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6．2.4　组　合　数
6．2.4　组　合　数(1)
1. 能利用计数原理推导组合数公式．
2. 掌握组合数的两个性质，并能运用组合数的性质进行化简．
3. 进一步理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式，并且能够运用公式解决一些简单的应用问题．
活动一 了解组合数的概念及组合数公式
组合数定义：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号C表示．
思考1
组合数公式的推导：
(1) 从4个不同元素a，b，c，d中取出2个元素的组合数C是多少呢？组合数C与排列数A有什么关系呢？
(2) 推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A，可由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出 m个元素作为一组，共有C种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有A种不同的排法．
根据分步乘法计数原理，有A＝C·A.
(3) 组合数的公式：
C＝＝
或C＝(n，m∈N*，且m≤n).
规定：C＝1.
例1　计算：
(1) C；(2) C；(3) C；(4) C.
思考2
观察例1的(1)与(2)，(3)与(4)的结果，你有什么发现？(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
活动二　组合及组合数的简单应用　
例2　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1) 从口袋内取出3个球，共有多少种不同的取法？
(2) 从口袋内取出5个球，共有多少种不同的取法？
(3) 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种不同的取法？
(4) 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种不同的取法？
思考3
(1) 例2的(1)和(2)中的组合数有什么关系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？
(2) 例2的(1)与(3)(4)有何联系？由此你能得出什么结论？能推广到一般情形吗？
结论：C＝C，C＝C＋C.
思考4
如何证明这两个结论？(试从实际问题模型和组合数公式两个角度给出证明)
例3　(1) 计算：C＋C＋C＋C；
(2) 求证：C＝C＋2C＋C.
活动三　简单的实际问题
例4　在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1) 有多少种不同的抽法？
(2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式　抽出的3件中至多有1件是次品的抽法有多少种？
“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1) 甲、乙、丙三人必须当选；
(2) 甲、乙、丙三人不能当选；
(3) 甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4) 甲、乙、丙三人只有1人当选；
(5) 甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6) 甲、乙、丙三人至少1人当选．
1. (2024咸阳月考)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为(　　)
A. 83 B. 119 C. 164 D. 219
2. 某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为(　　)
A. 15 B. 20 C. 30 D. 120
3. (多选)(2024张家口期中)已知m，n∈N*，且n≥m，则下列结论中正确的是(　　)
A. n！＝n(n－1)!
B. 若C＝21，则n＝6
C. C＝C＋C
D. C＝(n＋1)C
4. 在n件产品中，有(n－3)件合格品，3件不合格品，若从中任意抽出2件，至少有一件不合格的概率为，则n＝________．
5. (2024台州期中)一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码．
(1) 若一次取2个球，至少有1个红球的取法有多少？
(2) 若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？
6．2.4　组　合　数(2)
1. 巩固组合的概念，组合数的公式及组合数的性质．
2. 能运用组合知识分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
活动一 巩固排列与组合的基本概念
1. 排列与组合的概念、公式及性质：(完成如下表格)
名称 排列 组合
定义
计算公式
性质
　　2. 解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．
活动二　直接分类与间接求解　
例1　房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开一盏灯用以照明，有多少种不同的方法？
例2　某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队．
(1) 某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2) 甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3) 甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4) 队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有多少种选法？
例3　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1) 只有一名女生；
(2) 两队长当选；
(3) 至少有一名队长当选；
(4) 至多有两名女生当选．
活动三　几何中的组合问题　
例4　已知平面α∥平面β，在平面α内有4个点，在平面β内有6个点．
(1) 过这10个点中的3个点作一平面，最多可作多少个不同平面？
(2) 以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3) 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
活动四　分配问题　
例5　有6本不同的书按下列要求进行分配，各有多少种不同的分配方法？
(1) 分成三组，每组分别有1本、2本、3本；
(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
(3) 分成三组，每组都是2本；
(4) 分给甲、乙、丙三人，每人2本．
1. 将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　)
A. 24种　 B. 10种　 C. 12种　 D. 9种
2. (2024遂宁二模)某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择1个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2023佛山期中)某居委会举办的文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B. 若舞蹈类节目相邻，则有120种不同的出场顺序
C. 若舞蹈类节目不相邻，则有40种不同的出场顺序
D. 从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
4. (2024眉山期末)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者(每个项目必须有志愿者)，则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有________种．
5. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛的规则，比赛时一个足球队的上场队员人数为11.
(1) 这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场的方案？
(2) 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么有多少种上场方案？
6．2.4　组　合　数(1)
【活动方案】
思考1：(1) C＝6，A＝4×3＝12，2C＝A.
例1　根据组合数公式，得
(1) C＝＝ ＝120.
(2) C ＝＝＝120.
(3) C＝＝＝1.
(4) C＝1.
思考2：它们的结果相等．当m的值比较小时，选择公式C＝＝(m，n∈N*，且m≤n)；当m的值比较大时，选择公式C＝(m，n∈N*，且m≤n).
例2　(1) C＝＝56(种).
(2) C＝＝56(种).
(3) C＝＝21(种).
(4) C＝＝35(种).
思考3：(1) 例2的(1)和(2)中的组合数相等，从8个球中取出3个球和从8个球中取出5个球的不同取法种数相等，即C＝C，一般情形为C＝C.
(2) 例2的(1)的组合数与(3)(4)的组合数之和相等，从口袋中取出3个球包含2个白球、1个黑球和3个白球两种情况，即C＝C＋C，一般情形为C＝C＋C.
思考4：实际问题模型证明如例2.
