资源简介

6．2.3　组　　合
1. 通过实例，理解组合的概念．
2. 能写出一些简单问题的所有组合.
3. 明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．
活动一　背景引入　
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名同学中选2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
思考1
(1) 问题1是不是我们前面讲的排列问题？为什么？
(2) 这两个问题的本质区别是什么？
活动二　了解组合的概念　
组合的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考2
(1) 1，2，3和3，1，2是相同的排列吗？是相同的组合吗？
(2) 什么是相同的排列？什么是相同的组合？
组合的特点：
(1) 不同元素；
(2) “只取不排”——无序性；
(3) 相同组合：元素相同．
例1　判断下列问题哪些是组合问题，哪些是排列问题？
(1) 在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
(2) 高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3) 从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
1. 判断一个问题是排列还是组合的关键点是判断有序性与无序性．
2. 排列与组合的联系与区别：
排列 组合
联系 二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素
区别 排列与元素的顺序有关 组合与元素的顺序无关
只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列 只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合
校门口停放着9辆共享自行车，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
(1) 从中选3辆，有多少种不同的方法？
(2) 从中选3辆给3位同学有多少种不同的方法？
例2　平面内有A，B，C，D共4个点．
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条？
例3　(1) 写出从a，b，c这三个元素中，每次取出两个元素的所有组合；
(2) 写出从a，b，c这三个元素中，每次取出两个元素的所有排列．
(1) 写出从a，b，c，d这四个元素中，每次取出两个元素的所有组合；
(2) 写出从a，b，c，d这四个元素中，每次取出两个元素的所有排列．
1. (2024南充月考)从包含甲在内的5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选的选法有(　　)
A. 8种 B. 16种 C. 6种 D. 12种
2. 下列问题中，不是组合问题的是(　　)
A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B. 平面上有2 015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D. 从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
3. (多选)下列问题中，是组合问题的有(　　)
A. 由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数
B. 五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1，2，3组成两位数的不同方法数
D. 由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
4. (2024大同期中)从1到9的九个正整数中，任意抽取三个相加，所得和为奇数的不同取法有________种．
5. (1) 写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
(2) 写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有排列．
6．2.3　组　　合
【活动方案】
问题1：在甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动有甲乙，甲丙，乙丙共3种不同的选法．
问题2：6种．
思考1：(1) 不是，没有顺序之分，不满足排列定义．
(2) 本质区别在于有序选取和无序选取．
思考2：(1) 是不相同的排列，相同的组合．
(2) 相同的排列元素和顺序都相同；相同的组合元素相同，不论顺序．
例1　(1) 飞机票是排列问题，飞机票价是组合问题．
(2) 组合问题．
(3) 选班长、副班长、学习委员是排列问题；选三人参加某项劳动是组合问题．
跟踪训练　(1) 与顺序无关，是组合问题．
(2) 选出3辆给3位同学是有顺序的，是排列问题．
例2　(1) 一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A＝4×3＝12.
这12条有向线段分别为，， ，， ，， ，， ， ，， .
(2) 由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： AB，AC，AD，BC，BD，CD.
例3　(1) 所有的组合有ab，ac，bc.
(2) 所有的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb.
跟踪训练　(1) 所有的组合有ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2) 所有的排列有ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc.
【检测反馈】
1. C　从5名学生中选出3名参加社团活动，其中甲必须入选，即从甲以外的4名学生中选出2名参加社团活动，选法有6种．
2. D　因为组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，对于D，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，所以是排列问题，不是组合问题．A，B，C均为组合问题．
3. AB　对于A，集合的元素是无序的，即集合{1，2}与集合{2，1}是相同的集合，故A为组合问题；对于B，五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，故B为组合问题；对于C，如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成的两位数11，22，33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C中既有排列也有组合；对于D，显然为排列问题．故选AB.
4. 40　根据题意，从1到9的正整数中任意抽取3个数相加，若所得的和为奇数，则取出的3个数必为1个奇数、2个偶数或3个奇数两类．当3个数全为奇数时，在1，3，5，7，9中取3个奇数，共有10种取法；当取出的3个数为 1个奇数、2个偶数时，分两步：第一步，先在1，3，5，7，9中取出1个奇数，有5种取法；第二步，再在2，4，6，8中取出2个偶数，有6种取法，则任意抽取3个数，其中1个奇数、2个偶数的取法有30种，所以所得和为奇数的不同取法有30＋10＝40(种).
5. (1) 从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(2) 从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有排列有ab，ac，ad，ae，ba，bc，bd，be，ca，cb，cd，ce，da，db，dc，de，ea，eb，ec，ed.

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