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6．2.5　计数原理应用题
1. 利用排列组合的知识及两个基本计数原理解决综合的计数应用题．
2. 掌握解决计数问题的常用方法．
3. 提高应用意识和分析解决问题的能力．
活动一 排列问题的基本策略
例1　三排座位，第一排有3个座位，第二排有4个座位，第三排有5个座位，若12个人入座，每人一座，则不同坐法有多少种？
(1) 在例1的条件下，若12个人的身高均不相等，要求最矮的3人坐第一排，最高的5人坐第三排，有多少种坐法？
(2) 若12个人坐成3排4列，要求每列三人的身高从矮到高的顺序坐，有多少种不同的坐法？
例2　2名女生、4名男生排成一排，求：
(1) 2名女生相邻的不同排法共有多少种？
(2) 2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
(3) 女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种？
活动二　排列组合的简单综合——区分排列与组合，先选后排　
例3　将铅笔、圆珠笔、橡皮、直尺4件文具分别给甲、乙、丙3位小朋友，每人至少得1件，有多少种不同的分法？
高二(1)班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
例4　从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的有多少个？
在0，1，2，3，4，5这6个数中选择若干个数．
(1) 能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2) 能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(3) 能组成多少个无重复数字且不大于3 000的四位数？
1. (2024马鞍山期末)六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(　　)
A. 180 B. 336 C. 720 D. 1 440
2. 现有2名学生代表，2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有(　　)
A. 552种 B. 864种 C. 912种 D. 1 008种
3. (多选)(2024南通期中)某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A，B，C，D，E，F，G，H区分，现安排专家发言顺序，则下列说法中正确的有(　　)
A. F专家和C专家发言中间必须间隔1个人，共有AA种排法
B. E专家和G专家发言不相邻，共有AA种排法
C. A，B，C三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D. D专家不第一个发言，H专家不最后一个发言，共有A＋CCA种排法
4. A，B两地间有如图所示的方格形道路网，甲沿路网随机选择一条最短路径从A地出发去往B地，则甲经过C地的概率为________．
5. 4个男同学，3个女同学站成一排．
(1) 3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2) 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3) 3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
(4) 其中甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则有多少种不同的排法？
(5) 若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
6．2.5　计数原理应用题
【活动方案】
例1　由题意，得12个人坐12个座位，每人一座，则不同的坐法有A＝479 001 600(种).
跟踪训练　(1) AAA＝17 280(种).
(2) ·A＝369 600(种).
例2　(1) AA＝2×1×5×4×3×2×1＝240(种).
(2) AA＝4×3×2×1×5×4＝480(种).
(3) ＝＝360(种).
例3　CA＝36(种)，
故有36种不同的分法．
跟踪训练　CCA＝××5×4×3×2×1＝92 568 000(种)，
故共有92 568 000种不同的选法．
例4　8A＋7A＝26 544(个).
跟踪训练　(1) A＋CAA＝156(个).
(2) AA＋A＝216(个).
(3) CA＝120(个).
【检测反馈】
1. C　若3个新节目在一起，则有AA＝48(种)插法；若3个新节目有两个相邻，则有CAA＝336(种)插法；若3个新节目都不相邻，则有A＝336(种)插法．综上，一共有48＋336＋336＝720(种)不同的插法．
2. C　由题意，设AA表示两名学生的位置，BB表示两名教师的位置，CCC表示三名家长的位置．第一步：先排学生有A＝2(种)方法；第二步：再排两名教师，有①ABAB与BABA，②AABB与BBAA，③ABBA与BAAB三种情况，对于①，教师有2A＝4(种)排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有A种方法；对于②，教师有2A＝4(种)排法，然后家长先在A与A之间和B与B之间各选一个家长排入，剩余一个家长插入剩余三个空中的一个空中，有A·A＝18(种)；对于③，教师有2A＝4(种)排法，然后选一个家长排在最中间一个空中，再将剩余两个家长排在剩余的四个空中，有C·A种排法．综上，共有A×2A×(A＋A·A＋C·A)＝912(种).
3. BD　对于A，先排剩下的六人，有A种，两人之间必须间隔一个人，有6×A种，共有6AA种，故A错误；对于B，若E，G不相邻，剩余6位的排列方法有A种形成7个空，则E，G填入7个空的方法有A种，所以共有AA种排法，故B正确；对于C，先排列A，B，C三位专家，有6种排列方法，三人形成整体与剩余5人再进行全排列，则有A种排列方法，所以共有6A＝4 320(种)方法，故C错误；对于D，分成两类情况，一是H排在第一，则此类情况下排法有A种，二是H排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有CCA种方法，则共有A＋CCA种排法，故D正确．故选BD.
4. 　从A地到B地的最短路径包含向下走4步，向右走4步，且前4步至多只能向右走2步，则总的路径有CC＋CC＋CC＝53(种)，甲经过C地再到B地的路径数量有C×C＝16(种)，故甲经过C地的概率P＝.
5. (1) 3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A种排法．我们可视排好的女同学为一个整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法．由分步乘法计数原理，得共有AA＝720(种)不同的排法．
(2) 先将男同学排好，共有A种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有A种方案，故符合条件的不同的排法共有AA＝1 440(种).
(3) 3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有AA＝144(种).
(4) 先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法．由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有A种排法．故总共有AAA＝960(种)不同的排法．
(5) 从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有A＝840(种)不同的排法．

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