组合数公式角度证明如下：C＝＝＝C.
C＋C＝＋
＝＋
＝＝＝C.
例3　(1) 原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝210.
(2) 右边＝＋2·＋＝·[(m－n＋2)(m－n＋1)＋2n(m－n＋2)＋n(n－1)]＝(m2＋3m＋2)＝＝＝C＝左边．
例4　(1) C＝＝161 700(种).
(2) CC＝2×＝9 506(种).
(3) 方法一：CC＋CC＝9 506＋98＝9 604(种).
方法二：C－C＝161 700－＝9 604(种).
变式　方法一：C－CC＝161 602(种).
方法二：CC＋C＝161 602(种).
跟踪训练　(1) C＝＝36(种).
(2) C＝＝126(种).
(3) C＝＝126(种).
(4) CC＝3×＝378(种).
(5) C－C＝－36＝756(种).
(6) C－C＝－126＝666(种).
【检测反馈】
1. D　因为C＝C，所以m＋m＋2＝24，所以m＝11，则C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝219.
2. B　由题意，得组成该评审委员会不同方式的种数为C＝20(种).
3. ABC　因为m，n∈N*，且n≥m，对于A，由阶乘的定义可知n！＝n(n－1)！，故A正确；对于B，因为C＝＝＝21，整理，得n2＋n－42＝0，解得n＝6或n＝－7(舍去)，故B正确；对于C，因为C＋C＝＋＝＝＝C，即C＝C＋C，故C正确；对于D，例如m＝n＝1，则C＝C＝1，(n＋1)C＝2C＝2，可知C≠(n＋1)C，故D错误．故选ABC.
4. 12　因为至少有一件不合格产品的概率为，所以两件产品都合格的概率为1－＝，即＝＝，化简，得5n2－71n＋132＝0，解得n＝12或n＝(舍去).故正整数n的值为12.
5. (1) 由题意，得若一次取2个球，至少有1个红球有两种可能：“2个都是红球”或“1个白球1个红球”，故不同的取法有C＋CC＝6＋20＝26(种).
(2) 若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：“2个白球1个红球”或“1个白球2个红球”，故不同的取法有CC＋CC＝10×4＋5×6＝70(种).
6．2.4　组　合　数(2)
【活动方案】
填表略
例1　方法一：(直接分类)开1盏灯有C种方法，开2盏灯有C种方法，…，5盏灯全开有C种方法，
根据分类加法计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋C＋C＋C＝31(种).
方法二：(间接求解)因为对任何1盏灯都有“开”或“不开”两种处理方法，所以开灯照明这件事可以分成对每盏灯逐个处理的5个步骤来进行，根据分步乘法计数原理，5盏灯共有2×2×2×2×2＝25(种)处理方法，其中1盏灯都不开的情况除外，故不同的开灯方法有25－1＝31(种).
例2　(1) C＝＝816(种).
(2) C＝＝8 568(种).
(3) CC＋C＝2×＋816＝6 936(种).
(4) C－C－C＝－－＝14 656(种).
例3　(1) CC＝5×＝350(种).
(2) C＝＝165(种).
(3) C－C＝－＝825(种).
(4) CC＋CC＋CC＝＋5×＋×＝966(种).
例4　(1) 当平面α内选1个点，平面β内选2个点时，不同平面最多有CC＝60(个)；
当平面α内选2个点，平面β内选1个点时，不同平面最多有CC＝36(个)；
当平面α内选3个点时，所作平面即为平面α；
当平面β内选3个点时，所作平面即为平面β，
故最多可作60＋36＋1＋1＝98(个)不同平面．
(2) 当平面α内选1个点，平面β内选3个点时，三棱锥的个数最多为CC＝80；
当平面α内选2个点，平面β内选2个点时，三棱锥的个数最多为CC＝90；
当平面α内选3个点，平面β内选1个点时，三棱锥的个数最多为CC＝24，
故最多可作80＋90＋24＝194(个)三棱锥．
(3) 因为平面α∥平面β，所以三棱锥不同的体积最多有C＋C＋CC＝114(个).
例5　(1) CCC＝6×10×1＝60(种).
(2) CCCA＝60×6＝360(种).
(3) ＝＝15(种).
(4) ·A＝CCC＝90(种).
【检测反馈】
1. C　第一步，为甲地选1名女教师，有C＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种).
2. C　若每个小组选择1个基地，则所有的选择情况有34＝81(种)，则每个基地至少有1个小组的情况有CCA＝36(种)，故所求概率为＝.
3. AD　对于A，从3个歌唱节目中选1个作为开场，有C＝3(种)方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有3A＝360(种)，故A正确；对于B，将2个舞蹈类节目捆绑在一起，有A＝2(种)方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有2A＝240(种)，故B错误；对于C，除了2个舞蹈类节目以外的4个节目全排列，有A＝24(种)，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈类节目，所以符合题意的方法有24A＝480(种)，故C错误；对于D，符合题意的情况共CC＋CC＋CC＝11(种)，故D正确．故选AD.
4. 3 150　根据题意，选派的5名，志愿者中至少有4名女生，可分为两类：当派出4名女生和1名男生时，有CC＝20(种)，当派出5名女生时，有C＝1(种)，共有20＋1＝21(种)选法，再把选出的5人分成3组，可分为3，1，1或2，2，1的两种情况，有＋＝25(种)，故共有21×25×A＝3 150(种)不同的分配方法．
5. (1) C＝12 376(种).
(2) CC＝12 376×11＝136 136(种).

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