资源简介

7．1.1　条 件 概 率
1. 结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．
2. 结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．
3. 结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
活动一 背景引入
情境1　某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：
单位：人
性别 团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表．
(1) 选到男生的概率是多少？
(2) 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”．
思考1
根据所学的知识，在问题(2)中，事件A与事件B是否相互独立？
思考2
根据古典概型知识，请计算上述概率，在问题(2)中，是以什么作为样本空间？
情境2　假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个家庭，那么
(1) 该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
(2) 如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”．
思考3
根据古典概型知识，请计算上述概率，在问题(2)中，是以什么作为样本空间？
活动二　条件概率　
思考4
根据古典概型知识，如何计算在事件A发生的条件下，事件B发生的概率？
条件概率的定义
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
注意：在“|”之后的部分表示条件．
思考5
P(B|A)与 P(B)何时相等？
思考6
对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与 P(B|A)，如何计算P(AB)
结论：对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，此公式称为概率的乘法公式．
活动三　条件概率的应用　
例1　在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求：
(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
(2) 在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率．
求条件概率的两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率．
　
在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球和10个白球. 现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率．
条件概率的性质：
(1) P(Ω|A)＝1；
(2) 若B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ P(B|A)＋ P(C|A)；
(3) 若B和互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A).
例2　银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求：
(1) 任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
(2) 如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率．
在计算条件概率时，往往是计数原理、排列组合、互斥事件及对立事件等知识的综合应用．
某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．
(1) 求男生甲或女生乙被选中的概率；
(2) 设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(A)和P(B|A).
1. 已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
2. (2024安徽期末)甲、乙两名同学计划今年暑假各自从黄山、琅琊山、天堂寨、三河古镇4个旅游景点中随机选择一个游玩．现已知至少有一名同学选择了琅琊山，则两名同学选择的景点不同的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024吕梁月考)甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visual Basic，Visual C＋＋，Visual FoxPro三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习Visual Basic编程语言”，B表示事件“乙学习Visual Basic编程语言”，C表示事件“乙学习Visual C＋＋编程语言”，则下列说法中正确的是(　　)
A. 事件A与事件B相互独立
B. 事件A与事件C不是互斥事件
C. P(C|A)＝
D. P(B|A)＝
4. (2024娄底月考)甲、乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛，甲、乙各投篮一次．已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.75，甲、乙两人每次是否投中互不影响．设事件A为“两人至少投中一次”，事件B为“甲投中”，则P(B|A)的值为________．
5. 已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同．
(1) 若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；
(2) 若一个人从口袋中随机不放回地连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下，第二次抽取出的也是白球的概率．
7.1.1　条 件 概 率
【活动方案】
思考1：略
思考2：P(B)＝＝＝.P(B|A)＝＝＝.在问题(2)中，是以A为样本空间．
思考3：P(B)＝＝.P(B|A)＝＝.在问题(2)中，样本空间为{男女，女男，女女}．
思考4：略
思考5：当P(A)＞0时，当且仅当事件A与事件B相互独立时，有P(B|A) ＝P(B).
思考6：略
例1　设A＝“第1次抽到代数题”，B＝“第2次抽到几何题”，则“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.
方法一：(1) 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道， 试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即n(Ω)＝A＝5×4＝20.
因为n(AB)＝A×A＝3×2＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(2) “在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率．显然P(A)＝，利用条件概率公式，得P (B|A)＝＝＝.
方法二：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝.
又P(A)＝，利用乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
跟踪训练　记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，
则P(A)＝＝，P(B|A)＝.
由概率的乘法公式，
得P(AB)＝P(A)P(B|A) ＝×＝.
故所求概率为.
例2　(1) 设Ai＝“第i次按对密码”(i＝1, 2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为A＝A1∪A1A2.
事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＝P(A1)＋P(A1)P(A2|A1)＝＋×＝.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
(2) 设B＝“最后1位密码为偶数”，
则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
跟踪训练　(1) 某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有C＝20(种)，
男生甲和女生乙都没有被选中的选法有C＝4(种)，
则男生甲或女生乙被选中的选法有20－4＝16(种)，
所以男生甲或女生乙被选中的概率为P＝＝.
(2) 总的选法有C＝20(种)，男生甲被选中的选法有C·C＝10(种)，所以P(A)＝，
男生甲被选中、女生乙也被选中的选法有C·C·C＝4(种)，所以P(AB)＝，
所以在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)＝＝.
【检测反馈】
1. C　由P(AB)＝P(A)P(B|A)，可得P(A)＝＝.
2. D　设事件A表示“两人中至少有一名同学选择了琅琊山”，事件B表示“两名同学选择的景点不同”．因为两名同学均有4种选择，所以共有16个基本事件，其中两人中至少有一名同学选择了琅琊山分两种情况，一是都选择了琅琊山，二是一人选择了琅琊山，另一人选择了其他景点，故事件A包含C·C＋1＝7(个)基本事件．又事件AB包含的基本事件有C·C＝6(个)，所以P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
3. BCD　4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有·A＝36(种)方案，甲学习Visual Basic编程语言、乙学习Visual Basic编程语言、乙学习Visual C＋＋编程语言，各有CA＋A＝12(种)方案，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝；甲、乙均学习Visual Basic编程语言，有A＝2(种)方案，所以P(AB)＝＝；甲学习Visual Basic编程语言，且乙学习Visual C＋＋编程语言，有1＋CC＝5(种)方案，所以P(AC)＝.对于A，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与事件B不相互独立，故A错误；对于B，因为P(AC)＝≠0，所以事件A与事件C不是互斥事件，故B正确；对于C，P(C|A)＝＝，故C正确；对于D，P(B|A)＝＝，故D正确．故选BCD.
4. 　由题意，得P(A)＝1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95，P(AB)＝0.8×(1－0.75)＋0.8×0.75＝0.8，所以P(B|A)＝＝.
5. (1) 从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率P＝＝.
(2) 记“第一次抽取出的球是白球”为事件A，“第二次抽取出的球是白球”为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，
所以在第一次抽取出白球的条件下，第二次抽取出的也是白球的概率P(B|A)＝＝＝.

展开更多......

收起↑