为当物理排第一节时，共有A＝24(种)排法，当物理不排第一节时，共有AAA＝54(种)，所以数学不排在第1节，物理不排在第5节共有24＋54＝78(种)排法，故A错误；对于B，由题意，得共有＝20(种)排法，故B正确；对于C，由题意，得共有AA＝48(种)排法，故C正确．对于D，由题意，得共有AA＝72(种)排法，故D正确．故选BCD.
4. 36　根据题意，设5人为甲、乙、丙、丁、戊，①将乙、丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与丁、戊全排列，有A＝6(种)安排方法；③排好后，有4个空位，由于甲、乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个安排甲，有A＝3(种)安排方法．故不同的安排方法共有2×6×3＝36(种).
5. (1) 先选1个数字排在首位，其他任意排，故有AA＝4 536(个).
(2) 当0在末位时，有A＝3 024(个)；
当0不在末位时，从2，4，6，8，选一个放在末位，故有AAA＝10 752(个)，
故五位偶数共有3 024＋10 752＝13 776(个).
(3) 大于或等于30 000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9中任选一个，其他的任意排，
故有AA＝21 168(个).
(4) 比50 000大的数有AA＝15 120(个)，
比50 000大且比50 124小的只有50 123，
故在无重复数字的五位数中，50 124从大到小排第15 120－1＝15 119(个).

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