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7．1.2　全概率公式
1. 结合古典概型及概率的乘法公式，推出全概率公式．
2. 会利用全概率公式计算概率．
活动一 背景引入
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，首先将一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．
思考1
从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率．
活动二　全概率公式　
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai).
我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
活动三 全概率公式的应用　　
例1　某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率．
使用全概率公式的前提是Ai(i＝1，2，3，…，n)是互斥事件，且＝Ω为样本空间，事件B Ω，才能计算事件B发生的概率．
设甲袋有3个白球和4个红球，乙袋有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率．
例2　有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2, 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1) 任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率．
1. 利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
活动四　贝叶斯公式(只学不考)　
思考2
例2中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么？
贝叶斯公式：
设A1, A2, …， An 是一组两两互斥的事件， A1 ∪ A2∪ … ∪An＝Ω，且P(Ai)＞0, i＝1，2, …，n，则对任意的事件B Ω， P(B)＞0, 有
P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n.
例　在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的．
(1) 分别求接收的信号为0和1的概率；
(2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
1. (2024安康期末)某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为，答对B类试题的概率为，从题库中任选一题作答，则甲答对题目的概率为(　　)
A. B. C. D.
2. (2024淮安洪泽中学月考)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　)
A. 0.155 B. 0.175
C. 0.01 D. 0.096
3. (多选)(2023镇江实验高级中学期末)甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的有(　　)
A. 事件A与事件B是互斥事件
B. P(C|A)＝
C. P(C)＝
D. 事件A与事件C相互独立
4. (2024邵阳期末)有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占40%，甲厂生产的次品率为2%；乙厂生产的占60%，乙厂生产的次品率为3%，则从中任取一件产品是次品的概率是________．
5. 两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1) 求这件产品是次品的概率；
(2) 已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
7．1.2　全概率公式
【活动方案】
思考1：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导．
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1，2.如图所示，事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得
P(R2)＝P(R1R2∪B1R2)＝P(R1R2)＋P(B1R2)
＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1)
＝×＋×
＝.
例1　设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．
根据题意，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
跟踪训练　记事件A1：从甲袋中取出2个红球，A2：从甲袋中取出2个白球，A3：从甲袋中取出1个白球和1个红球， B：从乙袋中取出2个红球．
显然，A1，A2，A3两两互斥，且A1∪A2∪A3正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间Ω，
所以由全概率公式，得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) ＝·＋·＋·＝.
故从乙袋中取出的是2个红球的概率为.
例2　设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1, 2, 3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥. 根据题意，得
P(A1)＝0.25, P(A2)＝0.3, P(A3)＝0.45，
P(B|A1)＝0.06, P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.
(1) 由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋ P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05 ＝0.052 5.
(2) “如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率．
P(A1|B)＝＝＝＝.
类似地，可得P(A2|B)＝，P(A3|B)＝.
跟踪训练　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，
所以P(B|A)＝＝÷＝， P(C|A)＝＝÷＝，
所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝，
所以所求的条件概率为.
思考2：P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率．当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，称为后验概率．
例3　设A＝“发送的信号为0”，B＝“接收到的信号为0”，则＝“发送的信号为1”，＝“接收到的信号为1”. 由题意，得
P(A)＝P()＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(|A)＝0.1，
P(B|)＝0.05，P(|)＝0.95.
(1) P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，
P()＝1－ P(B)＝1－0.475＝0.525.
(2) P(|B)＝＝＝.
【检测反馈】
1. C　设“选出A类试题”为事件A1，“选出B类试题”为事件A2，“甲答对题目”为事件B，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B∣A1)＝，P(B∣A2)＝，所以P(B)＝P(B∣A1)P(A1)＋P(B∣A2)P(A2)＝×＋×＝.
2. B　设事件B1表示被保险人是“谨慎的”，事件B2表示被保险人是“一般的”，事件B3表示被保险人是“冒失的”，事件A表示被保险人在一年内发生事故，则P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.3，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.2×0.05＋0.5×0.15＋0.3×0.30＝0.175.
3. AC　由题意，得P(A)＝，P(B)＝.对于A，事件A与事件B不能同时发生，故A正确；对于B，P(C|A)＝＝＝，故B错误；对于C，由全概率公式，得P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|B)P(B)＝×＋×＝，故C正确；对于D，因为P(AC)＝＝，P(A)P(C)＝×＝，所以P(AC)≠P(A)P(C)，所以事件A与事件C不相互独立，故D错误．故选AC.
4. 0.026　设A1＝“产品为甲厂生产”，A2＝“产品为乙厂生产”，B＝“任取一件产品为次品”，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.03，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.02＋0.6×0.03＝0.026，所以任取一件产品是次品的概率为0.026.
5. (1) 设事件B为“取到的产品是次品”，Ai(i＝1，2)为“取到的产品来自第i批”，
则P(A1)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(A2)＝0.6，P(B|A2)＝0.04.
由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.05＋0.6×0.04＝0.044.
(2) 所求概率为P(A1|B)＝＝＝＝.

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